第二章时间序列分析的基本概念
时间序列分析复习要点重点
一．导 论1. 计量经济学和时间序列分析的区别与联系2. 时间序列分析的概念:时间序列分析(T i m e s e r i e s a n a l y s i s ) 是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律性的统计方法，是统计学的一个分支。
3. 时间序列分析的研究对象：时间序列数据 4. 时间序列分析的基本思想：样本推断根据系统的有限长度的运行记录（样本数据），建立能够比较精确地反映时间序列中所包含的动态依存关系的数学模型，并借以对系统的未来发展进行预报（时间序列预测）。
二．时间序列分析基础 1、随机过程（1）含义：在数学上，随机过程被定义为一组随机变量。
（2）特征：① 从顺序角度来看：随机过程是随机变量的集合；随机变量是随时间产生的，在任意时刻t ，总有随机变量X t 与之相对应;事物发展没有必然变化规律。
② 从数学角度看：不可用时间t 的函数确定的描述。
③ 从试验角度来看：不可重复。
（3）重要的随机过程 ①白噪声过程②随机游走过程：x t = x t -1 + u t 如果u t 为白噪声过程，则称x t 为随机游走过程。
（4）随机过程的平稳性随机过程的统计特征不随时间的推移而发生变化。
严平稳：随机过程中随机变量的任意子集的联合分布函数与时间无关。
宽平稳：∞<=+2),(k k t t x x Cov σ∞<=2)(σt x Var∞<=μ)(t x E直观的看，平稳的数据可以看作是一条围绕其均值上下波动的曲线。
（5）随机过程与时间序列:随机过程的一次实现称为时间序列随机过程的实现： 由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，记为{},t Y t T ∈，简记为Y t 。
其中，每一个元素Y t 都是随机变量。
将每一个元素的样本点按序排列，称为随机过程的一个实现，即时间序列数据，亦即样本。
2、差分方程的展开式子差分方程：变量当期值定义为它的前期和一个当期的随机扰动因素的函数。
时间序列分析的基本概念
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相应旳，严平稳序列旳自有关函数记为：
k
k 0
2.平稳序列旳自协方差序列和自有关函数 列旳性质
(1) k k k k
(2) k 0 k 1
四、白噪声序列和独立同分布序列
1.白噪声（White noise）序列 定义：若时间序列{Xt}满足下列性质：
(1)EX t 0
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3.时间序列旳线性与延迟联合运算
yt=a0xt+a1xt-1+ … +apXt-p t=0,1,2…为时
间序列线性与延迟联合运算。
当ai=1/p，i=0,1,2, …时，{Yt}即为对序列
{Xt}旳移动平均序列。
4.时间序列旳非线性运算 非线性运算旳形式是多种多样旳：如 yt=xt2+axt，yt=xt-1/(1+xt-2)2等。
假如我们能拟定出时间序列旳概率分布， 我们就能够对时间序列构造模型，并描 述时间序列旳全部随机特征，但因为拟 定时间序列旳分布函数一般不可能，人 们愈加注意使用时间序列旳多种特征量 旳描述，如均值函数、协方差函数、自 有关函数、偏自有关函数等，这些特征 量往往能代表随机变量旳主要特征。
2.均值函数 一种时间序列{Xt，t=0, ±1, ±2 ……}旳
5.平稳线性序列 设{at}为正态白 噪声序列，则称序列：
xt
j at j
j
2 j
j
为线性平稳序列。
注：能够证明，{Xt}为一宽平稳序列。
七、偏自有关函数
偏自有关函数：指扣除Xt和Xt+k之间旳随机
变量Xt+1,Xt+2, …Xt+k-1等影响之后旳Xt和
时间序列分析的基本概念
时间序列分析的基本概念时间序列分析是一种重要的统计分析方法，用于研究时间序列数据的规律和趋势。
时间序列数据是按照时间顺序排列的一系列数据点，例如股票价格、气温、销售额等。
通过时间序列分析，可以揭示数据中的周期性、趋势性和随机性，从而帮助我们预测未来的发展趋势和制定决策。
本文将介绍时间序列分析的基本概念，包括时间序列数据的特点、时间序列分析的方法和应用。
一、时间序列数据的特点时间序列数据具有以下几个特点：1. 时间依赖性：时间序列数据中的各个数据点之间存在时间上的依赖关系，即当前时刻的数据受到过去时刻数据的影响。
2. 趋势性：时间序列数据通常会呈现出一定的趋势，可以是上升、下降或保持稳定。
3. 季节性：某些时间序列数据会呈现出周期性的波动，例如销售额在节假日前后会有明显的波动。
4. 随机性：除了趋势性和季节性之外，时间序列数据还包含一定程度的随机波动，这部分波动是不可预测的。
二、时间序列分析的方法时间序列分析主要包括以下几种方法：1. 描述性分析：通过绘制时间序列图、自相关图和偏自相关图等，对时间序列数据的特点进行描述和初步分析。
2. 平稳性检验：时间序列数据在进行分析之前需要具有平稳性，即均值和方差在时间上保持不变。
可以通过单位根检验等方法来检验时间序列数据的平稳性。
3. 分解模型：将时间序列数据分解为趋势、季节性和残差三个部分，以便更好地理解数据的特点。
4. 预测方法：利用时间序列数据的历史信息，通过建立合适的模型来预测未来的发展趋势。
常用的预测方法包括移动平均法、指数平滑法和ARIMA模型等。
5. 模型诊断：对建立的时间序列模型进行诊断，检验模型的拟合效果和预测准确性，确保模型的有效性。
三、时间序列分析的应用时间序列分析在各个领域都有广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 经济领域：用于预测经济指标的发展趋势，如GDP增长率、通货膨胀率等，帮助政府和企业制定经济政策和经营策略。
2. 金融领域：用于股票价格、汇率、利率等金融数据的预测和分析，帮助投资者做出投资决策。
第2章 平稳时间序列分析
zt
(c1
c2t
cd t d1)1t
cd
t
1 d
1
cptp
复根场合
zt
rt (c1eit
c2eit
) c3t3
c
t
pp
非齐次线性差分方程的解
非齐次线性差分方程的特解
使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解zt
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p h(t)
推导出
0
1 1 p
Green函数定义
设零均值平稳序列 {xt , t 0, 1, 2,...} 能够表示为
xt Gjt j t : WN (0, 2 ) j0
则称上式为平稳序列 {xt } 的传递形式，式中的加权系数 G j
称为Green函数，其中 G0 1 。
Green函数的含义
几个例题
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
几个例题
(5) yt 1.6yt1 0.9yt2 (6) yt 1.6yt1 1.1yt2
有关。
2.时间序列的协方差函数与自相关函数
协方差函数：
(t, s) E( Xt t ) X s s
(x t ) y s dFt,s (x, y) 其中，Ft,s (x, y) 为 ( X t , X s )的二维联合分布。
自相关函数：
(t, s) (t, s) / (t,t) (s, s)
特征根判别
AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单 位圆内
2-2第二章时间序列分析法
（1）简单平均法
例2：设某电网2001-2004年个季度的发电量如表2-5所示，试
用简易计算法列出发电量的一次线性趋势方程，再用简单平
均法计算出季节指数，并以次预测2005年该电网全年及各季
度的发电量。
表2-5
年次 季节
2001
2002
一 二 三 四 全年
(1) 1206030 1283687 1211133 1328247 5029097
n
4
b ty 3213072 160653.6
t2
20
y=a+bt=5459952+160653.6t
2005年t=5，代入公式，得到y=6263220 根据表2－5的调整后季节指数，2005年各季度 发电量为： 一季度：6263220×0.9666/4=1513507 二季度：6263220×1.0081/4=1578488 三季度：6263220×0.9768/4=1529478 四季度：6263220×1.0485/4=1641747
2、指数的分类 （1）个体指数：反映某一具体经济现象动态变动的相
对数
（2）综合指数：反映全部经济现象动态变动的相对数
（3）数量指标指数：它是表明经济活动结果数量 多少的指数。
（4）质量指标指数：它是表明经济工作质量好坏 的指数。
（5）定基指数：它是指各个指数都是以某一个固 定时期为基期而进行计算的一系列指数。
季别平均 季节指数
(6) 1319460 1375988 1333301 1431204 1364988
(7) 0.9666 1.0081 0.9768 1.0485 4.0000
调整后季 节指数 (8)
0.9666 1.0081 0.9768 1.0485 4.0000
时间序列分析
时间序列分析时间序列分析是一种重要的统计学方法，用于研究随时间变化的数据。
它可以帮助我们了解数据的趋势、周期性和季节性，预测未来的变化趋势，并做出相应的决策。
本文将介绍时间序列分析的基本概念、常见的方法和应用领域。
一、时间序列的基本概念时间序列是按时间先后顺序排列的一组观察数据。
它可以是连续的，例如每天的股票价格；也可以是离散的，例如每月的销售量。
时间序列的分析要求数据点之间存在一定的相关性和规律性。
二、时间序列的组成部分时间序列通常由三个主要组成部分构成：趋势、季节性和随机性。
趋势是时间序列在长期内呈现的整体变化趋势；季节性是时间序列在较短的时间内出现的重复周期性变化；随机性是时间序列中无法解释的随机波动。
三、时间序列分析的方法1. 描述性分析描述性分析是对时间序列数据进行可视化和概括的方法。
常用的方法包括绘制折线图、直方图和自相关图等，以帮助我们了解数据的分布和相关性。
2. 平稳性检验平稳性是时间序列分析的基本假设。
平稳序列的统计特性在时间上是不随时间变化的，包括均值、方差和自相关性等。
常见的平稳性检验方法有单位根检验和ADF检验。
3. 建立模型建立时间序列模型是对数据进行预测和分析的关键步骤。
常用的时间序列模型有ARIMA模型、AR模型和MA模型等。
通过对历史数据的拟合，我们可以得到模型的参数，从而进行未来值的预测。
4. 模型诊断与改进在建立模型之后，需要对其进行诊断和改进。
常见的诊断方法包括残差检验、模型稳定性检验和模型比较等。
根据诊断结果，我们可以对模型进行改进，提高预测的准确性。
四、时间序列分析的应用领域时间序列分析在许多领域都有广泛的应用，例如经济学、金融学、气象学和市场营销等。
在经济学中，时间序列分析可以用于预测经济增长趋势和通货膨胀率。
在金融学中，它可以帮助我们预测股票价格和利率走势。
在气象学中，时间序列分析可以用于预测天气变化和自然灾害。
在市场营销中，它可以帮助我们预测销售量和用户行为。
第二 时间序列分析的基本概念
特征统计量
均值
t EX t xdFt (x)
方差
DX t
E(Xt t )2
2
(x t ) dFt (x)
自协方差函数 (t, s) E( X t t )( X s s ) 自相关函数 (t, s) (t, s)
(t,t) (s, s)
由此可见，时间序列的自协方差函数是 随机变量间协方差推广差 时间序列自协方差函数具有对称性：
ˆ k 1,k 1
j 1 k
1 ˆkjˆ j
j 1
其中
ˆ11 ˆ1 ˆk 1, j ˆkj ˆ ˆ k 1,k 1 k ,k 1 j
j 1,2, k
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例如，根据上述递推公式，我们有：
ˆ11 ˆ1
ˆ22
ˆ 2 ˆ12 1 ˆ12
(1)s
0
ts ts
则称此序列为白噪声序列。 上一页 下一页 返回本首页
白噪声序列是一种特殊的宽平稳序列，也 是一种最简单的平稳序列，它在时间序 列分析中占有非常重要的地位。
2.独立同分布（iid）序列 定义：如果时间序列{Xt}中的随机变量Xt，
t=0, ±1, ±2 ……是相互独立的随机变 量，且Xt具有相同的分布（当Xt有一阶矩 时，往往还假定EXt=0）,则称{Xt}为独立 同分布序列。
一、两种不同的平稳性定义
注：由于在实际中严平稳序列的条件非常 难以满足，我们研究的通常是宽平稳序 列，在以后讨论中，若不作特别说明， 平稳序列即指宽平稳序列。
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二、时间序列的分布、均值和协方差函数 1.时间序列的概率分布 随机过程是一族随机变量，类似于随机变
量，可以定义随机过程的概率分布函数 和概率密度函数。它们都是两个变量t,x 的函数。
时间序列分析的理论与应用
时间序列分析的理论与应用时间序列分析是指对时间序列数据的一种分析方法，它是一种探究随时间变化而发生的现象的分析方法。
时间序列分析可以帮助人们对这些数据进行深入研究并找到内在规律性，进而进行预测和决策。
本文主要介绍时间序列分析的理论与应用。
一、时间序列分析的基本概念时间序列是具有一定时间顺序的一连串数据，通常是一定间隔的一系列数据，例如每日、每月、每年等等。
时间序列分析是指对时间序列数据进行统计分析、建模和预测的方法。
一般包括时间序列的描述性统计、时间序列的平稳性检验、时间序列的自回归模型、时间序列的移动平均模型、时间序列的ARMA模型、时间序列的ARIMA模型等。
二、时间序列分析的应用领域时间序列分析在经济学、金融学、工程学、自然科学等领域的应用非常广泛。
其中，最常见的应用场景是经济学领域的宏观经济预测和股票价格预测。
1、经济学在经济学中，时间序列分析可以预测经济学中的各种变量，如GDP、物价指数等。
时间序列分析还可以用来分析和预测销售数据、市场份额和客户需求等重要数据。
此外，时间序列分析也被广泛应用于宏观经济研究、金融预测和风险管理等方面。
2、金融学在金融学中，时间序列分析可以用来预测股票价格、商品价格和汇率等金融市场的变化。
时间序列分析也可以用来研究人类在市场中的行为和决策，包括市场价格的波动和交易量的变化等。
3、工程学在工程学中，时间序列分析可以用来分析和预测工业生产中的各种变量，如生产量、质量的变化等。
时间序列分析还可以应用于工业装备的维护和修理。
4、自然科学在自然科学中，时间序列分析可以用来预测气候变化和地震发生等自然现象。
时间序列分析可以在全球范围内追踪大气的变化，从而加强对环境变化的预测和管理。
三、时间序列分析的原理时间序列分析的统计方法涵盖了很多内容。
下面简单介绍几种常用的时间序列分析方法。
1、AR模型AR模型即自回归模型，是最简单的时间序列分析模型之一，它用时间序列的过去观测值来预测未来观测值。
时间序列分析的基本概念与方法
时间序列分析的基本概念与方法时间序列分析是一种常用的统计方法，用于研究时间上连续观测数据的模式和趋势。
它广泛应用于经济学、金融学、气象学、交通运输等众多领域。
本文将介绍时间序列分析的基本概念和常用方法，为读者提供初步了解和应用的指导。
一、基本概念时间序列是按一定时间间隔测量或观测的一组数据序列。
它的特点是数据点之间存在时间上的先后顺序，并且相对于统计的其他数据类型（如横截面数据）而言，时间序列数据还具有数据间存在相关性和趋势性的特征。
常见的时间序列分析概念包括：1. 趋势：时间序列在长期内的整体变化趋势，可以是增长、下降或平稳。
2. 季节性：时间序列在固定时间周期内的重复模式，通常是指一年内的周期性变化。
3. 循环性：时间序列在较长时间内的周期性变化，不以固定时间周期为基础。
4. 随机性：时间序列中无法通过趋势、季节性和循环性解释的随机波动成分。
二、方法介绍时间序列分析的方法主要包括描述性分析、平稳性检验、模型拟合和预测等。
1. 描述性分析描述性分析是对时间序列数据进行统计性描述的方法，常用的统计指标包括均值、方差、标准差、最大值、最小值等。
通过描述性分析，可以初步了解时间序列数据的分布特征和基本统计性质。
2. 平稳性检验平稳性是进行时间序列分析的重要假设，它要求时间序列在长期内的统计性质保持不变。
平稳性检验可以通过观察时间序列的图形、自相关函数和单位根检验等方法进行。
如果时间序列不满足平稳性要求，则需要进行差分处理或其他转换方法，使其达到平稳性条件。
3. 模型拟合时间序列分析中常用的模型包括自回归移动平均模型（ARIMA模型），指数平滑模型、季节性模型等。
模型拟合要求选择适当的模型，并利用最大似然估计等方法，对模型参数进行估计和拟合。
拟合后的模型可以用于描述时间序列的趋势、季节性和随机波动。
4. 预测时间序列预测是时间序列分析的重要应用之一，它利用历史数据的模式和规律，对未来一段时间内的数据进行预测。
统计学中的时间序列分析
统计学中的时间序列分析时间序列是指按照时间顺序排列的数据序列。
时间序列的特点在于数据的变动与时间相关，它是统计学中一个重要的研究对象。
在统计学中，时间序列分析是一种通过观察、建模和预测时间序列数据的方法。
它可以用来了解数据的趋势、季节性和周期性，并且帮助我们预测未来的发展趋势。
I. 时间序列分析的基本概念时间序列分析涉及以下几个基本概念：1. 时间序列图：通过绘制数据随时间变化的图形，我们可以直观地观察到数据的趋势、季节性和周期性。
2. 趋势分析：趋势是指数据长期上升或下降的变化趋势。
趋势分析可以通过拟合线性回归模型或使用移动平均法等方法进行。
3. 季节性分析：季节性是指数据在一年中周期性地波动。
它可以通过计算季节指数或使用周期性模型如ARIMA模型来分析。
4. 周期性分析：周期性是指数据在超过一年的时间范围内存在的长期周期性波动。
周期性分析可以通过傅里叶分析等方法来实现。
II. 时间序列分析的方法时间序列分析中有多种方法可以用来处理和分析数据。
1. 平均法：通过计算数据的平均值，我们可以了解数据的整体水平和趋势。
2. 移动平均法：移动平均法是一种通过计算一段时间内的平均值来观察趋势的方法。
它可以消除数据的短期波动，更好地展示趋势的变化。
3. 指数平滑法：指数平滑法通过对数据赋予不同的权重来估计未来的趋势。
它在预测短期趋势方面较为有效。
4. 自回归移动平均模型（ARIMA）：ARIMA模型是一种广泛应用于时间序列分析的方法。
它结合了自回归和移动平均两种模型，可以更准确地预测趋势、周期和季节性。
III. 时间序列分析的应用时间序列分析在各个领域都有广泛的应用，包括经济学、金融学、气象学等。
1. 经济学：时间序列分析可以用来预测经济指标如GDP、通货膨胀率等的走势，帮助决策者做出合理的经济政策。
2. 金融学：时间序列分析在股票市场、外汇市场和债券市场的预测与决策中起着重要作用，可以帮助投资者判断市场的趋势和波动。
时间序列分析的基本概念是什么如何进行时间序列的平稳性检验
时间序列分析的基本概念是什么如何进行时间序列的平稳性检验时间序列分析是一种应用广泛的统计分析方法，用于研究随时间变化的数据序列的规律性和特征。
时间序列数据是按照时间顺序排列的观测值序列，常见的包括股票价格、气温、销售额等。
时间序列分析的基本概念是对时间序列数据进行模型拟合和预测。
它的主要目的是揭示数据的内在规律和特征，为未来的预测和决策提供依据。
下面将介绍时间序列分析的基本概念和时间序列的平稳性检验。
一、时间序列分析的基本概念1. 趋势分析：指时间序列数据在长期内的增长或下降趋势。
趋势分析可以采用移动平均法和指数平滑法等方法进行预测和拟合。
2. 季节性分析：指时间序列数据在短期内的重复周期。
季节性分析可以使用季节指数法和季节自回归移动平均法等方法来对季节性进行分析和预测。
3. 循环分析：指时间序列数据在长期内的周期性波动。
循环分析可以利用时间序列的滞后项构建循环指标，并对周期性进行拟合和预测。
4. 不规则分量分析：指不能被趋势、季节性和循环等因素解释的随机变动。
不规则分量包含各种无法归类的随机因素，可以通过随机过程模型进行分析和预测。
二、时间序列的平稳性检验时间序列的平稳性是进行时间序列分析的基本要求，平稳性包括严平稳和弱平稳两个概念。
严平稳要求时间序列的联合概率分布不随时间的变化而改变，即均值和方差等参数在时间序列的不同阶段保持不变。
严平稳序列可以使用统计工具进行参数估计和假设检验。
弱平稳是指时间序列的均值和自相关性不随时间的变化而改变，但方差可能会随时间的变化而改变。
弱平稳序列可以通过差分进行处理，将非平稳序列转化为平稳序列。
进行时间序列的平稳性检验可以使用统计学方法，常用的方法包括ADF检验、单位根检验和KPSS检验等。
这些方法通过检验序列的单位根特征或自回归模型的稳定性来判断序列的平稳性。
ADF检验（Augmented Dickey-Fuller Test）是一种常用的平稳性检验方法，其原理是对序列进行单位根检验，并根据检验统计量与临界值的比较来判断序列的平稳性。
时间序列分析的基础知识
时间序列分析的基础知识时间序列分析是一种用于研究时间序列数据的统计方法。
时间序列数据是按照时间顺序排列的一系列观测值，例如股票价格、气温变化、销售额等。
通过对时间序列数据的分析，我们可以揭示数据的趋势、季节性、周期性以及随机性等特征，从而进行预测和决策。
一、时间序列的基本概念1. 时间序列：时间序列是按照时间顺序排列的一系列观测值。
时间序列可以是连续的，例如每天的股票价格；也可以是离散的，例如每月的销售额。
2. 趋势：趋势是时间序列数据长期变化的方向和幅度。
趋势可以是上升的、下降的或者平稳的。
3. 季节性：季节性是时间序列数据在一年内周期性重复出现的规律。
例如，冬季的销售额通常比夏季的销售额要高。
4. 周期性：周期性是时间序列数据在超过一年的时间范围内周期性重复出现的规律。
周期性可以是几年、几十年甚至几百年。
5. 随机性：随机性是时间序列数据中无法解释的不规律的波动。
随机性是由于各种不可预测的因素引起的，例如自然灾害、政治事件等。
二、时间序列分析的方法1. 描述性分析：描述性分析是对时间序列数据进行可视化和统计描述的过程。
通过绘制时间序列图、计算均值、方差等统计量，我们可以对数据的特征有一个直观的认识。
2. 平稳性检验：平稳性是时间序列分析的基本假设之一。
平稳时间序列的均值、方差和自相关函数不随时间变化。
我们可以通过绘制自相关图、偏自相关图以及进行单位根检验等方法来检验时间序列的平稳性。
3. 分解：分解是将时间序列数据分解为趋势、季节性、周期性和随机性四个部分的过程。
分解可以帮助我们更好地理解时间序列数据的组成部分，并进行更精确的预测。
4. 预测：预测是时间序列分析的重要应用之一。
通过建立合适的模型，我们可以利用历史数据对未来的趋势、季节性和周期性进行预测。
常用的预测方法包括移动平均法、指数平滑法和ARIMA模型等。
三、时间序列分析的应用时间序列分析在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 经济学：时间序列分析可以用于预测经济指标，例如GDP、通货膨胀率等。
第2章时间序列分析的基本概念
χ2拟合优度检验
比较麻烦
J-B统计量及相伴概率P
相伴概率 P >0.05，接受原假设，认为序列服从正态分布。
独立性检验
即为纯随机性检验
Bartlett定理：
如果一个时间序列是纯随机的，得到一个观察期数为n
的观察序列，那么该序列的延迟非零期的样本自相关系
数将近似服从均值为零，方差为序列观察期数倒数的正
LB统计量：Box和Ljung共同推导出
结论：
当统计量的相伴概率P >0.05时，接受原假设，认为序列 为纯随机序列。
离群点的检验与处理
离群点是指一个时间序列中，远离序列一般水平 的极端大值和极端小值，也称为奇异值或野值。
形成离群点的原因是多种多样的：例如由于数据 传输过程、采样及记录过程中发生信号失真或丢 失等而产生，又如研究现象本身由于受各种偶然 非正常的因素影响而形成离群点等等。
平稳过程
平稳过程：随机过程处于某种平稳状态，其主要 性质与变量之间的时间间隔有关，而与所考察的 起始点无关。 平稳过程的分类： 严平稳 宽平稳
6
严平稳 (strictly stationary)
严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为只有当过 程所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变化时，该 随机过程才能被认为平稳。
定义：有限维分布关于时间是平移不变的
设随机过程{X(t)，t∈T}对任意的t1,…,tn∈T和任意的h有 (X(t1 +h),X(t2 +h), …,X(tn +h) )和(X(t1),X(t2),…,X(tn))具有相同 的联合分布，记为
d
(X(t1 +h),X(t2 +h), …,X(tn +h) )=(X(t1),X(t2),…,X(tn)) 则称过程{X(t)，t∈T}是严平稳的。
时间序列分析技巧例题和知识点总结
时间序列分析技巧例题和知识点总结时间序列分析是一种用于研究数据随时间变化规律的重要方法，在众多领域都有着广泛的应用，如经济学、金融学、气象学、工程学等。
通过对时间序列数据的分析，我们可以预测未来的趋势、发现周期性模式、识别异常值等。
接下来，让我们通过一些例题来深入理解时间序列分析的技巧，并对相关知识点进行总结。
一、时间序列的基本概念时间序列是按照时间顺序排列的一组数据点。
它可以是等间隔的，比如每小时、每天、每月的观测值，也可以是不等间隔的。
时间序列数据通常具有趋势性、季节性、周期性和随机性等特征。
二、常见的时间序列模型1、自回归模型（AR）自回归模型假设当前值与过去若干个值存在线性关系。
例如，一阶自回归模型 AR(1)可以表示为：＄Y_t ＝＼phi_1 Y_{t-1} ＋＼epsilon_t$，其中$＼phi_1$是自回归系数，＄＼epsilon_t$是随机误差项。
2、移动平均模型（MA）移动平均模型则认为当前值是由过去若干个随机误差项的线性组合构成。
一阶移动平均模型 MA(1)表示为：＄Y_t ＝＼epsilon_t ＋＼theta_1 ＼epsilon_{t-1}＄。
3、自回归移动平均模型（ARMA）ARMA 模型是 AR 模型和 MA 模型的组合，即同时考虑了序列的自相关性和随机性。
例如，ARMA(1,1)模型为：＄Y_t ＝＼phi_1 Y_{t-1} ＋＼epsilon_t ＋＼theta_1 ＼epsilon_{t-1}＄。
4、自回归整合移动平均模型（ARIMA）对于非平稳的时间序列，需要先进行差分使其平稳，然后再应用ARMA 模型，这就是 ARIMA 模型。
三、时间序列分析的步骤1、数据可视化首先，绘制时间序列的折线图或柱状图，直观地观察数据的趋势、季节性和异常值。
2、平稳性检验平稳性是时间序列分析的重要前提。
常用的检验方法有单位根检验（如 ADF 检验），如果检验结果拒绝存在单位根，则序列是平稳的；否则，需要进行差分处理使其平稳。
时间序列分析的基本概念
x)
时间序列的一维分布函数。
一 随般机地变FXt1,，量Xt1 x1对X, x2t1于P…(X任t1…意x1X, Xmtt2m∈的x2) N联时，间合序t1分，列布的t2，二函维…数分…为布t函：m数∈。T，
FXt1,,Xtm x1,, xm P( X t1 x1,, X tm xm )
三、时间序列的特征统计量
1.均值函数
t EX t xdFXt (x)
t 即为时间序列{Xt}的均值函数。被{Xt}的一维分布族所决
定。当t取遍所有时刻时，我们就得到一个均值函数序列，它 反映的是时间序列{Xt}每时每刻的平均水平。
2.方差函数
DX t E( X t t )2
2
(x t ) dFt (x)
当t取遍所有时刻时，我们就得到一个均值函数序列DXt，它 反映序列值围绕其均值做随机波动时平均的波动程度。
3.自协方差函数
(t, s) E( X t t )( X s s )
(x t )( y s )dFXt,Xs (x, y)
时间序列的自协方差函数是随机变量间协方差的推广，自协 方差函数具有对称性，即：
第二章 时间序列分析 的基本概念
本章引入一些基本概念，如随机过程、 自相关和偏自相关函数。
随之讨论平稳时间序列的一些概念， 以及时间序列均值、方差、自相关函 数和偏自相关函数的估计，最后介绍 线性差分方差。
差分方程在线性时间序列的模型刻画 中起着重要作用。
Contests
第一节 随机过程 第二节 平稳时间序列 第三节 平稳时间序列的特征描述 第四节 线性差分方程
数
一、两种不同的平稳性定义
1、严平稳过程
设｛xt｝为一时间序列，m, τ为任意整数， FXt1 ,Xt2若有Xtm对：(x于1, x时2 ,间,tx的m )任意FXmt1个,Xt2值 tX1<tmt2(<x1…, x<2 ,tm，关。则称{Xt}为严平稳过程。
时间序列分析的基本概念
第二章 时间序列分析的基本概念本章将介绍时间序列分析的一些基本概念，其中关于平稳性、自协方差函数和样本自协方差函数的概念尤为重要。
由于时间序列是随机过程的特例，所以我们首先介绍随机过程的一些基础概念和基本理论，最后介绍一些差分方程理论和动态数据的预处理方法。
§2.1 随机过程在对某些随机现象的变化过程进行研究时，需要考虑无穷多个随机变量，必须用一簇随机变量才能刻画这种随机现象的全部统计特征，这样的随机变量族通常称为随机过程。
下面为几个常见的随机过程的例子：例2.1 (随机游动) 设12,,X X 是一列独立同分布的随机变量序列，令012n n S S X X X =+++则称随机变量序列{};0,1,n S n = 为随机游动。
其中0S 是与12,,X X 相互独立（但是不同分布）的随机变量，一般地，我们总是假定00S =。
如果()()1112n n P X P X ===-={}n S 就是一般概率论与数理统计教材中提到的简单随机游动。
例 2.2 (布朗运动) 英国植物学家布朗注意到漂浮在液面上的微小粒子不断进行无规则的运动，它是分子大量随机碰撞的结果。
这种运动后来称为布朗运动。
若记))(),((t Y t X 为粒子在平面坐标上的位置，则它是平面上的布朗运动。
例2.3 在通信工程中，电话交换台在时间段[0，t]内接到的呼唤次数是与t 有关的随机变量)(t X ，对于固定的t ，)(t X 是一个取非负整数的随机变量，则)},0[),({∞∈t t X 是随机过程。
下面介绍随机过程的定义。
随机试验所有可能结果组成的集合称为这个试验的样本空间，记为Ω，其中的元素ω称为样本点或基本事件，Ω的子集A 称为事件，样本空间Ω称为必然事件，空集Φ称为不可能事件，F 是Ω的某些子集组成的集合组，P 是),(F Ω上的概率。
定义2.1 随机过程是概率空间),,(P F Ω上的一族随机变量}),({T t t X ∈，其中t 是参数，它属于某个指标集T ，T 称为参数集。
数据挖掘的时间序列分析
数据挖掘的时间序列分析时间序列分析是数据挖掘领域中的一个重要分析方法。
它通过对一系列按时间顺序排列的数据进行分析，揭示出数据的内在规律、趋势和周期性。
本文将介绍时间序列分析的基本概念、方法和应用，并探讨其在数据挖掘中的重要性。
一、时间序列分析的基本概念时间序列是按时间先后顺序排列的一组数据，通常以等间隔的时间点为单位进行观测和记录。
时间序列分析的基本概念包括以下几个方面：1. 趋势（Trend）：指数据随时间的变化呈现的总体趋势，可以是递增趋势、递减趋势或周期性趋势。
2. 季节性（Seasonality）：指数据按一定时间周期（如季度、月份）重复出现的规律性变化。
3. 循环性（Cyclicity）：指数据在长期内出现的波动性变化，通常时间周期较长，如几年或几十年。
4. 随机性（Irregularity）：指数据中未能解释的不规则波动，通常由各种随机因素引起。
二、时间序列分析的方法时间序列分析主要包括描述性统计分析、平稳性检验、模型建立和预测等方法。
1. 描述性统计分析：通过绘制原始时间序列图、计算序列的均值、方差和自相关函数等方法，描述并初步分析数据的特征。
2. 平稳性检验：时间序列在建立模型之前需要检验其平稳性，常用方法有ADF检验和KPSS检验等。
3. 模型建立：根据时间序列的趋势、周期性和随机性特征，选择合适的模型进行建立，如ARIMA模型、季节性ARIMA模型和GARCH模型等。
4. 预测：基于建立的模型，利用历史数据进行预测，预测新的时间点或一段时间内的值，常用方法有滚动预测和动态模型更新等。
三、时间序列分析的应用时间序列分析在实际应用中具有广泛的应用场景。
以下是几个常见的应用领域：1. 股票市场预测：通过对股票市场的时间序列数据进行分析，可以揭示出市场的趋势变化、季节性周期和长期循环变化，辅助投资者进行股票交易决策。
2. 天气预测：通过对气象数据进行时间序列分析，可以预测未来一段时间内的气温、湿度等气象变量，为农业、交通等行业提供参考依据。
时间序列分析
时间序列分析时间序列分析是一种统计学方法，用于分析时间序列数据的模式、趋势和周期性。
它可以帮助我们了解随着时间推移，数据如何变化，并预测未来的发展趋势。
本文将介绍时间序列分析的基本概念、常用方法和实际应用。
一、时间序列分析的基本概念时间序列是按照时间顺序排列的一系列数据点。
它可以是连续的，例如每天的股票价格，也可以是离散的，例如每个月的销售量。
时间序列分析旨在通过观察数据中的模式和趋势，揭示数据背后的规律和关系。
二、时间序列分析的常用方法1. 描述统计法描述统计法用于计算数据的统计指标，如平均值、标准差和相关系数。
这些指标可以帮助我们了解数据的分布情况和相关性。
2. 组件分析法组件分析法将时间序列分解为趋势、季节和随机成分。
趋势表示长期的变化趋势，季节表示重复出现的周期性变化，随机成分表示无法通过趋势和季节解释的随机波动。
通过对组成部分的分析，可以更好地理解时间序列的内在规律。
3. 平稳性检验法平稳性是时间序列分析的基本假设之一。
平稳时间序列的统计特性不随时间变化而改变。
平稳性检验可以通过观察时间序列的趋势、自相关图和单位根检验等方法进行。
4. 预测方法时间序列分析的一个重要应用是预测未来的数值。
常用的预测方法包括移动平均法、指数平滑法和ARIMA模型等。
这些方法基于过去的数据，通过建立模型来预测未来的趋势和周期性。
三、时间序列分析的实际应用时间序列分析在各个领域都有广泛的应用。
在金融领域，它可以用于股票价格的预测和风险管理；在经济学领域，它可以用于 GDP 的预测和经济政策制定；在气象学领域，它可以用于天气预报和气候变化研究。
除了上述领域外，时间序列分析还用于交通流量预测、销售预测、生态学研究等。
通过对历史数据的分析，我们可以更好地理解和预测未来的发展趋势，为决策提供依据。
结论时间序列分析是一种强大的工具，可以帮助我们理解时间序列数据中的模式和趋势。
通过对数据的描述统计、组件分析和预测，我们可以揭示数据背后的规律，并用于实际问题的解决。
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（1）若一个序列为严平稳序列，且有有穷 的二阶矩，那么该序列也必为宽平稳序 列。
（2）若时间序列为正态序列（即它的任何 有限维分布都是正态分布），那么该序 列为严平稳序列和宽平稳序列是相互等 价的。
注：由于在实际中严平稳序列的条件非常 难以满足，我们研究的通常是宽平稳序 列，在以后讨论中，若不作特别说明， 平稳序列即指宽平稳序列。
平稳随机过程的一维概率密度函数与 时间无关。二维概率密度函数只与时间 间隔S有关，而与时间的起点和终点无关。
2.宽平稳过程：若时间序列有有穷的二阶 矩，且Xt满足如下两个条件： (1)t EXt c (2) (t, s) E(Xt c)(Xs c) (t s,0)
则称该时间序列为宽平稳过程。
此定义表明，宽平稳过程各随机变量的均值 为常数，且任意两个变量的协方差仅与时间
间隔(t-s)有关。 （宽平稳过程只涉及一阶和二阶矩）
3.严平稳过程和宽平稳过程的联系和区别
区别：
（1）严平稳的概率分布随时间的平移而不 变，宽平稳序列的均值和自协方差随时间 的平移而不变。
（2）一个严平稳序列，不一定是宽平稳序 列；一个宽平稳序列也不一定是严平稳序 列。
随机过程是一族随机变量，类似于随机变 量，可以定义随机过程的概率分布函数 和概率密度函数。它们都是两个变量t,x 的函数。
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如：时间序列的所有一维分布是： 若给定时刻ti，随机过程就是一维随机变量X（ti)。
事件x(ti)<=x的概率为 F (x,ti) P[x(ti) x]
《随机过程导论》周萌清
该定义蕴涵的四种情况：
1、当e和t都是变量时，x(t)是一族时间的函数，它 表示一个随机过程； 2、当e给定，t为变量时， x(t)是一个时间t的函数， 称它为样本函数，有时也称为一次实现。 3、当t给定，e为变量时， x(t)是一个随机变量。 4、当e、t均给定时， x(t) 是一个标量或者矢量。
如果我们能确定出时间序列的概率分布， 我们就可以对时间序列构造模型，并描 述时间序列的全部随机特征，但由于确 定时间序列的分布函数一般不可能，人 们更加注意使用时间序列的各种特征量 的描述，如均值函数、协方差函数、自 相关函数、偏自相关函数等，这些特征 量往往能代表随机变量的主要特征。
例1、设随机过程X（t）=At，A为均匀分布于[0，1]上 的随机变量。试问X（t）是否平稳？
例2、设随机过程Z（t）=Xcost+Ysint , t
其中X，Y为相互独立的随机变量，且分别以概率2/3、 1/3取值-1和2。试讨论随机过程Z（t）的平稳性。
二、时间序列的分布、均值和协方差函数 1.时间序列的概率分布
t T
第二节 平稳时间序列
一、两种不同的平稳性定义 二、时间序列的分布、均值和协方差函数 三、平稳序列的自协方差和自相关函数 四、白噪声序列和独立同分布序列 五、独立增量随机过程、二阶矩过程 六、线性平稳序列 七、偏自相关函数
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一、两种不同的平稳性定义
1.严平稳过程：若对于时间 t的任意n个值 t1<t2<…<tn，此序列中的随机变量 Xt1+s,Xt2+s, …,Xtn+s联合分布与整数s无关， 即有：
X(t)
t
当T ,,则随机过程可表示成 {X t , t }
当t {0,1,2, }时随机过程可写为 {X t ,t 0,1,2, }
《经济时间序列 》王耀东
此类随机过程又称随机序列（random sequence)或时间序列（time series)。对于一个连 续时间的随机过程，通过等间隔采样，也是一个 随机序列。
第一节 随机过程
一、随机过程的定义 二、随机过程与随机变量之间的关
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一、随机过程
1.引：事物的变化过程可分为两类：对于 每一个固定的时刻t，变化的结果，一类 是确定的，这个结果可用t的某个确定性 函数来描述；另一类结果是随机的，即 以某种可能性出现多个（有限多个或无 限多个）结果之一。
F-1(X-1)，F-2(X-2)，F0(X0)，F1(X1)，F2(X2) …… 其中Fi(Xi)表示Xi的分布函数。对其关于x求偏导，
即X（t）的一维概率密度函数f(x,ti).
时间序列的所有二维分布是： Fij(Xi,Xj)，i,j=0,±1, ±2, ±3 …… 其中Fij(Xi,Xj)是二元随机变量(Xi,Xj)的联合概率分布。 …… ……
Ft1,t2,…tn(Xt1,Xt2…,Xtn)=Ft1+s,t2+s…+tn+s(Xt1+s, Xt2+s, …,Xtn+s)
则称{Xt}为严平稳过程。有些参考书也称 为狭义平稳或强平稳过程。
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此定义表明，严平稳的概率分布与时 间的平移无关。
一般来说，若所研究的随机过程，前 后的环境和主要条件都不随时间变化，就 可以认为它是平稳随机过程。
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联系：
1、随机过程具有随机变量的特性，同时还具有普通 函数的特性。
2、随机变量是随机过程的特例。一元随机变量可视 为参数集为单元素集的随机过程。
3、当随机过程固定某一个时刻时，就得到一个随机 变量。
4、随机过程是N维随机向量、随机变量列的一般化，来自它是随机变量X(t)的集
我们所要讨论的时间序列分析，只
是对平稳序序列及其有关的随机序列进 行统计分析，而不是对所有的随机序列 进行统计分析。
二、随机过程与随机变量之间的关系
区别： 1、随机变量是定义在样本空间上的一个单值实函数， 随机过程是一族时间t的函数。 2、对应于一定随机试验和样本空间的随机变量与时 间t无关，而随机过程与时间密切相关。 3、随机变量描述事物在某一特定时点上的静态，随 机过程描述事物发展变化的动态。
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2.定义：
设E是随机试验，S是它的样本空间，如果对于每
一个e s ，我们总可以依某种规则确定一时
间t的函数
X (e,t),t T
与之对应（T是时间t的变化范围），于是，对于
所有的的e s 来说，就得到这族时间t的函
数为随机过程，而族中每一个函数为这个随机过 程的样本函数（或一次实现）。