位场处理与解释技术位场转换及处理

3.1.1 基本原理
在观测场对应的多个场源中，选择一组最简单的场源，例如按一定位置分布或 不固定位置的点荷、线荷、磁偶极子、偶极线等，用最优化方法确定它们的质量或 磁量，使它们产生在观测面上的场值与实测场值相吻合，利用这组等效源就能很方 便地作各种位场变换，即是说观测值的各种互换值可以等价地认为是等效源产生的 各种变换值。 曲化平、向上、向下延拓，异常不同分量之间的换，求变换磁化方向的磁异常（包 括化到磁极），以及垂向一次、二次导数等等，均可以用等效源正演计算来求得。
对于点磁荷：
叠加求和：
按照等效源的定义有：
目标函数：
从而归结为求解多元函数的极值问题，可用第二章所述的最优化方法求解。需 要注意的是，当等效源位置固定时，Zmk为自变量m1，m2，…, mn。的线性函 数，可用直接解线性方程组的方法求解，但是我们发现，此线性方程组的系数 矩阵CTC的条件不好．易于奇异，所以我们采用以下最优化方法解此方程：
用最速下降法求取的等效源各分量之间相差较小，且有一定的规律，作位
场转换的效果通常较好，但计算比较费时间； 用阻尼最小二乘法术取的等效源各分量之间相差较大，作位场转换的效果， 特别是向下解析延拓的效果较差，但计算较快。
3.1.3 利用等效源进行各种位场转换
如果已求得了等效源，将它当作等效的场源，那么对于观测值的各种位场转 换值，在一定空间范围和一定误差范围内可以等价地认为与等效源所产生的 相应场值相同，因而利用等效源作一系列的正演计算即可得到各种转换值， 下面举几个例子来说明。 （1）向上、向下解析延拓及曲化平 不管是解析延拓还是曲化平实质上都是求观测面以上或以下某一位置上的 场值，当利用观测值求出等效源以后，要求空间任意一点的场值，可以利 用式
位场转换及处理
主要是指空间换算，例如向上．向下解析延拓；地形改正；不同分量 之间的换算，如磁异常的垂直分量化为水平分晕；不同磁化方向之间的 换算，如化到磁极；以及各阶导数换算、局部异常和区域异常的划分、 滤波等等； 位场转换和处理的目的可以归纳为以下几方面： 将复杂异常化为简单异常，以满足某些解释方面的需要。 将实测异常分解及变换，从而可更方便地利用信息，为解释提供更多 的手段，提高解释的效果。 突出异常的有用信息，压制干扰，区分异常的性质，及提供产状等。
于是：
采样梯形积分公式
极小条件：
3.2.3 有关技术方法
1、影响计算精度的主要因素
(1)在边界条件(3.2.1)和(3.2.2)中，x＝0，x=Lx，y=0， y=Ly定义了一组直立边界面，而对于某一高度z=z0而言， 边界面上的位场值为零的假设就不成立了，因为异常为零 的边界，随着高度的增加，要向外扩展，应为 x=αz+a1 ,x=βz+a2, y= αz+b1 ,y=βz+b2的斜面为位或场的 零边界，如图3.10所示。这样一来，使拉氏方程的解十分 复杂和困难，即使求得了一些数字解，也将会有较大的误 差，而且不同场源的异常，其零边界随高度向外扩展的规 律也不相同，α，β不能淮确地确定，只能近似地取得。而 取直立边界使问题变得十分简单，当取Lx、Ly比实际边界 稍大时，近似的程度也是可行的。 （2）测区场值零边界的确定，关键是区域场的消除 （3）所得拉氏方程基本级数解的系数的近似程度。随着离实测线和面的距离增加， 其近似程度将降低，离得越远，降低愈多。
（2） 磁异常不同分量之间的换算
水平分量的系数表达式：
（3） 求转换磁化方向后的场值
（4） 求观测值的垂向一次、二次导数
垂向一次导数
垂向二次导数
3.1.4 等效源法的其他应用
（1） 复杂情况下的化极效果
在小比例尺大范围的化磁极资料处理中，会遇到如下的情况，即在一个大范 围内，不同位置的地质体的磁化方向不同。这种情况对于常用的化磁极的方法 〔包括频率域的化极方法)来说是难以实现的。考虑到等效源法各自等效源之 间具有一定的独立性，模拟变磁化方向比较容易，于是用等效源理论模型进行 了变磁化方向的化极计算，并取得了满意的结果 图3. 5示出一f变磁化方向化极的效果。图3.5 (a)中为三个不同磁化方向的板 状体(磁倾角分别为30,45,60)所产生的磁异常。这里排列了两层等效源，如图 中“·”所示，让它们的磁倾角在三个板状体附近接近于真实倾角，通过拟合山 曲线所得的等效源再进行化极计算得到如图3.5 (b}所示的虚线。图中实线为 这三个板状体垂直磁化理论曲线。两者对比可见，除极值部分有较小差异外， 曲线基本吻合，最大相对误差为4. 2%，均方差为3. 32nT
1、最速下降法
迭代格式： 最速下降方向：
最佳步长：
2、阻尼最小二乘法
做法类同于第二章所述，设初值为 为增量，求解式(3.1.9)得 ，用 作为新的初值，继续求解新的 ，迭代下去，直到满足精度要求为止。从式(3.1.2) 可知，Zm为m的线性函数，因而C矩阵(即Zm对m的一阶偏导数矩阵)为常数矩阵， 所以CTC在整个迭代过程小是不变的，它的各元素仅与等效源的位置及磁化方向和 测点的位置有关，而与变量m无关．这是一个突出优点，可以减少计算丁作量。
位场转换和处理的方法很多，总的可分为空间域和频率域 两大类。
3.1 等效源法
在场论中，场和场源具有唯一的对应关系，但在实际中，观测到的场 只是整个场的一部分，再加上观测误差和随机干扰，使其对观测值的解释 不可避免地出现多解性，即是说有多种可能的场源分布与观测场在一定的 误差范围内对应。 与观测场对应的场源，如果不是真正的场源，我们称它为等效源。
但这里所说的精度愈高，是仅只对用以确定级数系数的实测数据所在的邻近 区域而言的。对比较远的区域，其精度则反而要降低。这是由于级数项数取 得愈高，对实测数据的模拟就愈细，因而函数也愈适应于实测数据区域的近 旁。其远处的适应能力，就反而要有所降低了。这在所述方法系统中是经过 多次试算证明了的。在自然界，这样一种规律是有普遍意义的，对局部的过 分适应，往往要以对于全局适应性的降低为代价的。
等效源法的特点：
1. 把各种繁杂的位场转换，变成一个简单的正演计算处理，计算过程简单， 便于统一处理。 2. 不丢掉边部测点，条件好的情况下，可适当外推； 3. 对于地形起伏较大的观测面，作位场转换的效果仍较好； 4. 由于等效源产生的场仅在观测面内与真实场源产生的场在一定误差范围 内吻合，因而用等效源进行位场的转换，特别是向下延拓时就必然只限 于一定范围之内，而不是整个空间，这就是该法的局限；
2 实际达到的精度 上述方法系统的误差来源，其中一部分，如计算数学上的近似性，是 任何数据处理方法都有的，另一部分则是所述方法系统所特有的。但这 绝不是说该法的计算精度差。它的精度是较高的，其任何一种功能均能 完全满足数据处理的要求。只要给出足够的计算量，一定可以得到所需 的计算精度。所得的基本解是一个级数，在不超过实测点数目的范围内， 显然项数愈高，计算精度也愈高。取级数项数超过测点数是不行的，因 为系数要实测数据确定。由确定系数的方程组可知，当测点数少于项数 即系数的数目时，会发生方程式少于未知数的情况，其解是不能唯一确 定的。实际情况是:为了满足数据处理的要求，所取级数项数可以比测点 数小得很多。对一般变化比较平缓的异常数据，级数项数和测点数的比 有1=10左右就可保证边部亦有相当高的计算精度。对于梯度大，如强地 形的磁测资料等情况，用1:3左右也够了。再提高计算精度的潜力还相当 大，这是问题的一个方面:级数项数取得愈高，精度也愈高。
（2） 等效源反演效果
3．2 直接解拉氏方程位场转换
采用边界条件：
得到这组新边界条件下的解析解：
3.2.1 以曲面为边界的拉氏方程解
重磁场的位和各分量在没有场源的空间，是满足拉普拉斯方程的，一切问题总是 可以归纳为按具体的边界条件求拉氏方程的解。以往考虑该问题的范围是整个上半 空间，但实际测量大多是在地面上进行的，而地面常是起伏的曲面，而且异常值仅 存在于局部空间，因此考虑整个上半空间没有必要，而且往往会引起具体异常边部 的各种计算减低精度，所以改用以下的边界条件更为合适。
等效源方法可以下两步进行：
1.
选择等效源模型，并用最优化方法求取等效源的质量或磁荷量； 用等效源来计算各种位场转换值。
2.
3.1.2 等效源的求取
以二维剖面垂直磁异常转换为例： 如图1所示，选择等效源模型为磁偶极子，磁化 方向的倾角为A，那么第i个等效源产生在第k个 观测点上的垂直磁场为：
记：
则：
3.3 位场转换数值积分法
从重磁勘探中所介绍的积分插值法可知，我们可以将无限平面的积分，变为 有限个环带的积分，最后变成在各圆环上的场值平均值，乘以某一系数，叠加求 和来得到各种延拓值。要求圆环上的场值平均值，只能在圆环上取一定数量的点 的场值来求平均，而这些点必须能代表场的特点，所以它不可能只取落在圆环上 的测点，而要大量的取一些非测点的点，这些点的场值只能靠插值的方法获得。 从而可以看出积分插值法的计算方法是反复地使用插值法，由于插值的误差可能 给结果带来较大的影响，对此必然会想到是否可以直接采用测点的场值，用方形 面积来代替无限平面的积分，因而相应的计算格式也就会发生变化，这就是本节 要介绍的内容。 除此以外，积分插值法的基本原理是，对磁场沿垂直方向的变化规律用一个 四次多项式来描述，正因为这样，使场源处的奇点性不能被反映出来，那么如果 用一个有理分式来描述，不是比多项式更为合理吗?在场源处，有理分式可以反映 出奇点的特性，并能利用这些奇点为我们提供场源的某些信息。
3．3．1 平面向上延拓
应用梯形积分公式得：
3．3．2 用有理分式计算向下延拓
方程（3.2.7）在边界条件（3.2.1）的解：
其中：
方程（3.2.8）在边界条件（3.2.2）的解：
方程（3.2.9）在边界条件（3.2.3）的解：源自 （1） 当测量在一个平面内进行时
式中：
于是：
采样梯形积分公式
（2） 测点分布于曲面上
极小条件：