2013年青岛大学考研真题877常微分方程

青岛大学2013年硕士研究生入学考试试题科目代码：877科目名称：常微分方程（共2页）请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，打在试卷上无效
一、填空题（28分）
1．所谓微分方程就是一个或几个联系着
之间关系的等式。

2．在微分方程中，必定含有未知函数的导数项，其中出现的就称为该微分方程的阶数。

3．对于n 阶方程0),...,,,,()(=′′′n y y y y x F ，如果它的解
),...,,,(21n c c c x y ϕ=含有
常数n c c c ,...,,21，则称这个解为方程的。

4．对于线性微分方程来说，其通解就包含了它的；对于非线性方程来
说其通解并不一定包含其。

二、根据下图建立相应的微分方程（15分）如图所示，在一根长度为l 的可略去
重量不计且不伸长的线上，拴着一
个质量为m 的小球，让它在过摆动
线固定点的铅锤平面上的垂线附近
摆动。

ϕ表示摆动线与垂线的夹角，并定义逆时针方向为正向，反之为
负向。

试写出小球的摆动方程。

三、回答下列各题（25分）
1．指出下列方程的阶数并判断是否为线性方程
（1）y x dx dy −=24，（2）03222=++xy dx
dy y dx y
d 2．什么是常微分方程的特解？何为常微分方程初值问题？3．写出齐次和非齐次线性微分方程组的一般形式；叙述叠加原理；若)(1x ϕ和)(2x ϕ是非齐次线性微分方程组的解，问2211ϕϕϕc c +=是否仍为该非齐次线性微分方程组的解？其中1c 和2c 是常数。

四、叙述初值问题解的存在唯一性定理（Picard 定理）（10）
五、利用变量分离法求解下列方程（20分）
1．x y x y dx dy tan +=2．3
1−++−=y x y x dx dy 六、判定下列方程是否是全微分方程，并求解。

（20分）
1．0
)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x 2．利用积分因子法求解方程)0( ,122
>++−=y y
x y x dx dy 七、求方程组（16分）
x x ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=′112014211的基本解矩阵八、求初值问题（16分）
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=′11)0(,cos 2sin 1234x t t x x 的解。