Delaunay三角网表示点和删除算法

0引言对于静态数据三角化(数据点不能动态插入与删除)，有许多D-三角网构建算法[1-5]；对于动态的点插入，使用逐点插入的方法进行动态局部更新；对于动态的点删除，使用的方法有两种，一是基于凸耳权值的点删除方法[6-7]，二是基于空外接圆准则和凸耳性质的点删除方法[8-9]，上述两种方法都是基于凸耳删除的方法，存在难以理解或算法效率差的缺点。

本文提出了一种数据结构来存储D-三角网和表现其拓扑关系，对其中的点删除算法进行了改进，可实现D-三角网中数据点的快速删除操作。

1存储结构对于三角格网的存储结构，本文设计了点、有向边的存储表示，三角形的信息在有向边的遍历中隐含，其C++实现如下：Class Point2d {double x,y;}Class Edge {Public:Int num;Edge*next;Edge*prev;Point2d*data;Edge (){data =0;}Edge*Sym (){return (num<1)?this+1:this-1;}Edge*Onext (){return next;}Edge*Oprev (){return prev;}void EndPoints (Point2d*or,Point2d*de ){data =or;Sym ()->data =de;}TwinEdge*Tedge (){return (TwinEdge *)(this -num );}};Class TwinEdge {Private:Edge e [2];Public:TwinEdge (){e [0].num =0;e [0].next =&(e [0]);e [1].num =1;e [1].next =&(e [1]);收稿日期：2007-03-01E-mail ：mengl@基金项目：国家863高技术研究发展计划基金项目(2002AA114020、2001AA135210)；中国科学院知识创新基金项目(20036020)。

作者简介：孟亮(1968－)，男，山西临汾人，博士研究生，研究方向为GIS 、计算机图形学；方金云(1968－)，男，山东青岛人，博士，副研究员，研究方向为海量空间数据处理关键支撑技术、网格GIS 等；唐志敏(1966－)，男，江苏江阴人，研究员，博士生导师，研究方向为计算机系统结构、网络并行处理。

Delaunay 三角网表示和点删除方法孟亮，方金云，唐志敏(中国科学院计算技术研究所，北京100080)摘要：对于三角网的表示方法，提出了一种双循环链表结构，这种结构能够方便的表示三角网的边拓扑和面拓扑信息，以及多边形结构。

基于这种结构，对三角网点删除算法进行了改进。

以前的点删除算法是基于连续的凸耳删除，提出的方法是基于多边形边的构建方法，利用D-三角网的空外接圆属性。

与其它方法相比，这种方法具有容易理解，效率高的优点。

关键词：Delaunay 三角网;凸耳;点删除;拓扑结构;双循环链表中图法分类号：TP391;P208文献标识码：A文章编号：1000-7024(2008)03-0738-03Delaunay TIN expression and point deletion methodMENG Liang,FANG Jin-yun,TANG Zhi-min(Institute of Computing Technology,Chinese Academy of Sciences,Beijing 100080,China )Abstract ：As to representation of triangulated irregular network (TIN ),a dual-circulation linked list structure is proposed,this structure can conveniently express edge and plane topology information of triangulated irregular network,and polygon structure.Based on this structure,improvements are achieved about TIN point deletion algorithm.Previous point deletion algorithm is based on continuous ears deletion,the methods proposed is based on edge construction method of polygon,using Delaunay TIN circumcircle pared with other methods,this method has the advantage of easy understanding,higher efficiency.Key words ：Delaunay triangulated irregular network;ears;point deletion;topology structure;dual-circulation linked list2008年2月计算机工程与设计Feb.2008第29卷第3期Vol.29No.3Computer Engineering and Designe [0].prev =&(e [0]);e [1].prev =&(e [1]);}};Edge*MakeEdge (){TwinEdge*q1=new TwinEdge;Return q1->e;}与上相应，三角格网中的一条边由类class TwinEdge 表示，该类中包含两个有向边e [0]和e [1]，e [0]和e [1]为同一条边，但方向相反(如图1所示)，三角化过程中创建边时均需调用函数MakeEdge ()，以确保创建两个有向边，但只返回其中一个，另一个通过调用Sym ()函数获得。

有向边由类class Edge 表示，类成员num 通过函数Sym ()的调用在一条边的两个有向边之间转换，类成员data 指向有向边的源点(如图1中有向边e 的源点由Edata 指示)，类成员next 指向同源点逆时针方向的下一个有向边，类成员prev 为同源点逆时针方向的上一个有向边，初始化时next 和prev 均指向自身，所以说该存储方式为对称边双循环链表。

图2为面状图形中给定边e 的边邻接关系，或者说是边拓扑，使用类class Edge 的成员函数，能够较容易的表示上述结构：eLnext =Sym ()->Oprev ();eDprev =Sym ()->Oprev ()->Sym ();eDnext =Sym ()->Onext ()->Sym ();eRprev =Sym ()->Onext ();eOnext =Onext ();eLprev =Onext ()->Sym ();eRnext =Oprev ()->Sym ();eOprev =Oprev ();eSym =Sym ();有向边e 所关联的三角形的边为：e,eLnext,eLprev ；有向边eSym 所关联的三角形的边为：eSym,eOprev (即eSym->eLnext ),eDnext (即eSym->eLprev )。

上述为给定边的面拓扑。

所以说，使用上述数据结构，能够比较容易的表示其边拓扑和面拓扑关系。

2给定结构相关操作对于上述三角网结构，需要在数据点的动态插入和删除过程中维护其拓扑关系，下面简要介绍链表的维护和四边形的构造方法：2.1有向边循环链表的操作有向边a 和有向边b 属同源边，a 边到b 边为逆时针方向(如图3所示)，b 边为新建有向边，需插入到同源边链表中，其实现如下：void AppendLink (Edge*a,Edge*b ){Edge*anext =a->Onext ();b->next =anext;a->next =b;anext->prev =b;b->prev =a;}依据图3，类似可定义DeleteLink (Edge*b )函数，其功能为使有向边b 脱离链表。

在动态更新三角网时，需依据有向边来执行删除边的操作，其实现如下：V oid DeleteEdge (Edge*e ){DeleteLink (e );DeleteLink (e->Sym ());Delete e->Tedge ();}2.2四边形的构建应用上述数据结构，主要是在创建边过程中维护边之间的顺序关系。

如图4所示的四边形abcd ，点序列abcd 为逆时针方向，调用函数init (Point2d*a,Point2d*b ,Point2d*c,Point2d*d )构建四边形：Init (Point2d*a ,Point2d*b,Point2d*c,Point2d*d ){Edge*ea =MakeEdge ();ea->EndPoints (a,b );Edge*eb =MakeEdge ();eb->EndPoints (b,c );AppendLink (eb,ea->Sym ());图1对称边双循环链表eeSyneSym->eOnexteSym->eOpreveOpreveOnextEdata 图3有向边循环链表的操作abc abc 删除链插入链abc ab cNext PrevNextPrevEdge*ec =MakeEdge ();ec->EndPoints (c,d );AppendLink (ec,eb->Sym ());Edge*ed =MakeEdge ();ed->EndPoints (d,a );AppendLink (ed,ec->Sym ());AppendLink (ea,ed->Sym ());}由上述创建过程可知，eb =ea->Lnext (),ec =eb->Lnext (),即对于多边形，通过其中一条边(如ea )，应用该类的成员函数Lnext ()，可遍历该多边形的各条边。

3D-三角网点删除操作点删除过程，涉及两个主要操作，D 操作确定3点A ，B ，P 是否为逆时针方向，Incircle 操作确定点D 是否位于三角形ABC 的外接圆内，方法如下,Incircle [,)=2222删除点过程是插入点过程的逆过程，由插入点过程可知，欲删除点p (如图5所示)的外围多边形(a1a2..a6)的边均为有效的D-边，满足D-三角网的空圆属性；则对于有效边a1a2，在多边形边上必存在一点a ，使得a1a2a 为逆时针方向(若不满足，如a1a2a3，则其连线a1a3位于多边形的外部)，且三角形a1a2a 的外接圆不包含多边形内其它顶点，此三角形a1a2a 为有效的D-三角形。