采样系统的典型结构图(闭环脉冲传递函数)

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误差采样控制的闭环采样系统
e(t)
e*(t)
0
t
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r(t)
C(t) e(t) e*(t) Gh(s) Gp(s) S – b(t) 反馈元件函数 H(s)
S:理想采样开关，其采样瞬时的脉冲幅值等于 理想采样开关， 理想采样开关 的幅值， 相应采样瞬时误差信号 e(t) 的幅值，且采样持 →0 续时间
第六章
离散系统
黄勤珍
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※ 6 — 1 线性离散系统
一、信号采样和复现
1、在采样控制系统中，把连续信号转变为 脉冲系列的过程 — 采样过程（采样）
实现采样的装置 — 采样器（开关）T 表示采 样周期(S) ，fs = 1/T （采样频率） (1/S) , 表示采样角频率。
2π ws = 2πfs = T
试判别该系统稳定性。
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解：D(1) = 8 > 0 , D(-1) < 0 , ( n = 3 ) 朱利陈列： 行数 z0 1 - 39 2 45 3 - 504 4 - 792 z1 119 - 117 624 624 z2 - 117 119 - 792 - 504 z3 45 - 35
1 z(e − e ) [ ∴G( z) = −aT −bT b − a ( z − e )( z − e )
b系统： 系统： 系统
1 z G1( s) = , G1( z) = −aT S+a z−e 1 z G2( s) = , G2( z) = S+b z − e−bT
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−aT −bT
查表得：
GP( s) Tz 1 z z Z( )= ) − ( − 2 −aT S ( z −1) a z −1 z − e
∴ 有零阶保持器的开环系统脉冲传递 函数为：
GP( s) G( z) = (1 − z )Z( ) S
−1
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例二、设离散系统如图所示，其中
1 a G1( s) = , G2( s) = S S+ a
１、串联环节的脉冲传递函数
R(s)
C(s) G1(s) G2(s) G3(s)
G( s) = G1( s)G2( s)G3( s)
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例：有两个开环采样系统 r(t)
1 S+a
G1(s)
1 S+b
G2(s)
C(t)
r(t)
1 S+a
1 S+b
C(t)
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a系统： 系统： 系统
1 G( s) = G1( s)G2( s) = (S + a)( S + b)
a GP( s) = S( S + a)
求开环系统的脉冲传递函数 G(z)
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r(t)
1− e S
−TS
C*(t) GP(s)
GP( s) S GP( s) S
C(t) C*(t)
r(t)
1− e
1 e-TS
−TS
C(t) C*(t) C(t)
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GP( s) a = 2 解： Q S S ( S + a) 1 1 1 1 ） = 2− ( − S a S S+ a
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则：
a 0 = 0.28, a1 = 1,∴ a 1 < an b 0 = 0.92 , b 2 = 0.75,∴ b 0 > b n−1
所有条件均满足，所以系统为稳定系统。
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例7、已知系统的闭环特征方程
D( z ) = 45 z 3 − 117 z 2 + 119 z − 39 = 0
1.31 2 2 1.31 - 1.63 - 0.75 - 1.63 - 0.93
表中第三行元素为： a0 an – k bk = a a n k
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0.28 1 ∴ b0 = 1 0.28 -- 0.92 = 0.28 2 b1 = = -- 1.63 1 1.31 0.28 1.31 b2 = 1 2 = -- 0.75 第四行为第三行元素反顺序排列 b0 bn – 1 – k Ck = b n - 1 bk c0 cn – 2 – k dk = c …. ck n–2
解：由于 n = 4 , 2n – 3 = 5 , 故朱利陈列有5行， D(1) = 0.114 > 0 , D(-1) = 2.69 > 0 (n=4) 朱利陈列： 行数 z0 z1 z2 z3 z4 1 0.002 0.08 0.4 - 1.368 1 2 1 - 1.368 0.4 0.08 0.002 3 -1 1.368 - 0.399 - 0.083 4 - 0.083 - 0.399 1.368 - 1 5 0.399 - 1.401 0.513
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系统b：
a G1( s)G2( s) = S( S + a) a [ ] G( z) = G1G2( z) = Z S( S + a) z(1 − e−aT ) = −aT ( z − 1)( z − e ) 2 −aT z (1 − e ) C( z) = G( z)R( z) = ( z − 1)2( z − e−aT )
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a0 = 0.002, an = a4 = 1,∴ a0 < a4 b0 = 1, b3 = 0.083,∴ b0 > b3 c0 = 0.993, c3 = 0.513,∴ c0 > c3
∴ 系统稳定
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例9、设有零阶保持器的离散系统如图所示，试 求： （1）当采样周期 T 分别为 1(s) 和 0.5(s) 时 系统的临界稳定 K 值 （2）讨论采样周期 T 对稳定性的影响
C( z ) G1 ( z )G2 ( z ) Φ( z ) = = R( z ) 1 + G1 ( z ) HG2 ( z )
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例5、设闭环离散系统结构图如图所示，试证其 输出采样信号的 Z 变换函数。
RG( z ) C( z ) = 1 + GH ( z )
r(t) R(s)
e(t) G(s) – H(s) C*(t) C(z)
τ
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三、Z 变换与 Z 反变换
Ｚ变换定理
采样系统的动态过程用差分方程来描 述，用Ｚ变换求解差分方程。
四、脉冲传递函数
C( z) 输出采样信号的Ｚ变换 G( z) = R( z) 输入采样信号的Ｚ变换 G(z)
r(t) R(z) r*(t) G(s) C*(t) C(t)
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（一）开环系统的脉冲传递函数
R(s) – T
1− e S
−Ts
K S( S + 1)
C(s)
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解：系统的开环脉冲传递函数
K ] G( z ) = (1 − z ) Z[ 2 S ( S + 1) ( e−T + T − 1) z + (1 − e−T − Te−T ) =K ( z − 1)( z − e−T )
1 z G1( z) = Z( ) = S z −1 a az G2( z) = Z( )= −aT S+ a z − e
az2 ∴G( z) = G1( z)G2( z) = ( z − 1)( z − e−aT ) az3 C( z) = G( z)R( z) = ( z −1)2( z − e−aT )
则：
GR * ( s) C * ( s) = 1 + HG * ( s)
上式取 Z 变换得：
RG( z ) C( z ) = 1 + GH ( z )
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五、采样系统的性能分析
一、稳定性： D( z ) = a0 + a1 z + a2 z 2 + ... + an z n
Z 域（朱利稳定判据）且满足： >0 n 为偶数 D(1) > 0 , D(-1) <0 n 为奇数 a 0 < an
G1( z)G2( z） Φ( z) = 1 + G1(z)HG 2 (z)
C*(s) R(s) – E(s) E*(s) E1(s) E1*(s) G1(s) G2(s)_ H(s)
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C(s)
证：由图得：
C( s) = G2 ( s) E1 * ( s) E1 ( s) = E * ( s)G1 ( s)
3、零阶保持器
使采样系统信号 e*(t) 每一个采样瞬时的值 e(kT)一直保持到下一个采样瞬时 e[(k+1)T] ，从而使采样信号 e*(t) 变成阶梯信号 en(t)
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பைடு நூலகம்
e*(t)
0 T 2T 3T e*(t)
4T t en(t)
零阶保持器
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e*(t)
en(t)
0 T 2T 3T 4T
b0 > b n−1 ...... q 0 > q n− 1
共 n – 1 个约束条件
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例6、已知采样系统的闭环特征方程为
D( z ) = z + 2 z + 1.31 z + 0.28 = 0
3 2
试判别该系统的稳定性。
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解：D(1) = 4.59 > 0 , D(-1) = - 2.31 +2.28 = - 0.03 < 0 (n = 3) 朱利陈列 行数 z0 1 2 3 4 0.28 1 - 0.92 - 0.75 z1 z2 z3 1 0.28
则： a0 = 39 < an = 45
b0 = 504, b2 = 792 ∴ b0 < b2
系统不稳定
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例8、已知离散系统闭环特征方程为
D( z ) = z 4 − 1.368 z 3 + 0.4 z 2 + 0.08 z + 0.002 = 0
试用朱利判据判断系统的稳定性。
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输入信号 r(t) = 1(t) ,试求系统(a),(b)的脉冲 传递函数 G(z) 和输出 Z 变换C(z)
r(t) r*(t)
G1(s) G1(s) G2(s)
G2(s) C(t)
C(t)
r(t) r*(t)
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解：查表
对于a系统：
r( t) = 1( t) z R( z) = z −1
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3、闭环系统传递函数
r(t)
e(t) e*(t)
G(s)
C(t)
H(s)
C( s) G( z) Φ( s) = = R( s) 1 + HG( z) D( z) = 1 + GH( z) = 0 为闭环离散系统的
特征方程。
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例4、设闭环离散系统结构图如图所示，试证其 闭环脉冲传递函数
t
0 T 2T 3T 4T 5T t
传递函数，频率特性
1 − e−TS Gn (s) = S Tw sin( ) 2 e − jwT Gn ( jw) = T Tw 2 2
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二、采样系统的典型结构图
根据采样器在系统中所处的位置不同，可以 构成各种采样系统，如果采样器位于系统闭合回 路之外，或系统本身不存在闭合回路 — 开环采 样系统 如果采样器位于系统闭合回路之内 — 闭环采样系统
系统的开环脉冲传递函数
z z G( z) = G1( z)G2( z) = • −aT −bT z−e z−e 2 z = −aT −bT ( z − e )( z − e )
2、有零阶保持器的开环系统
1− e Gh( s) = S
−TS
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例一、具有零阶保持器的开环采样系统如图所示， 其中
对 E1(s) 离散化，有 E1*(s) = G1*(s)E*(s)
∴ C( s) = G2 ( s)G1 * ( s) E * ( s)
考虑到：
E( s) = R( s) − H( s)C( s) = R( s) − H( s)G2 ( s)G1 * ( s) E * ( s)
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离散化后有： E * ( s) = R * ( s) − HG2 * ( s)G1 * ( s) E * ( s) R * ( s) ∴ E * ( s) = 1 + G1 * ( s) HG2 * ( s) ∴ 输出信号的采样拉氏变换 ∴ C * ( s) = G2 * ( s)G1 * ( s) E * ( s) G1 * ( s)G2 * ( s) R * ( s) = 1 + G1 * ( s) HG2 * ( s) 对上式进行 Z 变换 ， 则：
C*(t) C(z) C(t)
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证：由图得： C( s) = G( s) E( s) E( s) = R( s) − H( s)C * ( s) ∴ C( s) = G( s) R( s) − G( s) H( s)C * ( s) 对上式离散化：
C * ( s) = GR * ( s) − HG * ( s)C * ( s)
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e(t)
e*(t)
e*(t)
τ
0 T 2T 3T….t 0 T 2T 3T
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2、在采样控制系统中，把脉冲序列转变为 连续信号的过程 — 信号复现
实现信号复现的装置 — 保持器（将 e*(t) 的 高频分量滤掉） 在采样系统中，最简单，应用最广泛的是具有常 值外推功能的保持器 — 零阶保持器