初三数学三角函数应用
初三数学《三角函数的实际应用》答案
专题08《三角函数的实际应用》题型一、利用仰角和俯视解决问题【例1】如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm．温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，）．【详解】解：在直角三角形ACO中，sin75°＝＝≈0.97，解得OC≈38.8，在直角三角形BCO中，tan30°＝＝≈，解得BC≈67.3．答：该台灯照亮水平面的宽度BC大约是67.3cm．小明在楼高AB＝15米的楼顶A处测得一电视塔底部C的俯角为31°，测得塔顶D的仰角为52°，求楼顶A到塔顶D的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.80，sin52°＝0.79，cos52°＝0.62，tan52°＝1.28）【详解】解：如图，作AE⊥CD于点E．则CE＝AB＝15米．∵在直角△ACE中，tan∠EAC＝，∴AE＝＝＝18.75（米）．∵直角△ADE中，cos∠DAE＝，∴AD＝＝≈30（米）．答：楼顶A到塔顶D的距离约为30米．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数）（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，≈1.73）【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D，∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，∴∠ABD＝67°，∴AD＝AB•sin67°＝520×＝＝480km，BD＝AB•cos67°＝520×＝＝200km．∵C地位于B地南偏东30°方向，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD•tan30°＝200×＝，∴AC＝AD+CD＝480+≈480+115＝595（km）．答：A地到C地之间高铁线路的长为595km．如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝15m，CD＝20m．AB和CD之间有一景观池，小双在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°，点B、E、D在同一直线上．求两幢建筑物之间的距离BD．（结果精确到0.1m）【参考数据：sin42°＝0.67，cos42°＝0.74，tan42°＝0.90】【详解】解：由题意得：∠AEB＝42°，∠DEC＝45°，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，AB＝15，∠AEB＝42°，∵tan∠AEB＝，∴BE＝≈15÷0.90＝，在Rt△DEC中，∠CDE＝90°，∠DEC＝∠DCE＝45°，CD＝20，∴ED＝CD＝20，∴BD＝BE+ED＝+20≈36.7（m）．答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7m．【例2】如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B＝31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE＝39°．（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．（参考数据：tan31°≈，sin31°≈，tan39°≈，sin39°≈）【详解】解：（1）过点A作AD⊥BE于D，设山AD的高度为（x）m，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，tan31°＝，∴BD＝≈＝x，在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，tan39°＝，∴CD＝≈＝x，∵BC＝BD﹣CD，∴x﹣x＝80，解得：x＝180．即山的高度为180米；（2）在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，sin39°＝，∴AC＝＝≈282.9（m）．答：索道AC长约为282.9米．【变式2-1】为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上（如图所示）．该小组在标杆的F 处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB＝∠FED），在F处测得旗杆顶A的仰角为45°，平面镜E的俯角为67°，测得FD＝2.4米．求旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数，参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）【详解】解：作FG⊥AB于G，设AB为x米，由题意得，四边形FDBG为矩形，∴BG＝DF＝2.4，FG＝BD，∵FG∥BD，∴∠FED＝∠GFE＝67°，在Rt△EDF中，tan∠FED＝，∴DE＝≈2.4÷＝1，在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，∴FG＝AG＝x﹣2.4，在Rt△AEB中，tan∠AEB＝，即BE＝≈x，由题意得，x﹣2.4＝1+x解得，x≈6，答：旗杆AB的高度约为6米．如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．（参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75）【详解】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F．设塔高AE＝x，由题意得，EF＝BE﹣CD＝56﹣27＝29m，AF＝AE+EF＝（x+29）m，在Rt△AFC中，∠ACF＝36°52′，AF＝（x+29）m，则CF＝≈＝x+，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，AB＝x+56，则BD＝AB＝x+56，∵CF＝BD，∴x+56＝x+，解得：x＝52，答：该铁塔的高AE为52米．某公园的人工湖边上有一座假山，假山顶上有一竖起的建筑物CD，高为10米，数学小组为了测量假山的高度DE，在公园找了一水平地面，在A处测得建筑物点D（即山顶）的仰角为35°，沿水平方向前进20米到达B点，测得建筑物顶部C点的仰角为45°，求假山的高度DE．（结果精确到1米，参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈）【详解】解：过点D作水平线的垂线，即（DE⊥AB），垂足为E，则C、D、E在一条直线上，设DE的长为x米，在Rt△BCE中，∠CBE＝45°，∴CE＝BE＝CD+DE＝（10+x）米，在Rt△ADE中，∠A＝35°，AE＝AB+BE＝20+10+x＝30+x，tanA＝，∴tan35°＝≈，解得：x≈70，答：假山的高度DE约为70米．题型二、方位角的应用【例1】钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）【详解】解：过点B作BD⊥AC于D．由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°+15°＝105°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝30°，在Rt△ABD中，BD＝AB•sin∠BAD＝20×＝10（海里），在Rt△BCD中，BC＝＝＝20（海里）．答：此时船C与船B的距离是20海里．【变式1-1】如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB ，栈道AB 与景区道路CD 平行．在C 处测得栈道一端A 位于北偏西42︒方向，在D 处测得栈道另一端B 位于北偏西32︒方向．已知120CD m =，80BD m =，求木栈道AB 的长度（结果保留整数）． （参考数据：17sin 3232︒≈，17cos3220︒≈，5tan 328︒≈，27sin 4240︒≈，3cos 424︒≈，9tan 42)10︒≈【详解】解：过C 作CE AB ⊥于E ，DF AB ⊥交AB 的延长线于F ，则//CE DF ，//AB CD ，∴四边形CDFE 是矩形，120EF CD ∴==，DF CE =，在Rt BDF ∆中，32BDF ∠=︒，80BD =，17cos32806820DF BD ∴=︒=⨯≈，1785sin 3280322BF BD =︒=⨯≈， 1552BE EF BF ∴=-=， 在Rt ACE ∆中，42ACE ∠=︒，68CE DF ==，9306tan 4268105AE CE ∴=︒=⨯=，155********AB AE BE m ∴=+=+≈，答：木栈道AB 的长度约为139m ．【变式1-2】如图，位于A 处的海上救援中心获悉：在其北偏东68︒方向的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东30︒且距离A 点20海里的C 处救生船，此时，遇险船在救生船的正东方向B 处，现救生船沿着航线CB 前往B 处救援，求救生船到达B 处行驶的距离？（参考数据：sin 680.90︒≈，cos680.36︒≈，tan 68 2.50︒≈，1.7)≈【详解】解：如图，延长BC 交AN 于点D ，则BC AN ⊥于D ．在Rt ACD ∆中，90ADC ∠=︒，30DAC ∠=︒，1102CD AC ∴==，AD =．在Rt ABD ∆中，90ADB ∠=︒，68DAB ∠=︒，22B ∴∠=︒，46.81sin ADAB B ∴=≈∠，cos 46.810.9343.53BD AB B =∠≈⨯=，43.531033.53BC BD CD ∴=-=-=，答：救生船到达B 处行驶的距离是33.53km ．【例2】我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学从A地出发，组织学生利用导航到B、C两个地区进行研学考察活动，出发时，发现C地恰好在A地正北方向，且距离A地15.3千米．但是导航显示路线应沿北偏东45°方同走到B地，再沿北偏西37°方向走一段距离才能到达C地，求B，C两地的距离（精确到1千米）．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.7）【详解】解：过B作BD⊥AC，在Rt△ABD中，∠A＝∠ABD＝45°，∴AD＝BD＝x千米，∵AC＝15.3千米，∴CD＝AC﹣AD＝（15.3﹣x）千米，在Rt△BCD中，∠C＝37°，∴tan37°＝＝0.7，即x＝（15.3﹣x）×0.7，解得：x＝6.3，即BD＝6.3千米，∵sinC＝＝0.6，即BC＝＝＝10.5≈11千米，则B，C两地的距离为11千米．某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC＝840m，BC＝500m．请求出点O到BC的距离．参考数据：sin73.7°≈，cos73.7°≈，tan73.7°≈【详解】解：作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，则四边形ONCM为矩形，∴ON＝MC，OM＝NC，设OM＝x，则NC＝x，AN＝840﹣x，在Rt△ANO中，∠OAN＝45°，∴ON＝AN＝840﹣x，则MC＝ON＝840﹣x，在Rt△BOM中，BM＝＝x，由题意得，840﹣x+x＝500，解得，x＝480，答：点O到BC的距离为480m．码头A、B位于东西走向的河岸线l上，一游轮在P处测得码头A在其北偏东70°，游轮向东航行10分钟后到达Q处，此时测得码头B在其北偏东35°．已知游轮的速度为30千米/小时，两码头A、B相距2千米．（1）求点P到河岸线l的距离；（2）若该游轮按原速度从点Q驶向码头B，则它至少需要多长时间才能到达码头B？（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin70°≈，cos70°≈，tan70°≈）【详解】解：（1）过点B作BE⊥PQ于E，作BF∥AP交PQ于点F．∵AB∥PQ，BF∥AP，∴四边形APFB是平行四边形，∴PF＝AB＝2千米，∠EFB＝∠EPA＝20°，∴FQ＝PQ﹣PF＝30×﹣2＝3（千米）．在△BFQ中，∵∠BFQ＝20°，∠FQB＝90°+35°＝125°，∴∠FBQ＝180°﹣∠BFQ﹣∠FQB＝35°，设BE＝x，FQ＝FE﹣QE，FE＝x•tan70°，QE＝35×tan35°，可得x•tan70°﹣35×tan35°＝3，解得x＝．答：点P到河岸线l的距离是千米；（2）∵BQ ＝千米，游轮的速度为30千米/小时，∴该游轮按原速度从点Q 驶向码头B 的时间为：÷30＝（小时）． 答：若该游轮按原速度从点Q 驶向码头B ，则它至少需要小时才能到达码头B ．【变式2-3】海岛A 的周围8 n mile 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B 处测得海岛A 位于北偏东67︒，航行12n mlie 到达C 点，又测得小岛A 在北偏东45︒方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？请说明理由．（参考数据：12sin 6713︒≈，5cos 6713︒，12tan 67)5︒≈【详解】解：作AD BC ⊥，交BC 的延长线于D ，设AD 为xnmile ，由题意得，906723B ∠=︒-︒=︒，904545ACD ∠=︒-︒=︒，则tan 45CD AD x =︒=，12tan 675BD AD x =︒≈，BD CD BC -=， 由题意得，12125x x -=， 解得607x =，6087nmile nmile <，∴渔船没有触礁的危险．题型三、综合类【例1】如图，马路的两边CF，DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A，B两点分别表示车站和超市．CD与AB所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直，马路宽20米，A，B相距62米，∠A＝67°，∠B＝37°．（1）求CD与AB之间的距离；（2）某人从车站A出发，沿折线A→D→C→B去超市B．求他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走多少米．（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）【详解】解：（1）CD与AB之间的距离为x，则在Rt△BCF和Rt△ADE中，∵＝tan37°，＝tan67°，∴BF＝≈x，AE＝≈x，又∵AB＝62，CD＝20，∴x+x+20＝62，解得：x ＝24，答：CD 与AB 之间的距离约为24米；（2）在Rt △BCF 和Rt △ADE 中，∵BC ＝≈＝40，AD ＝≈＝26，∴AD+DC+CB ﹣AB ＝40+20+26﹣62＝24（米），答：他沿折线A →D →C →B 到达超市比直接横穿马路多走约24米．【变式1-1】如图，某学校教学楼AB 的后面有一建筑物CD ，在距离CD 正后方28米的观测点P 处，以22︒的仰角测得建筑物的顶端C 恰好挡住教学楼的顶端A ，而在建筑物CD 上距离地面2米高的E 处，测的教学楼的顶端A 的仰角为45︒，求教学楼AB 的高度（结果保留整数，2tan 22)5︒≈．【详解】解：如图，作EF AB ⊥于F ，则四边形EFBD 是矩形．45AEF ∠=︒，90AFE ∠=︒，45AEF EAF ∴∠=∠=︒，EF AF ∴=，设EF AF x ==，则BD EF x ==，在Rt PAB ∆中，2AB x =+，28PB x =+，tan 22ABPB ∴︒=， ∴22528x x +=+， 解得15x ≈，217AB x ∴=+=．答：教学楼AB 的高度约为17m ．【变式1-2】如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB ，CD ，大楼的底部B ，D 在同一平面上，两幢楼之间的距离BD 长为24米，小明在点E （B ，E ，D 在一条直线上）处测得教学楼AB 顶部的仰角为45°，然后沿EB 方向前进8米到达点G 处，测得教学楼CD 顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F ，H 距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB 的高度AB 长．（精确到0.1米）参考值：≈1.41，≈1.73．【详解】解：延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，如右图所示，由题意可得，MB＝HG＝FE＝ND＝1.6m，HF＝GE＝8m，MF＝BE，HN＝GD，MN ＝BD＝24m，设AM＝xm，则CN＝xm，在Rt△AFM中，MF＝，在Rt△CNH中，HN＝，∴HF＝MF+HN﹣MN＝x+x﹣24，即8＝x+x﹣24，解得，x≈11.7，∴AB＝11.7+1.6＝13.3m，答：教学楼AB的高度AB长约为13.3m．在一次综合实践课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳篷，小明同学绘制的设计图如图所示，其中AB表示窗户，且AB＝2米，BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中正午时刻太阳光与水平线CD的最小夹角∠PDN＝18.6°，最大夹角∠MDN＝64.5°请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳篷中CD的长是多少米？（结果精确到0.1）（参考数据：sin18.6°≈0.32，tan18.6°≈0.34，sin64.5°≈0.90，tan64.5°≈2.1）【详解】解：设CD＝x米，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∠CDB＝∠PDN＝18.6°，CB＝CD×tan18.6°≈0.34x米，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠CDA＝∠MDN＝64.5°，AC＝CD×tan64.5°≈2.1x米，∵AB＝2米，AB＝AC﹣BC，∴2.1x﹣0.34x＝2，解得：x≈1.1，即遮阳篷中CD的长约为1.1米．如图是某斜拉桥引申出的部分平面图，AE，CD是两条拉索，其中拉索CD与水平桥面BE 的夹角为72°，其底端与立柱AB底端的距离BD为4米，两条拉索顶端距离AC为2米，若要使拉索AE与水平桥面的夹角为35°，请计算拉索AE的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin72°≈，cos72°≈，tan72°≈）【详解】解：由题意可得：tan72°＝＝＝，解得：BC＝，则AB＝BC+AC＝+2＝（m），故sin35°＝＝＝，解得：AE≈26.2，答：拉索AE的长为26.2m．【变式1-5】2018年2月17日上午10点34分，我国自主研制的第二架C919大型客机在上海浦东国际机场进行首次飞行，这意味着C919大型客机逐步拉开全面试验试飞的新征程．这大大激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）【详解】解：∵BN∥ED，∴∠NBD＝∠BDE＝37°，∵AE⊥DE，∴∠E＝90°，∴BE＝DE•tan∠BDE≈18.8（cm），如图，过C作AE的垂线，垂足为F，∵∠FCA＝∠CAM＝45°，∴AF＝FC＝25cm，∵CD∥AE，∴四边形CDEF为矩形，∴CD＝EF，∵AE＝AB+EB＝35.8（cm），∴CD＝EF＝AE﹣AF≈10.8（cm），答：线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm．【变式1-6】如图，在一条河流的两岸分别有A，B，C，D四棵景观树，已知AB∥CD，某数学活动小组测得∠DAB＝45°，∠CBE＝73°，AB＝10m，CD＝30m，请计算这条河的宽度．（参考数据：sin73°≈，cos73°≈，tan73°≈）【详解】解：分别过C，D作CF⊥AE于F，DG⊥AE于F，∴∠AGD＝∠BFC＝90°，∵AB∥CD，∴∠FCD＝90°，∴四边形CFGD是矩形，∴CD＝FG＝30m，CF＝DG，在直角三角形ADG中，∠DAG＝45°，∴AG＝DG，在直角三角形BCF中，∠FBC＝73°，∴tan∠FBC＝，tan73°＝，即，解得DG＝，∵AG＝AB+BF+FG＝DG，即10+BF+30＝，解得：BF＝m，则DG＝m，答：这条河的宽度为m．【课堂练习】1、如图所示，小河中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°．若斜坡FA的坡比i＝1：，求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）【详解】解：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，则四边形DMCN是矩形，∵DA＝6，斜坡FA的坡比i＝1：，∴DN＝AD＝3，AN＝AD•cos30°＝6×＝3，设大树的高度为x，∵在斜坡上A处测得大树顶端B的仰角是48°，∴tan48°＝≈1.11，∴AC＝，∴DM＝CN＝AN+AC＝3+，∵在△ADM中，＝，∴x﹣3＝（3+）•，解得：x≈13．答：树高BC约13米．2、小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝80米，为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结果保留整数）（参考数据：）【详解】解：设CD＝x米．在Rt△ACD中，，则，∴；在Rt△BCD中，tan48°＝，则，∴．（4分）∵AD+BD＝AB，∴，解得：x≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米．（6分）3、若商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，扶梯AB的坡度i为1：．改造后的斜坡式动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tanl5°≈0.27）【详解】解：∵扶梯AB的坡度i为1：，∴AD：DB＝1：即DB＝AD．在Rt△ADB中，∵AD2+DB2＝AB2，∴AD2+3AD2＝102解得AD＝±5．因为﹣5不合题意，所以AD＝5．在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，∴AC＝≈≈19.2（m）答：改造后的自动扶梯AC的长约为19.2m．4、共享单车为人们的生活带来了极大的便利．如图，一辆单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A，B之间的距离为49cm，现测得AC，BC与AB的夹角分别为45°，68°．若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为5cm，求点E到地面的距离．（结果保留一位小数，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50）【详解】解：过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝＝0.4x，由AB＝49知x+0.4x＝49，解得：x＝35，∵BE＝5，∴EF＝BEsin68°＝4.65，则点E到地面的距离为CH+CD+EF＝35+28+4.65≈67.7（cm），答：点E到地面的距离约为67.7cm．。
三角函数在初中数学中的应用
三角函数在初中数学中的应用在初中数学学习中，三角函数是比较重要的内容。
在初中阶段，学生主要学习正弦函数、余弦函数和正切函数。
这三个函数在生活中的应用非常广泛，几乎涉及到生活的各个方面。
三角函数在初中数学中的应用，主要分为以下几个方面。
一、图形的模拟三角函数可以用来模拟一些具有规律性的图形，例如：正弦函数可以模拟海浪般的波形，余弦函数可以模拟钟摆的运动，正切函数可以模拟图形的变化趋势。
在初中阶段，学生可以通过计算出每个函数在不同角度下的值，来绘制出完整的图形。
通过这种方式，可以让学生更好地理解三角函数的定义、性质和应用。
二、三角函数在几何中的应用三角函数在初中数学中的应用，最重要的一个方面是在几何学中的应用。
初中阶段学生主要学习平面几何、立体几何和三角形几何。
而正弦函数、余弦函数和正切函数都可以用来计算三角形的各种参数。
例如：学生可以利用正弦定理来计算三角形的角度或者利用余弦定理来计算三角形的边长。
而计算三角形的高度、面积等参数，可以使用三角函数中的正切函数进行计算。
三、三角函数在物理中的应用三角函数在初中数学中的应用，还可以用在物理学中。
在物理学中，三角函数尤其是正弦函数和余弦函数，常常被用来描述周期性的现象。
例如：学生可以利用正弦函数和余弦函数来模拟电磁波的传播、声波的振动以及光的折射等现象。
而在物理学中，正切函数通常用于计算速度、加速度和力等物理量的变化趋势。
四、三角函数在工程领域中的应用三角函数在初中数学中的应用还可以用在工程领域中。
例如在建筑、制造、电子工程、汽车制造等领域，都需要用到三角函数。
例如：在建筑领域中，工人需要计算出房屋的倾斜角度和高度，以此来安装楼梯、门框和捆绑钢管等工作。
而在制造领域中，设计师需要计算出各个部件之间的角度和长度，以此来制作出精确的机械。
五、三角函数在数学竞赛中的应用三角函数在初中数学中的应用，最后一个方面是在数学竞赛中的应用。
学生只有深入理解了三角函数的定义、性质和应用，才能在数学竞赛中取得好成绩。
初中直角三角形中的三角函数应用
初中直角三角形中的三角函数应用直角三角形是初中数学中常见的一个图形，通过对其各种角度的研究和计算，我们可以运用三角函数来解决与直角三角形相关的问题。
本文将探讨一些基本的三角函数应用，帮助初中学生更好地理解和运用三角函数。
一、正弦函数的应用在直角三角形中，我们可以通过对其角度的研究，运用正弦函数来计算其中的某些边长。
以直角三角形ABC为例，其中∠B为90°，AC为斜边，BC为邻边，AB为对边。
根据正弦函数的定义，我们可以得到以下公式：sin ∠B = 对边AB / 斜边AC如果已知∠B的度数和斜边AC的长度，我们可以通过这个公式来计算对边AB的长度。
同样地，如果已知∠B的度数和对边AB的长度，我们也可以通过这个公式来计算斜边AC的长度。
通过正弦函数的应用，我们可以解决类似于以下问题：已知直角三角形的一个角度和斜边的长度，求对边的长度。
或者已知直角三角形的一个角度和对边的长度，求斜边的长度。
二、余弦函数的应用除了正弦函数，余弦函数也是直角三角形中常用的三角函数之一。
在直角三角形ABC中，∠B为90°，AC为斜边，BC为邻边，AB为对边。
我们可以根据余弦函数的定义得到以下公式：cos ∠B = 邻边BC / 斜边AC与正弦函数相似，如果已知∠B的度数和斜边AC的长度，我们可以通过这个公式来计算邻边BC的长度。
同样地，如果已知∠B的度数和邻边BC的长度，我们也可以通过这个公式来计算斜边AC的长度。
通过余弦函数的应用，我们可以解决类似于以下问题：已知直角三角形的一个角度和斜边的长度，求邻边的长度。
或者已知直角三角形的一个角度和邻边的长度，求斜边的长度。
三、正切函数的应用正切函数是另一个常用的三角函数，它在直角三角形中的应用也非常广泛。
在直角三角形ABC中，∠B为90°，AC为斜边，BC为邻边，AB为对边。
我们可以根据正切函数的定义得到以下公式：tan ∠B = 对边AB / 邻边BC如果已知∠B的度数和对边AB的长度，我们可以通过这个公式来计算邻边BC的长度。
初三数学三角函数的应用与证明
初三数学三角函数的应用与证明三角函数是初中数学中重要的知识点之一，它不仅可以用来描述几何形状和角度的关系，还可以应用于实际问题的解决。
本文将介绍三角函数的应用以及一些常见的三角函数证明。
一、三角函数的应用1. 直角三角形的求解在解决直角三角形问题时，三角函数是必不可少的工具。
以求解一般直角三角形的斜边长度为例，我们可以利用正弦函数来解决。
假设直角三角形的一个锐角为θ，斜边长度为c，对边长为a，邻边长为b，则可以得到以下关系式：sinθ = a/c通过这个关系式，我们可以根据给定的两边长度，求解出未知边的长度。
2. 角度的测量在现实生活中，我们经常需要测量角度，例如测量物体的倾斜角度、测量两条线的夹角等等。
此时，三角函数可以帮助我们快速准确地计算角度。
常用的角度测量函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
例如，在测量物体倾斜的角度时，我们可以通过测量物体底部到地面的垂直高度和物体与水平面的夹角来计算出实际的倾斜角度。
3. 三角函数的图像与性质三角函数的图像可以直观地展示它们的周期性和变化规律。
熟练掌握三角函数的图像可以帮助我们更好地理解与应用。
例如，正弦函数的图像是一个周期为2π 的波形，振幅为 1，可以描述物体在振动过程中的变化规律。
余弦函数的图像与正弦函数相似，但相位不同，可以描述物体在周期性变化中的偏移情况。
正切函数的图像是由一系列无穷多的正弦函数组成，可以表示一条无限接近于水平的直线。
二、三角函数的证明1. π/4 的正弦值的证明我们可以通过简单的几何构造证明π/4 的正弦值为√2 / 2。
首先，画一个边长为 1 的正方形，然后将其对角线延伸至边界上的点，形成一个以正方形边长为斜边的直角三角形。
根据勾股定理，设直角边为 x，则斜边为√(x^2 + x^2) = √2x。
根据三角函数的定义，正弦函数为对边与斜边的比值，即sin(π/4) = x / √2x = 1 / √2。
由于√2 / 2 = 1 / √2，因此得证sin(π/4) = √2 / 2。
三角函数的应用
三角函数的应用三角函数是数学中重要的一门分支，广泛应用于各个学科和领域。
它以三角比例关系为基础，通过角度的变化来描述各种物理量的变化规律。
本文将介绍三角函数的几个常见应用。
一、三角函数在几何中的应用1. 直角三角形的求解：在直角三角形中，三角函数可用于求解未知的角度或边长。
其中最常用的是正弦函数、余弦函数和正切函数。
通过已知的两个角度或边长，可以利用这些函数来求解未知的角度或边长。
2. 三角函数在三角形的面积计算中的应用：根据三角形面积的公式，可以利用正弦函数和余弦函数来求解三角形的面积。
这是因为面积与三角形的底边和高直角边之间存在一定的关系，而这个关系可以通过三角函数来表示和计算。
二、三角函数在物理学中的应用1. 幅度和频率的计算：在波动学中，三角函数的正弦和余弦函数被广泛应用于描述周期性的物理量，比如声音和光的波动。
通过正弦函数可以计算出物理量的幅度，而通过余弦函数可以计算出物理量的频率。
2. 矢量的分解和合成：在力学和物体运动学中，矢量的分解和合成是一个重要的概念。
通过三角函数的正弦和余弦函数，可以将一个矢量分解成其在坐标轴上的分量，或者将多个矢量合成成一个总的矢量。
三、三角函数在工程中的应用1. 建筑设计中的测量与角度计算：在建筑设计中，角度的测量和计算是非常重要的。
三角函数可以被应用于建筑物的设计与施工过程中的角度测量和计算，比如台阶的坡度、屋顶的倾斜度等等。
2. 导航和航海中的定位与航向计算：在导航和航海中，三角函数被广泛用于定位和航向的计算。
通过测量角度和距离，结合三角函数的运算，可以准确地确定所在位置和目标的航向。
综上所述，三角函数在几何、物理和工程等领域的应用是不可忽视的。
它们能够帮助我们求解未知、计算面积、描述波动和力学等问题，为各个学科的研究和实践提供了有力的工具。
对于学习者来说，熟练掌握三角函数的知识和应用，将有助于提高数学和科学领域的问题解决能力。
九年级三角函数的应用实例
九年级三角函数的应用实例三角函数是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
在九年级的学习中，我们已经初步接触了正弦、余弦和正切等常用三角函数，并学习了如何在直角三角形中求解角度和边长的问题。
接下来，让我们通过一些实际应用的例子，进一步理解并掌握三角函数的应用。
1. 建筑工程中的角度测量角度测量在建筑工程中起着至关重要的作用。
例如，当我们希望确定两栋高楼之间的夹角时，可以利用三角函数来进行测量。
首先，我们需要准备一个测角仪器，如经纬仪或者全站仪。
然后，我们选择一个参考点A，站在该点上，使用仪器测量参考点A与第一座楼顶的夹角α，以及参考点A与第二座楼顶的夹角β。
通过测量结果，我们可以利用正切函数的性质来计算出两栋楼之间的夹角θ，即θ = β - α。
2. 航海中的航向计算航海中，航向计算是非常重要的。
其中，真航向（True Heading）是指船舶相对于真北方向的夹角，偏航角（Deviation Angle）是指船舶磁罗盘的指示与真航向之间的夹角，而磁航向（Magnetic Heading）则是指船舶相对于磁北方向的夹角。
为了计算这些夹角，我们可以使用余弦函数。
假设我们测得磁北的方向角为α，偏航角为β，那么真航向可以通过如下公式计算得出：θ = α + β。
3. 电子游戏中的角度运动在电子游戏设计中，我们经常需要控制角色的运动。
例如，我们希望让角色向特定方向移动，但只知道该方向与水平方向之间的夹角。
这时，我们可以利用正弦和余弦函数来分解分别计算角色在水平方向和竖直方向上的位移。
假设角色需要向右移动，我们可以设定水平方向上的速度为v，那么角色在水平方向上的位移即为x = v * cosθ，而在竖直方向上的位移为y = v * sinθ。
通过以上的实例，我们可以看到三角函数在各个领域中的广泛应用。
熟练掌握三角函数的性质和应用方法，不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以启发我们在数学思维和逻辑推理方面的能力。
初中数学知识归纳三角函数的应用
初中数学知识归纳三角函数的应用三角函数是初中数学中重要的概念之一，它不仅在几何形状的计算中有广泛的应用，还在实际问题的解决中发挥着重要作用。
本文将对初中数学中三角函数的应用进行归纳总结，并给出一些具体的例子说明。
一、角度与弧度的转换在应用三角函数中，角度和弧度是两种常见的度量方式。
角度是指以角的两边为基准，通过度数表示的量；而弧度是指以角所对应的圆的半径为基准，通过弧长表示的量。
它们之间有一个重要的转换关系，即：弧度 = 角度× π/180角度 = 弧度× 180/π二、三角函数的基本关系在初中数学中，根据一个直角三角形的定义，我们可以得出以下三角函数的基本关系：1. 正弦函数（sin）：对于一个直角三角形，正弦函数定义为对边与斜边的比值，即 sinA = 对边/斜边。
2. 余弦函数（cos）：对于一个直角三角形，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，即 cosA = 邻边/斜边。
3. 正切函数（tan）：对于一个直角三角形，正切函数定义为对边与邻边的比值，即 tanA = 对边/邻边。
三、三角函数在几何形状计算中的应用1. 应用一：三角函数在直角三角形中的应用直角三角形是应用三角函数的最基本形式之一。
通过计算三角函数的值，我们可以求解直角三角形的各边长和角度。
例如，已知一个角的正弦函数值为0.5，我们可以通过反三角函数求解出该角度近似等于30度。
2. 应用二：三角函数在平行四边形中的应用平行四边形是另一个常见的几何形状，而三角函数在求解平行四边形的面积时有重要应用。
假设平行四边形的对角线长度为a，夹角为θ，则平行四边形的面积为S = a^2sinθ。
四、三角函数在实际问题中的应用除了在几何形状的计算中应用外，三角函数还在实际问题的解决中发挥着重要作用。
1. 应用一：测量不可直接测量的长度在实际测量中，某些长度无法直接进行测量，但通过应用三角函数可以间接求解。
例如，通过测量某一斜边的长度和与地平线的夹角，利用三角函数可以计算出相对高度。
中考数学三角函数的基础应用
中考数学三角函数的基础应用数学是一门广泛应用于各个领域的学科，其中三角函数是数学中的重要内容之一。
在中考数学中，三角函数的基础应用也是考试内容的一部分。
本文将探讨三角函数的基础应用，包括角度的表示、正弦、余弦、正切函数的定义与性质，以及在几何图形中的应用等方面，旨在帮助读者更深入地理解和掌握三角函数的应用。
一、角度的表示角度是三角函数中的基本概念之一，它通常用度数来表示。
在三角函数中，常见的度数制表示方法包括度（°）、分（'）和秒（''）三个单位。
其中，1°可以分为60'，1'可以再分为60''。
通过这种度数制的表示方法，我们可以更加准确地描述角度的大小。
二、正弦、余弦、正切函数的定义与性质1. 正弦函数在三角函数中，正弦函数是最常见的一种函数。
它是一个周期函数，周期为360°（或2π弧度）。
正弦函数的定义域是全体实数，值域是闭区间[-1, 1]。
我们可以通过观察其图像来了解正弦函数的性质，例如在第一象限和第二象限中，正弦函数的值大于0；而在第三象限和第四象限中，正弦函数的值小于0。
2. 余弦函数与正弦函数类似，余弦函数也是一个周期函数，周期也是360°（或2π弧度）。
余弦函数的定义域和值域与正弦函数相同，即定义域是全体实数，值域是闭区间[-1, 1]。
与正弦函数相比，余弦函数在第一象限中的值大于0，而在第二、三、四象限中的值小于0。
3. 正切函数正切函数是另一个常见的三角函数，它的定义域通常是除去所有与余弦函数为零的实数。
正切函数的值域是全体实数。
与正弦、余弦不同，正切函数的图像并没有周期性，我们可以通过观察其图像来了解正切函数的性质。
三、三角函数的应用三角函数的基本应用之一是在几何图形中的应用。
例如，在矩形、三角形等几何图形中，我们可以利用三角函数来求解边长、角度等问题。
在解题过程中，我们可以根据已知条件，利用正弦、余弦、正切等函数来建立方程，进而求解未知量。
九年级数学三角函数的应用
其他领域应用举例
工程学
在工程学中，三角函数可用于计算角度、长度等参数，解决各种实际问题。例如，在建筑 设计中，利用三角函数可以计算出建筑物的角度和高度等关键参数。
物理学
在物理学中，三角函数可用于描述简谐振动、波动等现象。例如，利用正弦和余弦函数可 以描述弹簧振子的振动过程，以及波动在介质中的传播情况。
波动现象描述与预测
波动率建模
在金融领域，三角函数可用于建模波动率。例如，利用正弦和余弦函数构建波动 率模型，可以描述股票价格的波动情况，并用于预测未来的波动趋势。
周期性波动预测
对于具有周期性波动的现象，如电力负荷、交通流量等，可以利用三角函数进行 预测。通过历史数据的分析和拟合，可以预测未来一段时间内的波动情况，为决 策提供支持。
已知一边一角求其他两边
在直角三角形中，如果我们知道一条边的长度和一个锐角的大小，可以利用三角函数求出另外两条边 的长度。具体方法包括利用正弦、余弦函数求出未知边的长度，以及利用正切或余切函数求出另一个 锐角的大小。
03
三角函数在物理中的应用
简谐振动与正弦函数关系
简谐振动的定义
振幅、周期和频率
物体在一定范围内周期性地来回运动， 称为简谐振动。
指导学生运用三角函数知识，建立 与实际问题相符的数学模型，如通 过设立坐标系、确定角度和边长等 方式构建几何图形。
模型求解与验证
引导学生运用数学方法求解模型， 得出数学结论，并将结论与实际问 题进行比对，验证模型的合理性。
跨学科知识融合，提高综合解决问题能力
1 2
物理背景中的三角函数
结合物理学科中的振动、波动等知识点，让学生 理解三角函数在描述周期性现象中的应用。
倍角公式
sin2a=2sinacosa，cos2a=cos²a-sin²a。这些公式用于将二倍角的 三角函数转化为基础角的三角函数。
中考重点三角函数及其应用
中考重点三角函数及其应用中考重点：三角函数及其应用一、三角函数的基本概念和关系三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
在中考中，对于三角函数的认识和运用是重点考查的内容。
1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数，它们的定义如下：对于任意角θ（θ为弧度制），其正弦值为sinθ，余弦值为cosθ。
在直角三角形中，以角θ为锐角，邻边和斜边的比值称为正弦，邻边和斜边的比值称为余弦。
在解决三角函数相关问题时，需要掌握基本的正弦函数和余弦函数的性质，以便进行计算和推导。
2. 正切函数和余切函数正切函数和余切函数是另外两个常用的三角函数，它们的定义如下：对于任意角θ（θ为弧度制），其正切值为tanθ，余切值为cotθ。
在直角三角形中，以角θ为锐角，邻边和对边的比值称为正切，对边和邻边的比值称为余切。
与正弦函数和余弦函数类似，正切函数和余切函数也具有特定的性质，需要在解题过程中正确运用。
二、三角函数的应用三角函数在数学中的应用非常广泛，涉及代数、几何、物理等多个领域。
在中考中，三角函数的应用是一个重点考察的内容，下面我们来介绍几个常见的应用场景。
1. 三角形的计算三角函数在解决三角形相关问题时起到了重要的作用。
在计算三角形的边长、角度等问题时，可以通过运用正弦定理、余弦定理等方法来求解。
以计算三角形的面积为例，假设已知三角形的两边长分别为a和b，夹角为θ，则三角形的面积可以通过公式S=1/2ab*sinθ来计算得出。
这个公式利用了正弦函数的性质，很好地体现了三角函数在几何中的应用。
2. 直角三角形的求解直角三角形是最简单的三角形形式之一，它的特点是其中一个角为90度。
在解决直角三角形相关问题时，可以运用三角函数来求解未知变量。
例如，已知一个直角三角形的斜边长为c，一个锐角为θ，则可以通过运用正弦函数和余弦函数的关系来计算出其他两条边的长度。
三、解决问题的思路和方法在中考中，对于三角函数的应用题目，解题的思路和方法往往是非常重要的。
九年级数学三角函数的应用
九年级数学三角函数的应用在九年级数学学习中，三角函数是一项重要且常见的内容。
三角函数的应用广泛而深入，涉及到各种实际问题的解决。
本文将从几个常见的应用角度，探讨三角函数在实际问题中的应用。
一、三角函数在建筑设计中的应用建筑设计中，三角函数的运用非常广泛。
例如，设计一个斜坡的角度，可以利用三角函数中的正切函数来求解。
假设我们要修建一个连接两个高度不同的地点的斜坡，可以通过测量两地之间的水平距离和垂直高度差来求解斜坡的角度。
根据正切函数的定义，我们可以得到如下公式：角度 = arctan（垂直高度差 / 水平距离）通过计算，可以求解出合适的角度值，从而合理设计斜坡的倾斜度，确保斜坡的安全性和舒适度。
除了斜坡设计，三角函数还可以应用于其他建筑设计中，比如楼梯的设计、屋顶的倾斜角度等。
通过运用三角函数的知识，建筑师可以更好地进行设计和规划，使建筑物更加符合人们的需求。
二、三角函数在航海导航中的应用航海导航是三角函数的另一个常见应用领域。
在航海中，船只需要根据指定的方向和目标位置，通过测量自身的坐标和目标位置的坐标，来确定自身的航向角和航行距离。
三角函数中的正弦函数、余弦函数和正切函数在航海导航中扮演着重要角色。
以求解航向角为例，我们可以利用正弦函数或者余弦函数求解。
假设船只当前位置的坐标为（x1，y1），目标位置的坐标为（x2，y2），则航向角可以通过下列公式求解：角度 = arctan（（y2 - y1）/（x2 - x1））通过计算，船只在航行时可以根据目标位置的坐标和当前位置的坐标，准确地确定航向角，确保船只沿着正确的路径航行。
航海导航中还有其他许多应用，比如求解航线距离、确定船只的行驶速度等。
三角函数在航海导航中的运用，提高了导航的准确性和效率。
三、三角函数在天文学中的应用天文学中，三角函数的应用也是不可或缺的。
天文学家利用三角函数的相关概念和公式，来解释和计算天体运动、测量距离等相关问题。
以测量距离为例，天文学家经常需要测量星体之间的距离。
初中数学知识归纳三角函数的应用的应用
初中数学知识归纳三角函数的应用的应用三角函数是数学中的一个重要分支，它与几何图形和角度密切相关，广泛应用于各个领域。
在初中数学学习中，我们学习了三角函数的定义、性质和常见的应用。
那么，在这篇文章中，我们将进一步归纳总结三角函数的应用。
1. 角度的度与弧度制在学习三角函数之前，我们需要了解角度的度与弧度制的转换。
角度的度通常用°表示，而弧度制则用弧长与半径的比值表示。
它们之间可以通过如下的转换公式相互转换：角度（°）= 弧度（rad）× (180/π)弧度（rad）= 角度（°） ×(π/180)2. 三角函数的定义与性质在初中数学中，我们学习了三角函数的定义与性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的定义如下：正弦函数（sin）：对于一个任意角A，它的正弦值定义为其对边与斜边的比值，即sin(A) = 对边/斜边。
余弦函数（cos）：对于一个任意角A，它的余弦值定义为其邻边与斜边的比值，即cos(A) = 邻边/斜边。
正切函数（tan）：对于一个任意角A，它的正切值定义为其对边与邻边的比值，即tan(A) = 对边/邻边。
除了定义之外，三角函数还具有一些重要的性质，如周期性、奇偶性等。
这些性质在解题时会有所应用。
3. 直角三角形中的应用在初中数学中，我们学习了直角三角形中三角函数的应用。
利用正弦、余弦、正切函数可以求解直角三角形中的边长和角度。
例如，已知一个角的正弦值，我们可以通过反正弦函数求解出该角的度数。
同理，利用余弦和正切函数也可以进行相应的求解。
除了求解直角三角形中的边长和角度外，三角函数还可以用于解决实际问题。
例如，通过测量建筑物与地平线之间的角度，我们可以利用正切函数计算出建筑物的高度。
4. 三角恒等式的应用三角恒等式是指对于任意角A，恒等式都成立的性质。
初中数学中，我们学习了一些常见的三角恒等式，如正弦定理、余弦定理等。
这些恒等式在解决各类三角形相关的问题时非常重要。
三角函数的应用
三角函数的应用
三角函数是数学中的一种基本函数，广泛应用于各种数学问题中。
本文将介绍三角函数在几何、物理、工程等领域中的应用。
几何应用
1. 求角度：可以利用正弦、余弦和正切函数来求解三角形的角度。
例如，已知三角形两条边的长度，可以通过正切函数求得其夹角。
2. 求边长：三角函数可以用于计算三角形中未知边长的长度。
例如，已知一个角度和与之相邻的一边的长度，则可以通过正弦或余弦函数计算出另外两条边的长度。
3. 解决三角形的面积问题：三角函数可以帮助计算不规则三角形的面积。
例如，可以通过正弦公式求出三角形面积。
物理应用
1. 物体运动的计算：正弦和余弦函数可以用来描述物体在水平
方向和垂直方向的运动。
2. 振动和波动：三角函数也被广泛运用于描述振动和波动现象。
例如，正弦函数可以描述声波的传播，余弦函数可以描述气体分子
在空气中的振动。
工程应用
1. 静力学：三角函数可以用来解决物体在平衡状态下的问题。
例如，可以通过正弦和余弦函数计算某个角度对应的平衡点位置。
2. 电学：三角函数可以用来描述交流电路的行为。
例如，可以
利用正弦函数描述电流和电压的周期变化。
综上所述，三角函数在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用，是数学中的一种基本工具。
掌握三角函数的应用可以帮助我们
更好地理解和解决各种实际问题。
九年级三角函数的简单应用
九年级三角函数的简单应用在九年级数学课程中，三角函数是一个重要的部分，它对于解决各种实际问题都有着广泛的应用。
本文将介绍三角函数的简单应用，包括角度的求解、边长的计算以及实际问题的解决。
一、角度的求解在三角函数中，我们常常需要求解给定三角函数值对应的角度。
例如，已知正弦函数值为0.5，我们需要求解对应的角度。
这时，我们可以利用反正弦函数来完成角度的求解。
具体步骤如下：1. 利用反正弦函数sin^(-1)来求解角度。
假设sin^(-1)(0.5)=θ，其中θ为待求解的角度。
2. 通过计算可知，sin(θ)=0.5，即θ为sin函数取0.5时对应的角度。
3. 通过查表或使用计算器，我们可以得到θ≈30°。
二、边长的计算三角函数在求解边长方面也有广泛的应用。
常见的例子包括已知一个角度和一个边长，我们需要求解另一个边长。
以下是两个常见的应用示例：1. 已知一个锐角三角形的一个角度为30°，边长为5，我们需要求解另一个边长。
解法：根据已知条件，我们已知角A=30°和边a=5。
我们可以利用正弦函数来求解边b。
sin(A)=边b/边a，即sin(30°)=边b/5。
通过计算可知，边b≈2.5。
2. 已知直角三角形的一个角度为45°，斜边长为10，我们需要求解另一个直角边的长度。
解法：根据已知条件，我们已知角A=45°和斜边c=10。
我们可以利用余弦函数来求解直角边的长度。
cos(A)=直角边/斜边，即cos(45°)=直角边/10。
通过计算可知，直角边≈7.07。
三、实际问题的解决除了基本的角度和边长计算外，三角函数在解决实际问题中也有重要应用。
以下是一个示例：某物体距离地面6米，投掷角度为45°，初速度为20米/秒。
我们需要求解物体的飞行时间和水平距离。
解法：将问题拆分为竖直方向和水平方向两个分量来分析。
1. 竖直方向：物体在竖直方向上的运动可以使用正弦函数来描述。
2023年人教版九年级上册：三角函数的实际应用
2023年人教版九年级上册：三角函数的实际应用介绍这份文档将探讨九年级上册人教版教材中关于三角函数的实际应用。
我们将讨论三角函数在实际生活中的应用以及解决问题时的具体方法。
三角函数的实际应用在建筑与工程中的应用三角函数在建筑与工程领域中有广泛应用。
比如，在测量和设计建筑物时，可以使用三角函数来计算角度、高度和距离等。
在航海与航空中的应用航海和航空导航也需要使用三角函数。
通过观测恒星的高度，可使用三角函数计算出纬度和经度。
此外，在飞行时，也需要使用三角函数来计算飞机的位置和航向。
在地球科学中的应用地球科学中也广泛使用三角函数，包括地质学、地形学和地震学等领域。
科学家利用三角函数来计算地壳的抬升和沉降、地震的震级和震源位置等重要参数。
在天文学中的应用三角函数在天文学研究中也起到重要作用。
天文学家使用三角函数计算星体的视差、视直径和距离等。
这些计算能帮助我们更好地了解宇宙的奥秘。
解决问题的方法在实际应用中，我们可以使用以下方法来解决与三角函数相关的问题：1. 确定问题类型：首先需要确定问题是属于角度、距离还是高度等方面的计算。
这将有助于选择合适的三角函数公式。
2. 确定已知量和未知量：确定问题中已知的数值和需要求解的未知数。
这将为后续计算提供参考。
3. 应用适当的三角函数公式：根据问题类型和已知量，选择适当的三角函数公式进行计算。
可以根据需要使用正弦、余弦或正切函数。
4. 进行计算：将已知量代入公式，进行计算并求解未知量。
5. 检查结果：完成计算后，应进行结果的合理性检查。
确保计算过程和结果符合实际情况。
总结三角函数在各个领域中都有着实际的应用价值。
通过了解三角函数的实际应用和解决问题的方法，我们可以更好地理解和应用数学知识，提升自己的研究成果。
以上是对2023年人教版九年级上册教材中关于三角函数的实际应用的简要介绍和探讨。
希望这份文档对您有所帮助！。
九年级数学三角函数的应用
做一做P16 5
测量物体的高度
活动三:测量底部不可以到达的物体的高度. 所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测 得测点与被测物体底部之间的距离. 如图,要测量物体MN的高度,可以按下列步骤进行: 1.在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α. 咋 2.在测点A与物体之间的B处安置测倾(A,B与N在一 办 条直线上),测得M的仰角∠MCE=β. 3.量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点 A,B之间的距离AB=b. 根据测量数据,你能求出物体MN的高 度吗?说说你的理由.
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是在这里蹲点吧！”“你就不能配合点吗。”“你又没让我配合。”……被人遗忘的慕容凌娢终于从地上站了起来，但 感觉自己的脑细胞正急速死亡，智商再次跌入谷底。韩哲轩怎么会知道我的真名？百蝶好像也知道他去找过夏桦。 “呃……”慕容凌娢强壮镇定的笑了笑，“韩哲轩你怎么会在这里？”“百蝶不是说了吗，我就是在这里专门等你们 的。”韩哲轩极其爽快的承认了自己的行为，“我看见你们两个出来，就跟上了。刚想叫住你就看见你往后摔了……幸 好我闪的快……”这剧情跟我想的怎么不一样？按照言情小说的正常套路，我不是应该被人准确无误的接住吗？然后不 就顺理成章的……慕容凌娢居然做起了花痴的白日梦。慕容凌娢把自己的幻想和现实仔细对照了一下，又看了看面前这 个笑得漫不经心的人，悲痛的捂住了脸……童话里的故事果真都是骗人的……自己怎么能指望这种人呢？“凌娢你怎么 了？”百蝶看着一直发呆的慕容凌娢，稍许有些担忧，“不会真的摔傻了吧！”“没……没事。”慕容凌娢紧张的摇了 摇头，生怕百蝶看出什么端倪。“不过韩哲轩，你怎么会知道我的真名？”既然韩哲轩知道了自己的名字，也就是知道 了自己一开始就说了谎，真的好尴尬啊！“像我这种开挂玩家，怎么能连这种东西都不知道呢。”韩哲轩居然没有再提 起“白绫”这个化名，这让慕容凌娢很是欣慰。“是夏先生告诉你的吧！”慕容凌娢绝对不会相信这是可以猜到的东西。 “如果你乐意这样想，我不介意。”(古风一言)那时，谁绣芙蓉鸳鸯戏。而今，谁惹青丝千里外。第016章 原来不是青 楼“是夏先生告诉你的吧！我的真名。”慕容凌娢绝对不会相信这是可以猜到的东西。“如果你乐意这样想，我不介 意。”韩哲轩摊开双手，还是一副漫不经心的样子。“那看来是我想错了，你是怎么知道的？”“猜得。”“哦，原来 是这样啊……”慕容凌娢表面上笑着说，心里却在告诫自己，冷静……一定要冷静，不能着急，不能生气……这算是答 复吗？太敷衍了吧！不想告诉我就直说吗，真是烦人。韩哲轩最终也没有告诉慕容凌娢他是怎么知道她的真实姓名的， 因为这个话题很快就被百蝶机智的转移了，她可不想看着两个人如此尴尬的僵持在大街上，毕竟这样太引人注意了。 “凌娢，你不是觉得饿了吗？赶快走吧。”百蝶拉着慕容凌娢的胳膊便将她向前拖去，强行拉开了她和韩哲轩的距离。 “就是，如果为了那种小事而饿死在大街上可就划不来了。”要不是被百蝶拉着，慕容凌娢早就扑上去把韩哲轩暴打一 顿了，尤其是他那张好看但欠揍的脸，总是笑得让人很不爽。不过话说回来，那个高度对她来说可能不太好触碰。“要 不是害怕胳膊疼，我早就把你的脸打成猪头了！”就算打不成，气势
三角函数的应用场景
三角函数的应用场景
三角函数在多个领域都有广泛的应用，以下是一些主要的应用场景：
1.工程学：在建筑工程、桥梁工程、道路工程等领域，三角
函数被广泛应用于计算角度、长度和高度等参数。
例如，工程师可以使用三角函数来计算建筑物的高度、结构的稳定性和材料的应力等。
2.物理学：三角函数在物理学中也有重要的应用。
例如，在
研究力学问题时，三角函数可以帮助解决力与力之间的转换，并列出平衡方程。
此外，三角函数还可以用于计算物体运动的速度、加速度和位移等参数。
3.导航和航空：在航海和航空领域，三角函数被用于计算船
舶或飞机的位置、航向和速度。
例如，航海员可以使用三角函数来计算经度和纬度，从而确定船舶的位置。
飞行员也可以使用三角函数来计算飞行航线和导航点。
4.地理测量：地理学家和测量员可以使用三角函数来测量地
球表面上的距离、海拔高度和地形特征。
例如，通过测量角度和距离，可以计算出地形的高度和坡度等参数。
5.信号处理：在信号处理领域，三角函数被用于分析和处理
波形信号。
例如，在音频处理中，可以使用三角函数来表示音频信号的振幅和相位等参数，从而进行音频合成、滤波和降噪等操作。
总之，三角函数作为一种基本的数学工具，在多个领域都有广泛的应用。
通过学习和掌握三角函数的定义、性质和应用场景，可以更好地理解和解决各种实际问题。
九年级数学三角函数的计算与应用
九年级数学三角函数的计算与应用在九年级的数学学习中，三角函数是一个重要的知识点。
三角函数的计算与应用是九年级数学学习中的重难点，也是应用性较强的内容之一。
本文将围绕三角函数的计算与应用展开讨论，帮助同学们更好地理解与掌握该知识。
一、基本概念与性质在开始讨论三角函数的计算与应用之前，我们首先需要了解其基本概念与性质。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义如下：1. 正弦函数（sin）：对于任意角θ，其正弦函数的值等于它所对应的直角三角形中对边与斜边的比值，即sinθ = 对边 / 斜边。
2. 余弦函数（cos）：对于任意角θ，其余弦函数的值等于它所对应的直角三角形中邻边与斜边的比值，即cosθ = 邻边 / 斜边。
3. 正切函数（tan）：对于任意角θ，其正切函数的值等于它所对应的直角三角形中对边与邻边的比值，即tanθ = 对边 / 邻边。
此外，三角函数还具有周期性、奇偶性等性质，这些性质对于计算和应用都是非常重要的。
二、三角函数的计算掌握三角函数的计算方法是九年级数学学习的关键。
在计算中，我们经常会用到特殊角的值以及三角函数的基本关系。
1. 特殊角的值：a. 0度角的正弦值为0，余弦值为1，正切值为0；b. 30度角的正弦值为1/2，余弦值为√3/2，正切值为√3/3；c. 45度角的正弦值为1/√2，余弦值为1/√2，正切值为1；d. 60度角的正弦值为√3/2，余弦值为1/2，正切值为√3；2. 三角函数的基本关系：a. 正弦函数与余弦函数：sinθ = cos(90° - θ)；b. 余弦函数与正切函数：cosθ = sin(90° - θ)；c. 正弦函数与正切函数：sinθ = tanθ / √(1 + tan^2θ)。
三、三角函数的应用三角函数的应用广泛存在于日常生活和实际问题中，特别是在几何、物理等学科中。
以下是一些具体的应用场景：1. 三角函数在几何中的应用：a. 通过已知两边的长度和夹角的大小，可以计算出三角形的面积；b. 利用三角函数可以计算出任意角的正弦值、余弦值和正切值。
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初三数学三角函数应用1.小楠家附近的公路上通行车辆限速为60千米/小时．小楠家住在距离公路50米的居民楼（如图8中的P点处），在他家前有一道路指示牌MN正好挡住公路上的AB段（即点AMP、、和点BNP、、分别在一直线上），已知MN∥AB，︒=∠30MNP，︒=∠45NMP，小楠看见一辆卡车通过A处，7秒后他在B处再次看见这辆卡车，他认定这辆卡车一定超速，你同意小楠的结论吗请说明理由．(参考数据：2≈，3≈2.如图是某货站传送货物的平面示意图，AD与地面的夹角为60°．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°成为37°，因此传送带的落地点由点B到点C 向前移动了2米．（1）求点A与地面的高度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米，那么请判断距离D点14米的货物Ⅱ是否需要挪走，并说明理由．(参考数据：sin37°取，cos37°取，tan371.73)C3.如图10，一条细绳系着一个小球在平面内摆动.已知细绳从悬挂点O到球心的长度OG为50厘米，小球在左、右两个最高位置时（不考虑阻力等其他因素），细绳相应所成的角为︒90.（1（2）联结EG，求OGE∠的余切值.4.通过学习锐角三角比，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化。
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。
我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can ，如图（1）在△ABC 中，AB =AC ，底角B 的邻对记作can B ，这时can B BC AB==底边腰，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的。
根据上述角的邻对的定义，解下列问题： （1）can30°= ；（2）如图（2），已知在△ABC 中，AB =AC ，can B 58=，24=∆ABC S ，求△ABC 的周长．5.如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2千米，点B 位于点A 北偏东60°方向且与点A 相距10千米处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A 正北方向的点D 处． （1）求观测点B 到航线l 的距离； （2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．（参考数据：1.73，sin760.97°≈，cos760.24°≈，tan76 4.01°≈）6.冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机。
某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼。
该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼前面15米处要盖一栋高20米的新楼.已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°. (参考数据：sin29°≈；cos29°≈；tan29°≈(1)CAl（第12题图）否有影响，为什么(2) 若要使得超市采光不受影响，两楼应至少相距多少米（结果保留整数）7.如图，要在宽为28米的公路AB路边安装路灯，路灯的灯臂CD长为3米，且与灯柱BC成150°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DE与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DE能过公路路面的中点时照效果最理想。
问应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果。
（结果保留根号）年5月，第42届世博会将在上海隆重开幕，为了体现“城市让生活更美好”的理念，市政府对许多基础设施进行修缮。
如图，某地下车库的入口处有斜坡BC 长为米，其坡度为1:2i =，为增加行车安全，现将斜坡的坡角改造为15．（参考数据：sin150.259≈，966.015cos = ，tan150.268≈，cot15 3.732≈）（1）求车库的高度CD ；（2）求斜坡新起点A 与原起点B 的距离（结果精确到0.1米）．、9.林场工作人员王护林要在一个坡度为5∶12的山坡上种植水杉树，他想根据水杉的树高与光照情况来确定植树的间距.他决定在冬至日（北半球太阳最偏南），去测量一棵成年水杉树，测得其在水平地面上的影长AB =16米，测得光线与水平地面夹角为α，已知53sin =α.（如图1）（1）请根据测得的数据求出这棵成年水杉树的高度（即AT 的长）；（2）如图2，他以这棵成年水杉树的高度为标准，以冬至日在该山坡上种植水杉树的间距少多少米(精确到1.0米)（图1） （图2）10.小明是世博志愿者，前不久到世博园区参观。
园区的核心区域“一轴四馆”（如左图所示）引起了他的关注。
小明发现，世博轴大致上为南北走向，演艺中心在中国馆的正北方向，世博中心在中国馆的北偏西45°方向，且演艺中心、世博中心到中国馆的距离相等.从中国馆出发向西走大约200米，到达世博轴上的点E 处，这时测得世博中心在北偏西°方向。
小明把该核心区域抽象成右侧的示意图（图中只显示了部分信息）.（1）把题中的数据在示意图上标出，有关信息用几何语言加以描述（如AB ∥MN 等）；（2）试求出中国馆与演艺中心的距离（精确到1米）．（备用数据：5.06.26tan ,9.06.26cos ,45.06.26sin =︒=︒=︒，2 1.414=）．11.高速公路BC (公路视为直线)的最高限速为120千米／时(即E .. A世博.B 演艺世博中心主题馆1003米／秒)．在该公路正上方离地面20米的点A 处设置了一个测速仪（如图九所示）．已知点A 到点B 的距离与点A 离地面的距离之比为13: 5，点A 测得点C 的俯角为30°．(1)求点B 与点C 的距离；(2) 测速仪监测到一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是秒，试通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速(参考数据：7.13≈)12.. 教材中第25章锐角的三角比，在这章的小结中有如下一段话：锐角三角比定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系.在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：（图Ａ•等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）.如图，在△ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sad A =BCAB=底边腰.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述对角的正对定义，解下列问题：（1）sad 60︒的值为（ ▼ ）A. 12B. 1C.2D . 2 （2）对于0180A ︒<<︒，∠A 的正对值sad A 的取值范围是 ▼ .（3）已知3sin 5α=，其中α为锐角，试求sad α的值.三角函数的应用复习题1.小楠家附近的公路上通行车辆限速为60千米/小时．小楠家住在距离公路50米的居民楼（如图8中的P 点处），在他家前有一道路指示牌MN 正好挡住公路上的AB 段（即点A M P 、、和点B N P 、、分别在一直线上），已知MN ∥AB ， ︒=∠30MNP ，︒=∠45NMP ，小楠看见一辆卡车通过A 处，7秒后他在B 处再次看见这辆卡车，他认定这辆卡车一定超速，你同意小楠的结论吗请说明理由． (参考数据：2≈，3≈解：同意小楠的结论．过点P 作AB PQ ⊥，垂足为Q ． ∵MN ∥AB ，∴︒=∠=∠45PMN PAQ ，︒=∠=∠30PNM PBQ 在Rt △PQA 中，︒=∠90PQA∵PQAQPAQ =∠cot ，∴5015045cot =⨯=︒⋅=PQ AQ 在Rt △PQB 中，︒=∠90PQB ∵PQBQPBQ =∠cot ，∴35030cot =︒⋅=PQ BQ ∴)31(50+=+=BQ AQ AB ≈5.13673.250=⨯， ∵2.701000736005.13675.136=⨯⨯==秒米实际v 千米/小时＞60千米/小时．（1分）∴小楠的结论是正确的2.已知：如图，斜坡AP 的坡度为1∶，坡长AP 为26米，在坡顶A 处的同一水平面上有一座古塔BC ，在斜坡底P 处测得该塔的塔顶B 的仰角为45°，在坡顶A 处测得该塔的塔顶B 的仰角为76°．求：（1）坡顶A 到地面PQ 的距离；（2）古塔BC 的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈，cos76°≈，tan76°≈）解：（1）过点A 作AH ⊥PQ ，垂足为点H ．∵斜坡AP 的坡度为1∶，∴125=PHAH． 设AH =5k ，则PH =12k ，由勾股定理，得AP =13k ． ∴13k =26． 解得k =2． ∴AH =10．答：坡顶A 到地面PQ 的距离为10米． （2）延长BC 交PQ 于点D ．∵BC ⊥AC ，AC ∥PQ ，∴BD ⊥PQ ．∴四边形AHDC 是矩形，CD =AH =10，AC =DH ．∵∠BPD =45°，∴PD =BD ．设BC =x ，则x +10=24+DH ．∴AC =DH =x -14．在Rt △ABC 中，ACBC =︒76tan ，即0.414≈-x x ．解得356=x ，即19≈x ．答：古塔BC 的高度约为19米．3.小明在电视塔上高度为450米的A 处，测得大楼CD 楼顶D 的俯角为032。
小杰在大楼楼底C 处测得A 处的仰角为045.A CDB（1）求大楼与电视塔之间的距离BC ； （2）求大楼的高度CD （精确到1米）． （参考数据：62.032tan ,85.032cos ,53.032sin 000≈≈≈解：(1)由题意可知：m 450AB =，︒=∠45ACB ，︒=∠90B 在ABC RT △中, BC AB ACB tan =∠∴BC45045tan =︒，解得m 450BC =∴大楼与电视塔之间的距离BC 的长为m 450。
(2)过点D 点作DF ⊥AB ，垂足为F ．由题意可知：m 450BC DF ==，︒=∠=∠32FDA DAE ，︒=∠90AFD ，CD BF =在ADF RT △中, DFADADF tan =∠ ∴m 27962.045032tan DF AD ≈⨯≈︒⋅= ∴m AD AB BF CD 171279450≈-≈-== ∴大楼的高度CD 约为m 171。
4．.如图是某货站传送货物的平面示意图， AD 与地面的夹角为60°．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°成为37°， 因此传送带的落地点由点B 到点C 向前移动了2米．（1）求点A 与地面的高度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米，那么请判断距离D 点14米的货物Ⅱ是否需要挪走，并说明理由．(参考数据：sin37°取，cos37°取，tan371.73)解：（1）作AE ⊥BC 于点E ，设AE x =,在Rt△ACE 中，4cot 3CE AE ACE x =⋅∠=， 在Rt△ABE 中， cot BE AE ABE x =⋅∠=， ∵BC=CE-BE ，423x x -= 解得6x =． 答：点A 与地面的高度为6米． （2）结论：货物Ⅱ不用挪走．在Rt△ADE 中，cot 63ED AE ADE =⋅∠=⨯= cot 8CE AE ACE =⋅∠=∴CD=CE+ED =811.46+≈1411.46 2.542-=>∴货物Ⅱ不用挪走．C5，一艘轮船自南向北航行，在A 处测得北偏东21.3︒方向有一座小岛C ，继续向北航行60海里到达B 处，测得小岛C 此时在轮船的北偏东°方向上．之后，轮船继续向北航行约多少海里，距离小岛C 最近 （参考数据：925sin 21.3︒≈，25tan 21.3︒≈， 9sin63.510︒≈，tan63.52︒≈）解：过点C 作AB 的垂线，垂足为点D ．设BD x =，在Rt BCD ∆中，tan tan63.5CD CBD BD∠=︒=，∴tan63.5CD x =⋅︒．在Rt ACD ∆中， tan tan 21.3CD A AD=︒=，∵60AD AB BD x =+=+，∴()60tan 21.3CD x =+⋅︒．∴()tan 63.560tan 21.3x x ⋅︒=+⋅︒，∵25tan 21.3︒≈，tan63.52︒≈，解，得 15x ≈．答：轮船继续向东航行约15海里，距离小岛C 最近.ABC6．如图7，小岛B 正好在深水港口A 的东南方向，一艘集装箱货船从港口A 出发，沿正东方向以每小时30千米的速度行驶，40分钟后在C 处测得小岛B 在它的南偏东︒15方向，求小岛B 离开深水港口A 的距离.（精确到1.0千米）参考数据：41.12≈，45.26≈，26.015sin ≈︒，97.015cos ≈︒，27.015tan ≈︒.【方法一】过点C 作AB CD ⊥，垂足为D ．在ADC Rt ∆中，︒=∠90ADC ，︒=∠45CAD∴21045cos =︒=AC AD ，21045sin =︒=AC CD 在BDC Rt ∆中，︒=∠90BDC ，︒=︒-︒-︒=∠30154590B ∴61030cot =︒=CD BD∴)62(10+=+=BD AD AB ≈6.38)45.241.1(10=+⨯．【方法二】过点B 作AC BD ⊥，交AC 延长线于D ．在BDC Rt ∆中，︒=∠90BDC ，︒=∠15CBD 设x BD =，∴x BD CD 27.015tan ≈︒=．∵DAB DAB ABD ∠=︒=︒-︒=∠-︒=∠45459090∴BD AD =， ∴x x =+27.020，得73.020=x ∴6.3873.02041.173.02022≈⨯≈⨯==BD AB 答：小岛B 离开深水港口A 的距离是6.38千米．7CH 的高度，在地面的点E 的仰角∠CAD ＝45°，再沿直线EF 10米到点F 处，在点F 又用测角器测得旗杆顶点C 的 仰角∠CBA ＝60°；已知测角器的高度为1.6米，求旗 杆CH 的高度（结果保留根号）．解：根据题意，设DB=x 米在Rt △CBD 中，∠CBD=60° ∴CD=DB ·tan60°米在Rt △ACD 中，∠CAD=45° ∴CD=AD=米∴+x =10解得5)x =米CD=(535)(15-=-米∴CH=15 1.6(16.6-=-米答：旗杆CH 的高度是(16.6-米．8．将两块三角板如图放置，其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=12，求（1）重叠的边DF的长度（2）重叠部分四边形DBCF的面积解8。