2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及答案

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、 选择题：110小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有

一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1） 当0x +

→

）

A

.1-

B

1C

.1D -

【答案】(B)

【考点】等价无穷小 【难易度】★★

【详解】解析：方法1：排斥法：

由几个常见的等价无穷小，当0x +

→

0→，

所以1

1();11

;2x x x --+-21

1(),2

x x -

可以排除A 、C 、D ，所以选（B ）.

方法2：

=

=ln 1⎛

+ ⎝ 当0x +

→

时，11→0→

，又因为0x →时，(

)ln 1x

x +，所以

)

ln 1~~1~x ⎛⎫= ⎝B ）.

（2） 函数1

1()tan ()()

x

x

e e x

f x x e e +=

-在[],ππ-上的第一类间断点是x =（ ）

.A 0 .B 1 .C 2π-

.D 2

π 【答案】( A)

【考点】第一类间断点 【难易度】★★

【详解】解析：首先找出()f x 的所有不连续点，然后考虑()f x 在间断点处的极限.

()f x 的不连续点为0、1、2

π

±

，第一类间断点包括可去间断点及跳跃间断点。 逐个考虑各个选项即可，对.A

11111

110

111101110000()tan (1)lim ()lim lim lim 1,

()

(1)

lim ()tan lim ()lim lim 1.()lim x

x

x x x x x x

x

x

x x x x x x x x x x x e e x e e e e f x x e e e e

e e

e e e e x e e e

f x e x e e e e e e ++

+

+

-----

-

→→→→-

→→→→→+++====---⎛⎫+

⎪++⎝⎭=====--⎛⎫--- ⎪⎝⎭

()f x 在0x =存在左右极限，但()()0

lim lim x x f x f x +-

→→≠，所以0x =是()f x 的第一类间断点，选（A ）；

同样，可以验证其余选项是第二类间断点，()1

lim x f x →=∞，()2

lim x f x π

→

=∞，

()2

lim x f x π

→-

=∞.

（3） 如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半

圆周,在区间[][]2,0,0,2-上的图形分别是直径为2的上、下半圆周.设

()(),x

F x f t dt =⎰则下列结论正确的是（ ）

.A (3)F 3(2)4F =-

- .B (3)F 5

(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F = .D (3)F -5

(2)4

F =--

【答案】( C)

【考点】定积分的概念、定积分的基本性质，积分上限的函数及其导数 【难易度】★★★

【详解】解析：由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，则()()f x f x -=-，由

()(),x

F x f t dt =⎰知

()()()()()()()()x

x x

F x f t dt t u f u d u f u f u f u du F x --= =- -- -=- =⎰

⎰⎰，故()F x 为

x 的偶函数，所以(3)(3).F F -=而

20

(2)()F f t dt =⎰表示半径1R =的半圆的面积，所以2

2

(2)()2

2

R F f t dt ππ

==

=

⎰，

3230

2

(3)()()()F f t dt f t dt f t dt ==+⎰⎰⎰，其中3

2

()f t dt ⎰表示半径1

2

r =

的半圆的面积的负值，所以

2

2

3

2

1()2

228

r f t dt πππ

⎛⎫

=-

=-

⋅=- ⎪⎝⎭⎰

所以3

23

2

333

(3)()()()(2)2

8

8424

F f t dt f t dt f t dt F π

π

ππ=

=+=

-

=

=⋅=⎰

⎰⎰ 所以3

(3)(3)(2)4

F F F -==，选择( C)

（4） 设函数()f x 在0x =连续，则下列命题错误的是（ ）

.A 若0()lim

x f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()

lim x f x f x x →+-存在，则(0)0f =

.C 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在 .D 若0()()

lim x f x f x x

→--存在，则(0)f '存在

【答案】( D)

【考点】极限的四则运算，函数连续的概念，导数的概念 【难易度】★★

【详解】解析：方法1:论证法，证明..A B C 都正确，从而只有.D 不正确。

由0()

lim

x f x x

→存在及()f x 在0x =处连续，所以

0(0)lim ()x f f x →=0000()()()

lim()lim lim 0lim x x x x f x f x f x x x x x x

→→→→==⋅=⋅0=，

所以（A ）正确； 由选项（A ）知，(0)0f =，所以00()(0)()

lim lim

0x x f x f f x x x

→→-=-存在，根据导数定义，0()(0)

'(0)lim

x f x f f x →-=-存在，所以（C ）也正确； 由()f x 在0x =处连续，所以()f x -在0x =处连续，从而

[]0

lim ()()lim ()lim ()(0)(0)2(0)x x x f x f x f x f x f f f →→→+-=+-=+=

0000()()()()()()2(0)lim lim lim 0lim 0x x x x f x f x f x f x f x f x f x x x x x →→→→+-+-+-⎡⎤

=⋅=⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦

，即

有(0)0f =.所以（B ）正确，故此题选择（D ）.