矩阵相似的条件

于是
( λ E − A) Q ( λ ) = Q0λ m + ( Q1 − AQ0 ) λ m −1 + L
+ ( Qk − AQk −1 ) λ m − k + L + ( Qm −1 − AQm − 2 ) λ − AQm −1
要使②式成立， 要使②式成立，只需取
§8.4 矩阵相似的条件
Q0 = D0 Q1 − AQ0 = D1 LLLLLL 即 Qk − AQk −1 = Dk LLLLLLL Qm −1 − AQm − 2 = Dm −1 − AQm −1 + U 0 = Dm
§8.4 矩阵相似的条件
注意
1. 矩阵 的特征矩阵 λ E − A 的不变因子也称为 矩阵A的特征矩阵 矩阵A的不变因子 矩阵 的不变因子. 的不变因子 推论说明，矩阵的不变因子是相似不变量 推论说明，矩阵的不变因子是相似不变量. 因此， 因此，可把一个线性变换的任一矩阵的不变因子 定义为此线性变换的不变因子. 定义为此线性变换的不变因子
第八章 λ─矩阵 λ─矩阵
§1 λ－矩阵 λ－ §2 λ－矩阵在 λ－ 初等变换下的 标准形 §3 不变因子 §4 矩阵相似的条件 §5 初等因子 §6 若当(Jordan)标准形 若当(Jordan)标准形 的理论推导
§8.4 矩阵相似的条件
引理1 引理1
设P为数域 A, B ∈ P 为数域
n×n
a 0 0 a 0 0 a 1 0 A = 0 a 0, B = 0 a 1, C = 0 a 1 0 0 a 0 0 a 0 0 a
证：λ E − A 的不变因子是
d1 = λ − a , d 2 = λ − a , d 3 = λ − a
即可. 即可 同理可证③ 同理可证③.
Q0 = D0 Q1 = D1 + AQ0 LLLLLL Qk = Dk + AQk −1 LLLLLLL Qm −1 = Dm −1 + AQm − 2 U 0 = Dm + AQm −1
§8.4 矩阵相似的条件
定理7 定理7
U 由引理2，对于 ， 由引理 ，对于A， (λ ), V (λ )
n×n 存在 λ －矩阵 Q(λ ), R(λ )及 U 0 ,V0 ∈ P ，使
④
§8.4 矩阵相似的条件
U ( λ ) = ( λ E − A) Q ( λ ) + U 0 V ( λ ) = R ( λ ) ( λ E − A ) + V0
§8.4 矩阵相似的条件
比较两端， 比较两端，得
T = U ( λ ) − ( λ E − B ) R ( λ ) ∈ P n×n
−1
⑦ ⑧
T ( λ E − A ) = ( λ E − B )V0
下证T可逆 下证 可逆. 可逆 由⑦有， U ( λ ) T = E − U ( λ ) ( λ E − B ) R ( λ ) . 即 E = U ( λ )T + U ( λ ) ( λ E − B ) R ( λ )
P0 , Q0 ∈ P n×n ， , 若有
使 λ E − A = P0 ( λ E − B ) Q0 相似. 则A与B相似 与 相似
①
§8.4 矩阵相似的条件
证：由 P0 ( λ E − B ) Q0 = λ P0 EQ0 − P0 BQ0
= λ P0Q0 − P0 BQ0 = λ E − A
得 P0Q0 = E , P0 BQ0 = A
§8.4 矩阵相似的条件
2. 对 ∀A ∈ P n×n , 有秩 (λ E − A) = n . 从而， 有 个不变因子 个不变因子， 从而，A有n个不变因子，这n个不变因子的乘积 个 等于 λ E − A , 即，∏ d i (λ ) = λ E − A .
i =1 n
§8.4 矩阵相似的条件
证明：下列三个矩阵彼此都不相似. 例1 证明：下列三个矩阵彼此都不相似
λ E − B 的不变因子是
d1 = 1, d 2 = λ − a , d 3 = ( λ − a )
§8.4 矩阵相似的条件
2
λ E − C 的不变因子是
d1 = 1, d 2 = 1, d 3 = ( λ − a )
3
的不变因子各不相同. 故 A, B , C 的不变因子各不相同
∴ A, B , C 彼此不相似 彼此不相似.
§8.4 矩阵相似的条件
比较两端， 比较两端，得
(
)
Q ( λ ) + V ( λ ) −1 R ( λ ) = 0 ( λ E − A)
§8.4 矩阵相似的条件
∴ U 0T = E .
可逆. 故T可逆 可逆
λ E − A = T −1 ( λ E − B )V0 . 于是
由引理1， 与 相似 相似. 由引理 ，A与B相似
§8.4 矩阵相似的条件
推论
A, B ∈ P n×n , 则 A, B 相似 设
⇔ 特征矩阵 λ E − A 与λ E − B 有相同的不变因子 有相同的不变因子.
证: A, B 相似
⇔ λ E − A 与 λ E − B 等价 等价. ⇔ λ E − A 与 λ E − B 有相同的不变因子 有相同的不变因子.
P0 = Q0 −1 , 即 A = Q0 −1 BQ0 .
相似. ∴ A与B相似 与 相似
§8.4 矩阵相似的条件
引理2 引理2
对任意 A ∈ P
n×n
及任意 λ-矩阵 U ( λ ) , V ( λ ) , 矩阵
Q ( λ ) , R ( λ ) 及 U 0 , V0 ∈ P n×n , 一定存在 λ -矩阵 矩阵
n×n
, 且 D0 ≠ 0.
i) 若 m = 0, 则令 Q ( λ ) = 0, U 0 = D0 . ii）若 m > 0, 设 ）
Q(λ ) = Q0λ m −1 + Q1λ m − 2 + L + Qm − 2λ + Qm −1 ,
Qi ∈ P n×n 为待定矩阵 为待定矩阵. 这里
§8.4 矩阵相似的条件
设 A, B ∈ P
n×n
，则A与B相似 与 相似
⇔ 特征矩阵 λ E − A 与 λ E − B 等价 等价.
§8.4 矩阵相似的条件
证：" ⇒ " 相似， 若A与B相似，则存在可逆矩阵 ， 与 相似 则存在可逆矩阵T， 使 A = T −1 BT . 于是
λ E − A = λ E − T −1 BT = T −1 ( λ E − B ) T
由④，有
⑤ ⑥
U (λ )
−1
( λ E − A ) = ( λ E − B )V ( λ )
= ( λ E − B ) R ( λ ) ( λ E − A ) + V0
即，
U ( λ ) −1 − ( λ E − B ) R ( λ ) ( λ E − A ) = ( λ E − B )V 0
§8.4 矩阵相似的条件
= U ( λ ) T + ( λ E − A )V ( λ ) R ( λ )
−1
= ( λ E − A ) Q ( λ ) + U 0 T + ( λ E − A )V ( λ ) R ( λ )
−1
= U 0T + (λE − A) Q(λ )T + V (λ ) −1 R(λ )
由定理6之推论， 等价. 由定理 之推论，得 λ E − A 与 λ E − B 等价 之推论
§8Байду номын сангаас4 矩阵相似的条件
"⇐"
等价， 若λ E − A 与 λ E − B 等价， 则存在可逆 λ －矩阵 U (λ ), V (λ )，使
λ E − A = U (λ )(λ E − B )V (λ ).
使 U ( λ ) = ( λ E − A) Q ( λ ) + U 0
② ③
V ( λ ) = R ( λ ) ( λ E − A ) + V0
§8.4 矩阵相似的条件
U ( λ ) = D0λ m + D1λ m −1 + L + Dm −1λ + Dm , 证： 设
这里 D0 , D1 ,L , Dm ∈ P