高中数学数列中裂项求和测试题及答案-精选文档

高中数学数列中裂项求和测试题及答案

数列中裂项求和的几种常见模型

数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的运用。而此类问题大多涉及数列求和，所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现频率最高，形式最多的一种。下面就例举几种裂项求和的常见模型，以供参考。模型一：数列是以d为公差的等差数列，且，则

例1已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；（2019年湖北省数学高考理科试题）解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.

又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.

当n2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.

当n＝1时，a1＝S1＝312－2＝61－5，所以，an＝6n－5 （）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，

故Tn＝＝＝（1－）.

因此，要使（1－）（）成立的m,必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10..

例2在xoy平面上有一系列点，…，，…，（nN*），点Pn 在函数的图象上，以点Pn为圆心的圆Pn与x轴都相切，且圆Pn与圆Pn+1又彼此外切. 若 .

（I）求数列的通项公式；

（II）设圆Pn的面积为

解：（I）圆Pn与Pn+1彼此外切，令rn为圆Pn的半径，两边平方并化简得

由题意得，圆Pn的半径

为首项，以2为公差的等差数列，

所以

（II），

所以，

模型二：分母有理化，如：

例3已知，的反函数为，点在曲线上，且

(I)证明数列{ }为等差数列；

(Ⅱ)设 ,记，求

解(I)∵点An( )在曲线y=g(x)上(nN+)，

点( )在曲线y=f(x)上(nN+) ,并且an0

，，数列{ }为等差数列

(Ⅱ)∵数列{ }为等差数列，并且首项为 =1，公差为4，

=1+4（n1），，∵an0，，

bn＝ = ,

Sn＝b1＋b2+…＋bn= =

例4设，则不超过的最大整数为。

(2019年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题)

解：

不超过的最大整数为。

模型三：2n (2n+1－1)(2n－1) = 12n－1 － 12n+1－1

例5设数列的前项的和，n=1,2,3,….

（Ⅰ）求首项与通项；

（Ⅱ）设，n=1,2,3,…，证明：

（2019年全国数学高考理科试题）

. 解: (Ⅰ)由 Sn=43an－132n+1+23, n=1,2,3，… , ① 得a1=S1= 43a1－134+23 所以a1=2.

再由①有 Sn－1=43an－1－132n+23, n=2,3，4,…

将①和②相减得: an=Sn－Sn－1= 43(an－an－1)－13(2n+1－2n),n=2,3, …

整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,

即an+2n=44n－1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n,

n=1,2,3, …,

(Ⅱ)将an=4n－2n代入①得 Sn= 43(4n－2n)－132n+1 + 23 = 13(2n+1－1)(2n+1－2)

= 23(2n+1－1)(2n－1)

Tn= 2nSn = 322n (2n+1－1)(2n－1) = 32(12n－1 － 12n+1－1)

所以, = 32 12i－1 － 12i+1－1) = 32(121－1 － 12i+1－1) 32

模型四：，且，则

例6设函数的图象在处的切线平行于直线 .记的导函数为 .数列满足： , .

(Ⅰ)求函数的解析式;

(Ⅱ)试判断数列的增减性,并给出证明;

(Ⅲ)当时,证明: .

解：（Ⅰ）∵函数的导函数为，由于在处的切线平行于，，(Ⅱ)∵ , ,∵ ,故 ,所以

,所以是单调递增.

令

当时,

例7已知数列满足，满足，证明：。

(2019年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题)

证明：记，则。

而。

因为，所以。

从而有。（1）

又因为，所以，

即。从而有。（2）

由（1）和（2）即得。综合得到。

左边不等式的等号成立当且仅当 n=1时成立。

以上我们通过几个典型问题的解析，总结了四类裂项求和的常见模型，可以让我们更清楚的认识到裂项相消的来龙去脉，而这些模型是近几年高考中普遍采用的，要求我们注重培养学生的化归、转化的能力。