人教A版高中数学必修五模块综合测试卷(一).docx

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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是()A.1a>1b B.ba>1C．a2<b2D．ab<a＋b 【解析】利用特值法，令a＝－2，b＝2.则1a<1b，A错；ba<0，B错；a2＝b2，C错．【答案】 D2．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有()A．a1＝－2，d＝3 B．a1＝2，d＝－3C．a1＝－3，d＝2 D．a1＝3，d＝－2【解析】∵a1＋a2＋a3＝3且2a2＝a1＋a3，∴a2＝1.又∵a5＝a2＋3d＝1＋3d＝10，d＝3，∴a1＝a2－d＝1－3＝－2.【答案】 A3．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于()A．3∶2∶1 B.3∶2∶1C.3∶2∶1 D．2∶3∶1【解析】 ∵A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，A ＋B ＋C ＝180°， ∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°， ∴a ∶b ∶c ＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30° ＝1∶32∶12＝2∶3∶1. 【答案】 D4．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2B.32C.322D ．2【解析】由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B ，C 两点横坐标分别为－1，12.∴S △ABC ＝12×2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－(－1)＝32.【答案】 B5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3【解析】根据S ＝12bc sin A ＝32，可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝ 3.【答案】 D6．等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，又∵a 2·a 6＝a 23，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，∴d ＝－2a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.【答案】 A7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3【解析】 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ，∵x ＋1x ≥52， ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－52，∴a ≥－52.【答案】 C8．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0【解析】 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2，即a 1d ＝－53d 2.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－23d 2<0.【答案】 B9．在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1－2a n＝0(n∈N*)，b n是a n和a n＋1的等差中项，设S n为数列{b n}的前n项和，则S6＝()A．189 B．186C．180 D．192【解析】由a n＋1＝2a n，知{a n}为等比数列，∴a n＝2n，∴2b n＝2n＋2n＋1，即b n＝3·2n－1，∴S6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189.【答案】 A10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝1a＋1b＋1c，则()A．T>0 B．T<0 C．T＝0 D．T≥0【解析】法一：取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，则T＝－32<0，排除A，C，D，可知选B.法二：由a＋b＋c＝0，abc>0，知三数中一正两负，不妨设a>0，b<0，c<0，则T＝1a＋1b＋1c＝ab＋bc＋caabc＝ab＋c(b＋a)abc＝ab－c2abc.∵ab<0，－c2<0，abc>0，故T<0，应选B.【答案】 B11．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b ＝3，则c＝()A．2 3 B．2C. 2 D．1【解析】由正弦定理得：asin A＝bsin B，∵B＝2A，a＝1，b＝3，∴1sin A＝32sin A cos A.∵A 为三角形的内角，∴sin A ≠0. ∴cos A ＝32.又0＜A ＜π，∴A ＝π6，∴B ＝2A ＝π3， ∴C ＝π－A －B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．由勾股定理得c ＝12＋(3)2＝2. 【答案】 B12．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项【解析】设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n －2，a 1q n －1，所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q 3n －6＝4，两式相乘，得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，所以a n 1·q ＝64，即(a 21q n －1)n ＝642，即2n ＝642，所以n ＝12.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当△ABC 的面积等于32时，sin C ＝________. 【解析】由三角形的面积公式，得S ＝12AB ·BC sin π3＝32，易求得AB ＝1，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3，得AC ＝3，再由三角形的面积公式，得S ＝12AC ·BC sin C ＝32，即可得出sin C ＝12.【答案】 1214．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，3x －y ≥0，则3x ＋y 的最大值是________．【解析】画出可行域，如图阴影部分所示，设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z ，平移直线y ＝－3x 知当直线y ＝－3x ＋z 过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，可得A (3,1)．故z max ＝3×3＋1＝10.【答案】 1015．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为________．【解析】设产销量为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.【答案】 [2,8] 16．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝________. 【解析】分n 为奇数、偶数两种情况．第n 个等式为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2.当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n －1)＝－n2×(3＋2n －1)2＝－n (n ＋1)2.当n 为奇数时，第n 个等式为(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n 2＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上，第n 个等式为 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2 ＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2. 【答案】 (－1)n ＋1n (n ＋1)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若m ＝(a 2＋c 2－b 2，－3a )，n ＝(tan B ，c )，且m ⊥n ，求B 的值．【解】由m ⊥n 得(a 2＋c 2－b 2)·tan B －3a ·c ＝0，即(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，得a 2＋c 2－b 2＝3ac tan B ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32tan B ，即tan B cos B ＝32，即sin B ＝32，所以B ＝π3或B ＝2π3.18．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S 9＝－36，S 13＝－104，在等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7, 求b 6.【解】 ∵S 9＝－36＝9a 5，∴a 5＝－4， ∵S 13＝－104＝13a 7，∴a 7＝－8， ∴b 26＝b 5·b 7＝a 5 ·a 7＝32， ∴b 6＝±4 2.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ).【解】原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1；(2)当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1；(3)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a ； ②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a <－1，即－2<a <0时，原不等式等价于2a ≤x ≤－1. 综上所述：当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞.20．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos A 的值．【解】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4，∴c ＝2，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154， ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158 ∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78. 21．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)．又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n a n ＋2a n －1＝3(n ≥2)， ∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列， ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．22．(本小题满分12分)某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 t A,1 t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：原料每种产品所需原料(t) 现有原料数(t) A B 甲 2 1 14 乙 1 3 18 利润(万元/t)53—(1)在现有原料条件下，生产A ，B 两种产品各多少时，才能使利润最大？ (2)每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？【解】 (1)设生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y满足⎩⎨⎧2x ＋y ≤14，x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品245 t ，B 产品225t 时，可得最大利润． (2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m ，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点，则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15，则B 产品的利润在52万元/t 与15万元/t 之间时，原最优解仍为生产A 产品245 t ，B 产品225 t ，若B 产品的利润超过15万元/t ，则最优解为C (0,6)，即只生产B 产品6 t ，若B 产品利润低于52万元/t ，则最优解为A (7,0)，即只生产A 产品7 t ．。

新整理高二数学人教A必修5 模块综合检测 Word版含解析

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)知识点分布表一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2015江西吉安联考,1)若a ,b ,c ∈R ,a>b ,则下列不等式成立的是( )A.1<1B.a2>b2 C.a 2>b 2 D.a|c|>b|c|答案:B解析:A.∵当1>-2时,1<-12不成立,∴1a <1b 不成立.B.∵c 2+1≥1,a>b ,∴ac 2+1>bc 2+1,故B 正确. C.∵当1>-2时,1>4不成立,∴a 2>b 2不成立.D.当c=0时,0=a|c|>b|c|=0,不成立.故选B .2.在△ABC 中,A=60°,AB=2,且△ABC 的面积为√32,则BC 的长为( )A.√3B.3C.√7D.7答案:A解析:S=12×AB ·AC sin 60°=12×2×√32AC=√32,所以AC=1.所以BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC cos 60°=3. 所以BC=√3,故选A .3.若5,x ,y ,z ,21成等差数列,则x+y+z 的值为( ) A.26 B.29 C.39 D.52答案:C解析:因为5,x ,y ,z ,21构成等差数列,所以y 是x ,z 的等差中项,也是5,21的等差中项,所以x+z=2y ,5+21=2y ,所以y=13,x+z=26,所以x+y+z=39.4.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,已知b cos C+c cos B=2b ,则a等于( ) A.1 B.√2C.2D.√3答案:C解析:利用正弦定理,将b cos C+c cos B=2b 化为sin B cos C+sin C cos B=2sin B ,即sin(B+C )=2sin B.∵sin(B+C )=sin A ,∴sin A=2sin B.利用正弦定理可得a=2b ,故a b=2.5.已知数列{a n }满足3a n+1+a n =0,a 2=-43,则{a n }的前10项和等于( ) A.-6(1-3-10) B.19(1-3-10) C.3(1-3-10) D.3(1+3-10)答案:C解析:由3a n+1+a n =0,得a n+1a n=-13.所以{a n }是以q=-13为公比的等比数列. 所以a 1=a 2·1q =-43×(-3)=4.所以S 10=4[1-(-13)10]1+13=3(1-3-10),故选C .6.(2015河北邯郸三校联考,6)设变量x ,y 满足约束条件{x ≥1,x +y -4≤0,x -3y +4≤0,则目标函数z=3x-y 的最大值为( )A.-4B.0C.43D.4答案:D解析:画出不等式组表示的平面区域,将目标函数变形为y=3x-z,作出目标函数对应的直线,当直线过(2,2)时,直线在y轴上的截距最小,z最大,最大值为6-2=4.故选D.7.已知等差数列{a n}满足,a1>0,5a8=8a13,则前n项和S n取最大值时,n的值为()A.20B.21C.22D.23答案:B解析:由5a8=8a13得5(a1+7d)=8(a1+12d)⇒d=-361a1,由a n=a1+(n-1)d=a1+(n-1)(-361a1)≥0⇒n≤643=2113,所以数列{a n}前21项都是正数,以后各项都是负数,故S n取最大值时,n的值为21,选B.8.(2015福建宁德五校联考,8)已知正实数a,b满足2+1=1,x=a+b,则实数x的取值范围是()A.[6,+∞)B.(2√2,+∞)C.[4√2,+∞)D.[3+2√2,+∞)答案:D解析:∵2a +1b=1,∴x=a+b=(a+b)(2a +1b)=2+1+2ba+ab≥3+2√2(当且仅当2ba=ab,即b=√2+1,a=2+√2时,等号成立).故选D.9.(2015河南南阳高二期中,7)在△ABC中,若tan A tan B>1,则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定答案:A解析:因为A和B都为三角形中的内角,由tan A tan B>1,得到1-tan A tan B<0,且得到tan A>0,tan B>0,即A ,B 为锐角, 所以tan(A+B )=tanA+tanB1-tanAtanB<0,则A+B ∈(π2,π),即C 为锐角, 所以△ABC 是锐角三角形.10.(2015山东潍坊四县联考,10)已知数列{a n }中,a 1=2,na n+1=(n+1)a n +2,n ∈N *,则a 11=( ) A.36 B.38 C.40 D.42答案:D解析:因为na n+1=(n+1)a n +2,n ∈N *,所以在等式的两边同时除以n (n+1),得a n+1n+1−a n n =2(1n -1n+1).所以a 1111=a 11+2[(110-111)+(19-110)+…+ (1-12)]=4211.所以a 11=42.故选D .11.(2015陕西高考,10)设f (x )=ln x ,0<ap C.p=r<q D.p=r>q答案:C解析:∵f (x )=ln x ,∴p=f (√ab )=ln √ab =12(ln a+ln b )=r.又∵0<a√ab .又∵y=ln x 为递增函数,∴lna+b2>ln √ab ,即q>r ,综上p=r<q.12.(2015河南南阳高二期中,6)对于数列{a n },定义数列{a n+1-a n }为数列a n 的“差数列”,若a 1=1,{a n }的“差数列”的通项公式为3n ,则数列{a n }的通项公式a n =( ) A.3n -1B.3n+1+2C.3n -12D.3n+1-12答案:C解析:∵a 1=1,a n+1-a n =3n ,∴a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1=3n-1+3n-2+…+31+1=1×(1-3n )1-3=3n -12.故选C . 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2015广东湛江高二期末,14)若x>4,函数y=x+1x -4,当x= 时,函数有最小值为 . 答案:5 6解析:∵x>4,∴x-4>0.∴y=x+1x -4=x-4+1x -4+4≥2√(x -4)·1x -4+4=6.当且仅当x-4=1x -4即x=5时等号成立.14.(2015山东潍坊四县联考,12)等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且S nn=3n -1,则a 8b 8= .答案:43解析:2a 82b 8=a 1+a 15b 1+b 15=152(a 1+a 15)152(b 1+b 15)=S 15T 15=3×15-12×15+3=43.15.设数列{a n }满足:a 1=1,a 2=4,a 3=9,a n =a n-1+a n-2-a n-3(n=4,5,…),则a 2 015= . 答案:8 057解析:由a n =a n-1+a n-2-a n-3,得a n+1=a n +a n-1-a n-2,两式作和得:a n+1=2a n-1-a n-3, 即a n+1+a n-3=2a n-1(n=4,5,…).∴数列{a n }的奇数项和偶数项均构成等差数列. ∵a 1=1,a 3=9,∴奇数项构成的等差数列的公差为8.则a 2 015=a 1+8(1 008-1)=1+8×1 007=8 057.故答案为8 057.16.(2015福建宁德五校联考,16)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,有下列结论:①若A>B ,则sin A>sin B ;②若c 2<a 2+b 2,则△ABC 为锐角三角形;③若a ,b ,c 成等差数列,则sin A+sin C=2sin(A+C ); ④若a ,b ,c 成等比数列,则cos B 的最小值为12.其中结论正确的是 .(填上全部正确结论的序号) 答案:①③④解析:对于①,若A>B ,则a>b ,由正弦定理得sin A>sin B ,命题①正确;对于②,若c 2<a 2+b 2,则cos C=a 2+b 2-c 22ab >0,说明C 为锐角,但A ,B 不一定为锐角,△ABC 不一定是锐角三角形,命题②错误;对于③,若a ,b ,c 成等差数列,则a+c=2b ,结合正弦定理得:sin A+sin C=2sin B ,即sin A+sin C=2sin(A+C ),命题③正确;对于④,若a ,b ,c 成等比数列,则b 2=ac , 则cos B=a 2+c 2-b22ac=a 2+c 2-ac 2ac≥ac 2ac =12,命题④正确.三、解答题(17~20小题及22小题每小题12分,21小题10分,共70分)17.(2015福建厦门高二期末,17)已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a=4,cos B=45. (1)若b=3,求sin A 的值;(2)若△ABC 的面积为12,求b 的值. 解:(1)∵cos B=45,0<B<π,∴sin B=√1-cos 2B =35.由正弦定理可得:asinA =bsinB . 又a=4,b=3,∴sin A=asinBb=4×353=45.(2)由面积公式,得S △ABC =12ac sin B ,∴12ac×35=12,可解得c=10.由余弦定理,b 2=a 2+c 2-2ac cos B=52,解得b=2√13.18.(2015河北邯郸三校联考,18)数列{a n }中,a 1=2,a n+1=a n +cn (c 是常数,n=1,2,3,…),且a 1,a 2,a 3成公比不为1的等比数列.(1)求c的值;(2)求{a n}的通项公式.解:(1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,因为a1,a2,a3成等比数列,所以(2+c)2=2(2+3c),解得c=0或c=2.当c=0时,a1=a2=a3,不符合题意,舍去,故c=2.(2)当n≥2时,由于a2-a1=c,a3-a2=2c,…,a n-a n-1=(n-1)c,c.所以a n-a1=[1+2+…+(n-1)]c=n(n-1)2又a1=2,c=2,故a n=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,…).当n=1时,上式也成立.所以a n=n2-n+2(n=1,2,…).19.(2015河南南阳高二期中,19)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A,B,C成等差数列,△ABC的面积为√3.(1)求证:a,2,c成等比数列;(2)求△ABC的周长L的最小值,并说明此时△ABC的形状.(1)证明:∵A,B,C成等差数列,∴B=60°.又△ABC的面积为√3,∴1ac sin 60°=√3,即ac=4.2∵ac=22,∴a,2,c成等比数列.(2)解:在△ABC中,根据余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos 60°=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac=4,∴b≥2,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC的周长L=a+b+c≥2√ac+b=4+b,当且仅当a=c时,等号成立.∴L≥4+2=6,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC周长的最小值为6.∵a=c,B=60°,∴此时△ABC为等边三角形.20.(2015福建宁德五校联考,22)已知f(x)=x2-abx+2a2.(1)当b=3时,①若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求实数a的值;②求不等式f(x)<0的解集.(2)若f(2)>0在a∈[1,2]上恒成立,求实数b的取值范围.解:(1)当b=3时,f(x)=x2-abx+2a2=x2-3ax+2a2,①∵不等式f(x)≤0的解集为[1,2],∴1,2是方程x 2-3ax+2a 2=0的两根. ∴{1+2=3a ,1×2=2a 2,解得a=1.②∵x 2-3ax+2a 2<0, ∴(x-a )(x-2a )<0.∴当a>0时,此不等式的解集为(a ,2a ),当a=0时,此不等式的解集为空集, 当a<0时,此不等式的解集为(2a ,a ).(2)由题意f (2)=4-2ab+2a 2>0在a ∈[1,2]上恒成立, 即b<a+2a 在a ∈[1,2]上恒成立. 又a+2a ≥2√a ·2a =2√2,当且仅当a=2a ,即a=√2时上式等号成立.∴b<2√2,实数b 的取值范围是(-∞,2√2).21.(2015河南郑州高二期末,20)汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素,某市的一条道路在一个限速为40 km/h 的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车刹车距离刚好12 m,乙车刹车距离略超过10 m .又知甲、乙两种车型的刹车距离S (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系:S 甲=0.1x+0.01x 2,S 乙=0.05x+0.005x 2. 问:甲、乙两车有无超速现象?解:由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x 2=12,即x 2+10x-1 200=0,解得x=30或x=-40(x=-40不符合实际意义,舍去). 这表明甲车的车速为30 km/h . 甲车车速不会超过限速40 km/h . 对于乙车,有0.05x+0.005x 2>10, 即x 2+10x-2 000>0,解得x>40或x<-50(x<-50不符合实际意义,舍去). 这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.22.(2015河南南阳高二期中,22)已知数列{a n }中,a 1=1,a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n+12a n+1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项a n ; (2)求数列{n 2a n }的前n 项和T n ;(3)若存在n ∈N *,使得a n ≥(n+1)λ成立,求实数λ的取值范围. 解:(1)因为a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n+12a n+1(n ∈N *), 所以a 1+2a 2+3a 3+…+(n-1)a n-1=n 2a n (n ≥2). 两式相减得na n =n+12a n+1-n2a n , 所以(n+1)a n+1na n=3(n ≥2). 因此数列{na n }从第二项起,是以2为首项,以3为公比的等比数列, 所以na n=2·3n-2(n ≥2).故a n ={1,n =1,2n·3n -2,n ≥2. (2)由(1)可知当n ≥2时,n 2a n =2n ·3n-2, 当n ≥2时,T n =1+4·30+6·31+…+2n ·3n-2,∴3T n =3+4·31+…+2(n-1)·3n-2+2n ·3n-1.两式相减得T n =12+(n -12)·3n-1(n ≥2). 又∵T 1=a 1=1也满足上式,∴T n =12+(n -12)·3n-1.(3)a n ≥(n+1)λ等价于λ≤a n, 由(1)可知当n ≥2时,an=2·3n -2, 设f (n )=n (n+1)2·3n -2(n ≥2,n ∈N *),则f (n+1)-f (n )=-(n+1)(n -1)3n -1<0,∴1f (n+1)≥1f (n ).又1f (2)=13及a 12=12,∴所求实数λ的取值范围为λ≤13.。

高中数学模块综合测试新人教A版必修5

模块综合测试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案1．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，B ＝120°，则A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：由正弦定理可知a sin A ＝b sin B ⇒1sin A ＝3sin120°，∴sin A ＝12.又a <b ，∴A <B ，∴A ＝30°. 答案：A2．符合下列条件的三角形有且只有一个的是( ) A ．a ＝1，b ＝2，c ＝3 B ．a ＝1，b ＝2，A ＝30° C ．a ＝1，b ＝2，A ＝100° D ．b ＝c ＝1，B ＝45°解析：A 组不成三角形；对于B ，∵b sin30°＝22<1<2，∴B 有两解；C 组不成三角形，D 正确．答案：D3．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝3:2:4，那么cos C ＝( ) A.23 B.14 C ．－23D ．－14解析：由正弦定理知sin A :sin B :sin C ＝3:2:4，得到a :b :c ＝3:2:4，令a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝4k (k >0)，由余弦定理知cos C ＝3k2＋2k 2－4k 22×3k ×2k＝－14，故选D.答案：D4．已知等差数列{a n }中，a n ＝4n －3，则首项a 1和公差d 的值分别为( ) A ．1,3 B ．－3,4 C ．1,4D ．1,2解析：∵a n ＝4n －3，∴a 1＝4－3＝1，d ＝a n －a n －1＝4. 答案：C5．已知等比数列{a n }的各项均为正数，前n 项之积为T n ，若T 5＝1，则必有( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1D ．a 5＝1解析：∵T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝(a 3)5＝1， ∴a 3＝1. 答案：B6．若△ABC 中，a ＝2b cos C ，则该三角形一定为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形解析：∵a ＝2b cos C ， ∴sin A ＝2sin B ·cos C .∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C . ∴sin B ·cos C －cos B ·sin C ＝sin(B －C )＝0. ∴B ＝C ，故选A. 答案：A7．等比数列{a n }的公比为13，前n 项的和为S n ，n ∈N *如S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，则其公比为( )A ．(13)2B ．(13)6C.13D.23解析：∵S 4－S 2S 2＝a 4＋a 3a 2＋a 1＝q 2a 2＋a 1a 2＋a 1＝q 2＝(13)2.答案：A8．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 2a 9＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值为( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35解析：由题可知log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5，又因为在等比数列中a 5a 6＋a 2a 9＝18，所以a 5a 6＝9，代入求解得原式的值为10，故选B.答案：B9．递减的等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 5＝S 10，则欲使S n 取最大值，n 的值为( ) A ．10 B ．7 C ．9D ．7或8解析：∵S 5＝S 10，∴a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝0，∴a 8＝0.由于数列递减，故数列前7项为正，从第9项开始为负， ∴S n 取最大值时，n ＝7或8. 答案：D10．(2012·陕西卷)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解析：设甲、乙两地之间的距离为s . ∵a ＜b ，∴v ＝2ss a ＋sb＝2sab a ＋b s ＝2ab a ＋b ＜2ab2ab＝ab .又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a2a ＋b ＝0，∴v ＞a .答案：A11．设a >0，b >0.若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D.14解析：因为3a·3b＝3. 所以a ＋b ＝1. 1a ＋1b＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4. 当且仅当b a ＝a b 即a ＝b ＝12时“＝”成立，故选B.答案：B2 4 12xyz12.在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题知表格中第三列成首项为4，公比为12的等比数列，故有x ＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，52，故其公比为12，所以y ＝5×(12)3＝58，同理z ＝38.∴x ＋y ＋z ＝1＋58＋38＝2.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分) 13．不等式1x≤x 的解集是________．解析：1x ≤x 等价于x －1x ≥0⇒x 2－1x≥0，所以不等式的解集为{x |－1≤x <0，或x ≥1}．答案：{x |－1≤x <0，或x ≥1}14．如果关于x 的不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，那么k 的取值范围是________．解析：当k ＝0时满足条件；当k ≠0时满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×－38<0，解得－3<k ≤0.答案：－3<k ≤015．已知在△ABC 中，A ＝60°，最大边和最小边的长是方程3x 2－27x ＋32＝0的两实根，那么边BC 的长为________．解析：设方程3x 2－27x ＋32＝0的两根分别为b ，c 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝9bc ＝323，由余弦定理可知BC 2＝b 2＋c 2－2bc cos60° ＝(b ＋c )2－3bc ＝81－32＝49， ∴BC ＝7. 答案：716．等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项之和，且S 6<S 7，S 7>S 8，则①此数列的公差d <0；②S 9一定小于S 6；③a 7是各项中最大的一项；④S 7一定是S n 中的最大值．其中正确的是________．(填入你认为正确的所有序号)解析：由题S 6<S 7，S 7>S 8可知a 7>0，a 8<0，等差数列为递减数列，故①正确，且④也正确，由等差数列的前n 项和为关于n 的二次式可知，其单调性为先增再减，而S 9离对称轴的距离比S 6离对称轴的距离要远，因此对应的函数值要小，故②正确．答案：①②④三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)在△ABC 中，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1. (1)求角C 的度数；(2)求c ；(3)求△ABC 的面积．解：(1)∵2cos(A ＋B )＝1，∴cos C ＝－12.∴角C 的度数为120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－2ab (cos C ＋1)＝12－2＝10，∴c ＝10. (3)S ＝12ab sin C ＝32.18．(12分)已知公差不为零的等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 3，a 13成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 1，a 3，a 13成等比数列，得a 23＝a 1·a 13即(1＋2d )2＝1＋12d ，得d ＝2或d ＝0(舍去)．故d ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝2a n ＝22n －1，所以数列{b n }是以2为首项，4为公比的等比数列． ∴S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1＝21－4n1－4＝23(4n－1)． 19．(12分)(2012·中山高二检测)如下图，从气球A 测得正前方的河流上的桥梁两端B ，C 的俯角α，β，如果这时气球的高度是h ，求桥梁BC 的长度．解：过A 作垂线AD 交CB 于D ，则在Rt △ADB 中，∠ABD ＝α，AB ＝hsin α.又在△ABC 中，∠C ＝β，∠BAC ＝α－β，由正弦定理，得BC sin α－β＝ABsin β，∴BC ＝AB ·sin α－βsin β＝h ·sin α－βsin α·sin β.20．(12分)已知下列不等式①x 2－4x ＋3<0；②x 2－6x ＋8<0；③2x 2－9x ＋a <0.要使①②成立的x 也满足③，请你找一个这样的a 值．解：解①x 2－4x ＋3<0，即(x －1)(x －3)<0，∴1<x <3.解②x 2－6x ＋8<0，即(x －2)(x －4)<0， ∴2<x <4，∴①②同时成立的x 的范围是2<x <3.2x 2－9x ＋a <0对应的二次方程为2x 2－9x ＋a ＝0，对应的二次函数f (x )＝2x 2－9x ＋a 的对称轴为x ＝94∈(2,3)．∵3－94>94－2，∴f (3)>f (2)，∴只须f (3)≤0即可．即2×32－9×3＋a ≤0，∴a ≤9.这样a 的值可取小于等于9中任一个，不妨取a ＝9. 21．(12分)等差数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n 满足条件S 2nS n＝4，n ＝1,2，…， (1)求数列{a n }的通项公式和S n ； (2)记b n ＝a n ·2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 2nS n＝4，得a 1＋a 2a 1＝4，所以a 2＝3a 1＝3，且d ＝a 2－a 1＝2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n 1＋2n －12＝n 2.(2)由b n ＝a n ·2n －1，得b n ＝(2n －1)·2n －1.所以T n ＝1＋3·21＋5·22＋…＋(2n －1)·2n －1，①2T n ＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n，②①－②得－T n ＝1＋2·2＋2·22＋…＋2·2n －1－(2n －1)·2n＝2(1＋2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n－1＝21－2n1－2－(2n －1)·2n－1.所以T n ＝(2n －1)·2n＋1－(2n ＋1－2)＝(n －1)·2n ＋1－2n＋3.22．(12分)电视台某广告公司特约播放两部片集，其中片集甲每片播放时间为20分钟，广告时间为1分钟，收视观众为60万；片集乙每片播放时间为10分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万，广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间(含广告时间)．(1)问电视台每周应播放两部片集各多少集，才能使收视观众最多；(2)在获得最多收视观众的情况下，片集甲、乙每集可分别给广告公司带来a 和b (万元)的效益，若广告公司本周共获得1万元的效益，记S ＝1a ＋1b为效益调和指数，求效益调和指数的最小值．(取2＝1.41)解：(1)设片集甲、乙分别播放x ，y 集，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，21x ＋11y ≤86，x ，y ∈N .要使收视观众最多，则只要z ＝60x ＋20y 最大即可．如图作出可行域，易知满足题意的最优解为(2,4)，z max ＝60×2＋20×4＝200，故电视台每周片集甲播出2集，片集乙播出4集，其收视观众最多．(2)由题意得：2a ＋4b ＝1，S ＝1a ＋1b ＝(1a ＋1b)(2a ＋4b ) ＝6＋2a b ＋4b a ≥6＋42＝11.64(万元)，当且仅当a ＝2－12，b ＝2－24时，取等号．所以效益调和指数的最小值为11.64万元．。

人教A版高中数学必修五模块综合检测卷(一).docx

数学·必修5(人教A模块综合检测卷(一)(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝( )A．14 B．21 C．28 D．35解析：∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，a4＝4，∴a1＋a2＋…＋a7＝7(a1＋a7)2＝7a4＝28.答案：C2．设集合M＝{x|x2－x＜0}，N＝{x|－3＜x＜3}，则( ) A．M∩N＝∅ B．M∩N＝N C．M∪N＝N D．M∪N＝R答案：C3．不等式x－1x＞0的解是( )A．－1＜x＜0或x＞1 B．x＜－1或0＜x＜1 C．x＞－1 D．x＞1解析：x－1x＞0⇔x2－1x＞0⇔x(x－1)(x＋1)＞0，解得x＞1或－1＜x<0.故选A.答案：A4．(2013·茂名二模)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，就可以计算出A，B两点的距离为( )A．50 2 m B．50 3 mC．25 2 m D.2522m答案：A5．若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC( )A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析：由sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13及正弦定理得：a∶b∶c＝5∶11∶13.由余弦定理得cos C＝52＋112－1322×5×11<0，所以角C为钝角．答案：C6．(2013·汕头二模)在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知c＝2，C＝π3，△ABC的面积S＝3，则△ABC的周长为( )A．6 B．5 C．4 D．4＋2 3 解析：∵S△ABC＝3，∴ab＝4.在△ABC中由余弦定理得：a2＋b2－ab＝4.易求得：a＋b＝4.∵c＝2，∴a＋b＋c＝6.答案：A7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，x ＋2y ≥1.则目标函数z ＝5x ＋y 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：D8．等比数列{a n }中，a n ＞0，a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．81 答案：B9．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，且对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都有P n P n ＋1＝(1,2)，则{a n }的前n 项和S n 为( )A ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －43B ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －34C ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －23D ．n ⎝⎛⎭⎪⎫n －12答案：A10．已知{a n }为等差数列，a 1＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 2)，Q (4，a 4)的直线的斜率为( )A ．4 B.14C ．－4D ．－14答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．若△ABC 的内角A 满足sin 2A ＝23，则sin A ＋cos A ＝______.解析：由sin 2A ＝2sin A cos A ＞0，可知A 是锐角，所以sin A ＋cos A ＞0，又(sin A ＋cos A )2＝1＋sin 2A ＝53，所以sin A ＋cos A ＝153.答案：15312．已知a <b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值为________．解析：∵ab ＝50＞0，∴a 与b 同号，若二者均为正数，则|a ＋2b |≥22ab ＝20，只有a ＝2b 时等式成立，∴a ＝10，b ＝5(不合题意，舍去)．若二者均为负数，则－a ＞0，－b ＞0， |a ＋2b |＝－(a ＋2b )≥22ab ＝20，只有a ＝2b 时等式成立，∴a ＝－10，b ＝－5符合题意，∴最小值为20.答案：2013．已知点A (4,1)，B (7,5)，C (0,4)，则△ABC 中的∠BAC 的大小是______．解析：AB →＝(3,4)，AC →＝(－4,3)，∵AB →·AC →＝3×(－4)＋4×3＝0，∴AB →⊥AC →，即∠BAC ＝90°.答案：90°14．在△ABC 中，A 、B 、C 是三角形的三内角，a 、b 、c 是三内角对应的三边，已知b 2＋c 2－a 2＝bc ，sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C ，则角B 的大小为__________．解析：由b 2＋c 2－a 2＝bc⇒cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.再由sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C ⇒a 2＋b 2＝c 2， ∴C ＝90°，∴B ＝30°.答案：π6三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3.(1)求△ABC 的面积；解析：cos A ＝2cos 2A2－1＝2×2⎛⎫⎪⎝⎭5－1＝35，又A ∈(0，π)，sin A ＝1－cos 2A ＝45，而AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝35bc ＝3，所以bc ＝5，所以△ABC 的面积为： 12bc sin A ＝12×5×45＝2. (2)若c ＝1，求a 的值．解析：由(1)知，bc ＝5，而c ＝1，所以b ＝5，所以a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋1－2×3＝2 5.16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(其中ω为正常数，x ∈R)的最小正周期为π.(1)求ω的值；解析：∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3，而f (x )的最小正周期为π，ω为正常数， ∴2π2ω＝π，解之，得ω＝1. (2)在△ABC 中，若A ＜B ，且f (A )＝f (B )＝12，求BCAB.解析：由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.若x 是三角形的内角，则0＜x ＜π，∴－π3＜2x －π3＜5π3.令f (x )＝12，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝12，∴2x －π3＝π6或2x －π3＝5π6，解之，得x＝π4或x ＝7π12. 由已知，A ，B 是△ABC 的内角，A ＜B 且f (A )＝f (B )＝12，∴A ＝π4，B ＝7π12，∴C ＝π－A －B ＝π6.又由正弦定理，得BC AB ＝sin Asin C ＝sinπ4sinπ6＝2212＝ 2.17.(本小题满分14分)某工厂生产A 、B 两种型号的童车．每种童车都要经过机械、油漆和装配三个车间进行加工．根据该厂现有的设备和劳动力等条件，可以确定各车间每日的生产能力，我们把它们折合成有效工时来表示．现将各车间每日可利用的有效工时数、每辆童车的各个车间加工时所花费的工时数以及每辆童车可获得的利润利润最大？解析：设x ，y 分别是A ，B 两种型号童车的日产量，工厂每日可获得利润为z ，则z ＝6x ＋10y ，其中x ，y 满足约束条件．⎩⎪⎨⎪⎧0.8x ＋1.2y ≤40，0.6x ＋0.8y ≤30，0.4x ＋0.6y ≤25，x ∈N ，y ∈N.即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤100，3x ＋4y ≤150，2x ＋3y ≤125，x ∈N ，y ∈N.作出线性可行域．考虑z ＝6x ＋10y ，将它变形为y ＝－35x ＋110z ，这是斜率为－35，随z 变化的一组平行直线.110z 是直线在y 轴上的截距，当直线截距最大时，z 的值最大．当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z ＝6x ＋10y 取得最大值．可见，当直线z ＝6x ＋10y 经过可行域上的点A 时，截距最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，2x ＋3y ＝100，得A的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，1003.但A ⎝⎛⎭⎪⎫0，1003不是整点，在可行域的整点中，(2,32)是最优解．此时，z max ＝6×2＋10×32＝332.18．(本小题满分14分)已知等差数列{a n }的公差d 不为零，首项a 1＝2且前n 项和为S n .(1)当S 9＝36时，在数列{a n }中找一项a m (m ∈N *)，使得a 3，a 9，a m 成为等比数列，求m 的值；解析：数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝2，S 9＝36，∴36＝9×2＋12×9×8d ，∴d ＝12，∴a 3＝3，a 9＝6.由a 3，a 9，a m 成等比数列，则a 29＝a 3·a m ，得a m ＝12，又12＝2＋(m－1)×12，∴m＝21.(2)当a3＝6时，若自然数n1，n2，…，n k，…满足3＜n1＜n2＜…＜n k＜…，并且a1，a3，an1，…，an k，…是等比数列，求n k.解析：∵{a n}是等差数列，a1＝2，a3＝6，∴a n＝2n.又a1，a3，an1成等比数列，所以公比q＝3.∴an k＝a1·q k＋1＝2·3k＋1.又an k是等差数列中的项，∴an k＝2n k，∴2n k＝2·3k＋1，∴n k＝3k＋1(k∈N*)．19.(本小题满分14分)把正奇数数列{2n－1}中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：13 57 9 11－－－－－－－－－设a ij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数．(1)若a mn＝2 011，求m，n的值．解析：∵三角形数表中前m行共有1＋2＋3＋…＋m＝m(m＋1)2个数，∴第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第m(m＋1)2项．故第m行最后一个数是2·m(m＋1)2－1＝m2＋m－1，因此，使得a mn＝2 011的m是不等式m2＋m－1≥2 011的最小正整数解．由m2＋m－1≥2 011得m2＋m－2 012≥0，∴m≥－1＋1＋8 0482＞－1＋7 9212＝－1＋892＝44.∴m的最小正整数解为45.于是，第45行第一个数是442＋44－1＋2＝1 981，∴n＝2 011－1 9812＋1＝16.(2)已知函数f(x)＝n⎛⎫⎪⎝⎭12·3x(x＞0)，若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为b n，求数列{f(b n)}的前n项和S n.解析：∵第n行最后一个数是n2＋n－1，且有n个数，若将n2＋n－1看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为－2的等差数列，故b n＝n(n2＋n－1)＋n(n－1)2(－2)＝n3.∵f(x)＝n⎛⎫⎪⎝⎭123x(x＞0)，∴f (b n )＝n ⎛⎫ ⎪⎝⎭123n 3＝n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭12，S n ＝12＋22⎛⎫ ⎪⎝⎭12＋33⎛⎫ ⎪⎝⎭12＋44⎛⎫ ⎪⎝⎭12＋…＋(n －1)n-1⎛⎫ ⎪⎝⎭12＋n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭12，∵12S n ＝2⎛⎫ ⎪⎝⎭12＋23⎛⎫ ⎪⎝⎭12＋34⎛⎫ ⎪⎝⎭12＋45⎛⎫ ⎪⎝⎭12＋…＋(n －1) n ⎛⎫ ⎪⎝⎭12＋n n+1⎛⎫ ⎪⎝⎭12，两式相减得：12S n ＝12＋2⎛⎫ ⎪⎝⎭12＋3⎛⎫ ⎪⎝⎭12＋…＋n ⎛⎫ ⎪⎝⎭12－n n+1⎛⎫ ⎪⎝⎭12 ＝⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎛⎫- ⎪⎝⎭n 12112112－nn+1⎛⎫ ⎪⎝⎭12＝1－n ⎛⎫ ⎪⎝⎭12－n n+1⎛⎫ ⎪⎝⎭12. ∴S n ＝2－(n ＋2) n ⎛⎫ ⎪⎝⎭12.20．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax 2－12x ＋c (a ，c ∈R)满足条件：①f (1)＝0；②对一切x ∈R ，都有f (x )≥0.(1)求a 、c 的值．解析：解法一：当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋c . 由f (1)＝0得：－12＋c ＝0，即c ＝12， ∴f (x )＝－12x ＋12.显然x ＞1时，f (x )＜0，这与条件②相矛盾，不合题意．∴a ≠0，函数f (x )＝ax 2－12x ＋c 是二次函数．由于对一切x ∈R ，都有f (x )≥0，于是由二次函数的性质可得 20412a ac >∆=-⎛⎫- ⎪⎝⎭ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，ac ≥116＞0，(*) 由f (1)＝0得a ＋c ＝12，即c ＝12－a ，代入(*)得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ≥116. 整理得a 2－12a ＋116≤0，即2⎛⎫- ⎪⎝⎭1a 4≤0. 而2⎛⎫- ⎪⎝⎭1a 4≥0，∴a ＝14. ∴c ＝12－a ＝12－14＝14，∴a ＝c ＝14. 解法二：当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋c . 由f (1)＝0得－12＋c ＝0，即c ＝12， ∴f (x )＝－12x ＋12. 显然x ＞1时，f (x )＜0，这与条件②相矛盾，∴a ≠0，因而函数f (x )＝ax 2－12x ＋c 是二次函数. 由于对一切x ∈R ，都有f (x )≥0，于是由二次函数的性质可得 20412a ac >∆=-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，ac ≥116＞0，由此可知a ＞0，c ＞0, ∴ac ≤2+⎛⎫ ⎪⎝⎭a c 2.≤0 ≤由f (1)＝0，得a ＋c ＝12，代入上式得ac ≤116. 但前面已推得ac ≥116， ∴ac ＝116. 由⎩⎪⎨⎪⎧ ac ＝116，a ＋c ＝12，解得a ＝c ＝14. (2)是否存在实数m ，使函数g (x )＝f (x )－mx 在区间[m ，m ＋2]上有最小值－5？若存在，请求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．解析：∵a ＝c ＝14， ∴f (x )＝14x 2－12x ＋14. g (x )＝f (x )－mx ＝14x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋m x ＋14. 该函数图象开口向上，且对称轴为x ＝2m ＋1.假设存在实数m 使函数g (x )＝f (x )－mx ＝14x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋m x ＋14 在区间[m ，m ＋2]上有最小值－5.①当m ＜－1时，2m ＋1＜m ，函数g (x ) 在区间[m ，m ＋2]上是递增的，∴g (m )＝－5，即14m 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋m m ＋14＝－5，解得m ＝－3或m ＝73. ∵73＞－1，∴m ＝73舍去． ②当－1≤m ＜1时，m ≤2m ＋1＜m ＋2，函数g (x )在区间[m,2m ＋1]上是递减的，而在区间[2m ＋1，m ＋2]上是递增的，∴g (2m ＋1)＝－5，1 4(2m＋1)2－⎝⎛⎭⎪⎫12＋m(2m＋1)＋14＝－5.解得m＝－12－1221或m＝－12＋1221，均应舍去．③当m≥1时，2m＋1≥m＋2，函数g(x)在区间[m，m＋2]上是递减的，∴g(m＋2)＝－5，1 4(m＋2)2－⎝⎛⎭⎪⎫12＋m(m＋2)＋14＝－5，解得m＝－1－22或m＝－1＋22，其中m＝－1－22，应舍去．综上可得，当m＝－3或m＝－1＋22时，函数g(x)＝f(x)－mx在区间[m，m＋2]上有最小值－5.。

【精品习题】高二数学人教A必修5 模块综合检测 Word版含解析

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)知识点分布表一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2015江西吉安联考,1)若a ,b ,c ∈R ,a>b ,则下列不等式成立的是( )A.1a <1bB.ac 2+1>bc 2+1C.a 2>b 2D.a|c|>b|c|答案:B解析:A.∵当1>-2时,1<-12不成立,∴1a <1b 不成立.B.∵c 2+1≥1,a>b ,∴a c 2+1>bc 2+1,故B 正确. C.∵当1>-2时,1>4不成立,∴a 2>b 2不成立.D.当c=0时,0=a|c|>b|c|=0,不成立.故选B .2.在△ABC 中,A=60°,AB=2,且△ABC 的面积为√32,则BC 的长为( ) A.√3 B.3 C.√7 D.7答案:A解析:S=12×AB ·AC sin 60°=12×2×√32AC=√32,所以AC=1.所以BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC cos 60°=3. 所以BC=√3,故选A .3.若5,x ,y ,z ,21成等差数列,则x+y+z 的值为( ) A.26 B.29C.39D.52答案:C解析:因为5,x ,y ,z ,21构成等差数列,所以y 是x ,z 的等差中项,也是5,21的等差中项,所以x+z=2y ,5+21=2y ,所以y=13,x+z=26,所以x+y+z=39.4.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,已知b cos C+c cos B=2b ,则ab 等于( ) A.1 B.√2C.2D.√3答案:C解析:利用正弦定理,将b cos C+c cos B=2b 化为sin B cos C+sin C cos B=2sin B ,即sin(B+C )=2sin B.∵sin(B+C )=sin A ,∴sin A=2sin B.利用正弦定理可得a=2b ,故a b=2.5.已知数列{a n }满足3a n+1+a n =0,a 2=-43,则{a n }的前10项和等于( ) A.-6(1-3-10) B.19(1-3-10) C.3(1-3-10) D.3(1+3-10)答案:C解析:由3a n+1+a n =0,得a n+1a n=-13.所以{a n }是以q=-13为公比的等比数列. 所以a 1=a 2·1q =-43×(-3)=4.所以S 10=4[1−(-13)10]1+13=3(1-3-10),故选C .6.(2015河北邯郸三校联考,6)设变量x ,y 满足约束条件{x ≥1,x +y -4≤0,x -3y +4≤0,则目标函数z=3x-y 的最大值为 ( )A.-4B.0C.43D.4答案:D解析:画出不等式组表示的平面区域,将目标函数变形为y=3x-z,作出目标函数对应的直线,当直线过(2,2)时,直线在y轴上的截距最小,z最大,最大值为6-2=4.故选D.7.已知等差数列{a n}满足,a1>0,5a8=8a13,则前n项和S n取最大值时,n的值为()A.20B.21C.22D.23答案:B解析:由5a8=8a13得5(a1+7d)=8(a1+12d)⇒d=-3a1,由a n=a1+(n-1)d=a1+(n-1)(-361a1)≥0⇒n≤643=2113,所以数列{a n}前21项都是正数,以后各项都是负数, 故S n取最大值时,n的值为21,选B.8.(2015福建宁德五校联考,8)已知正实数a,b满足2a +1b=1,x=a+b,则实数x的取值范围是()A.[6,+∞)B.(2√2,+∞)C.[4√2,+∞)D.[3+2√2,+∞) 答案:D解析:∵2a +1b=1,∴x=a+b=(a+b)(2a +1b)=2+1+2ba+ab≥3+2√2(当且仅当2ba=ab,即b=√2+1,a=2+√2时,等号成立).故选D.9.(2015河南南阳高二期中,7)在△ABC中,若tan A tan B>1,则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定答案:A解析:因为A和B都为三角形中的内角,由tan A tan B>1,得到1-tan A tan B<0, 且得到tan A>0,tan B>0,即A ,B 为锐角, 所以tan(A+B )=tanA+tanB1−tanAtanB <0, 则A+B ∈(π2,π),即C 为锐角, 所以△ABC 是锐角三角形.10.(2015山东潍坊四县联考,10)已知数列{a n }中,a 1=2,na n+1=(n+1)a n +2,n ∈N *,则a 11=( ) A.36 B.38 C.40 D.42答案:D解析:因为na n+1=(n+1)a n +2,n ∈N *,所以在等式的两边同时除以n (n+1), 得a n+1n+1−a n n =2(1n -1n+1). 所以a 1111=a 11+2[(110-111)+(19-110)+⋯+ (1−12)]=4211.所以a 11=42.故选D .11.(2015陕西高考,10)设f (x )=ln x ,0<ap C.p=r<q D.p=r>q答案:C解析:∵f (x )=ln x ,∴p=f (√ab )=ln √ab =12(ln a+ln b )=r.又∵0<a√ab . 又∵y=ln x 为递增函数,∴lna+b2>ln √ab ,即q>r ,综上p=r<q.12.(2015河南南阳高二期中,6)对于数列{a n },定义数列{a n+1-a n }为数列a n 的“差数列”,若a 1=1,{a n }的“差数列”的通项公式为3n,则数列{a n }的通项公式a n =( ) A.3n-1B.3n+1+2C.3n -1D.3n+1-1答案:C解析:∵a 1=1,a n+1-a n =3n,∴a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1 =3n-1+3n-2+…+31+1=1×(1−3n )1−3=3n -12.故选C .二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2015广东湛江高二期末,14)若x>4,函数y=x+1x -4,当x= 时,函数有最小值为 . 答案:5 6解析:∵x>4,∴x-4>0.∴y=x+1x -4=x-4+1x -4+4≥2√(x -4)·1x -4+4=6.当且仅当x-4=1x -4即x=5时等号成立.14.(2015山东潍坊四县联考,12)等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且S nT n=3n -12n+3,则a 8b 8= .答案:43解析:2a82b 8=a 1+a 15b 1+b 15=152(a 1+a 15)152(b 1+b 15)=S 15T 15=3×15−12×15+3=43.15.设数列{a n }满足:a 1=1,a 2=4,a 3=9,a n =a n-1+a n-2-a n-3(n=4,5,…),则a 2 015= . 答案:8 057解析:由a n =a n-1+a n-2-a n-3,得a n+1=a n +a n-1-a n-2,两式作和得:a n+1=2a n-1-a n-3, 即a n+1+a n-3=2a n-1(n=4,5,…).∴数列{a n }的奇数项和偶数项均构成等差数列. ∵a 1=1,a 3=9,∴奇数项构成的等差数列的公差为8.则a 2 015=a 1+8(1 008-1)=1+8×1 007=8 057.故答案为8 057.16.(2015福建宁德五校联考,16)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,有下列结论:①若A>B ,则sin A>sin B ;②若c 2<a 2+b 2,则△ABC 为锐角三角形;③若a ,b ,c 成等差数列,则sin A+sin C=2sin(A+C ); ④若a ,b ,c 成等比数列,则cos B 的最小值为12.其中结论正确的是 .(填上全部正确结论的序号) 答案:①③④解析:对于①,若A>B ,则a>b ,由正弦定理得sin A>sin B ,命题①正确;对于②,若c 2<a 2+b 2,则cos C=a 2+b 2-c 22ab>0,说明C 为锐角,但A ,B 不一定为锐角,△ABC 不一定是锐角三角形,命题②错误;对于③,若a ,b ,c 成等差数列,则a+c=2b ,结合正弦定理得:sin A+sin C=2sin B ,即sin A+sinC=2sin(A+C ),命题③正确;对于④,若a ,b ,c 成等比数列,则b 2=ac , 则cos B=a 2+c 2-b22ac=a 2+c 2-ac 2ac≥ac 2ac =12,命题④正确.三、解答题(17~20小题及22小题每小题12分,21小题10分,共70分)17.(2015福建厦门高二期末,17)已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a=4,cos B=45. (1)若b=3,求sin A 的值;(2)若△ABC 的面积为12,求b 的值. 解:(1)∵cos B=45,0<B<π,∴sin B=√1−cos 2B =35.由正弦定理可得:a sinA=b sinB. 又a=4,b=3,∴sin A=asinBb=4×353=45.(2)由面积公式,得S △ABC =12ac sin B ,∴12ac ×35=12,可解得c=10.由余弦定理,b 2=a 2+c 2-2ac cos B=52,解得b=2√13.18.(2015河北邯郸三校联考,18)数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+cn(c是常数,n=1,2,3,…),且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列.(1)求c的值;(2)求{a n}的通项公式.解:(1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,因为a1,a2,a3成等比数列,所以(2+c)2=2(2+3c),解得c=0或c=2.当c=0时,a1=a2=a3,不符合题意,舍去,故c=2.(2)当n≥2时,由于a2-a1=c,a3-a2=2c,…,a n-a n-1=(n-1)c,c.所以a n-a1=[1+2+…+(n-1)]c=n(n-1)2又a1=2,c=2,故a n=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,…).当n=1时,上式也成立.所以a n=n2-n+2(n=1,2,…).19.(2015河南南阳高二期中,19)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A,B,C成等差数列,△ABC的面积为√3.(1)求证:a,2,c成等比数列;(2)求△ABC的周长L的最小值,并说明此时△ABC的形状.(1)证明:∵A,B,C成等差数列,∴B=60°.ac sin 60°=√3,即ac=4.又△ABC的面积为√3,∴12∵ac=22,∴a,2,c成等比数列.(2)解:在△ABC中,根据余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos 60°=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac=4,∴b≥2,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC的周长L=a+b+c≥2√ac+b=4+b,当且仅当a=c时,等号成立.∴L≥4+2=6,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC周长的最小值为6.∵a=c,B=60°,∴此时△ABC为等边三角形.20.(2015福建宁德五校联考,22)已知f(x)=x2-abx+2a2.(1)当b=3时,①若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求实数a的值;②求不等式f(x)<0的解集.(2)若f(2)>0在a∈[1,2]上恒成立,求实数b的取值范围.解:(1)当b=3时,f (x )=x 2-abx+2a 2=x 2-3ax+2a 2,①∵不等式f (x )≤0的解集为[1,2], ∴1,2是方程x 2-3ax+2a 2=0的两根. ∴{1+2=3a,1×2=2a 2,解得a=1.②∵x 2-3ax+2a 2<0, ∴(x-a )(x-2a )<0.∴当a>0时,此不等式的解集为(a ,2a ),当a=0时,此不等式的解集为空集, 当a<0时,此不等式的解集为(2a ,a ).(2)由题意f (2)=4-2ab+2a 2>0在a ∈[1,2]上恒成立, 即b<a+2a 在a ∈[1,2]上恒成立. 又a+2a ≥2√a ·2a =2√2,当且仅当a=2a,即a=√2时上式等号成立.∴b<2√2,实数b 的取值范围是(-∞,2√2).21.(2015河南郑州高二期末,20)汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素,某市的一条道路在一个限速为40 km/h 的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车刹车距离刚好12 m,乙车刹车距离略超过10 m .又知甲、乙两种车型的刹车距离S (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系:S 甲=0.1x+0.01x 2,S 乙=0.05x+0.005x 2. 问:甲、乙两车有无超速现象?解:由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x 2=12,即x 2+10x-1 200=0,解得x=30或x=-40(x=-40不符合实际意义,舍去). 这表明甲车的车速为30 km/h . 甲车车速不会超过限速40 km/h . 对于乙车,有0.05x+0.005x 2>10, 即x 2+10x-2 000>0,解得x>40或x<-50(x<-50不符合实际意义,舍去). 这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.22.(2015河南南阳高二期中,22)已知数列{a n }中,a 1=1,a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n+12a n+1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项a n ; (2)求数列{n 2a n }的前n 项和T n ;(3)若存在n ∈N *,使得a n ≥(n+1)λ成立,求实数λ的取值范围. 解:(1)因为a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n+12a n+1(n ∈N *), 所以a 1+2a 2+3a 3+…+(n-1)a n-1=n2a n (n ≥2). 两式相减得na n =n+12a n+1-n2a n , 所以(n+1)a n+1na n=3(n ≥2). 因此数列{na n }从第二项起,是以2为首项,以3为公比的等比数列, 所以na n =2·3n-2(n ≥2).故a n ={1,n =1,2n·3n -2,n ≥2. (2)由(1)可知当n ≥2时,n 2a n =2n ·3n-2, 当n ≥2时,T n =1+4·30+6·31+…+2n ·3n-2,∴3T n =3+4·31+…+2(n-1)·3n-2+2n ·3n-1.两式相减得T n =12+(n -12)·3n-1(n ≥2).又∵T 1=a 1=1也满足上式,∴T n =12+(n -12)·3n-1.(3)a n ≥(n+1)λ等价于λ≤ann+1,由(1)可知当n ≥2时,a nn+1=2·3n -2n(n+1), 设f (n )=n(n+1)2·3n -2(n ≥2,n ∈N *),则f (n+1)-f (n )=-(n+1)(n -1)3n -1<0,∴1f(n+1)≥1f(n).又1f(2)=13及a12=12,∴所求实数λ的取值范围为λ≤13.。

高中数学模块综合检测(一)新人教A版必修5

模块综合检测（一）(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个等差数列的第5项a 5＝10，且a 1＋a 2＋a 3＝3，则有( ) A ．a 1＝－2，d ＝3 B ．a 1＝2，d ＝－3 C ．a 1＝－3，d ＝2D ．a 1＝3，d ＝－2解析：选A ∵a 1＋a 2＋a 3＝3且2a 2＝a 1＋a 3， ∴a 2＝1.又∵a 5＝a 2＋3d ＝1＋3d ＝10， ∴d ＝3，∴a 1＝a 2－d ＝1－3＝－2.2．若a <1，b >1，那么下列命题中正确的是( ) A.1a >1bB.b a>1 C ．a 2<b 2D ．ab <a ＋b解析：选D 利用特值法，令a ＝－2，b ＝2. 则1a <1b ，A 错；b a<0，B 错；a 2＝b 2，C 错．3．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ≥0，x ≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：选A 由不等式组作出可行域如图所示，由图可知：当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－1,1)时，z 取得最小值为－1.4．已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，那么，对应的三边之比a ∶b ∶c 等于( )A ．3∶2∶1 B.3∶2∶1 C.3∶2∶1D ．2∶3∶1解析：选D ∵A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，A ＋B ＋C ＝180°， ∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°.∴a ∶b ∶c ＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30° ＝1∶32∶12＝2∶3∶1. 5．已知△ABC 中，三内角A ，B ，C 依次成等差数列，三边a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选D 由题意可得B ＝60°，再由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，又三边a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ，上式即为a 2＋c 2－2ac ＝(a －c )2＝0，则a ＝c ，所以△ABC 是等边三角形．6．等比数列{a n }的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n }的首项为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C S 4－(a 2＋a 4)＝60⇒a 1＋a 3＝60. ∴q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝3，a 1＝6. 7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.32D. 3解析：选D 根据S ＝12bc sin A ＝32，可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝ 3.8．关于x 的不等式x 2－ax －6a ＜0的解集是{x |m ＜x ＜n }，且n －m ≤5，则实数a 的取值范围是( )A ．[－25，－24)B ．(0,1]C ．(－25，－24)∪(0,1)D ．[－25，－24)∪(0,1]解析：选D 由题意知，方程x 2－ax －6a ＝0有两根分别为m 和n ，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2＋24a ＞0⇒a ＜－24或a ＞0，m ＋n ＝a ，mn ＝－6a .又0＜n －m ≤5，∴(n －m )2＝(n ＋m )2－4nm ＝a 2＋24a ≤25，即a 2＋24a －25≤0，解得－25≤a ≤1. ∴－25≤a ＜－24或0＜a ≤1.故实数a 的取值范围是[－25，－24)∪(0,1]．9．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≤a a >1 ，x －y ≤0，若函数z ＝x ＋y 的最大值为4，则实数a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D.32解析：选A 由不等式组作出可行域，如图所示的阴影部分，当z ＝x ＋y 过y ＝x 和y ＝a 的交点A (a ，a )时，z 取得最大值，即z max ＝a ＋a ＝4，所以a ＝2.10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若内角A ，B ，C 依次成等差数列，且不等式－x 2＋6x －8>0的解集为{x |a <x <c }，则S △ABC 等于( )A. 3 B ．2 3 C ．3 3D ．4 3解析：选B 由于不等式－x 2＋6x －8>0的解集为{x |2<x <4}， ∴a ＝2，c ＝4.又角A ，B ，C 依次成等差数列，∴B ＝π3，∴S △ABC ＝12×2×4×sin π3＝2 3.11．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项解析：选B 设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1qn －3，a 1qn －2，a 1qn－1.所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q 3n －6＝4，两式相乘，得a 61q3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，所以a n1·q (-)12n n ＝64，即(a 21qn －1)n＝642，即2n ＝642，所以n ＝12.12．函数y ＝x 2＋2x －1(x ＞1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2解析：选A ∵x ＞1， ∴x －1＞0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2 x －1 ＋3x －1＝ x －1 2＋2 x －1 ＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥23＋2. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中的横线上)13．若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则1<⎪⎪⎪⎪⎪⎪211x <2的解集是________．解析：由已知可得1<2x －1<2，解得1<x <32，所以所求解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1<x <32.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1<x <3214．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝________.解析：由a n ＋1＝2a n ，{a n }为等比数列， ∴a n ＝2n. ∴2b n ＝2n＋2n ＋1，即b n ＝3×2n －1，∴S 6＝3×1＋3×2＋…＋3×25＝189. 答案：18915．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 到C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A ，B 两船的距离为3 km ，则B 到C 的距离为________ km.解析：如图所示，在△ABC 中， ∠ACB ＝40°＋80°＝120°，AB ＝3 km ，AC ＝2 km.设BC ＝a km.由余弦定理的推论，得cos 120°＝a 2＋4－94a，解得a ＝6－1或a ＝－6－1(舍去)，即B 到C 的距离为(6－1) km. 答案：(6－1)16．不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得k ＋1＋k ＜3，即(k ＋2)(k －1)＜0，且k ＞0，因此k 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值； (2)若S △ABC ＝4，求b ，c 的值．解：(1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12·2·c ·45＝4. ∴c ＝5.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 3(x 2－4x ＋m )的图象过点(0,1)． (1)求实数m 的值； (2)解不等式：f (x )≤1.解：(1)由已知有f (0)＝log 3m ＝1， ∴m ＝3.(2)由(1)知f (x )＝log 3(x 2－4x ＋3)．由x 2－4x ＋3>0，得x <1或x >3，∴函数的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)． ∵log 3(x 2－4x ＋3)≤1且y ＝log 3x 为增函数， ∴0<x 2－4x ＋3≤3， ∴0≤x <1或3<x ≤4，∴不等式的解集为{x |0≤x <1或3＜x ≤4}．19．(陕西高考)(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B. ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12.20．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2满足上式，故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2. 设{b n }的公比为q ，由已知条件a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1知，b 1＝2，b 2＝12，所以q ＝14，∴b n ＝b 1qn －1＝2×14n －1，即b n ＝24n －1.(2)∵c n ＝a n b n ＝4n －224n －1＝(2n －1)4n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1＋3×41＋5×42＋…＋ (2n －1)4n －1.4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n －3)4n －1＋(2n －1)4n. 两式相减得3T n ＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n －1)＋(2n －1)4n＝13[(6n －5)4n＋5]． ∴T n ＝19[(6n －5)4n＋5]．21．(本小题满分12分)如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知AB ＝3米，AD ＝2米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ (2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？请求最小面积．解：(1)设AN ＝x (x >2)米，则ND ＝x －2，因为ND DC ＝AN AM，所以x －23＝x AM，所以AM ＝3x x －2. 所以3xx －2·x >32，所以3x 2－32x ＋64>0，所以(3x －8)(x －8)>0，所以2<x <83或x >8.即2<AN <83或AN >8.(2)S 矩形AMPN ＝3x2x －2＝3 x －2 2＋12 x －2 ＋12x －2＝3(x －2)＋12x －2＋12≥236＋12＝24，当且仅当x ＝4时取等号．所以当AN 的长度是4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积为24平方米．22．(本小题满分12分)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点个数为a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1，若对一切的正整数n ，总有T n ≤m ，求实数m 的取值范围．解：(1)由x >0，y >0,3n －nx ≥y ，得0<x <3. 则D n 内的整点在直线x ＝1和x ＝2上．记y ＝－nx ＋3n 为l ，l 与x ＝1，x ＝2的交点的纵坐标分别为y 1，y 2，则y 1＝2n ，y 2＝n ，∴a n ＝3n (n ∈N *)． (2)∵S n ＝3(1＋2＋…＋n )＝3n n ＋12， ∴T n ＝n n ＋12n.令T n ＋1T n ＝n ＋22n>1，解得n <2， ∴当n ≥3时，T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32，即T n 的最大值为32.所以实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。

高中数学模块综合检测新人教A版必修5

模块综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系为( ) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )＝g (x ) C ．f (x )<g (x )D ．随x 值变化而变化解析：选A 因为f (x )－g (x )＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，所以f (x )>g (x )．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A 等于( )A ．135°B ．90°C ．45°D ．30°解析：选C 由正弦定理知a sin A ＝bsin B，∴sin A ＝a sin Bb ＝2sin 60°3＝22. 又a 0的解集为(－∞，1)∪(m ，＋∞)，则a ＋m ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．3解析：选D 由题意，知1，m 是方程x 2－3ax ＋2＝0的两个根，则由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝3a ，1×m ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，m ＝2，所以a ＋m ＝3，故选D.4．已知数列{a n }为等差数列，且a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A ．40 B ．42 C ．43D ．45解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则2a 1＋3d ＝13，∴d ＝3，故a 4＋a 5＋a 6＝3a 1＋12d ＝3×2＋12×3＝42.5．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32B.332C.3＋62D.3＋394解析：选B 由余弦定理得AB 2＋4－2·AB ×2×cos 60°＝7，解得AB ＝3或AB ＝－1(舍去)，设BC 边上的高为x ，由三角形面积关系得12·BC ·x ＝12AB ·BC ·sin 60°，解得x ＝332，故选B.6．某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车．今欲制造40辆甲型车和40辆乙型车，若要使所费的总工作时数最少，那么这两家工厂工作的时间分别为( )A ．16,8B ．15,9C ．17,7D ．14,10解析：选A 设A 工厂工作x 小时，B 工厂工作y 小时，总工作时数为z ，则目标函数为z ＝x ＋y ，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥40，2x ＋y ≥40，x ≥0，y ≥0作出可行域如图所示，由图知当直线l ：y ＝－x＋z 过Q 点时，z 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝40，2x ＋y ＝40，得Q (16,8)，故A 厂工作16小时，B 厂工作8小时，可使所费的总工作时数最少．7．若log 4(3x ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：选D 由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得12log 2(3a ＋4b )＝12log 2(ab )，所以3a ＋4b＝ab ，即3b ＋4a＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3b ＋4a＝3a b ＋4ba ＋7≥43＋7，当且仅当3ab ＝4b a，即a ＝23＋4，b＝3＋23时取等号，故选D.8．定义max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤2，|y |≤2，则z ＝max{4x＋y,3x －y }的取值范围是( )A ．[－8,10]B ．[－7,10]C ．[－6,8]D ．[－7,8]解析：选B 做出约束条件所表示的平面区域如图阴影部分所示．令4x ＋y ≥3x －y ，得x ≥－2y ，当x ≥－2y 时，z ＝4x ＋y ；当x <－2y 时，z ＝3x －y .在同一直角坐标系中作出直线x ＋2y ＝0的图象，如图所示．当(x ，y )在平面区域CDEF 内运动时(含边界区域)，此时x ≥－2y ，故z ＝4x ＋y ，可知目标函数z ＝4x ＋y 在D (2,2)时取到最大值10，在F (－2，1)时取到最小值－7；当(x ，y )在平面区域ABCF 内运动时(含边界区域但不含线段CF )，此时x <－2y ，故z ＝3x －y ，可知目标函数z ＝3x －y 在B (2，－2)时取到最大值8，在F (－2,1)时z ＝3x －y ＝－7，所以在此区域内－7<z ≤8.综上所述，z ＝max{4x ＋y,3x －y }∈[－7，10]，故选B.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)9．若不等式|2x ＋a |＜b 的解集为{x |1＜x ＜4}，则ab 等于________．解析：显然，当b ≤0时，不合题意，当b ＞0时，由|2x ＋a |＜b 可得－b ＜2x ＋a ＜b ，所以－b －a 2＜x ＜b －a2，因此⎩⎪⎨⎪⎧－b －a2＝1，b －a2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝3，故ab ＝－15.答案：－1510．在数列{a n }中，S n 为它的前n 项和，已知a 2＝3，a 3＝7，且数列{a n ＋1}是等比数列，则a 1＝________，a n ＝________，S n ＝________.解析：令x n ＝a n ＋1，则x 2＝4，x 3＝8，因为{a n ＋1}是等比数列，所以x n ＝2n，即a n ＝2n－1，a 1＝1，S n ＝－2n1－2－n ＝2n ＋1－2－n .答案：1 2n－1 2n ＋1－2－n11．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．解析：由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x －4，x ，x ＋4.由一个内角为120°，知其必是最长边x ＋4所对的角．由余弦定理得，(x ＋4)2＝x 2＋(x －4)2－2x (x －4)·cos 120°，∴2x 2－20x ＝0，∴x ＝0(舍去)或x ＝10， ∴S △ABC ＝12×(10－4)×10×sin 120°＝15 3.答案：15 312．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________. 解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1.又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.答案：－1n13．如果实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤3，则y x 的取值范围是________，z ＝x 2＋y 2xy的最大值为________．解析：画出可行域如图中阴影部分所示，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，83，B (3,6)，C (3,1)，y x 的几何意义是区域上的点与坐标原点连线的斜率，所以k OC ≤y x ≤k AB ，即13≤y x≤2.因为z ＝x 2＋y 2xy ＝x y ＋y x ＝1k ＋k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1单调递减，在[1,2]上单调递增，当k ＝13时，有z max ＝103.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2 10314．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －3c 3a＝cos C cos A .若角B ＝π6，BC 边上的中线AM ＝7，则A ＝________，△ABC 的面积为________．解析：由正弦定理及2b －3c 3a ＝cos C cos A 得2sin B －3sin C 3sin A＝cos Ccos A ，整理得2sin B cos A＝3sin(A ＋C )＝3sin B ，又sin B ≠0，所以cos A ＝32，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6.又B ＝π6，∴a ＝b ，△ACM 中，由余弦定理得cos 2π3＝b 2＋b 24－7b2＝－12，解得b ＝2，所以△ABC 的面积S ＝12×2×2×32＝ 3. 答案：π6315．已知实数x ，y >0且xy ＝2，则x 3＋8y 3x 2＋4y 2＋8的最小值是________，此时x ＝________，y ＝________.解析：因为x ，y >0且xy ＝2，由于x 3＋8y 3x 2＋4y 2＋8＝x ＋2y x 2－2xy ＋4y 2x 2＋4y 2＋4xy＝x ＋2yx ＋2y 2－6xy ]x ＋2y 2＝x ＋2y 2－12x ＋2y ＝(x ＋2y )－12x ＋2y，令x ＋2y ＝t ，则t ＝x ＋2y ≥22xy ＝4，有t －12t 在[4，＋∞)上单调递增，所以当t ＝4时有最小值4－124＝1，当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号．答案：1 2 1三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(14分)等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50. (1)求通项a n ； (2)若S n ＝242，求n .解：(1)设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∴通项a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10＋2n . (2)由S n ＝na 1＋n n －2d ＝242，得12n ＋n n －2×2＝242，解得n ＝11，或n ＝－22(舍去)．故n ＝11.17．(15分)已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)． (1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意的x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，所以2x 2＋bx ＋c <0的解集是(0,5)，所以0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系，知－b 2＝5，c2＝0，所以b ＝－10，c ＝0，所以f (x )＝2x 2－10x .(2)对任意的x ∈[－1,1]，f (x )＋t ≤2恒成立等价于对任意的x ∈[－1,1]，2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立．设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，则由二次函数的图象可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1,1]上为减函数，所以g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ，所以10＋t ≤0，即t ≤－10，所以t 的取值范围为(－∞，－10]．18．(15分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n n －2d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5.解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知1a2n －1a 2n ＋1＝1－2n－2n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，从而数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和为12( 1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1 )＝n1－2n. 19．(15分)在△ABC 中，BC ＝6，点D 在BC 边上，且(2AC －AB )cos A ＝BC cos C . (1)求角A 的大小；(2)若AD 为△ABC 的中线，且AC ＝23，求AD 的长；(3)若AD 为△ABC 的高，且AD ＝33，求证：△ABC 为等边三角形．解：(1)由(2AC －AB )cos A ＝BC cos C 及正弦定理，有(2sin B －sin C )cos A ＝sin A cosC ，得2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B ，所以cos A ＝12.因为0°<A <180°，所以A ＝60°. (2)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，得sin B ＝AC sin A BC ＝12. 因为A ＋B <180°，所以B ＝30°，所以C ＝90°.因为D 是BC 的中点，所以DC ＝3，由勾股定理，得AD ＝AC 2＋DC 2＝21.(3)证明：因为12AD ·BC ＝12AB ·AC sin A ，且AD ＝33，BC ＝6，sin A ＝32，所以AB ·AC＝36.因为BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，所以AB 2＋AC 2＝72，所以AB ＝AC ＝6＝BC ，所以△ABC 为等边三角形．20．(15分)(全国丙卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n . 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.。

2021-2022学年人教A版高中数学必修五模块综合评价(一) Word版含答案

模块综合评价(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a ＞b ，则下列正确的是( ) A ．a 2＞ b 2B ．ac ＞ bcC ．ac 2＞ bc 2D ．a －c ＞ b －c解析：A 选项不正确，由于若a ＝0，b ＝－1，则不成立；B 选项不正确，c ≤0时不成立；C 选项不正确，c ＝0时不成立；D 选项正确，由于不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变．答案：D2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45°D ．30°解析：由于A ＝60°，a ＝43，b ＝42，由正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin B ＝b sin Aa＝42×3243＝22. 由于a ＞b ，所以A ＞B ，所以B ＝45°. 答案：C3．数列1，1＋2，1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前n 项和S n >1 020，那么n 的最小值是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：由于1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n－1，所以S n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝2－2n ＋11－2－n ＝2n ＋1－2－n .若S n >1 020，则2n ＋1－2－n >1 020，所以n ≥10. 答案：D4．若集合M ＝{x |x 2＞4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪3－x x ＋1＞0，则M ∩N ＝( )A ．{x |x ＜－2}B ．{x |2＜x ＜3}C ．{x |x ＜－2或x ＞3}D ．{x |x ＞3}解析：由x 2＞4，得x ＜－2或x ＞2，所以M ＝{x |x 2＞4}＝{x |x ＜－2或x ＞2}．又3－xx ＋1＞0，得－1＜x ＜3，所以N ＝{x |－1＜x ＜3}；所以M ∩N ＝{x |x ＜－2或x ＞2}∩ {x |－1＜x ＜3}＝{x |2＜x ＜3}．答案：B5．已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1·a 9＝16，则a 2·a 5·a 8的值为( ) A ．16 B ．32 C ．48 D ．64解析：由等比数列的性质可得，a 1·a 9＝a 25＝16. 由于a n ＞0，所以a 5＝4，所以a 2·a 5·a 8＝a 35＝64，故选D. 答案：D6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a cos B ＝b cos A ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：由于a sin A ＝bsin B ＝2R ，即a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以a cos B ＝b cos A 变形得：sin A cos B ＝sin B cos A ，整理得：sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )＝0. 又A 和B 都为三角形的内角，所以A －B ＝0，即A ＝B ，则△ABC 为等腰三角形．答案：A7．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤3，x ＋y ≥1，则S ＝2x ＋y －1的最大值为( )A ．8B ．4C ．3D ．2解析：作出不等式组对应的平面区域如图，由图可知，当目标函数过图中点(2，3)时取得最大值6.答案：A8．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( ) A ．18 B ．24 C ．60 D ．90解析：由于a 4是a 3与a 7的等比中项，所以a 24＝a 3a 7，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，整理得2a 1＋3d ＝0.①又由于S 8＝8a 1＋562d ＝32，整理得2a 1＋7d ＝8.②由①②联立，解得d ＝2，a 1＝－3，所以S 10＝10a 1＋902d ＝60，故选C. 答案：C9．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，且对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都有P n P n ＋1＝(1，2)，则{a n }的前n 项和S n 为( )A ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －43 B ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －34 C ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －23 D ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12 解析：由于P n P n ＋1＝(1，2)，(1，a n ＋1－a n )＝(1，2)，a n ＋1－a n ＝2，公差为d ＝2. 所以a 1＋2(a 1＋2)＝3，3a 1＋1＝0，a 1＝－13，所以S n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋n （n －1）2·2所以S n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －43.答案：A10．已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2，则{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝3n－1 C ．a n ＝22n －1D ．a n ＝6n －4解析：a n ＋1＝3a n ＋2⇒a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)⇒a n ＋1＋1a n ＋1＝3. 所以数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝3，公比为3的等比数列．所以a n ＋1＝3×3n －1＝3n ，所以a n ＝3n－1.故选B.答案：B11．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若对任意x >2，不等式(x －a )⊗x ≤a ＋2都成立，则实数a 的取值范围是( )A ．B ．(－∞，3]C ．(－∞，7]D ．(－∞，－1]∪＝1x(－x 2＋19x －25)＝19－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而19－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x≤19－2x ·25x＝9，当且仅当x ＝5时取得等号．即小王应当在第5年年底将大货车出售，才能使年平均利润最大．20． (本小题满分12分)实系数一元二次方程x 2＋ax ＋2b ＝0有两个根，一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，求：(1)点(a ，b )对应的区域的面积； (2)b －2a －1的取值范围； (3)(a －1)2＋(b －2)2的值域．解：方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根区间(0，1)和(1，2)上的几何意义分别是：函数y ＝f (x )＝x 2＋ax ＋2b 与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0，1)和(1，2)内，由此可得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，a ＋2b ＋1＜0，a ＋b ＋2＞0.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a ＋b ＋2＝0，解得A (－3，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋2＝0，b ＝0，解得B (－2，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，b ＝0，解得C (－1，0)，所以在下图所示的aOb 坐标平面内，满足约束条件的点(a ，b )对应的平面区域为△ABC (不包括边界)． (1)△ABC 的面积为S △ABC ＝12·|BC |·h ＝12(h 为A 到Oa 轴的距离)．(2)b －2a －1的几何意义是点(a ，b )和点D (1，2)连线的斜率．由于k AD ＝2－11＋3＝14，k CD ＝2－01＋1＝1，由图可知k AD ＜b －2a －1＜k CD ，所以14＜b －2a －1＜1，即b －2a －1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.(3)由于(a －1)2＋(b －2)2表示区域内的点(a ，b )与定点(1，2)之间距离的平方，所以(a －1)2＋(b －2)2∈(8，17)．21．(本小题满分12分)已知x ，f （x ）2，3(x ≥0)成等差数列．又数列{a n }(a n ＞0)中，a 1＝3 ，此数列的前n 项的和S n (n ∈N *)对全部大于1的正整数n 都有S n ＝f (S n －1)．(1)求数列{a n }的第n ＋1项； (2)若b n 是1a n ＋1，1a n的等比中项，且T n 为{b n }的前n 项和，求T n .解：由于x ，f （x ）2，3(x ≥0)成等差数列，所以f （x ）2×2＝x ＋ 3.所以f (x )＝(x ＋3)2. 由于S n ＝f (S n －1)(n ≥2)，所以S n ＝f (S n －1)＝(S n －1＋3)2. 所以S n ＝S n －1＋3，S n －S n －1＝ 3. 所以{S n }是以3为公差的等差数列．由于a 1＝3，所以S 1＝a 1＝3.所以S n ＝S 1＋(n －1)3＝3＋3n －3＝3n .所以S n ＝3n 2(n ∈N *)．所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝3(n ＋1)2－3n 2＝6n ＋3. (2)由于数列b n 是1a n ＋1，1a n的等比中项，所以(b n )2＝1a n ＋1·1a n，所以b n ＝1a n ＋1a n＝13（2n ＋1）·3（2n －1）＝118⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝118⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15⎦⎥⎤＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝118⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 9（2n ＋1）. 22．(本小题满分12分)规定：max(a ，b ，c )与min(a ，b ，c )分别表示a ，b ，c 中的最大数与最小数，若正系数二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有公共点，试证：(1)max(a ，b ，c )≥49f (1)；(2)min(a ，b ，c )≤14f (1)．证明：由题意知a ，b ，c ＞0，f (1)＝a ＋b ＋c ，Δ＝b 2－4ac ≥0. (1)若b ≥49f (1)，结论明显成立；下面证明当b ＜49f (1)时，结论也成立．记f (1)＝a ＋b ＋c ＝d ，由b 2－4ac ≥0，可知ac ≤b 24＜481d 2，而a ＋c ＝d －b ＞59d ，所以a 2＋481d 2≥a 2＋ac＝a (a ＋c )＞59ad ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a －19d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －49d ＞0，解得a ＜19d 或a ＞49d .若a ＜19d ，则a ＋c ＞59d ，c ＞49d .因此，必有a ＞49f (1)或b ＞49f (1)或c ＞49f (1)，于是max(a ，b ，c )＞49f (1)．(2)若a ≤14f (1)，结论明显成立；下面证明当a ＞14f (1)时，结论也成立．由于b ＋c ＝d －a ＜34d 且b 2≥4ac ＞cd ，所以c ＋cd ＜c ＋b ＜34d ，整理为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32d ⎝ ⎛⎭⎪⎫c －12d ＜0，解得c ＜14d .因此，必有a ≤14f (1)或c ＜14f (1)，于是min(a ，b ，c )≤14f (1)．。

高中数学人教A版必修五章末综合测评1 Word版含答案

章末综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，若sin A ＋cos A ＝712，则这个三角形是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等边三角形【解析】若A ≤90°，则sin A ＋cos A ≥1>712，∴A >90°. 【答案】 A2．在△ABC 中，内角A 满足sin A ＋cos A >0，且tan A －sin A <0，则A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4【解析】由sin A ＋cos A >0得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4>0.∵A 是△ABC 的内角，∴0<A <3π4. ① 又tan A <sin A ，∴π2<A <π. ②由①②得，π2<A <3π4. 【答案】 C3．已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a ，那么a 的取值范围为( ) 【导学号：05920080】A ．(8,10)B ．(22，10)C ．(22，10)D ．(10，8) 【解析】设1,3，a 所对的角分别为∠C 、∠B 、∠A ，由余弦定理知a 2＝12＋32－2×3cos A <12＋32＝10，32＝1＋a 2－2×a cos B <1＋a 2， ∴22<a <10. 【答案】 B4．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2 C. 2D ．22【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝8， ∴sin C ＝c 8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝16216＝ 2. 【答案】 C5．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2 D ．2π3【解析】 p ∥q ⇒(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0⇒a 2＋b 2－c 22ab ＝12＝cos C .∴C ＝π3. 【答案】 B6．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则下面等式一定成立的是( ) A ．A ＝B B ．A ＝C C ．B ＝CD ．A ＝B ＝C【解析】由sin B sin C ＝cos 2A 2＝1＋cos A2⇒2sin B sin C ＝1＋cos A ⇒cos(B －C )－cos(B ＋C )＝1＋cos A .又cos(B ＋C )＝－cos A ⇒cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即B ＝C . 【答案】 C7．一角槽的横断面如图1所示，四边形ADEB 是矩形，且α＝50°，β＝70°，AC ＝90 mm ，BC ＝150 mm ，则DE 的长等于( )图1A ．210 mmB ．200 mmC ．198 mmD ．171 mm【解析】 ∠ACB ＝70°＋50°＝120°，在△ABC 中应用余弦定理可以求出AB 的长，即为DE 的长．【答案】 A8．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332 D ．3 3【解析】 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 【答案】 C9．(2015·山东省实验中学期末考试)已知在△ABC 中，sin A ＋sin B ＝sin C (cos A ＋cos B )，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形【解析】由正弦定理和余弦定理得a ＋b ＝c b 2＋c 2－a 22bc ＋a 2＋c 2－b 22ac ，即2a 2b＋2ab 2＝ab 2＋ac 2－a 3＋a 2b ＋bc 2－b 3，∴a 2b ＋ab 2＋a 3＋b 3＝ac 2＋bc 2，∴(a ＋b )(a 2＋b 2)＝(a ＋b )c 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形，故选D.【答案】 D10．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sin C ＋sin 2C ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】由已知得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又0°<A <180°，∴A ＝120°. 【答案】 C11．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，∠ACB 的平分线CD 把△ABC 的面积分成3∶2两部分，则cos A 等于( )A.13B.12C.34 D ．0【解析】 ∵CD 为∠ACB 的平分线， ∴D 到AC 与D 到BC 的距离相等．∴△ACD 中AC 边上的高与△BCD 中BC 边上的高相等． ∵S △ACD ∶S △BCD ＝3∶2，∴AC BC ＝32. 由正弦定理sin B sin A ＝32，又∵B ＝2A ， ∴sin 2A sin A ＝32，即2sin A cos A sin A ＝32，∴cos A ＝34. 【答案】 C12.如图2，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B 后，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ( )图2A ．23＋1B ．23－1 C.3－1D ．3＋1 【解析】在△ABC 中，BC ＝AB sin ∠BACsin ∠ACB＝100sin 15°sin(45°－15°)＝50(6－2)，在△BCD中，sin∠BDC＝BC sin∠CBDCD＝50(6－2)sin 45°50＝3－1，又∵cos θ＝sin∠BDC，∴cos θ＝3－1.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．(2015·黄冈高级中学高二期中测试)△ABC为钝角三角形，且∠C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为．【解析】∵cos C＝a2＋b2－c22ab，且∠C为钝角．∴cos C<0，∴a2＋b2－c2<0.故a2＋b2<c2.【答案】a2＋b2<c214．(2013·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝.【解析】由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，所以a＝53b，c＝73b，所以cos C＝a2＋b2－c22ab＝⎝⎛⎭⎪⎫53b2＋b2－⎝⎛⎭⎪⎫73b22×53b×b＝－12.因为C∈(0，π)，所以C＝2π3.【答案】2π315．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则ACcos A的值等于，AC的取值范围为．【解析】设A＝θ⇒B＝2θ.由正弦定理得ACsin 2θ＝BCsin θ，∴AC2cos θ＝1⇒ACcos θ＝2.由锐角△ABC得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°.又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°，故30°<θ<45°⇒22<cos θ<32，∴AC＝2cos θ∈(2，3)．【答案】2(2，3)16．(2014·全国卷Ⅰ)如图3，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝m.图3【解析】根据图示，AC＝100 2 m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得ACsin 45°＝AMsin 60°⇒AM＝100 3 m.在△AMN中，MNAM＝sin 60°，∴MN＝1003×32＝150(m)．【答案】150三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.【解】(1)由正弦定理得，sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A.故sin B＝2sin A，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cos B＝(1＋3)a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cos B>0，故cos B＝22，所以B＝45°.18．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝3 5.(1)若b＝4，求sin A的值；(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．【解】(1)∵cos B＝35>0，且0<B<π，∴sin B＝1－cos2B＝4 5.由正弦定理得asin A＝bsin B，sin A＝a sin Bb＝2×454＝25.(2)∵S△ABC＝12ac sin B＝4，∴12×2×c×45＝4，∴c＝5.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b＝17.19．(本小题满分12分)(2015·安徽高考)在△ABC中，∠A＝3π4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．【解】设△ABC 的内角∠BAC ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a ＝310.又由正弦定理得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010，由题设知0<B <π4，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝31010.在△ABD 中，因为AD ＝BD ，所以∠ABD ＝∠BAD ，所以∠ADB ＝π－2B ，故由正弦定理得AD ＝AB ·sin B sin (π－2B )＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B ＝10.20．(本小题满分12分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时C 、D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?【解】如图所示，设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β.在△CBD 中，由余弦定理得cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17， ∴sin β＝437.而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝437×12＋32×17＝5314. 在△ACD 中，21sin 60°＝AD sin α，∴AD ＝21×sin αsin 60°＝15(千米)．所以这人还要再走15千米可到达城A .21．(本小题满分12分)(2016·洛阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为22sin A sin B ，求sin A 及c 的值. 【导学号：05920081】【解】 (1)∵cos 2C ＋22cos C ＋2＝0，∴2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0，即(2cos C ＋1)2＝0， ∴cos C ＝－22. 又C ∈(0，π)，∴C ＝3π4.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2， ∴c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ， ∴sin A ＝15sin C ＝1010. ∵S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝22sin A sin B ， ∴12ab sin C ＝22sin A sin B ，∴absin A sin B sin C ＝2，由正弦定理得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫c sin C 2sin C ＝2，解得c ＝1. 22．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝m sin x ＋2cos x (m >0)的最大值为2. (1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)若△ABC 中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且C ＝60°，c ＝3，求△ABC 的面积．【解】 (1)由题意，f (x )的最大值为m 2＋2，所以m 2＋2＝2.又m >0，所以m ＝2，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.令2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )．所以f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π.(2)设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得2R ＝c sin C ＝3sin 60°＝2 3. 化简f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ，得sin A ＋sin B ＝26sin A sin B .由正弦定理，得2R (a ＋b )＝26ab ，a ＋b ＝2ab .① 由余弦定理，得a 2＋b 2－ab ＝9，即(a ＋b )2－3ab －9＝0.②将①式代入②，得2(ab )2－3ab －9＝0，解得ab ＝3或ab ＝－32(舍去)，故S △ABC ＝12ab sin C ＝334.。

(人教版)高中数学必修5检测模块综合检测A Word版含答案

模块综合检测()一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．在△中，已知(＋)(－)＝＋，则等于( )．°．°．°．°解析：由已知得＋－＝－，∴＝－，∴＝°.答案：．已知集合＝{∈＋>}，＝{∈(＋)(－)>}，则∩＝( )．(－∞，－) ．．．(，＋∞)解析：＝，＝{∈>或<－}，∴∩＝{∈>}．答案：．等差数列{}的公差为，若，，成等比数列，则＝( )．．．－．解析：∵，，成等比数列，∴＝·即(＋)＝·(＋)解得：＝，∴＝＋＝.答案：．已知＝＋，＝＋＋，则和的大小关系正确的是( )．≤．≥．＜．>解析：∵－＝＋－－－＝－(－)≤，∴≤.答案：．各项不为零的等差数列{}中，有＝(＋)，数列{}是等比数列，且＝，则＝( )．．．．解析：＝＝，又＝(＋)＝，∴＝，∴＝，故选.答案：．△的三边分别为，，，且＝，＝°，△＝，则△的外接圆的直径为( )．．．．解析：∵△＝，∴＝，由余弦定理＝＋－＝，∴＝.由正弦定理＝＝.(为△外接圆的半径)答案：．在等差数列{}中，＝，公差＝－，若前项和满足＜(∈*)，则的最小值是( )．．．．解析：＜⇔＋×(－)＜＋(－)×(－)，即－＋＞，解得＜(舍去)或＞，∴的最小值为.答案：．在上定义运算☆，☆＝＋＋，则满足☆(－)<的实数的取值范围为( )．() ．(－)．(－∞，－)∪(，＋∞) ．(－)解析：根据定义得：☆(－)＝(－)＋＋(－)＝＋－<，解得－<<，所以实数的取值范围为(－，)，故选.答案：．一艘客船上午∶在处，测得灯塔在它的北偏东°，之后它以每小时海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午∶到达处，此时测得船与灯塔相距海里，则灯塔在处的( )．北偏东°．东偏南°．北偏东°或东偏南°．以上方位都不对解析：根据题意画出示意图，如图，由题意可知＝×＝，＝，∠＝°.在△中，由正弦定理得＝，＝＝＝，∴＝°或°，∴＝°或°，即灯塔在处的北偏东°或东偏南°.。

人教A版高中数学必修五模块检测(含答案详解).docx

模块检测（苏教版必修5）一、填空题（每小题5分，共70分）1.已知一等比数列的前三项依次为22x,x ,+33x +，那么2113-是此数列的第项. 2.若数列{ }的前n 项和S n =n 2－2n +3，则此数列的前3项依次为. 3.已知三个不同的实数c b a ,,成等差数列，且b c a ,,成等比数列，则::a b c =.4.在ABC △中,tan A 是以－4为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以13为第三项, 9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是. 5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=，则3132log log a a +++310log a =.6.若x ，y 均为整数，且满足约束条件20200≤，≥，≥，x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩则2z x y =+的最大值为.7.已知在等差数列｛｝中，01511＞，＝a S S ，则第一个使0＜n a 的项是. 8.已知{}a 是等比数列，12==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =.9.如果在△ABC 中，2sin cos ＝sin A B C，那么△ABC 一定是 . 10.若关于x 的不等式()201x a x ab +++>的解集是{}1或4x|x x <->，则实数a b +的值为. 11.用两种材料做一个矩形框，按要求其长和宽分别选用价格为每米3元和5元的两种材料，且长和宽必须为整数米，现预算花费不超过100元，则做成的矩形框所围成的最大面积是平方米.12．如图，在山脚A 处测得该山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600 m 后测得仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200 m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为.13．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为. 14．甲船在岛B 的正南方A 处，AB =10千米，甲船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是.二、解答题（共90分）15.（14分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC .小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD,DC ，且拐弯处的转角为120︒．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．16.（14分）研究问题：“已知关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为（1，2），解关于x 的不等式20cx bx a -+>”有如下解法：解：由20ax bx c -+>得2110a b c x x ⎛⎫⎛⎫-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1y x =，则121y <<，所以不等式20cx bx a -+>的解集为112，⎛⎫⎪⎝⎭.参考上述解法，已知关于x 的不等式0k x bx a x c++<++的解集为()()2123，,--，求关于x 的不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集.17.（14分）某家具厂有方木料90 ，五合板600 ，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 ，五合板2 ，生产每个书橱需要方木料0.2 ，五合板1 ，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.（1）如果只安排生产书桌，可获利润多少？（2）如果只安排生产书橱，可获利润多少？（3）怎样安排生产可使所获利润最大？18.（16分）已知{}为各项都为正数的等比数列，=1，=256，为等差数列{}的前n项和，=2，5=2.（1）求{}和{}的通项公式；（2）设=++…+，求.19.（16分）已知数列{}n a满足1112n na,a a+==+ ()1n+∈N.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若数列{}n b满足114b-•214b-•…•14n b-=(1)n bna+(n∈+N)，证明：{}n b是等差数列.20.（16分）已知函数2222（）f x x x =-+，数列{ }的前n 项和为，点（n ，）（n ∈ ）均在函数（）y f x =的图象上. （1）求数列{ }的通项公式及前n 项和；（2）存在k ∈ ，使得1212nS S S k n+++<对任意n ∈ 恒成立，求出k 的最小值.模块检测答题纸得分：一、填空题1． 2．3． 4．5． 6．7.8．9．10.11．12． 13．14.二、解答题15.16.17.18.19.20．模块检测参考答案1.4 解析：由题意得 ,解得1x =-或4x =-.当1x =-时，220x +=，故舍去，所以333x q +==，所以131134n -⎛⎫⨯-=-，所以4n =.2.213,, 解析：当1n =时，21112132－a S ==⨯+=；当2n =时，由221222233－S a a =+=⨯+=,得21a =；当3n =时，由2233233631－S a a a =++=⨯+=,得33a =.3.)2(:1:4-解析：22222,2,(2),540a c b c b a ab c b a a ab b +==-==--+=，又,a b ≠∴4,2a b c b ==-.4.锐角三角形解析：设等差数列为{}n a ，公差为d ,则7344，a a =-=,所以2d =，所以设等比数列为{}n b ，公比为q ，则313b =,6b 9=,所以3q =，所以所以tan tan()1C A B =-+=，所以,,A B C 都是锐角，即此三角形为锐角三角形.5.10 解析：313231031210log log log log ()a a a a a a +++=5103563log ()log (3)10a a ===.6.4 解析：作出可行域如图中阴影部分，可知在可行域内的整点有()()()()()()201000102011，，，，，，，，，，，，---()()()011102，，，，，，分别代入2z x y =+可知当20，x y ==时，z 最大，为4.7.9a 解析：由511＝S S 得12150＋＝a d .又10＞a ，所以0＜d ．而2 ＝()()12212170a n d n d ＋－＝－＜，所以2170－＞n ，即85＞n .． 8.()32143n -- 解析： 41252==a a ，，∴.21,41==q a ∴=++++13221n n a a a a a a )41(332n --. 9.等腰三角形解析一：∵ 在△ABC 中，＋＋＝πA B C ，即()C A B ＝π－＋，∴()sin ＝sin ＋C A B ．由2sin cos ＝sin A B C ，得2sin cos ＝sin cos ＋cos sin A B A B A B ，即0sin cos －cos sin ＝A B A B ，即()0sin －＝A B . 又∵－π＜－＜πA B ，∴ 0－＝A B ，即＝A B .∴△ABC 是等腰三角形．解析二：利用正弦定理和余弦定理.2sin cos ＝sin A B C 可化为2a ·2222a +cbc ac-=，即2222＋－＝a c b c ，即22－＝0a b ，22＝a b ，故＝a b . ∴△ABC 是等腰三角形．10.-3 解析：由不等式的解集为{}1或4x|x x <->可得14，-是方程()210a x b x a +++=的两根，∴()14114，，a ab ⎧-+=-+⎪⎨-⨯=⎪⎩解得41，a b .=-=⎧⎨⎩∴3a b +=-.11.40 解析：设长x 米，宽y 米，则610100≤x y +，即3550≤x y +.∵5035+x y ≥≥35x y =时等号成立，又∵， x y 为正整数，∴ 只有当324525，x y ==时面积最大，此时面积40xy =平方米.12.300 m 解析：依题意可知600====AB BP BC CP ，，∴ 222cos 222θ+-==⋅BC BP PC BC BP ∴23015，θθ=︒=︒，∴ 60300sin （m ）PD PC =∙︒==.13．4003m 解析：依题意可得图象如图所示，从塔顶向山体引一条垂线CM ，垂足为M , 则0=∙︒AB BD tan 6，0=∙︒=AM CM BD CM tan 3，， ∴200tan 30tan 603=⨯︒=︒AB AM ，∴塔高()20040020033=-= C D m . 点评：本题主要考查构造三角形求解实际问题，属基础题． 14.514小时解析：假设经过x 小时两船相距最近，甲、乙分别行至，C D ，可知1046120﹣，，BC x BD x CBD ==∠=︒，22222212cos 104362104628201002﹣∠（﹣）（﹣）CD BC BD BC BD CBD x x x x x x ⎛⎫=+∙∙=+-∙∙∙-=-+ ⎪⎝⎭，当514x =小时，即1507分钟时距离最小. 点评：本题主要考查余弦定理的应用，关键在于画出图象，属基础题．15.解法一：设该扇形的半径为r 米.由题意，得500CD =米，300DA =米，60CDO ∠=︒，在△CDO 中，2222cos 60 CD OD CD OD OC +-∙∙︒=，即()()222150030025003002r r r +--⨯-⨯=，解得490044511r =≈（米）. 解法二：连接AC ，作OH AC ⊥，交AC 于点H ，由题意，得500CD =米，300AD =米，120,CDA ∠=︒在ACD △中，22222212cos 12050030025003007002AC CD AD CD AD =+-∙∙∙︒=++⨯⨯⨯=，∴700AC =（米），22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅ 在HAO Rt △中，350AH =米，11cos 14∠HAO =， ∴ 4900445cos 11∠AH OA HAO ==≈（米）.点评：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图;（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型;（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解;16.解：由于不等式0k x bx a x c++<++的解集为2123（，）（，）--，则方程0k x bx a x c++=++的根分别为2123，，，--. 由1011kx bx ax cx -+<--，得1011 b k x a c x x-+<--，因此方程1011 b k x a c x x-+=--的根为1111223--，,，. 所以不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集为1111232，，⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 17.解：由题意可列表格如下：（1）设只生产书桌a 张，可获得利润b 元，则01902600⎧⎨⎩.a a ≤，≤，解得900300⎧⎨⎩a a ≤，≤，即300a ≤.又80=b a ，所以当300=a 时，8030024000=⨯=b max （元），即如果只安排生产书桌，最多可生产300张，可获得利润24000元.（2）设只生产书橱c 个，可获利润d 元，则02901600∙⎧⎨⎩.c c ≤，≤，解得450600⎧⎨⎩c c ≤，≤，即450c ≤.又120=d c ，所以当450=c 时，12045054000=⨯=d max (元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个，可获得利润54000元.（3）设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则010*********≤，≤，≥且，≥且，.x .y x y x x y y +⎧⎪⎪⎨⎪⎪+∈∈⎩Z Z 即2900260000≤，≤，≥且，≥且x y x y x x y y .⎧⎪⎪⎨++∈∈⎪⎪⎩Z Z 80120z x y =+.在平面直角坐标内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域如图阴影部分. 作直线230：l x y +=. 把直线l 向右上方平移至1l 的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时 80120z x y =+取得最大值.由29002600，，x y x y +=+=⎧⎨⎩解得点M 的坐标为100400（，），所以当100400，x y ==时，8010012040056000max z =⨯+⨯=（元）.因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所获利润最大.18.解：（1）设{}n a 的公比为q ，由 = ，得4q =，所以 = .设{}n b 的公差为d ，由5852=S S 及12b =得3d =，所以1131（）n n b n b d =+-=-.（2）因为()21124548431n n T n -=⨯⨯⨯++++-，①()244245431n n T n ⨯⨯=+++-，②由②-①，得213234444312324（））（）（n n n n T n n ---++++-=+-∙=. 所以22433n n T n ⎛⎫=-∙+ ⎪⎝⎭.19.（1）解:∵ =2 +1（n ∈+N ），∴1+1=2+1n n a a +（），即1+1=2+1n n a a +，∴{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列.∴12nn a +=,即 -1（ +N ).（2）证明：∵()121114441n n b b b b n a ---=+,∴()1242n n b b b nnb +++-=.∴()122n n b b b n nb ⎡⎤+++-=⎣⎦, ①()()()1211211n n n b b b b n n b ++⎡⎤++++-+=+⎣⎦. ②②－①，得()()11211n n n b n b nb ++-=+-,即()1120n n n b nb +--+=，③()21120n n nb n b ++-++=. ④ ④－③，得2120n n n nb nb nb ++-+=，即2120n n n b b b ++-+=,211+++-=-∈+N n n n n b b b b n （），故{}n b 是等差数列.20.解：（1）因为点（n ，）（n ∈ ）均在函数（）y f x =的图象上，所以2222n S n n =-+.当1n =时， = =20；当2≥n 时， = - 424n =-+.120S =也符合.所以（n ∈ ）.（2）存在k ∈ ，使得1212n S S S k n +++<对任意n ∈ 恒成立，只需1212max n S S S n k ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭>，由（1）知，所以222211（）nS n n n -+=-=.当11n <时，0nS n >；当11n =时，0n S n=；当11n >时，0n S n <. 所以当10n =或11n =时，1212n S S S n+++有最大值110.所以110k >. 又因为∈N k +，所以k 的最小值为111.。

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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模块检测（苏教版必修5）一、填空题（每小题5分，共70分）1.已知一等比数列的前三项依次为22x,x ,+33x +，那么2113-是此数列的第项. 2.若数列{ }的前n 项和S n =n 2－2n +3，则此数列的前3项依次为. 3.已知三个不同的实数c b a ,,成等差数列，且b c a ,,成等比数列，则::a b c =.4.在ABC △中,tan A 是以－4为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以13为第三项, 9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是. 5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=，则3132log log a a +++310log a =.6.若x ，y 均为整数，且满足约束条件20200≤，≥，≥，x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩则2z x y =+的最大值为.7.已知在等差数列｛｝中，01511＞，＝a S S ，则第一个使0＜n a 的项是. 8.已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则9.如果在△ABC 中，2sin cos ＝sin A B C ，那么△ABC 一定是 . 10.若关于x 的不等式()201x a x ab +++>的解集是{}1或4x|x x <->，则实数a b +的值为. 11.用两种材料做一个矩形框，按要求其长和宽分别选用价格为每米3元和5元的两种材料，且长和宽必须为整数米，现预算花费不超过100元，则做成的矩形框所围成的最大面积是平方米.12．如图，在山脚A 处测得该山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600 m 后测得仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200 m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为.13．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为. 14．甲船在岛B 的正南方A 处，AB =10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°所航行的时间是.二、解答题（共90分）15.（14分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC .小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD,DC ，且拐弯处的转角为120︒．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．16.（14分）研究问题：“已知关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为（1，2），解关于x 的不等式20cx bx a -+>”有如下解法：解：由20ax bx c -+>得2110a b c x x ⎛⎫⎛⎫-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1y x =，则121y <<，所以不等式20cx bx a -+>的解集为112，⎛⎫⎪⎝⎭.参考上述解法，已知关于x 的不等式0k x b x a x c++<++的解集为()()2123，,--，求关于x 的不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集.17.（14分）某家具厂有方木料90 ，五合板600 ，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 ，五合板2 ，生产每个书橱需要方木料0.2 ，五合板1 ，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.（1）如果只安排生产书桌，可获利润多少？（2）如果只安排生产书橱，可获利润多少？（3）怎样安排生产可使所获利润最大？18.（16分）已知{}为各项都为正数的等比数列，=1，=256，为等差数列{}的前n项和，=2，5=2.（1）求{}和{}的通项公式；（2）设=++…+，求.19.（16分）已知数列{}n a满足1112n na,a a+==+ ()1n+∈N.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若数列{}n b满足114b-•214b-•…•14n b-=(1)n bna+(n∈+N)，证明：{}n b是等差数列.20.（16分）已知函数2222（）f x x x =-+，数列{ }的前n 项和为，点（n ，）（n ∈ ）均在函数（）y f x =的图象上. （1）求数列{ }的通项公式及前n 项和；（2）存在k ∈ ，使得1212nS S S k n+++<对任意n ∈ 恒成立，求出k 的最小值.模块检测答题纸得分：一、填空题1． 2．3． 4．5． 6．7.8．9．10.11．12． 13．14.二、解答题15.16.17.18.19.20．模块检测参考答案1.4 解析：由题意得 ,解得1x =-或4x =-.当1x =-时，220x +=，故舍去，所以333222x q x +==+，所以13211342n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭-=-，所以4n =.2.213,, 解析：当1n =时，21112132－a S ==⨯+=；当2n =时，由221222233－S a a =+=⨯+=,得21a =；当3n =时，由2233233631－S a a a =++=⨯+=,得33a =.又,a b ≠∴4,2a b c b ==-.4.锐角三角形解析：设等差数列为{}n a ，公差为d ,则7344，a a =-=,所以2d =，所以设等比数列为{}n b ，公比为q ，则313b =,6b 9=,所以3q =，所以所以tan tan()1C A B =-+=，所以,,A B C 都是锐角，即此三角形为锐角三角形.5.10 解析：313231031210log log log log ()a a a a a a +++=5103563log ()log (3)10a a ===.6.4 解析：作出可行域如图中阴影部分，可知在可行域内的整点有()()()()()()201000102011，，，，，，，，，，，，---()()()011102，，，，，，分别代入2z x y =+可知当20，x y ==时，z 最大，为4.7.9a 解析：由511＝S S 得12150＋＝a d .又10＞a ，所以0＜d ．而2 ＝()()12212170a n d n d ＋－＝－＜，所以2170－＞n ，即85＞n .． 8.()32143n-- 解析： 41252==a a ，，∴.21,41==q a ∴=++++13221n n a a a a a a )41(332n --. 9.等腰三角形解析一：∵ 在△ABC 中，＋＋＝πA B C ，即()C A B ＝π－＋，∴()sin ＝sin ＋C A B ．由2sin cos ＝sin A B C ，得2sin cos ＝sin cos ＋cos sin A B A B A B ，即0sin cos －cos sin ＝A B A B ，即()0sin －＝A B . 又∵－π＜－＜πA B ，∴ 0－＝A B ，即＝A B .∴△ABC 是等腰三角形．解析二：利用正弦定理和余弦定理.2sin cos ＝sin A B C 可化为2a ·2222a +cbc ac-=，即2222＋－＝a c b c ，即22－＝0a b ，22＝a b ，故＝a b . ∴△ABC 是等腰三角形．10.-3 解析：由不等式的解集为{}1或4x|x x <->可得14，-是方程()210a x b x a +++=的两根，∴()14114，，a ab ⎧-+=-+⎪⎨-⨯=⎪⎩解得41，a b .=-=⎧⎨⎩∴3a b +=-.11.40 解析：设长x 米，宽y 米，则610100≤x y +，即3550≤x y +.∵5035+x y ≥≥35x y =时等号成立，又∵， x y 为正整数，∴ 只有当324525，x y ==时面积最大，此时面积40xy =平方米.12.300 m 解析：依题意可知600====AB BP BC CP ，，∴ 222cos 222θ+-==⋅BC BP PC BC BP ∴23015，θθ=︒=︒，∴ 60300sin （m ）PD PC =∙︒==. 点评：本题主要考查了解三角形的实际应用，考查了学生分析问题和解决问题的能力．13．4003m 解析：依题意可得图象如图所示，从塔顶向山体引一条垂线CM ，垂足为M , 则0=∙︒AB BD tan 6，0=∙︒=AM CM BD CM tan 3，， ∴200tan 30tan 603=⨯︒=︒AB AM ，∴塔高()20040020033=-= C D m . 点评：本题主要考查构造三角形求解实际问题，属基础题．14.514小时解析：假设经过x 小时两船相距最近，甲、乙分别行至，C D ，可知1046120﹣，，BC x BD x CBD ==∠=︒，22222212cos 104362104628201002﹣∠（﹣）（﹣）CD BC BD BC BD CBD x x x x x x ⎛⎫=+∙∙=+-∙∙∙-=-+ ⎪⎝⎭，当514x =小时，即1507分钟时距离最小. 点评：本题主要考查余弦定理的应用，关键在于画出图象，属基础题．15.解法一：设该扇形的半径为r 米.由题意，得500CD =米，300DA =米，60CDO ∠=︒，在△CDO 中，2222cos 60 CD OD CD OD OC +-∙∙︒=，即()()222150030025003002r r r +--⨯-⨯=，解得490044511r =≈（米）. 解法二：连接AC ，作OH AC ⊥，交AC 于点H ，由题意，得500CD =米，300AD =米，120,CDA ∠=︒在ACD △中，22222212cos 12050030025003007002AC CD AD CD AD =+-∙∙∙︒=++⨯⨯⨯=，∴700AC =（米），22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅ 在HAO Rt △中，350AH =米，11cos 14∠HAO =， ∴ 4900445cos 11∠AH OA HAO ==≈（米）.点评：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图;（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型;（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解; （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. 16.解：由于不等式0k x b++<的解集为2123（，）（，）--，则方程0k x bx a x c++=++的根分别为2123，，，--. 由1011kx bx ax cx -+<--，得1011 b k x a c x x -+<--，因此方程1011 b k x a c x x-+=--的根为1111223--，,，.所以不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集为1111232，，⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 17.解：由题意可列表格如下：（1）设只生产书桌a 张，可获得利润b 元，则01902600⎧⎨⎩.a a ≤，≤，解得900300⎧⎨⎩a a ≤，≤，即300a ≤. 又80=b a ，所以当300=a 时，8030024000=⨯=b max （元），即如果只安排生产书桌，最多可生产300张，可获得利润24000元.（2）设只生产书橱c 个，可获利润d 元，则02901600∙⎧⎨⎩.c c ≤，≤，解得450600⎧⎨⎩c c ≤，≤，即450c ≤.又120=d c ，所以当450=c 时，12045054000=⨯=d max (元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个，可获得利润54000元.（3）设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则010*********≤，≤，≥且，≥且，.x .y x y x x y y +⎧⎪⎪⎨⎪⎪+∈∈⎩Z Z 即2900260000≤，≤，≥且，≥且x y x y x x yy .⎧⎪⎪⎨++∈∈⎪⎪⎩Z Z 80120z x y =+.在平面直角坐标内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域如图阴影部分. 作直线230：l x y +=. 把直线l 向右上方平移至1l 的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时 80120z x y =+取得最大值. 由29002600，，x y x y +=+=⎧⎨解得点M 的坐标为100400（，），所以当100400，x y ==时，8010012040056000max z =⨯+⨯=（元）.因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所获利润最大.18.解：（1）设{}n a 的公比为q ，由 = ，得4q =，所以 = .设{}n b 的公差为d ，由5852=S S 及12b =得3d =，所以1131（）n n b n b d =+-=-.（2）因为()21124548431n n T n -=⨯⨯⨯++++-，① ()244245431n n T n ⨯⨯=+++-，②由②-①，得213234444312324（））（）（n n n n T n n ---++++-=+-∙=. 所以22433n n T n ⎛⎫=-∙+ ⎪⎝⎭.19.（1）解:∵ =2 +1（n ∈+N ），∴1+1=2+1n n a a +（），即1+1=2+1n n aa +，∴{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列.∴12n n a +=,即 -1（ +N ).（2）证明：∵()121114441n n b b b b n a ---=+,∴()1242n n b b b nnb +++-=.∴()122n n b b b n nb ⎡⎤+++-=⎣⎦, ①()()()1211211n n n b b b b n n b ++⎡⎤++++-+=+⎣⎦. ②②－①，得()()11211n n n b n b nb ++-=+-,即()1120n n n b nb +--+=，③()21120n n nb n b ++-++=. ④ ④－③，得2120n n n nb nb nb ++-+=，即2120n n n b b b ++-+=,211+++-=-∈+N n n n n b b b b n （），故{}n b 是等差数列.20.解：（1）因为点（n ，）（n ∈ ）均在函数（）y f x =的图象上，所以2222n S n n =-+. 当1n =时， = =20；当2≥n 时， = - 424n =-+.120S =也符合.所以（n ∈ ）.（2）存在k ∈ ，使得1212n S S S k n +++<对任意n ∈ 恒成立，只需1212max n S S S n k ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭>，由（1）知，所以222211（）nS n n n -+=-=.当11n <时，0nS n >；当11n =时，0nS n =；当11n >时，0nS n <.所以当10n =或11n =时，1212n S S S n+++有最大值110.所以110k >. 又因为∈N k +，所以k 的最小值为111.。

高中数学模块综合测评(一)新人教A版必修5

模块综合测评(一)满分：150分时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－1,2)，则a ＋b 的值为( )【导学号：91432385】A ．1B ．－1C ．0D ．－2C [由已知得－b a＝－1＋2，2a＝－1³2，a <0，解得a ＝－1，b ＝1，故a ＋b ＝0，故选C.]2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3B [因为a ＝2，c ＝2，所以由正弦定理可知，2sin A ＝2sin C ，故sin A ＝2sin C . 又B ＝π－(A ＋C )，故sin B ＋sin A (sin C －cos C ) ＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0.又C 为△ABC 的内角，故sin C ≠0，则sin A ＋cos A ＝0，即tan A ＝－1. 又A ∈(0，π)，所以A ＝3π4.从而sin C ＝12sin A ＝22³22＝12. 由A ＝3π4知C 为锐角，故C ＝π6.故选B.]3．已知一个等差数列{a n }的第8,9,10项分别为b －1，b ＋1,2b ＋3，则通项a n 等于( )【导学号：91432386】A ．2n －5B ．2n －9C ．2n －13D ．2n －17D [依题意得2(b ＋1)＝b －1＋2b ＋3，解得b ＝0，∴d ＝2，a 8＝－1，a n ＝a 8＋(n －8)d ＝－1＋(n －8)³2＝2n －17.]4．在△ABC 中，已知sin A cos B ＝sin C ＝cos C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形C [由sin A cos B ＝sin C 及正、余弦定理得a ²a 2＋c 2－b 22ac＝c ，可得b 2＋c 2＝a 2，即A ＝90°，由sin C ＝cos C 得C ＝45°.故△ABC 为等腰直角三角形．]5．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝450，则a 4＋a 8的值为( )【导学号：91432387】A ．45B ．75C ．180D ．300C [a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝(a 4＋a 8)＋(a 5＋a 7)＋a 6＝5a 6＝450，∴a 6＝90. ∴a 4＋a 8＝2a 6＝2³90＝180.] 6．下列不等式中，恒成立的是( ) A ．x ＋1x≥2(x ≠0)B ．x 2－2x －3>0 C.2x 2－x ＋2x 2－x ＋1>1 D ．log 12(x 2＋1)≥0C [当x <0时，x ＋1x≥2不成立；当－1≤x ≤3时，不等式x 2－2x －3>0不成立；因为x 2＋1≥1，则log 12(x 2＋1)≤log 121＝0，故D 项不成立；由于x 2－x ＋1>0，不等式等价于2x 2－x ＋2>x 2－x ＋1，即x 2＋1>0，故C 项正确．]7．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )【导学号：91432388】A.72 B ．4 C.92D ．5C [∵2y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋4a b ＋b a，又∵a >0，b >0，∴2y ≥5＋24a b ²ba＝9，∴y min ＝92，当且仅当b ＝2a 时“＝”成立．]8．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( )A.1210B.129C.110D.15D [当n ≥2时，由已知得1－a n a n －1＝a na n ＋1－1， ∴2＝a n a n －1＋a n a n ＋1，∴2a n ＝1a n －1＋1a n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，又∵a 1＝2，a 2＝1，∴1a 1＝12，1a 2＝1，d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a n ＝n 2，∴a n ＝2n ，∴a 10＝210＝15.]9．若关于x 的不等式x 2＋ax －a －2>0和2x 2＋2(2a ＋1)x ＋4a 2＋1>0的解集依次为A 和B ，那么，使得A ＝R 和B ＝R 至少有一个成立的实常数a ( )【导学号：91432389】A ．可以是R 中的任何一个数B ．有无穷多个，但并不是R 中所有的实数都能满足要求C ．有且仅有一个D ．不存在B [若A ＝R ，则Δ1＝a 2＋4(a ＋2)<0成立，显然是不可能的，即这样的a ∈∅；若B ＝R ，则Δ2＝4(2a ＋1)2－8(4a 2＋1)<0成立，即(2a －1)2>0，因而存在无穷多个实常数a ，当a ＝12时，上述不等式不成立，从而选B.]10．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x －y ≤1x ≥0，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－1B [由线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x －y ≤1x ≥0，画出可行域如图阴影部分所示．设z ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋z2.设l 0：y ＝－12x ，平移l 0，可知过A 点时z max ＝0＋2³1＝2，过B 点时z min ＝0＋2³(－1)＝－2.]11．若直线ax ＋2by －2＝0(a ，b ∈R ＋)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )【导学号：91432390】A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2D [∵直线平分圆， ∴直线过圆心(2,1)，即2a ＋2b －2＝0，a ＋b ＝1，1a ＋2b ＝a ＋b a ＋2a ＋2b b ＝3＋b a ＋2ab≥3＋2 2.]12．如图1所示，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，且货轮与灯塔S 相距20海里，货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()图1A ．20(2＋6)海里/小时B ．20(6－2)海里 /小时C ．20(3＋6)海里/小时D ．20(6－3)海里/小时B [设货轮的速度为v 海里/小时，∠NMS ＝45°，∠MNS ＝105°，则∠MSN ＝30°，由MS ＝20，MN ＝v 2，则v2sin 30°＝20sin 105°，v ＝20sin 105°＝20(6－2)．]二、填空题(每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知x >1，y >1，且ln x,1，ln y 成等差数列，则x ＋y 的最小值为________.【导学号：91432391】2e [由已知ln x ＋ln y ＝2，∴xy ＝e 2，x ＋y ≥2xy ＝2e.当且仅当x ＝y ＝e 时取“＝”，∴x ＋y 的最小值为2e.]14．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N ＋，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________． 110 [设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ＝16，S 20＝20a 1＋20³192d ＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝162a 1＋19d ＝2，解得d ＝－2，a 1＝20.∴S 10＝10a 1＋10³92d ＝200－90＝110.]15．在△ABC 中，已知|AB →|＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →²AC →的值为________.【导学号：91432392】2或－2 [∵S △ABC ＝12|AB →||AC →|²sin A ＝12³4³1³sin A ＝3，∴sin A ＝32.∴cos A ＝12或－12. ∵AB →²AC →＝|AB →|²|AC →|²cos A ， ∴AB →²AC →＝2或－2.]16．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．20 [设一年的总费用为y 万元，则y ＝4³400x ＋4x ＝1 600x＋4x ≥21 600x²4x ＝160.当且仅当1 600x＝4x ，即x ＝20时，等号成立．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在△ABC 中，cos A ＝－513，cos B ＝35.(1)求sin C 的值；(2)设BC ＝5，求△ABC 的面积.【导学号：91432393】[解] (1)由cos A ＝－513，得sin A ＝1213，由cos B ＝35，得sin B ＝45.∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝1213³35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513³45＝1665.(2)由正弦定理得AC ＝BC ²sin Bsin A ＝5³451213＝133.∴△ABC 的面积S ＝12²BC ²AC ²sin C ＝12³5³133³1665＝83.18．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S 9＝－36，S 13＝－104，在等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7，求b 6.[解] ∵S 9＝－36＝9a 5，∴a 5＝－4. ∵S 13＝－104＝13a 7，∴a 7＝－8. ∴b 26＝b 5²b 7＝a 5²a 7＝32. ∴b 6＝±4 2.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ).【导学号：91432394】[解] 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1；(2)当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a或x ≤－1；(3)当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a；②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a<－1，即－2<a <0时，原不等式等价于2a≤x ≤－1.综上所述：当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a，＋∞.20．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos A 的值．[解] (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4³14＝4，∴c ＝2，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154，∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78. 21．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式.【导学号：91432395】[解] (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)．又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15³3n －1＝5³3n，则a n ＋1＝－2a n ＋5³3n， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n)．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n≠0，∴{a n －3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列， ∴a n －3n＝2³(－2)n －1，即a n ＝2³(－2)n －1＋3n(n ∈N *)．22．(本小题满分12分)某学校为了解决教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A (m 2)的宿舍楼．已知土地的征用费为2 388元/m 2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍．经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m 2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m 2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用．(总费用为建筑费用和征地费用之和)[解] 设楼高为n 层，总费用为y 元，则征地面积为2.5A n m 2，征地费用为5 970An元，楼层建筑费用为[445＋445＋(445＋30)＋(445＋30³2)＋…＋445＋30³(n －2)]²A n ＝⎝⎛⎭⎪⎫15n ＋30n＋400A元，从而y ＝5 970A n ＋15nA ＋30A n ＋400A ＝(15n ＋6 000n＋400)A ≥1 000A (元)．当且仅当15n ＝6 000n，即n ＝20(层)时，总费用y 最少．故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时，费用最少，最少总费用为1 000A 元．。

高中数学人教A必修5模块综合测评1 Word版含解析

模块综合测评(一)(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．若<，>，那么下列命题中正确的是( )>>．<．<＋【解析】利用特值法，令＝－，＝.则<，错；<，错；＝，错．【答案】．一个等差数列的第项＝，且＋＋＝，则有( )．＝－，＝．＝，＝－．＝－，＝．＝，＝－【解析】∵＋＋＝且＝＋，∴＝.又∵＝＋＝＋＝，＝.∴＝－＝－＝－.【答案】．已知△的三个内角之比为∶∶＝∶∶，那么对应的三边之比∶∶等于( )．∶∶∶∶∶∶．∶∶【解析】∵∶∶＝∶∶，＋＋＝°，∴＝°，＝°，＝°.∴∶∶＝°∶ °∶ °＝∶∶＝∶∶.【答案】．在坐标平面上，不等式组(\\(≥－，≤－＋))所表示的平面区域的面积为( )．【解析】由题意得，图中阴影部分面积即为所求．，两点横坐标分别为－，.＝××＝.∴△【答案】．在△中，，，分别是角，，的对边，若＝，＝，△的面积为，则的值为( )．．【解析】根据＝＝，可得＝，由余弦定理得＝＋－＝，故＝.【答案】．(·龙岩高二检测)等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为( )．．．．【解析】设等差数列的首项为，公差为，则＝＋，＝＋，＝＋，又∵·＝，∴(＋)＝(＋)(＋)，∴＝－，∴＝＝.【答案】．若不等式＋＋≥对一切∈恒成立，则的最小值为( )．．－．－．－【解析】＋＋≥在∈上恒成立⇔≥－－⇔≥，∵＋≥，∴－≤－，∴≥－.【答案】．(·浙江高考)已知{}是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则( ) ．>，> ．<，<．>，< ．<，>。

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必修五模块综合测试卷（一）一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1.若d c b a >>,，则下面不等式中成立的一个是（） A ．c b d a +>+ B.bd ac > C.dbc a > D.b c ad -<- 2. 已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a =（）A ．342n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭B ．243n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭C ．1342n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ D ．1243n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭3.设2()1f x x bx =++，且(1)(3)f f -=，则()0f x >的解集是（）A: (,1)(3,)-∞-+∞U B:R C: {|1}x x ≠ D:{|1}x x =4.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，492-=n a n ，则n S 达到最小值时，n 的值为（） A. 12 B. 13 C. 24 D. 255.实数d c b a 、、、满足条件：①d c b a <<,；②()()0>--c b c a ；③()()0<--d b d a ，则有( ) A ．b d c a <<>，则一定成立的不等式是（）A ．c b c a >B ．ac ab >C ．c b c a ->-D ．cb a 111<< 7.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定8. 在平面直角坐标系中，动点Ｍ（ｘ，ｙ）满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≤+-01,02,02y y x y x ，动点Ｑ在曲线21)1(22=+-y x 上，则|MQ|的最小值为（）A ．2B ．223 C ．221-D ．215-9．在∆ABC 中，60A ︒∠=，16AC =，面积为3BC 的长度为（）A ．25B ．51C ．493．4910.已知钝角△ABC 的最长边为2，其余两边长为a ,b,则集合},|),{(b y a x y x P ===所表示的平面图形的面积是（）A ．2B ．4C ．-2D ．4π-211.如图，设P 、Q 为ABC ∆内的两点，且2155AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，2134AQ AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积的比为（）A ．15 B.45 C.14 D.1312．已知中ABC ∆，3AB =，5BC =，且cos B 为方程25760x x --=的根.则cos AB A ⋅cos BC C +⋅的值为（）A ．213B ．213或-26C ．45 D ．35二．填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）13．对任意实数x ，不等式04)2(2)2(2<----x a x a 恒成立，则实数a 的取值范围是.14．若两个等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的*n N ∈都有2343n n S n T n -=-，则935784a ab b b b +=++_________.15.若,,A B C 为ABC △的三个内角，记A α=，B C β=+，则41αβ+的最小值为．16.若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的取值范围是_________.三．解答题（共6小题，共计70分）17.（本题满分10分）AB 是底部B 不能到达的烟囱，A 是烟囱的最高点，选择一条水平基线HG ，使得H .G .B 三点在同一条直线上，在相距为d 的G .H 两点用测角仪测得A 的仰角分别为α.β，已知测角仪器高m h 5.1=，试完成如下《实验报告》（要求：1. 计算两次测量值的平均值,填入表格；2. 利用α.β.d 的平均值，求AB 的值，写出详细计算过程；3. 把计算结果填入表格）相关数据：.7.13,4.12≈≈题目测量底部不能到达的烟囱的高计算过程测量数据测量项目第一次第二次平均值α74°52' 75°8'β30°12'29°48' d (m ) 59.7860.22测量目标（附图）结果18．已知等差数列{}n a 中，21920,28a a a =-+=-. ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵若数列{}n b 满足2log n n a b =，设12n n T b b b =L ，且1n T =，求n 的值. 19.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，.16,2541==a a⑴当n 为何值时，n S 取得最大值； ⑵求208642a a a a a +++++Λ的值； ⑶求数列{}n a 的前n 项和.n T20. 7月份，有一款新服装投入某市场销售，7月1日该款服装仅销售出3件，7月2日售出6件，7月3日售出9件，7月4日售出12件，以后每天售出的件数分别递增3件直到日销售量达到最大(只有l 天)后，每天销售的件数开始下降，分别递减2件，到7月31日刚好售出3件. (1)问7月几号该款服装销售件数最多?其最大值是多少?(2)按规律，当该商场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行，问该款服装在社会上流行几天?说明理由.21. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =, 21(1)n n nS n S n cn +-+=+（c ∈R ，1,2,3,...n =）.且1S ，22S ，33S 成等差数列. （Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式.22.数列{}n a 中, 112,n n a a a cn +==+(c 是不为零的常数, 1,2,3,n =⋅⋅⋅),且1,2,3a a a 成等比数列.(1) 求c 的值;(2) 求{}n a 的通项公式;(3) 求数列n n a c n c -⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项之和n T . 必修五模块综合测试卷（一）答案1. D 解：由不等式的性质知：A 、B 、C 成立的条件都不充分，所以选D ，其实D 正是异向不等式相减的结果，.b c a d c d d c b a b a -<-⇒⎭⎬⎫<⇒>-<-⇒>2. C 解析： 5)4)(1()1(2=⇒+-=+a a a a ，23,41==q a ，∴1)23(4-⋅=n n a . 3.C 解析：由(1)(3)f f -=知2)31(-=+--=b ，则0)1(12)(22≥-=+-=x x x x f ，则()0f x >的解集是{|1}x x ≠. 4.C 解析：22124)24(2)(--=+=n a a n S n n ，∴24=n 时，n S 达到最小值. 5. D 解析：∵()()0>--c b c a ，∴b a 、与c 同侧∵()()0<--d b d a ，∴b a 、与d 异侧 ∵d c b a <<,∴把d c b a 、、、标在数轴上，只有下面一种情况由此得出b d a c <<<，∴此题选D ． 6 C 解析：A 错，当0,=>c b a 时有c b c a =；同样B 错；D 没有考虑各数取零和正负号的关系，所以也不对．故选C ，因为不等式两边同时加上一个任意数（此题是c -），原不等式成立．7． A 解析：设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c 2＝a 2＋b 2，a ＋b>c 新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．而(a ＋x)2＋(b ＋x)2－(c ＋x)2＝x 2＋2(a ＋b －c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．8. A 解析：21)1(22=+-y x 的圆心坐标为(1,0)，半径22r =，则圆心到可行域的最小距离为到直线20x y -+=的距离，即10232,22d -+==∴|MQ|的最小值为2d r -= 9．D 解析： 1sin 604322032ABC S AB AC AB ︒=⋅⋅==V Q ,得55AB =，再由余弦定理，有222165521655cos602401BC ︒=+-⨯⨯⨯=，得49BC =．10.C 解析:由题中三角形为钝角三角形可得①2222<+b a ；②a +b>2；③a >0,b>0,于是集合的含义即为由条件①②③组成的图形,如图所示,则其面积为22221422-=⨯⨯-⨯=ππS ,故选C ． 11.B 解析：如图，设25AM AB =u u u u r u u u r ，15AN AC =u u u r u u u r，则AP AM AN =+u u u r u u u u r u u u r.由平行四边形法则知，//NP AB ，则1,5ABPABC AN S S AC ∆∆==u u u r u u u r 同理可得，1,4ABQ ABC S S ∆∆=故45ABP ABQ S S ∆∆=. 12. A 解析： sin sin sin AB BC CAC A B ==由正弦定理得 sin sin cos cos cos cos sin()sin sin sin AC C AC A ACAB A BC C A C A C B B B+=+=+g g g g g g gsin sin AC B AC B==g 2222cos 52,AB BC B -=g g 再由余弦定理得，AC =AB +BC 213.cos cos 213AC AB A BC C ∴=+=g g 即.13．(]2,2-解答： ①当2=a 时，不等式为04<-，恒成立；②当2≠a 时，由题意可得：⎩⎨⎧<-+-=∆<-0)2(16)2(4022a a a ，解得：22<<-a ；综上可得：实数a 的取值范围是(]2,2-. 14．1941 解析：∵939361111157846661111121922241a a a a a a a S b b b b b b b b b T ++=+====+++,∴填1941.15.9π解析：πA B C ++=，即παβ+=，则41αβ+=411()()αβαβπ++=14(5)βαπαβ++9π≥，当且仅当4βααβ=，即2αβ=时等号成立．16. ()∞+，2解析：设ABC ∆中，C B A <<，且C B A ,,成等差数列，则︒=60B ，设其公差为α，则︒>-︒=90120A C ，∴ ︒<<︒300A ，∴AA A R C R a c m sin )120sin(sin 2sin 2-︒===21tan 23sin sin 120cos cos 120sin +=︒-︒=A A A A .由33tan 0<<A 得3tan 1>A，∴221323=+⋅>m .题目测量底部不能到达的烟囱的高计算过程测量数据测量项目第一次第二次平均值 mAB m AE AC AE AEC AC ACCD CD ACD CAD 425.15.40.5.40)31(15,462)4530sin(75sin ,75sin ,230,30sin 45sin ,60,4530,75≈+=∴≈+=∴+=+==∆=︒==∆︒=∠∴︒=︒=︒︒︒︒︒而中，在则由正弦定理，中，在解：βαΘα74°52' 75°8'75°β30°12' 29°48' 30° d (m)59.7860.2260测量目标（附图）结果m 4218．解析：⑴设数列{}n a 的公差为d ，则2,22288220111=-=⇒⎩⎨⎧-=+-=+d a d a d a∴242)1(222-=-+-=n n a n⑵Θ242log 2-=n b n ，∴2422-=n n b∴n n n n n n n b b b b T 24)1(24)321(232122-+-++++===ΛΛ令(1)240n n n +-=，得23=n ∴当23n =时，.1=n T 19.解：⑴Θ等差数列{}n a 中，.16,2541==a a ∴公差31414-=--=a a d ∴283+-=n a n ，令90283≤⇒>+-=n n a n∴当9≤n 时，0>n a ；当9>n 时，0<n a .∴当9=n 时，n S 取得最大值；⑵Θ数列{}n a 是等差数列∴208642a a a a a +++++Λ20)9325(10102)(1011202-=⨯-==+=a a a 50)103-=⨯； ⑶由⑴得，当9≤n 时，0>n a ；当9>n 时，0<n a . ∴n n n S S a a a a a a T -=+++-+++=911109212)(ΛΛ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⨯-⨯=)1(2325)336259(2n n n 234253232+-=n n20. 解：（1）设7月n 日售出的服装件数为)4,(),311,(**≥∈≤≤∈k N k a n N n a k n 为最大.⎩⎨⎧=---+=3)31(2)1(33k a k a kk ，∴,13=k 39=k a ，∴7月13号该款服装销售件数最多，其最大值是39件. （2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，∵)(,3114,265131,3*N n n n n n an∈⎩⎨⎧≤≤-≤≤= ∴)(,3114),13)(51(273131,233*N n n n n n n nS n ∈⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--+≤≤⋅+=∵20027313>=S ，∴由12200,131≥>≤≤n S n n 得时，由2320,3114≥<≤≤n a n n 得时. ∴从7月12日到7月22日共11天该服装在社会上流行.21. 解：（Ⅰ）∵21(1)n n nS n S n cn +-+=+（1,2,3,...n =），∴()2111n n S S n cnn n n n ++-=++（1,2,3,...n =）.∵1S ，22S ，33S 成等差数列，∴32122132S S S S -=-，∴14226c c ++=，∴1c =. （Ⅱ）由（Ⅰ）得111n nS S n n+-=+（1,2,3,...n =）. ∴数列{}n S n 为首项是11S ，公差为1的等差数列. ∴1(1)11n S S n n n =+-⋅=.∴2n S n =. 当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-. 当1n =时，上式也成立.∴21n a n =-（1,2,3,...n =）.22. 解:(1) 1232,2,23a a c a c ==+=+. 因为1,2,3a a a 成等比数列,所以2(2)2(23)c c +=+,解得0c =或2c =∵0c ≠,∴2c =(2)当2n ≥时,由于21321,2,,(1)n n a a c a a c a a n c --=-=⋅⋅⋅-=-, 所以[]112(1)n a a n c -=++⋅⋅⋅+-(1)2n n c -=. 又12,2a c ==，故有22(1)2(2,3,)n a n n n n n =+-=-+=⋅⋅⋅.当1n =时，上式也成立，所以22(1,2,3,)n a n n n =-+=⋅⋅⋅(3)令1(1)()2nn n na cb n nc -==-⋅. 123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+2341111023(1)2222nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ①3411111102(2)(1)22222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ②①-②得111122n n n n T --⎛⎫=--⎪⎝⎭。

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