12上海海事大学大学物理期末考试试卷及答案

B 相距为 d，求 P 点的电势。
B
P
l
d
图解： dq
=
Q
dx
l
dU = dq 4πε0 x
∫d +l
U=
dq
=
Q
ln d + l
d 4πε0 x 4πε0l d
137 电荷 Q 均匀分布在长为 l 的细杆 AB 上， P 点位于 AB 的延长线上，且与 B 相距 A
为 d，求 P 点的电场强度。
l
图解： Ex
= − ∂U ∂x
=
(x2
ax + y2 )3/2
Ey
= − ∂U ∂y
=
(x2
ay + y2)3/2
2010年12月11日
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76 一半径 R 的圆盘，其上均匀带有面密度为 σ 的电荷 ，求:
(1)轴线上任一点的电势， 设该点与盘心的距离为 x ;
(2)从场强和电势的关系求该点的场强。
dq = λdl = λadθ
∫ ∫ U =
dU =
π 2
λ0 cosθdθ
−π 2
4πε 0
= λ0 2πε 0
416 有一半径为 a 的非均匀带电的半球面，电荷面密度为
Z
σ = σ0 cosθ，σ0 为恒量 。试求：球心处 O 点的电势。
θ
o
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图解：如图,在半球面上取一圆环，ds = 2π ⋅ R sinθ ⋅ Rdθ
q·
_________ 。 S 面 上 各 处 的 电 场 强 度 有 无 变 化 ？ _________。
Q·
图解：无变化
有变化
267 如图所示, 把单位正电荷从一对等量异号电荷的连线中
点, 沿任意路径移到无穷远处时,电场力作功为
_______。
+q
-q
图解：0
282 如图所示, 一带电量为 q 的试验电荷, 在电点荷 Q 的电 场中, 沿半径为 R 的圆周由 a 点移到 d 点电场力作功为 Q。 d ________。由 d 点移到无穷远处电场力作功为________。 a
半径为 a ，试求：轴线中部一点 P 处的电场强度。(已知电
荷线密度为 λ 的无限长直线的电场强度为 E = λ ) 2πε 0r
a
L
P·
图解：如图，顶视图，取宽为dl的窄条为对象，视为无限长
y
带电直线，电荷线密度为λ = σdl = σadθ
dE = σdθ 2πε 0
Ex = ∫ dEx = −∫ dE cosθ ∫ = − π σdθ cosθ
q2 4πε 0l22
E=
E12 + E22
=
1 4πε 0l12l22
q12l24 + q22l14
θ = arctg q1l22 q2l12
+q1·A
l1
C
E2
θ
l2
E1
E
15 求均匀带电圆环轴线上任一点 P 处的电场强度（圆 环半径为 R，带电量为 Q）
·B -q2
图解：在圆环上任取电荷元dq，则dE = 1 dq ， 4πε 0 R 2 + x 2
λ = cx，其中 c 为常数。试求距杆右端距离为 O
a 的 P 点电势。
l
P
x a
图解：已知一带电细杆，杆长为 l，其线电荷密度为
λ = cx，其中 c 为常数。试求距杆右端距离为 O
a 的 P 点电势。
l
P
x a
488 一锥顶角为 θ 的圆台，上下底面半径分别为 R1 和 R2，在它 的侧面上均匀带电，电荷面密度为 σ，求顶点 O 的电势。（以
静电场是有源场或静电场是保守场。
81 在真空中, 静电场环流定理的数学表式为_________________,它说明静电场 是 _______场.
图解：∫
v E
⋅
v dl
=
0
l
保守场
82 空间某一区域电势的分布为V = Ax2 + By 2 , 其中A, B为常数.,则场强分布为 Ex = _________, Ey = ___________.
图解：-2Ax
-2By
83 已知静电场中某点的电势为 −100v,试验电荷q0 = 3.0 ×10-8 C,则把试验电荷 从该点移动到无穷远处电场力作功 ___________ .
图解：-3.0×10-6J
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157 在点电荷 Q 旁作一高斯面 S，包围 Q，在 S 面外再引入 另一点电荷 q ，则通过 S 面的电通量有无变化？ S
强度为 E = λ )。
P·
2πε 0r
a
b
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图解：如图， 取宽为dx的窄条为研究对象，
视为无限长带电直线，电荷线密度为 λ dx a
由无限长带电直线电场公式，有
λ
dx
dE =
a
2πε 0 (a + b − x)
O
x dx
整个带电薄板的电场强度
λ
a
∫ ∫a
图解： 0 Q q 4π ε 0 R
286 如图所示，在均匀电场 E 中，有一半径为 R 的半球 面 S1 半球面的对称轴与 E 平行，则通过 S1 面的 电通量为______，通过 S2 面的电通量为________。 通 过 由 S1 、、 S2 面 构 成 的 封 闭 曲 面 的 电 通 量 为 _________。
E = dE =
dx a
= λ ln a + b
0 2πε 0 (a + b − x) 2πε 0a b
P ·dE
X
b
415 有一半径为 a 的非均匀带电的半圆环，电荷线密度
y
为 λ =λ0 cosθ，λ0 为恒量 。试求：圆心处 O 点的
电势。 a
θ
O
x
图解：在半圆上取电荷元dq，
dU = dq ， 4πε 0a
12真空中的静电场
一 填充题
72 如图所示的电场分布，则 A 点的电势比 B 点的电势
______（填高、低、相等）
A。
。B
v E
图解：高
80 在真空中,静电场高斯定理的数学表式为_________________,它说明静电场 是 _______ 场.
∫∫ 图解：
vv E ⋅ dS =
1
ΣQ
S
ε0
R
α αO
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图解：如图，在圆弧上取电荷元 dq
dq = λdl = q Rdθ = q dθ
R2α
2α
dE = 1 dq 4πε 0 R 2
由对称性，E y = 0
E
= Ex
= ∫ dEx
= ∫ dE cosθ
=
∫
1 4πε
0
dq R2
cos θ
∫＝ α −α
a
A
B
a
·
a
O
C
D
图解：两段直线的电势为
V1
=
2
λ 4πε 0
ln
2
O 点电势V = λ (2 ln 2 + π ) 4πε 0
半圆的电势为
V2
= λ π， 4πε 0
60 已知某电场在 x-y 平面上的电势分布 为 U（x,y）=a ( x2+y2)-1/2，其中 a 为常数，求任一点电场强度的 Ex 和 Ey 的分量。
(2)E
=
Ex
= − ∂U ∂x
=σ 2ε 0(来自 −x) R2 + x2
293 在半径为 R1、电荷体密度为ρ的均匀带电球体中挖去一半 径为 R2, 的球形空腔, 空腔的中心为 O’ , 球心与空腔的 中心的距离 OO’为 a, 求空腔内任一点的电场强度 E。
无穷远处为电势零点）
O
θ
R1
σ
R2
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图解：:以顶点 O 作坐标原点,圆锥轴线为 X 轴向下为正. 在任意位置 x 处取高度为 d x 的小圆环, 其面积为
dS = 2πr dx = 2π tanθ xdx
cosθ
cosθ
其上电量为
dq = σdS = 2πσ tgθ xdx cosθ
(0 ≤ r ≤ R )
E
=
λ 2πε r
(R≤r ≤∞)
394 电荷以相同的面密度 σ 分布在半径分别为 R1 =10 cm 和 R2 = 20 cm 两个同 心球面上。设无限远处电势为零，球心处的电势为 V0 = 300 V。 （1）求电荷面密度 σ；（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上的电荷 面密度 σ’应为多少？（ εo = 8.85×10-12 C2N-1m-2）
R
o
P
x
图解：(1)在圆盘上取半径为 r 宽为 dr 的圆环，圆环的电势
dU =
dq
= σ 2πrdr = σrdr
4πε 0 x 2 + r 2 4πε 0 x2 + r 2 2ε 0 x 2 + r 2
R o
∫ ∫R
U = dU =
σrdr
= σ ( R2 + x2 − x)
0 2ε 0 x 2 + r 2 2ε 0
由对称性知，∫ dE⊥ = 0
∫ ∫ ∴ E = Ex =
dEx =