电磁场和电磁波之镜像法要点共30页文档
镜像法
内蒙古大学鄂尔多斯学院
§ 3.6
镜像法
(电磁场与电磁波)
门克内木乐
公共教学部物理组
2014.4
《电磁场与电磁波》
3.6 镜像法
(Method of Images)
第三章 静态电磁场
镜像法的基本概念
3.6.1 点电荷关于无限大导体平面的镜像法
3.6.2 点电荷关于导体球面的镜像法
第三章 静态电磁场
镜像法的基本概念
3.6.1 点电荷关于无限大导体平面的镜像法
3.6.2 点电荷关于导体球面的镜像法
3.6.3 点电荷关于无限大介质平面的镜像法
3.6.4 线电荷关于无限长圆柱导体面的镜像法
3.6-11
谢 谢 !
《电磁场与电磁波》
第三章 静态电磁场
3.6.1 点电荷关于无限大导体平面的镜像电荷
应用
(1)线电荷与无限大导体平面的镜像法 (2)点电荷与两个半无限大相交导体平面的镜像法
(3)点电荷与两个平行的无限大导体平面的镜像法
3.6-10
《电磁场与电磁波》
3.6 镜像法
(Method of Images)
3.6.3 点电荷关于无限大介质平面的镜像法
3.6.4 线电荷关于无限长圆柱导体面的镜像法
3.6-3
镜像法的基本概念
用途
例题:
`
静电场边值问题:
e
2
z
0
2
边界条件
边界条件
q
(x, y, z) ? E(x, y, z) ?
2 2 2 2 2 2 x y z
在一些特殊条件下,我 们可以采用镜像法,简单地求 解这类问题
大学电磁场与电磁波第二章2.8镜像法
(x
−
K K
2 2
+ −
1 1
b)2
+
y2
=
(
2bK K2 −
)2 1
圆心坐标
h(
=
K2 K2
+1b), −1
0,
圆半径
a=
2bK K2 −1
ϕP
=
τ 2πε0
ln
ρ2 ρ1
= τ ln (x + b)2 + y2 2πε0 (x − b)2 + y2
当K取不同数值时,就得到一族偏心圆。
a、h、b三者之间的关系满足
4πε r20XX
r1 = d 2 + R2 − 2Rd cosθ r2 = b2 + R2 − 2Rb cosθ
图2.8.3 点电荷对接地导体球面的镜像 [q2 (b2 + R2 ) − q'2 (d 2 + R2 )] + 2R(q'2 d − q2b) cosθ = 0
q2 (b2 + R2 ) − q'2 (d 2 + R2 ) = 0 q'2 d − q2b = 0
a2
+ b2
=
(
2bK K2 −
)2 1
+ b2
=
(
K K
2 2
+ 1 b)2 −1
=
h2
令:ϕP = 常数
(x + b)2 (x − b)2
+ +
y2 y2
=
K2
应该注意到,线电荷所在的两个点,对每一个等位圆的圆心来说,互为反演。即
a2 = h2 − b2 = (h + b)(h − b)
电磁场与电磁波课件之镜像法32页PPT
56、死去何所道,托体同山阿。 57、春秋多佳日,登高赋新诗。 58、种豆南山下,草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ,带月 荷锄归 。道狭 草木长 ,夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ,但使 愿无违 。 59、相见无杂言,但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕,亭亭月将圆。
41、学问是异常珍贵的东西,从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间,才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话,只需要教育; 而要挑战别人所说的话,则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是:在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
2.8 镜像法要点
P
0
l
9
2018/10/7
第二章 2.8
l l ln r1 ( ln r2 ) 2 0 2 0
l l ln r1 ln r2 2 0 2 0
l r ln 1 2 0 r2
见书2-67式
l
r1
r2
P
0 0
2018/10/7
D A
由于导体是等位体,故取A 点计算导线1的电位
r1 a, r1 a 2 4h 2 2h r2 D a D, r2 ( D a) 2 4h 2 D 2 4h 2
2h
1
r 1 l r2
2
l r22P r1 l l 2h l D l 2hD 1 ln ln ln 2 2 2 2 2 0 a 2 0 2 D 4h a D 4h 0
q
(0 , 0 , h)
q
0
镜
由上述分析可知:可将无限大接地导体平
面视为一面镜子,其像电荷只有一个, 就是原电荷的虚像,且与q等值异号.
2018/10/7 8
第二章 2.8
平面导体与线电荷:
镜像电荷:在其镜 像位置上置一密 度为 l 的线电荷. 见书31面.
l
r1
?
即:
q q q
1
即 1 两式:
1 1 z
z 0 时,
z 0
2 2 z
1
z 0
1 2
(q q)
1
联立 1 、 2
故镜像电荷 q 总与 q 同性, q 则取决于两介质 的介电常数的大小。
2018/10/7 22
1 2 q q 2 1 2 2 q q 2 1
EM第29讲镜像法(1)
Research Institute of RF & Wireless Techniques电磁场与电磁波Electromagnetic fields and electromagnetic waves第29讲镜像法黄惠芬华南理工大学电子与信息学院射频与无线技术研究所TEL: 89502331Email:huanghf@Research Institute of RF & Wireless TechniquesSo u t h C h i n a U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y第29讲内容前言导体平面镜像Research Institute of RF & Wireless TechniquesS o u t h C h i n a U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y29.1 前言镜像法:(1)求解边值问题的一种方法,它巧妙地应用唯一性定理。
(2)在待求场域的区域以外,在适当的位置上人为地设置一些简单电荷(或电流) 可在保持原边界条件不变的情况下,把求解有限区域的边值问题转换为在无边界的无限大均匀媒质中的求解问题。
这些人为设置的、代替边值作用的等效电荷(或电流)称为镜 像电荷(或电流)。
Research Institute of RF & Wireless TechniquesSo u t h C h i n a U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y确定镜像电荷(或电流)的理论根据:唯一性定理。
一是待求场区域的解在原区域满足的泊松方程或拉普拉斯方程保持不变,即原有场源(电荷或电流)的分布不变,故镜像电荷(或电流)只能设置在待求场域外;二是镜像电荷以保持原问题边界条件不变。
由人为设置的镜像源与原待求场域内的实际场源共同决定的场解。
5.5 镜像法
20
两根线电荷 <-----------> 两个导体柱
* l
l
* l
l
o
P'
P
o'
a 2 O' P O ' P'
a 2 OP OP '
电磁场与电磁波
b d a
2
2
21
b d a
2
2
o
o'
已知:两根无限长平行圆柱,半径为a, 轴心距离为2d 求:两柱间单位长度上的电容 两根线电荷 <-----------> 两个导体柱 引入两 “线电荷”
电磁场与电磁波
2
若定解问题存在唯一的稳定解, 则称定解问题是
适定的。 换言之, 适定指的是解是存在的, 唯一的, 并且稳 定的。 解方程时可自由选择任何合理方法,甚至可以凭 经验去猜测出一个形式解。
而实际中解决工程问题时不能模棱两可,我们 需要得到适定的解。 静电场问题解法的多样性与适定性要求有矛盾 吗???
2
边界条件
切向:
E1t E 2t
2 1 1 fc n n
1 2
E1t E 2t J 1t / 1 J 2t / 2 1 2
恒定电场媒质边界 J 1n J 2 n 1 E1n 2 E 2 n
1 2 2 1 n n
M pl p* l d
a * OP d
2
电磁场与电磁波
19
问题扩展:电位
“长导体柱”+ “线电荷”
OP OP a
'
2
l
相应的问题等效为求解两个 “线电荷”周围的电场、电位?
EM第30讲球壳镜像法
应电荷的分布在轴向
上均匀,但在靠近 一侧的柱表面
上的密度会比另一侧大。将柱面撤去,并以镜像电荷代替柱面上
的感应电荷的作用,则此镜像电荷应是平行于柱轴 的线电
荷,位于过OP1的平面并靠近 线电荷。设镜像电荷为 在
与柱轴距离为
处,
Research Institute of RF & Wireless Techniques
,故-q
在内表面的分布是不均匀的。若导体球壳不接地,则球壳外表面
上还应有等量异号的感应电荷
South China University of Technology
Research Institute of RF & Wireless Techniques
30.2 不接地导体球壳的镜像
球壳的屏蔽作用,球壳内的电场仅由 感应电荷-q共同产生。
则
的任一点电位
式中,C为任意常数;
South China University of Technology
Research Institute of RF & Wireless Techniques
South China University of Technology
ρl′和d
可由边界条件
South China University of Technology
标题内容时的版面
是吸引力;反之,则为斥力三无
Research Institute of RF & Wireless Techniques
30.5 接地导体柱面与线电荷的镜像
半径为a的接地长直导体柱,在距离其轴为
线电荷
与之平行,求其柱外的电场分布。
电磁场 镜像法PPT课件
Q 40
[
1
R2 a2 2Ra cos
(Ra
/
R0
)2
1 R02
2Ra
cos
]
(R
R0
)
0
(R R0)
② 球面感应电荷分布
感
0
RR R0Fra bibliotekQ4R0a
1
R02 a2
(1 2
R02 a2
)
3
R0 a
cos
2
Q 4R0
(a2 R02 )
a2
R02
2R0a cos
应用举例
P
1. 接地无限大平面导体板附近有一点电荷,
r′
求空间电势。
r
解:根据唯一性定理左半空间 0
Q
z
右半空间,Q在(0,0,a)点,
Q/
a
电势满足泊松方程。
边界上 0 z0
从物理问题的对称性和边界条件考虑,设想在导体板左与电荷Q对 称的位置上放一个假想电荷Q’ ,然后把板抽去。 这样,没有改变 所考虑空间的电荷分布(即没有改变电势服从的泊松方程)
看作原电荷与
r’
镜象电荷共同
激发的电场。
场点P的电势
Q’
P 1 Q Q
4 0 r r
可以看出,引入象电荷取代感应电荷,的确是
一种求解泊松方程的简洁方法。
镜像法所解决的问题中最常见的是导体表面作为边
界的情况,但也可用于绝缘介质分界面的场问题。
例2 设电容率分别为ε1和ε2的两种均匀介
质,以无限大平面为界。在介质1中
这里要注意几点:
a) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的 Poisson‘s equation or Laplace’s equation,即所研究空间的泊松方 程不能被改变(即自由点电荷位置、大小不能变)。因此,做替 代时,假想电荷必须放在所求区域之外。在唯一性定理保证下, 采用试探解,只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。
电磁场与电磁波之镜像法要点
电荷 的q连线上。
r
a
d
设镜像电荷 ,q与球心距离为 。d 任一点电位函数为
r
a
d
1 [
E(0,0,
z2 )
ez
106
4 0
[
1 (0.45
1)2
1 (0.45 1)2
]
ez
3.14
10
4
V
/
m
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
沿 y轴方向的无限长直线电荷位于无限大接地导体平面的上方
其镜像电荷仍是无限长线电荷
l l , z h
z
l
h
x
在 z 的0 上半空间中,电位函数为
代替导体表面上异性的感应电荷的作用。
根据电荷守恒原理,镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量。
半空间等效:上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立,因为在上 半空间中,源及边界条件未变。
例 求空气中一个点电荷 在q 地面引起的感应电荷分布情况。
解: 设点电荷 离q 地面高度为h
Ep E E 方向指向地面
30109 2πε0 22 32
(ex
30109 2πε0 13
(ex
2
ez
3)
2 22 32
ez
3 )
22 32
E
ez
30109 6 2πε0 13
P点处的感应电荷面密度则为
S
en D (2,5,0)
ez
(ez
0
E
)
180 109 2.2 nC / m2 2π 13
上半场域边值问题
2 0
(除q所在点外的区域)
电磁场镜像法
§18 镜像法一、镜像法1.定义:就是解静电场问题得一种间接方法,它巧妙地应用唯一性定理,使某些瞧来棘手得问题很容易地得到解决。
该方法就是把实际上分区均匀媒质瞧成就是均匀得,对于研究得场域用闭合边界处虚设得简单得电荷分布,代替实际边界上复杂得电荷分布来进行计算。
即镜像法处理问题时不直接去求解电位所满足得泊松方程,而就是在不改变求解区域电荷分布及边界条件得前提条件下,用假想得简单电荷分布(称为镜像电荷)来等效地取代导体面域(电介质分界面)上复杂得感应(半极化)电荷对电位得贡献,从而使问题得求解过程大为简化。
2.应用镜像法应主意得问题应主意适用得区域,不要弄错。
在所求电场区域内:①不能引入镜像电荷;②不能改变它得边界条件;③不能改变电介质得分布情况;④在研究区域外引入镜像电荷,与原给定得电荷一起产生得电荷满足所求解(讨论)得边界条件;⑤其求得得解只有在所确定得区域内正确且有意义。
3.镜像法得求解范围应用于电场与电位得求解;也可应用于计算静电力;确定感应电荷得分布等。
二、镜像法应用解决得问题一般就是边界为平面与球面得情况1.设与一个无限大导电平板(置于地面)相距远处有一点电荷,周围介质得介电常数为,求解其中得电场。
解:在电介质中得场,除点电荷所引起得场外,还应考虑无限大导电平板上得感应电荷得作用,但其分布不知(未知),因此无法直接求解。
用镜像法求解该问题。
对于区域,除所在点外,都有以无限远处为参考点在边界上有: 即边界条件未变。
由唯一性定理有对于大场不存在推广到线电荷得情况,对于无限长线电荷也适合上述方法求解。
例115、P54求空气中一个点电荷在地面上引起得感应电荷分布情况。
解:用镜像法求解P点:,感应电荷密度, (大地)点电荷例1-16P55解:用镜像法,如图所示,边界条件2.镜像法应用于求解两种不同介质中置于点电荷或电荷时得电场问题。
解:应用镜像法求解区域如图b,如图c设中电位为,中电位为满足条件:在中除所在点外,有,在中在两种媒质分界面上应有,由有与两个镜像电荷来代替边界得极化电荷若q为得线电荷则有:3.点电荷对金属面得镜像问题点电荷与接地金属球得问题①与得电场中,求电位为零得等位面。
电磁场与电磁波之镜像法要点PPT学习教案
q
点电荷位于不接地导体球附近的场图
第17页/共30页
三. 导体圆柱面的镜像 1. 线电荷对导体圆柱面的镜像
一根线电荷密度为 的无限长线电荷位于半径为 的无限长接地导体圆柱面外,且与圆 柱轴线 平行, 线电荷 到轴线 的距离 为 。
为使导体圆柱面成为电位为零的等位面 ,镜像 电荷应 是位于 圆柱面 内部且 与轴线 平行的 无限长 线电荷 。
解得 导体圆柱外空间任一点的电位函数( 为线电 荷密度 分别为 和 的两平行双线产生的电位叠加)
b h2 a2
l ln R 2 R
电轴法的基本原理也可以应用到两 个带有 等量异 号电荷 但不同 半径的 平行无 限长圆 柱导体 间的电 位函数 的求解 问题。
第23页/共30页
l l
四. 介质平面的镜像 含有无限大介质分界平面的问题,也 可采用 镜像法 求解。
导体球面上的总感应电荷为
qin
S ρS dS
q(d 2 a2)
4a
2 0
a2 sin θdθd
0 (a2 d 2 2ad cosθ)3/2
aq d
第13页/共30页
当点电荷 位于接地导体球内,与球心距离为 ( )。 镜像电荷应放置在球外,且在球心与 点电荷 的连线的延长线上。
q
设镜像电荷 ,与球心距离为 。
电磁场与电磁波之镜像法要点
会计学
1
一. 接地导体平面的镜像
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜 像
z
上半场域边值问题
q
(除q所在点外的区域)
2 0
h
x
(导板及无穷远处)
0
(S为包围q的闭合面)
sD dS q
(x, y, z) q ( 1 1 ) 4 R R
镜像法(课堂PPT)
第3章 静电场及其边值问题的解法
1
d1
q d2
2
电位函数
q (1111) 4π R R1 R2 R3
q1
d1
d2 R1
d1 q R d2
d2 R3 q3 d1
R2 d2
d1
q2
镜像电荷q1=-q,位于(-d1, d2 )
镜像电荷q2=-q,位于( d1, -d2 ) 镜像电荷q3 = q , 位于(-d1, -d2 )
q q 0 4 R0
得 q q
于 是 4 q R 1 , R 1 4 q x 2 y 2 1 ( z h ) 2x 2 y 2 1 ( z h ) 2
可见,引入镜像电荷 q q 后保证了边界条件不变;镜像点电荷位于z<0的空间,未改变所 求空间的电荷分布,因而在z>0的空间,电位仍然满足原有的方程。由惟一性定理知结果正确。
5. 确定镜像电荷的两条原则 镜像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中;
镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域 的边界条件来确定;
.
13
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
二、 接地导体平面的镜像
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像 2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像 3. 点电荷对半无限大接地导体角域 (导体劈) 的镜像
域边界以外虚设的较简单的等效电荷来等效替代场域边界上
未知的较为复杂的电荷分布的作用,且保持原有边界上边界 条件不变,则根据惟一性定理,待求场域空间电场可由原来
的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。
从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀 媒质的空间,使分析计算过程得以明显简化;
电磁场 镜像法ppt课件
Poisson‘s equation or Laplace’s equation,即所研究空间的泊松方 程不能被改变(即自由点电荷位置、大小不能变)。因此,做替 代时,假想电荷必须放在所求区域之外。在唯一性定理保证下, 采用试探解,只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。
(b)
.
平面与圆柱形边界的组合作为边界
λ λ λ
(a)
(b)
(c)
导体上的感应电荷密度为:
n (1)镜像电荷与导体上的感应电荷不一定相等。
(2)由镜像法求出电势分布以后,由上式可求感应
电荷
Q dS
S
n .
电偶极子的镜像
p
p
(a)
(b)
p
(c)
p
op
o p
(d)
(e)
(f)
注意:镜像电荷的位置由边界形状决定,与电量 及界面性质无关。
.
应用举例
P
1. 接地无限大平面导体板附近有一点电荷, 求空间电势。
解:根据唯一性定理左半空间 0
r′
r
Q
z
右半空间,Q在(0,0,a)点,
Q/
a
电势满足泊松方程。
边界上 0 z0
从物理问题的对称性和边界条件考虑,设想在导体板左与电荷Q对 称的位置上放一个假想电荷Q’ ,然后把板抽去。 这样,没有改变 所考虑空间的电荷分布(即没有改变电势服从的泊松方程)
讨论:(a)导体面上感应电荷分布
0
z
z0
2 (x2
Qa y2 a2 )3/2
.
Q dS Qa 2rdr Q Q
第3章-镜像法
18
q
q 该如何分析?
电子科技大学
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
19
2. 点电荷对接地空心导体球壳的镜像
如图所示接地空心导体球壳的内半径为a 、外半径为b,点电荷q
位于球壳内,与球心相距为d ( d < a )。
由于球壳接地,感应电荷分布在 球壳的内表面上。镜像电荷q 应位于 导体空腔外,且在点电荷q与球心的 连线的延长线上。与点荷位于接地导 体球外同样的分析,可得到
2
3.8.1 镜像法的基本原理
1. 问题的提出 当有电荷存在于导体或介质表面附近时,导体和介质表面会
出现感应电荷或极化电荷,而感应电荷或极化电荷将影响场的分
布。
几个实例
非均匀感应面电荷
q
接地导体板附近有
一个点电荷,如图所
示。
等效电荷
q′
非均匀感应电荷产生的电位很难求 解,可以用等效电荷的电位替代
电子科技大学
q
电子科技大学
导体平面上总感应电 荷等于镜像电荷!
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
9
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
原问题
2
l
x, z
h,
z
0;
0 ,
z 0,
镜像线电荷: l l , h h
有效区域
h
l
电子科技大学
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解 2 . 点电荷对不接地导体球的镜像
点电荷q 位于一个半径为a 的不 接地导体球外,距球心为d 。
导体球不接地时的特点:
电磁场镜像法知识分享
电磁场镜像法知识分享电磁场镜像法§1-8 镜像法⼀、镜像法1. 定义:是解静电场问题的⼀种间接⽅法,它巧妙地应⽤唯⼀性定理,使某些看来棘⼿的问题很容易地得到解决。
该⽅法是把实际上分区均匀媒质看成是均匀的,对于研究的场域⽤闭合边界处虚设的简单的电荷分布,代替实际边界上复杂的电荷分布来进⾏计算。
即镜像法处理问题时不直接去求解电位所满⾜的泊松⽅程,⽽是在不改变求解区域电荷分布及边界条件的前提条件下,⽤假想的简单电荷分布(称为镜像电荷)来等效地取代导体⾯域(电介质分界⾯)上复杂的感应(半极化)电荷对电位的贡献,从⽽使问题的求解过程⼤为简化。
2. 应⽤镜像法应主意的问题应主意适⽤的区域,不要弄错。
在所求电场区域内:①不能引⼊镜像电荷;②不能改变它的边界条件;③不能改变电介质的分布情况;④在研究区域外引⼊镜像电荷,与原给定的电荷⼀起产⽣的电荷满⾜所求解(讨论)的边界条件;⑤其求得的解只有在所确定的区域内正确且有意义。
3. 镜像法的求解范围应⽤于电场E 和电位?的求解;也可应⽤于计算静电⼒F ;确定感应电荷的分布(),,ρστ等。
⼆、镜像法应⽤解决的问题⼀般是边界为平⾯和球⾯的情况1. 设与⼀个⽆限⼤导电平板(置于地⾯)相距h 远处有⼀点电荷q ,周围介质的介电常数为ε,求解其中的电场E 。
解:在电介质ε中的场E ,除点电荷q 所引起的场外,还应考虑⽆限⼤导电平板上的感应电荷的作⽤,但其分布不知(σ未知),因此⽆法直接求解。
⽤镜像法求解该问题。
对于ε区域,除q 所在点外,都有20??= 以⽆限远处为参考点()0θ?= 在边界上有:044q qrrπεπε+--=+=+= 即边界条件未变。
由唯⼀性定理有11444q q q r r r r ?πεπεπε+-+-??=-=-对于⼤场E 不存在()0E =推⼴到线电荷τ的情况,对于⽆限长线电荷也适合上述⽅法求解。
例1-15. P54求空⽓中⼀个点电荷q 在地⾯上引起的感应电荷分布情况。