模糊数学

一． 叙述模糊集合的定义，并举例说明。 设U 是论域，称应映射

()。

，

，]1,0[]10[:∈→x x U A A μμ

确定了U 上的一个模糊子集A 。映射A μ 称为A 的隶属函数，()x A μ 称为x 对

A 的隶属程度。人们常将模糊集A 的隶属函数()x A μ 的图形画成如图 1-2 所示的曲线形状。当A μ 的值域为{}10， 时，模糊子集A 就变成了经典子集，而A μ 就是它的特征函数。可见，经典子集是模糊自己的特殊情形，而模糊子集则是经

典子集概念的一般化。

为简便起见，以下用()x A 来代替()x A μ 。模糊子集也简称为模糊集，隶属程度简称为隶属度。

表示论域U 上的一个模糊子集，原则上只需将每个元素U x ∈赋予该元素对模糊子集A 的隶属度 ，然后将他们用一定的形式构造在一起即可。模糊自己的表示一般有三种形式：扎德表示法、序偶表示法、向量表示法。

扎德表示法：设有限论域 {}n x x x U ,,,21 =，其上的任一模糊集 可以表示为

()()()n

n x x A x x A x x A A +++=

2211

这里“+”不表示求和，只是一种记号，分式()i

i x x A 也不表示分号，只表示i x 对

模糊集A 的隶属度

序偶表示法：()()()()()(){};,,,,,,2211n n x A x x A x x A x A = 向量表示法：()()()()。n x A x A x A A ,,21= 设

()()()()()(){}kg x kg x kg x kg x kg x kg x U 700,600,500,400,300,200654321=

为六个地区的水稻亩产量，=A “高产”为U 上的一个模糊集，如果

()()()()()()。1;8.0;5.0;

4.0;2.0;0665544332211======x A x x A x x A x x A x x A x x A x 则模糊集A 可表示为:

6

543265432118.05.04.02.018.05.04.02.00x x x x x x x x x x x A ++++=+++++=

或者A 也可表示为:

()18.05.05.02.00，，，，，=A

二，模糊聚类的一般步骤

模糊聚类的一般步骤如下 第一步，构造数据矩阵。

设{}n x x x U ,,,21 =为被分类的对象，每个对象又有 歌指标表示其性状，即

{}(),,,2,1,,,21n i x x x x im i i i ==则有数据矩阵

⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛nm n n m m x x x x x x x x x 212222111211 第二步，数据标准化。

在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲。为了使有不同量纲的量也能进行比较，通常需要将数据做适当的变换，根据模糊矩阵的要求，需要将数据压缩到区间[]1,0上。通常需要做如下变换： （1） 标准差变换：

(),,,2,1;,,2,1'm k n i s x

x x k

ik ik ==-=

其中

∑==n

i ik x n x 1

1（样本均值）

()∑=-=n

i k ik k x x n s 1

21 （样本标准差） 经过变换后，每个变量的均值为 ，标准差为 ，且消除了量纲的影响。但是这

样得到的 还不一定在区间 上。 （2） 极差变换

{}

{}

{}

(),,,2,1'

'min

max

min 11'

1'''m k ik

ik x x x x x n

i n

i ik

n

i ik ik =--=

≤≤≤≤≤≤

显然此时10'

'≤≤ik

x 第三步，建林模糊相似矩阵。

首先确定对象i x 与j x 之间的相似程度ij r ，在建立模糊相似矩阵()n m ij r R ⨯= 。确立 的常用方法有： （1） 数量积法

⎪⎩

⎪⎨⎧

∑==≠⋅=m k jk ik r j i x x M j

i ij 1,1,1

其中⎪⎭

⎫

⎝⎛∙=∑=≠m k jk ik j i x x M 1max 。显然10≤≤ij r ，若ij r 中出现负值，则采用变换

2

1'+=

ij ij r r 将其压缩在区间[]1,0 上。

（2） 夹角余弦法：

∑∑∑===∙

∙=

m

k jk

m

k ik

m

k jk

ik

ij x

x

x x

r 1

21

21

（3） 相关系数法

()()

∑∑∑===-∙

--∙-=

m

k j jk

m

k i ik

j

jk m

k i ik

ij x x

x x

x x x x

r 1

2

1

2

1

其中 ∑∑=====m

k jk j m k ik i n j i x m x x m x 1

1,,2,1.,1,1。

（4） 最大最小法

()()

∑∑==∨∧=

m

k jk ik

m

k jk ik

ij x x

x x r 11

（5） 距离法

直接用距离时，总是令()j i ij x x cd r ,1-=，其中 为适当选取的参数，使得

10≤≤ij r ， ()j i x x d , 是i x 与j x 间的距离。常用的距离有

（1） 海明距离

();,1∑=-=m

k jk ik j i x x x x d