2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及答案

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、 选择题：110小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1） 当0x +→）A.1-B1C.1D -【答案】(B)【考点】等价无穷小 【难易度】★★【详解】解析：方法1：排斥法：由几个常见的等价无穷小，当0x +→0→，所以11();11;2x x x --+-211(),2x x -可以排除A 、C 、D ，所以选（B ）.方法2：==ln 1⎛+ ⎝ 当0x +→时，11→0→，又因为0x →时，()ln 1xx +，所以)ln 1~~1~x ⎛⎫= ⎝B ）.（2） 函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=-在[],ππ-上的第一类间断点是x =（ ）.A 0 .B 1 .C 2π-.D 2π 【答案】( A)【考点】第一类间断点 【难易度】★★【详解】解析：首先找出()f x 的所有不连续点，然后考虑()f x 在间断点处的极限.()f x 的不连续点为0、1、2π±，第一类间断点包括可去间断点及跳跃间断点。

逐个考虑各个选项即可，对.A11111110111101110000()tan (1)lim ()lim lim lim 1,()(1)lim ()tan lim ()lim lim 1.()lim xxx x x x x xxxx x x x x x x x x x x e e x e e e e f x x e e e ee ee e e e x e e ef x e x e e e e e e ++++------→→→→-→→→→→+++====---⎛⎫+⎪++⎝⎭=====--⎛⎫--- ⎪⎝⎭()f x 在0x =存在左右极限，但()()0lim lim x x f x f x +-→→≠，所以0x =是()f x 的第一类间断点，选（A ）；同样，可以验证其余选项是第二类间断点，()1lim x f x →=∞，()2lim x f x π→=∞，()2lim x f x π→-=∞.（3） 如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[][]2,0,0,2-上的图形分别是直径为2的上、下半圆周.设()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是（ ）.A (3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F = .D (3)F -5(2)4F =--【答案】( C)【考点】定积分的概念、定积分的基本性质，积分上限的函数及其导数 【难易度】★★★【详解】解析：由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，则()()f x f x -=-，由()(),xF x f t dt =⎰知()()()()()()()()xx xF x f t dt t u f u d u f u f u f u du F x --= =- -- -=- =⎰⎰⎰，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3).F F -=而20(2)()F f t dt =⎰表示半径1R =的半圆的面积，所以22(2)()22R F f t dt ππ===⎰，32302(3)()()()F f t dt f t dt f t dt ==+⎰⎰⎰，其中32()f t dt ⎰表示半径12r =的半圆的面积的负值，所以22321()2228r f t dt πππ⎛⎫=-=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰所以3232333(3)()()()(2)288424F f t dt f t dt f t dt F ππππ==+=-==⋅=⎰⎰⎰ 所以3(3)(3)(2)4F F F -==，选择( C)（4） 设函数()f x 在0x =连续，则下列命题错误的是（ ）.A 若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x →+-存在，则(0)0f =.C 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在 .D 若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)f '存在【答案】( D)【考点】极限的四则运算，函数连续的概念，导数的概念 【难易度】★★【详解】解析：方法1:论证法，证明..A B C 都正确，从而只有.D 不正确。

由0()limx f x x→存在及()f x 在0x =处连续，所以0(0)lim ()x f f x →=0000()()()lim()lim lim 0lim x x x x f x f x f x x x x x x→→→→==⋅=⋅0=，所以（A ）正确； 由选项（A ）知，(0)0f =，所以00()(0)()lim lim0x x f x f f x x x→→-=-存在，根据导数定义，0()(0)'(0)limx f x f f x →-=-存在，所以（C ）也正确； 由()f x 在0x =处连续，所以()f x -在0x =处连续，从而[]0lim ()()lim ()lim ()(0)(0)2(0)x x x f x f x f x f x f f f →→→+-=+-=+=0000()()()()()()2(0)lim lim lim 0lim 0x x x x f x f x f x f x f x f x f x x x x x →→→→+-+-+-⎡⎤=⋅=⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦，即有(0)0f =.所以（B ）正确，故此题选择（D ）.方法2：举例法，举例说明（D ）不正确，例如取()f x x =，有00()()lim lim 00x x x x f x f x x x→→----==-存在 而()()0000lim lim 100x x f x f x x x --→→---==---，()()0000lim lim 100x x f x f x x x +-→→--==--，左右极限存在但不相等，所以()f x x =在0x =的导数()0f '不存在. （D ）不正确，选（D ）.（5） 曲线1ln(1)x y e x=++渐近线的条数为（ ） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3【答案】( D)【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★★【详解】解析：001lim lim ln(1)x x x y e x →→⎛⎫=++⎪⎝⎭=∞，所以0x =是一条铅直渐近线；1lim lim ln(1)x x x y e x →-∞→-∞⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1lim lim ln(1)000x x x e x →-∞→-∞=++=+=，所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线；令21ln(1)1ln(1)lim lim lim x x x x x e y e x a x x x x →+∞→+∞→+∞++⎛⎫+===+ ⎪⎝⎭21ln(1)lim lim x x x e x x →+∞→+∞+=+ln(1)0lim x x e x →+∞+=+1lim 11xx x e e →+∞+ =洛必达法则令()1lim lim ln(1)x x x b y a x e x x →+∞→+∞⎛⎫=-⋅=++- ⎪⎝⎭()()1limlim ln(1)0lim ln(1)x x x x x e x e x x →+∞→+∞→+∞=++-=++- ()1ln lim ln(1)ln lim ln()xxxxx x x e x e e e e→+∞→+∞+ = +-=lim ln(1)ln10x x e -→+∞=+==所以y ax b x =+=是曲线的斜渐近线，所以共有3条，选择（D ）（6） 设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()(1,2,)n u f n n ==，则下列结论正确的是（ ）.A 若12u u >，则{}n u 必收敛 .B 若12u u >，则{}n u 必发散.C 若12u u <，则{}n u 必收敛 .D 若12u u <，则{}n u 必发散【答案】( D)【考点】数列极限的定义，函数单调性的判别，拉格朗日中值定理 【难易度】★★★【详解】解析：()n u f n =，由拉格朗日中值定理，有1n n (1)()'()(1)'(),(1,2,)n n u u f n f n f n n f n ξξ+-=+-=+-==，其中n 1n n ξ<<+，12n .ξξξ<<<<由()0,f x ''>知()f x '严格单调增，故12n ()()().f f f ξξξ'''<<<<若12u u <，则121'()0,f u u ξ=->所以12n 0'()'()'().f f f ξξξ<<<<<1111k 1111()()().nnn k k k k u u u u u f u nf ξξ++==''=+-=+>+∑∑而1()f ξ'是一个确定的正数.于是推知1lim ,n n u +→∞=+∞故{}n u 发散.选（D ）（7） 二元函数(,)f x y 在点(0,0)处可微的一个充分条件是( ).A[](,)(0,0)lim(,)(0,0)0x y f x y f →-=.B []0(,0)(0,0)lim0x f x f x→-=且[]0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→-=.C(,)(,)(0,0)lim0x y f x y f →-=.D []0lim (,0)(0,0)0x x x f x f →''-=且 0lim (0,)(0,0)0y y y f y f →''⎡⎤-=⎣⎦ 【答案】( C)【考点】全微分存在的充分条件 【难易度】★★★【详解】解析：方法一： 按可微性定义，f （x ，y ）在（0，0）可微⇔ ))0,0(),(()()0,0(),(22→++++=y x y x o By Ax f y x f,0)0,0(),(lim23)0.0(),(=+---⇔→yx ByAx f y x f y x 其中A ，B 是与x ，y 无关的常数．题中的（C ）即A ＝B ＝0的情形．因此由（C ）⇒f （x ，y ）在（0，0）可微．因此选（C ）．方法二： 由（A ）⇒f （x ，y ）在（0，0）连续\⇒f （x ，y ）在（0，0）可微．由（B ）⇒（x ，y ）在（0，0）可偏导且0)0,0(,0)0,0(=∂∂=∂∂yf x f ，但\⇒f （x ，y ）在（0，0）可微．由（D ）⇒),(y x f x '在（0，0）沿x 轴连续（即)0,(x f x '在x ＝0连续），),(y x f y '在 （0，0）沿y 轴连续（即),0(y f y '在y ＝0连续），但\⇒f （x ，y ）在（0，0）可微． 因此选（C ）．(8) 设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于（ ）.A 1arcsin (,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰.B 10arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰【答案】( B)【考点】交换累次积分的次序与坐标系的转换 【难易度】★★【详解】解析：画出该二次积分所对应的积分区域D ，:2sin 1x D x y ππ⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩交换为先x 后y ，则积分区域可化为：arcsin 01y x y ππ-≤≤⎧⎨≤≤⎩所以11sin 0sin 2(,)(,)xarc ydx f x y dy dy f x y dx ππππ-=⎰⎰⎰⎰， 所以选择(B).(9) 设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 ( ).A 12αα-2331,,αααα-- .B 21αα+2331,,αααα++ .C 1223312,2,2αααααα--- .D 1223312,2,2αααααα+++【答案】(A)【考点】向量组线性相关的判别法【难易度】★★★【详解】解析：方法1：根据线性相关的定义，若存在不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++=成立，则称123,,ααα线性相关.因 1223310αααααα-+-+-=， 故122331αααααα---，，线性相关，所以选择（A ）. 方法2：排除法因 [][][]1223311231232101,,,,110,,,011C αααααααααααα⎡⎤⎢⎥+++==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 其中2101110011C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 2101110011C =11101111(1)20111111111011+-⨯-+-=-=⨯-⨯-行行（）（）20=≠.故2C 是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积, 2C 右乘[]123,,ααα时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有122331123(,,)(,,)3r r ααααααααα+++==故122331,,αααααα+++线性无关，排除（B ）.因 [][][]12233112312331022,2,2,,210,,,021C αααααααααααα-⎡⎤⎢⎥---=-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦其中3102210021C -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，3102210021C -=--111021410141112421021+--⨯-=-=⨯--⨯---行2+2行（）（）（）≠=-70.故3C 是可逆矩阵，故有122331123(2,2,2)(,,)3r r ααααααααα---==故1223312,2,2αααααα---线性无关，排除（C ）.因[][][]12233112312341022,2,2,,210,,,021C αααααααααααα⎡⎤⎢⎥+++==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 其中4102210021C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 4102210021C =11102141(2)20141112421021+-⨯-+-=-=⨯-⨯-行行（）（）90.=≠故4C 是可逆矩阵，故有122331123(2,2,2)(,,)3r r ααααααααα+++==故1223312,2,2αααααα+++线性无关，排除（D ）. 综上知应选（A ）.(10) 设矩阵211121112A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，100010000B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则A 与B （ ） .A 合同，且相似 .B 合同，但不相似.C 不合同，但相似 .D 既不合同，也不相似【答案】（B ）【考点】相似矩阵的概念，矩阵合同的判定 【难易度】★★ 【详解】解析：211121112E A λλλλ--=--112312112λλλλλ--、列分别加到列 111121112λλλλ--提出1111103112λλλ⨯---行（）+2行11111033λλλ⨯---行（）+3行113103λλλ+-=--（）()230λλ=-=则的A 特征值为3，3，0;B 是对角阵，对角元素即是其特征值，则B 的特征值为1，1，0.,A B 的特征值不相同，由相似矩阵的特征值相同知，A B 与不相似.由,A B 的特征值可知，,A B 的正惯性指数都是2，又秩都等于2可知负惯性指数也相同，则由实对称矩阵合同的充要条件是有相同的正惯性指数和相同的负惯性指数，知A 与B合同，应选（B ）.二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （11）30arctan sin lim_________x x xx→-= 【答案】16-【考点】洛必达法则，泰勒公式 【难易度】★★【详解】解析：方法一：由洛必达法则，()()2232220001cos 11cos arctan sin 01lim lim lim 0331x x x x x x x x x x x x x →→→--+-+ =+ ()2232001sin 2cos 002sin (1)cos 2cos 2sin lim lim 06120636x x x x x x x x x x x x xx x x →→+-++-+ ++ 22222200004sin (1)cos 2cos 4sin (1)cos 2cos lim lim lim lim 636636636636x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→++-+==+-++++ 1210666=+-=-方法二：泰勒公式展开()()()333333333000111+++arctan sin 1636lim lim =lim =6x x x x x o x x x o x x o x x x x x x →→→⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=-（12）曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=的点处的法线斜率为_____【答案】1+【考点】平面曲线的法线 【难易度】★★【详解】解析：dy dx =()()21sin cos cos t dy dt dx dtt t '+='+cos sin 2sin cos t t t t=-- 把4t π=代入,4dy dx t π=cos4sin 2sin cos 4442222ππππ====--=所以法线斜率为1（13）设函数123y x =+，则()(0)___________n y = 【答案】1(1)2!3n n n n +-【考点】高阶导数 【难易度】★★ 【详解】解析：()112323y x x -==++，()()()111111'(1)232(1)1!223y x x x ----'=-⋅+⋅=-⋅⋅⋅+，()()321222''(1)(2)223(1)2!223,,y x x ---=-⋅-⋅⋅+=-⋅⋅+由数学归纳法可知()1()(1)2!23,n n nnyn x --=-+把0x =代入得：()1(1)2!(0)3n n n n n y +-= （14）二阶常系数非齐次线性微分方程2432xy y y e'''-+=的通解为_____y =【答案】32122x x xC e C e e +-【考点】自由项为指数函数的二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】★★【详解】解析：这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数()f x 是()xm P x e λ型（其中()2,2m P x λ= =）.与所给方程对应的齐次方程为430y y y '''-+=，它的特征方程为2430,r r -+=则()()310r r --=，得特征根121,3,r r ==对应齐次方程的通解1231212r xr xx xY C e C e C e C e =+=+由于这里2λ=不是特征方程的根，所以应设该非齐次方程的一个特解为*2,x y Ae =()*22x y Ae '=，()*24x y Ae ''=，代入原方程：222244232x x x x Ae Ae Ae e -⋅+=，即222x x Ae e -=，则2A =-，所以*22.x y e =-故得原方程的通解为32122x x xy C e C e e =+-.（15）设(,)f u v 是二元可微函数，(,),y x z f x y =则z zxy x y∂∂-=∂∂＿＿＿＿＿ 【答案】''122()y x f f x y-+ 【考点】多元复合函数一阶偏导数的求法【难易度】★★【详解】解析：121221''''x y y z y x f f f f x x x x y ⎛⎫⎛⎫∂∂ ⎪⎪∂⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅+⋅=⋅-+⋅ ⎪∂∂∂⎝⎭，12'x y y z x f f y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂ ⎪⎪∂⎝⎭⎝⎭'=⋅+⋅=∂∂∂1221''x f f x y ⎛⎫⋅+⋅- ⎪⎝⎭把z x ∂∂，zy∂∂代入z z x y x y ∂∂-∂∂，则： 12122211''''z z y x x y x f f y f f x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫-=⋅⋅-+⋅-⋅+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 1212''''y x y x f f f f x y x y ⎛⎫=-⋅+⋅-⋅+⋅ ⎪⎝⎭''122()y x f f x y =-+(16) 设矩阵01000010,00010000A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭则3A 的秩为＿＿＿＿＿.【答案】1【考点】矩阵的秩 【难易度】★★ 【详解】解析：2010001000010*********001000100010000000000000000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭32001001000001000100100000000000010000000000000000A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=⋅==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由阶梯矩阵的行秩等于列秩，其值等于阶梯形矩阵的非零行的行数，知()3 1.r A =三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分）设()f x 是区间[0,]4π上的单调、可导函数，且满足()1cos sin ()sin cos f x xt tf t dt tdt t t--=+⎰⎰其中1f-是f 的反函数，求()f x .【考点】积分上限的函数及其导数，不定积分的换元积分法 【难易度】★★【详解】解析：方程()100cos sin ()sin cos f x xt tf t dt tdt t t--=+⎰⎰两边对x 求导， 得 1cos sin [()]()sin cos x xf f x f x xx x--'=+ 即 cos sin ()sin cos x xxf x x x x-'=+当0x ≠时，对上式两边同时除以x 得，cos sin ()sin cos x xf x x x-'=+，所以cos sin (sin cos )()sin cos sin cos x x d x x f x dx x x x x-+==++⎰⎰()ln sin cos f x x x C =++在已知等式中令0x =得(0)10()0,f f t dt -=⎰因()f x 是[0,]4π上得单调、可导函数，1()f t -的值域为[0,]4π，它是单调非负的，故必有(0)0f =，从而两边对上式取0x +→极限0lim ()(0)0x f x f C +→===于是()ln sin cos ,[0,]4f x x x x π=+∈因为故 ()ln(sin cos ),[0,]4f x x x x π=+∈.（18）（本题满分11分）设D是位于曲线2(1,0)x ay a x -=>≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域.（Ⅰ）求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ; （Ⅱ）当a 为何值时，()V a 最小？并求出最小值. 【考点】旋转体的体积，函数的最大值与最小值 【难易度】★★★ 【详解】解析：（Ⅰ）()0xaV a xa dx π-∞=⎰0ln xa axd a a π-∞⎛⎫=-⎪⎝⎭⎰ 00[]ln ln x x a a a a xa a dx a a ππ+∞--∞=-+⎰2ln a a π⎛⎫= ⎪⎝⎭ （Ⅱ）()2[]ln a V a a π⎛⎫''= ⎪⎝⎭22412ln 2ln ln a a a a a aπ-⋅⋅=⋅32ln 2ln a a a aπ-=⋅()3ln 12ln a a a π-⎛⎫= ⎪⎝⎭令()0V a '=，得ln 1a =，从而a e = 当1a e <<时，()0V a '<，()V a 单调减少； 当a e >时，()0V a '>，()V a 单调增加， 所以a e =时V 最小，最小体积为()2min V a e π=（19）（本题满分11分）求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.【考点】y"=f(x,y ′)型的可降阶高阶微分方程【难易度】★★★【详解】解析：令y p '=，则y p '''=，原方程化为2()p x p p '+=，两边同时除以p p '得，1x p p p +='将dp p dx'=带入上式 即为dx xp dp p-= 按一阶线性方程求导公式， 得 111ln ()()dpdpdpp C p p p x epedp C e pedp --+⎰⎰⎰=+=⎰⎰[]()p dp C p p C =+=+⎰带入初始条件得0C =，于是 2p x =由(1)1y '=知p =dydx=解得32123y x C =+，带入初始条件得113C =所以特解为322133y x =+.（20）（本题满分10分）已知函数()f u 具有二阶导数，且(0)1f '=，函数()y y x =由方程11y y xe--=所确定.设(ln sin )z f y x =-，求2002,x x dz d z dxdx ==.【考点】多元隐函数的求导法 【难易度】★★★【详解】解析：由方程11y y xe--= (0)1y ⇒=，求导得110(0)1y y y exe y y --'''--=⇒=．再求导得 .2)0(0)e (e211="⇒=''-'-"--y y x y y y y现由 (ln sin )z f y x =- ⇒.00)0(|d d )cos 1)(sin (ln d d 0=⨯'=⇒-'-'==f xz x y y x y f x z x 又 ),sin 11)(sin (ln )cos 1)(sin (ln d d 22222x y yy y x y f x y y x y f x z +"+'--'+-'-"=⇒ .1)21)(0(0)0(|d d 022=+-'+⨯"==f f xzx（21）（本题满分11分）设函数()f x ，()g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，()f b ＝()g b ，证明：存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ=【考点】零点定理、罗尔定理 【难易度】★★★★【详解】解析：命()()()x f x g x ϕ=-，由题设(),()f x g x 存在相等的最大值，设1(,)x a b ∈，2(,)x a b ∈使12[.][.]()max ()()max ()a b a b f x f x g x g x ===于是 111222()()()0,()()()0x f x g x x f x g x ϕϕ=-≥=-≤若1()0x ϕ=，则取1(,)x a b η=∈有()0ϕη=. 若2()0x ϕ=，则取2(,)x a b η=∈有()0ϕη=.若12()0,()0x x ϕϕ><，则由连续函数介值定理知，存在12(,)x x η∈使()0ϕη=.不论以上哪种情况，总存在(,),a b η∈使()0ϕη=。