电磁场的能量密度和能流密度
能流密度的定义
能流密度的定义能流密度在电磁学中的定义为单位时间内通过单位面积的能量流量。
它是一个矢量，其大小表示单位面积上通过的能量流量，方向表示能量传输的方向。
在电磁学中，能流密度的大小通常用瓦特/平方米（W/m²）来表示。
为了更好地理解能流密度的概念，我们可以以电磁波传播为例。
电磁波是由电场和磁场相互作用产生的能量传输。
当电磁波传播时，能量以一定的速率通过空间传输。
能流密度告诉我们在某一点上，单位面积上通过的能量流量有多大。
在流体力学中，能流密度用来描述流体的能量传输。
当流体通过一个截面的时候，能量也会通过这个截面传输。
能流密度告诉我们单位时间内通过单位面积的能量流量有多大。
在流体力学中，能流密度的大小通常用焦耳/秒/平方米（J/s/m²）来表示。
能流密度的概念在物理学中有广泛的应用。
在电磁学中，能流密度不仅可以用来描述电磁波的能量传输，还可以用来描述电流在导体中的能量传输。
在流体力学中，能流密度可以用来描述流体的能量传输，例如水流的能量传输。
能流密度的计算通常涉及到矢量运算和积分运算。
在电磁学中，能流密度的计算可以通过电磁场的分布和电磁场的能量密度来进行。
在流体力学中，能流密度的计算可以通过流体的速度场和流体的能量密度来进行。
能流密度是一个重要的物理概念，用来描述单位时间内通过单位面积的能量流量。
它在电磁学和流体力学中有广泛的应用。
能流密度的计算涉及到矢量运算和积分运算，需要根据具体情况进行计算。
通过对能流密度的研究和应用，我们可以更好地理解能量的传输和转化，为相关领域的研究和应用提供支持。
9-3电磁场的能量密度和能流密度
E
S
H
平面电磁波能流密度平均值
S
1 2
E0 H 0
振荡偶极子的平均辐射功率 p p02 4 4
12πu
9 – 3 电磁场能量密度和能流密度 第九章 时变电磁场和电磁波
电偶极子单位时间通过球面辐射出去的能量
P
S
ds
EH
r
2
s
indd
E(r,t) p0 2 sin cos(t r )
D
E
1 2
0E2
磁场能量密度：
wm
1 2
B
H
能流密度 第九章 时变电磁场和电磁波
电磁场能量密度：
w
1 2
0E2
1 2
0H
2
由于电磁场能量以电磁波相同的速度传播， 上式即为电磁波的能量密度。
二 电磁波能流密度
单位时间流过垂直于传播方向单位面积的 电磁波能量—能流密度.
S
wu
u 2
(0E 2
0H
2)
9 – 3 电磁场能量密度和能流密度 第九章 时变电磁场和电磁波
将
uC 1
00
代入，并注意 0 E 0 H
S1 2
1(
00
0
0E E
0
0 H H)
1 (HE HE) EH 2
S EH
因为 E H ,并且E H 所决定的方向为电磁波
能量传播方向。
9 – 3 电磁场能量密度和能流密度 第九章 时变电磁场和电磁波
➢ 电磁波的能流密度（坡印廷）矢量
电磁场的能量
电流都有相同的值，因此， 电流都有相同的值，因此，电子运动的能量并不是供给 负载上消耗的能量。 负载上消耗的能量。 如果电磁能是靠电流传输，功率P与 成正比无法得到 ③ 如果电磁能是靠电流传输，功率 与U成正比无法得到 解释。 解释。 电磁能的传输，可以有电路，也可以没有电路。 ④ 电磁能的传输，可以有电路，也可以没有电路。
称为能流密度矢量（ 玻印亭矢量） 称为能流密度矢量 （ 玻印亭矢量 ） 它表 示单位时间、垂直通过单位面积的能量， 示单位时间 、 垂直通过单位面积的能量 ， 用来描述能量的传播。 用来描述能量的传播。
r r r ∂D r ∂Β ∂ 1 r r r r Ε⋅ + Η⋅ = Ε⋅ D + H ⋅ B ∂t ∂t ∂t 2
1. 电磁能的传输不是靠电流！ 电磁能的传输不是靠电流！
导线内电荷定向移动的速度很小，而电能的传输速度 ① 导线内电荷定向移动的速度很小，而电能的传输速度 却很大。 却很大。导线内电荷定向移动的速度为 V ~ 6×10 ×
-5m/s，电能的传输速度为 ，电能的传输速度为c=
3×10 8m/s。 × 。
§6
电磁场的能量
二、电磁场能量守恒公式
1、场的能量密度和能流密度 2、电磁场对带电系统作的功率
设一带电体由一种粒子组成，在电磁场中运动， 设一带电体由一种粒子组成，在电磁场中运动， r 电荷密度为
ρ
r r dr r v= , J =ρ v ，运动速度为 运动速度为 dt
带电体受电磁场的洛伦兹力（力密度） 带电体受电磁场的洛伦兹力（力Байду номын сангаас度）
dA dW =− dt dt
r r r ∂w ∇⋅ S + = −f ⋅v ∂t
电磁场的能量密度和能流密度
电磁场的能量密度和能流密度电磁场能量电磁场对电荷系统作功电磁能密度和电磁能流密度的表达式介质的极化能和磁化能( 1 ) 电磁场能量电磁场是一种物质。
电磁场运动与其他物质运动形式之间能够互相转化，它们都具有共同的运动量度能量。
这里，我们通过电磁场与带电物体相互作用过程中，电磁场能量和带电物体运动的机械能之间的相互转化，导出电磁场能量的表达式。
能量是按照一定的方式分布在电磁场内的，而且随着电磁场的运动，能量将在空间中传播。
引进：电磁能密度(体积电磁能) w，表示电磁场单位体积内的能量；电磁能流密度矢量S，表示单位时间内流过与能量传输方向(矢量S 方向)垂直的单位横截面积的电磁能量( 2 ) 电磁场对电荷系统作功考虑空间某区域，设其体积为V，表面为A，自由电荷密度为e0，电流密度为j0. 以f 表示电磁场对电荷的作用力密度， v 表示电荷的运动速度，则电磁场对 电荷系统所作功的功率为f vdV,(V) 体积 V 内电磁场能量的增加率为 dwwdV dV,dt (V) (V) t通过界面 A 流入 V 内的电磁能为S d .(A) 能量守恒定律要求单位时间内通过界面 A 流入 V 内的 能量，等于场对 V 内电荷作功的功率以及 V 内电磁场 能量的增加率之和，即(14.64)利用奥 高斯公式可得，式 (14.64)的相应的微分形式是(14.65)( 3 ) 电磁能密度和电磁能流密度的表达式① 由洛仑兹力公式可得 f v ( E v B) v E ( v) E j 0.(14.66) ② 将麦克斯韦方程组中的式 S dA f vdV ( )(V)(V)dV . f v.w S f v t比较，即w (E H) H B E t t t可得S E H ,(14.68)w D BE H .t t t j 0 (14.22) 代入上式，可得E j 0 E ( H) E D t . ③ 利用矢量分析中的公式(14.67) (E H) H ( E) E ( 及式 E Bt ，H),(14.20)可将式 (14.67)化为E j 0 (E H) H ( f v (E H) H Bt)B tE t④ 将上式与能量守恒定律所要求的式(14.65)(14.69)这就是电磁场能流密度矢量(坡印廷矢量) S 以及能量密度变化率w/ t 的普遍表达式。
电动力学试题及参考答案
电动力学试题及参考答案一、填空题（每空2分，共32分）1、已知矢径r，则 r = 。
2、已知矢量A 和标量φ，则=⨯∇)(Aφ 。
3、区域V 内给定自由电荷分布 、 ，在V 的边界上给定 或 ，则V 内电场唯一确定。
4、在迅变电磁场中，引入矢势A 和标势φ，则E= ,B= 。
5、麦克斯韦方程组的微分形式 、 、 、 。
6、电磁场的能量密度为 w = 。
7、库仑规范为 。
8、相对论的基本原理为 ， 。
9、电磁波在导电介质中传播时，导体内的电荷密度 = 。
10、电荷守恒定律的数学表达式为 。
二、判断题（每题2分，共20分）1、由0ερ=⋅∇E 可知电荷是电场的源，空间任一点，周围电荷不但对该点的场强有贡献，而且对该点散度有贡献。
（ ）2、矢势A沿任意闭合回路的环流量等于通过以该回路为边界的任一曲面的磁通量。
（ ） 3、电磁波在波导管内传播时，其电磁波是横电磁波。
（ ） 4、任何相互作用都不是瞬时作用,而是以有限的速度传播的。
（ ）5、只要区域V 内各处的电流密度0=j，该区域内就可引入磁标势。
（ ）6、如果两事件在某一惯性系中是同时发生的，在其他任何惯性系中它们必不同时发生。
（ ）7、在0=B的区域，其矢势A 也等于零。
（ ）8、E 、D 、B 、H四个物理量均为描述场的基本物理量。
（ ）9、由于A B⨯∇=，矢势A 不同，描述的磁场也不同。
（ ）10、电磁波的波动方程012222=∂∂-∇E tv E 适用于任何形式的电磁波。
（ ）三、证明题（每题9分，共18分）1、利用算符 的矢量性和微分性，证明0)(=∇⨯⋅∇φr式中r为矢径，φ为任一标量。
2、已知平面电磁波的电场强度i t z c E E )sin(0ωω-=，求证此平面电磁波的磁场强度为j t z cc E B )sin(0ωω-=四、计算题（每题10分，共30分）1、迅变场中，已知)cos(0t r K A A ω-⋅= , )cos(0t r K ωφφ-⋅= ，求电磁场的E 和B。
电磁场的能量和能流
04
电磁场能量和能流的应 用
电磁场能量在电力工业中的应用
发电
利用电磁场能量将机械能 转化为电能，如水力发电、 风力发电和火力发电等。
输电
通过高压输电线路将电能 传输到远方，利用电磁场 能量减少能量损失。
配电
在配电过程中，利用电磁 场能量进行变压、稳压， 确保电能质量。
电磁场能流在通信领域的应用
磁场能量
01
磁场能量密度
磁场能量密度定义为磁场与磁介质相互 作用产生的能量密度，单位为焦耳/立 方米（J/m^3）。
02
电感储能
在电感器中，磁场能量储存在磁场中 ，与电流和线圈的乘积成正比。
03
磁场能量与电流的关 系
磁场能量与电流分布和磁场强度的平方 成正比，即W=1/2 * μ0 * H^2 * V， 其中W是磁场能量，μ0是真空磁导率密度
电磁波的传播
电磁场总能量密度定义为电场能量密 度与磁场能量密度的和，即W=1/2 * (ε0 * E^2 + μ0 * H^2) * V。
电磁波在空间传播时，携带一定的能 流密度，能流密度与电场强度和磁场 强度的乘积成正比。
电磁场能量的转换与守恒
在电磁场中，电场能量和磁场能量可 以相互转换，但总能量保持守恒。
电磁场的能量和能流
目 录
• 电磁场的基本概念 • 电磁场的能量 • 能流 • 电磁场能量和能流的应用 • 电磁场能量和能流的未来发展
01
电磁场的基本概念
电磁场的定义
01
电磁场是由电荷和电流产生的， 存在于电荷和电流周围的空间。
02
电磁场由电场和磁场组成，电场 和磁场是相互依存、相互制约的 。
电磁场的性质
02
证明辐射场中能流和能量密度的关系
证明辐射场中能流和能量密度的关系能流和能量密度的关系可以通过能流公式和能量密度公式来证明。
能流公式：根据电磁学的基本公式，辐射场中的能流可以表示为：$P = \vec{S}\cdot \vec{n}$。
其中，$P$ 表示能流量，$\vec{S}$ 表示能流密度，$\vec{n}$ 表示能流的传播方向。
能量密度公式：辐射场中的能量密度可以表示为：$u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2} \mu_0 H^2$。
其中，$\epsilon_0$ 和 $\mu_0$ 分别是真空中的电容率和磁导率，$E$ 和 $H$ 分别是电场强度和磁场强度。
证明：根据能流公式，能流量是能流密度和能流传播方向的乘积。
如果我们假设能流的传播方向为单位向量 $\vec{n}$，则能流密度可以表示为：$\vec{S} = P \vec{n}$。
将上述式子代入能量密度公式中，我们可以得到：$u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2} \mu_0 H^2 = \frac{1}{2} (\epsilon_0 E^2 + \mu_0 H^2) + \frac{1}{2}(\epsilon_0 E^2 - \mu_0 H^2)$。
因为 $\vec{E}$ 和 $\vec{H}$ 都是垂直于能流传播方向$\vec{n}$ 的向量，所以能流的传播方向可以表示为 $\vec{n} = \vec{E} \times \vec{H}$。
带入上式，并使用矢量叉乘运算的恒等式$\vec{a}\times \vec{b}\cdot \vec{c} = \vec{b} \times\vec{c}\cdot\vec{a}$，可以得到：$u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2} \mu_0 H^2 =\frac{1}{2} (\epsilon_0 E^2 + \mu_0 H^2) + \frac{1}{2}\epsilon_0 \mu_0 \vec{E} \cdot \vec{H} \,\vec{n}\cdot \vec{n}$。
§1.6-电磁场的能量及能流解读
则： w S E D ( E H ) E H t t
D B E H (E H ) t t
对比上式的左右对应关系，显然有：
由微分算子公式： (E H ) E H E H
②在线性介质中： D E, B H 1 2 1 2 w E H 有： 2 2 S E H
电动力学
电动力学
3、电磁场能量的传输
由前面的讨论： S EH
显然，电场、磁场与电磁场的传播方向构成右手系。 例：对于内外半径为a、b的同轴导线，其中通有电流I， (1) 若导线为理想导体 (2) 若导线的电导率为 分别求能流密度。 解:(1) 若为理想导体，导体内为等势体，电场为0，若同轴 线间的电压为U,若同轴线间的电场强度为E，导线的
w D B E H t t t S E H Poynting矢量
电动力学
电动力学
讨论：
①在真空中：D 0 E, B 0 H
w 1 2 2 E H 0 0 则： t 2 t S E H 1 1 2 2 w E H 0 0 显然有： 2 2 S E H
线电荷密度为，则: 2 rlE l
所以： E er 2 r
电动力学
电动力学
显然： a 2 r dr U 2U 则： b log a U 1 由此得： E er br log a
b
H 若导线通有电流I，则：
所以： S
I 2 r
e
UI
ez er e b 2 r b r2 r log 2 log a a b ez UI 单位时间输运的能量为： S dA 2 rdr UI 2 a b A 2 log r a 电动力学 U I
平均能流密度计算公式
平均能流密度计算公式
1.电磁辐射的平均能流密度：
电磁辐射的能流密度可以通过能量密度和传输速度来计算。
能量密度可以通过电场强度（E）和磁场强度（B）来计算，而传输速度等于光速（c）。
S=c×ε0×E²
其中，ε0是真空介电常数，c是光速。
2.热能传导的平均能流密度：
热能传导的能流密度可以通过热流量（Q）和横截面积（A）来计算。
S=Q/A
其中，Q是热流量，A是横截面积。
3.流体力学中的平均能流密度：
在流体力学中，平均能流密度是指单位体积内物质的动能。
它可以通过密度（ρ）和速度（v）来计算。
S=1/2×ρ×v²
其中，ρ是密度，v是速度。
应该注意的是，以上公式只是几种常见的计算平均能流密度的公式，实际应用中可能还存在其他特定情况下的公式或修正项。
所以在具体问题中，应根据实际情况选择适当的公式进行计算。
总结起来，平均能流密度的计算公式涉及了不同领域的物理学理论，包括电磁学、热力学和流体力学等。
通过应用适当的公式，我们可以计算出单位横截面积内的能量平均传输速率。
这对于解决各种物理学问题，特别是在工程和科学领域中具有重要意义。
8.3电磁场的能流密度解析
d P Q E j0dV wdV τ dt τ
7
三 电磁场的动量和光压
根据量子理论，电磁波具有波粒二象性，能量 由许多分立的、以光速运动的光子所携带。 光子能量E=h，h=6.62617610-34 Js普朗克常量。 相对论的质能关系，光子能量 E=mc2
u ห้องสมุดไป่ตู้1 /
1
H E
电磁波的能流密度(坡印廷)矢量 S E H
平面电磁波能流密度 1 平均值 S E0 H 0 2 振荡偶极子的平均 辐射功率 2 4 p0 4 p 12πu
E
S
H
2
二 电磁场的能量原理
• 在空间任一体积 V ,其表面为 Σ . • 体积V内电磁能为:
V
令S E H （Poynting 电磁能流密度矢量）
dW ( E H ) d Q P dt
dW ( E H ) d Q P dt
意义：由外界流入系统的电磁能，除了对系 统内的带电体作功外，还使系统的电磁能增加。 能量守恒表达式。设想将系统的边界扩展到 无限远处。电荷和电流分布在有限空间内，无限 远处的电磁场应等于零，所以右边第一项面积分 必定等于零，上式变为
2
13
结果的讨论
1 F p c ( g 入 g 反) ( S 入 S 反 ) c
9
S 入 和 S 反分别是入射电磁波和反射电磁波的
能流密度矢量的大小。对于全反射，S 入= S 反，
2 2 物体表面所受压强为 p S入 EH c c 平均压强指所受压强在 1 p E0 H0 c 一个周期内的平均值
光子 E h 质量 m 2 2 c c
平均能流密度和平均能量密度
平均能流密度和平均能量密度能流密度和能量密度是物理学中两个重要的概念，它们描述了能量的传递和分布方式。
本文将分别介绍平均能流密度和平均能量密度的定义、计算方法以及其在实际应用中的意义。
一、平均能流密度能流密度是指单位时间内通过单位面积的能量流量。
在电磁学中，能流密度描述了电磁波的能量传递情况。
它的定义是单位面积上的能量流量与垂直于能量传播方向的面积的乘积。
在介质中，平均能流密度的计算公式为：能流密度（S）等于能量传播方向上的能量密度（u）与传播速度（v）的乘积。
其中，能量密度是指单位体积内的能量。
平均能流密度的计算方法是将能量流量除以垂直于能量传播方向的面积。
能流密度的单位通常用瓦特/平方米（W/m²）表示。
平均能流密度在实际应用中具有广泛的意义。
在无线通信中，能流密度可以用来评估电磁辐射对人体的潜在危害。
在光学领域，能流密度可以用来描述光束的强度分布。
此外，能流密度还在能源传输、电磁辐射热效应等领域有重要应用。
二、平均能量密度能量密度是指单位体积内的能量。
在电磁学中，能量密度描述了电磁场的能量分布情况。
它的定义是单位体积内的能量与体积的比值。
在介质中，平均能量密度的计算公式为：能量密度（u）等于磁场能量密度（B²/2μ0）与电场能量密度（ε0E²/2）之和。
其中，B和E 分别表示磁场强度和电场强度，μ0和ε0分别为真空中的磁导率和介质的介电常数。
平均能量密度的计算方法是将能量除以体积。
能量密度的单位通常用焦耳/立方米（J/m³）表示。
平均能量密度在实际应用中也具有重要的意义。
在电力系统中，能量密度可以用来评估电场和磁场的能量分布情况，从而帮助设计和优化电力设备。
在光学领域，能量密度可以用来描述光束的能量分布。
总结：平均能流密度和平均能量密度是描述能量传递和分布方式的重要概念。
能流密度描述了单位面积上的能量流量，而能量密度描述了单位体积内的能量。
它们在电磁学、光学、能源传输等领域具有广泛的应用价值。
电磁场与电磁波第四章
∇2ϕ
−
με
∂2ϕ ∂t 2
=
−
1 ε
ρ
矢量位和标量位满足(分离出的两个独立)的方程, 称为达朗贝尔方程
间接方法：A. 求解两个达朗贝尔方程 B. 达朗贝尔方程 + 洛仑兹条件
9
4.3 电磁能量守恒定律
讨论电磁场的能量问题，引入坡印廷矢量， 得到反映电磁能量守恒关系的坡印廷定理。
一、电磁场能量密度和能流密度
=
d dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
1 2
ε
|
v E0
|2 )dV
+
σ
V
|
v E0
|2
dV
20
根据
v E0
或
v H0
满足的边界条件，左端被积函数
v (E0
×
v H
0
)
⋅
evn
|S
=
(evn
×
v E0
)
⋅
v H
0
|S
=
v (H
0
×
evn
)
⋅
v E0
|S
=
0
即
∫ ∫ d
dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
∂2Ez ∂y 2
+
∂2Ez ∂z 2
− με
∂2Ez ∂t 2
=0
解波动方程，可求出空间中电磁场场量的分布。
(直接求解波动方程的过程很复杂)
4
4.2 电磁场的位函数
一、矢量位和标量位
∇ ⋅ Bv = 0
大物电磁知识点总结
大物电磁知识点总结一、电场1. 电场的概念：电场是一种物质周围的空间中存在的力场，它可以对带电粒子产生力的作用。
在空间的任意一点，电场强度的大小和方向决定了该点中带电粒子所受的电力的大小和方向。
电场的强度用电场强度矢量表示，单位是牛顿/库仑。
2. 电场的描述：电场可以由电场线来描述，电场线的密度表示了电场强度的大小，而电场线的方向表示了电场强度的方向。
在均匀电场中，电场线是平行的且等间隔分布的。
对于点电荷，其电场线以点电荷为中心呈放射状分布。
3. 电场叠加原理：当有多个电荷在同一点产生电场时，它们产生的电场可以叠加。
即在同一点的电场强度是矢量和，大小和方向由各电荷产生的电场强度方向和大小决定。
4. 电势能和电势：电场中的带电粒子会受到电场力的作用，从而具有电势能。
电场中单位正电荷所具有的电势能称为电势，用V表示，单位是伏特。
电场中的电势可以通过电势函数来描述，电场力可通过电势函数求导得到。
5. 电容器和电容：电容器是用来存储电荷和能量的元件，其电容量取决于电容器的几何形状和材料特性。
电容器两端的电位差称为电容器的电压。
电容器的电容量用法拉表示，单位是库仑。
6. 极板电容器：极板电容器是由两块平行金属板和介质组成的，当极板上施加电压时，金属板上会积聚电荷，从而形成电场。
极板电容器的电容量与极板的面积、介质的相对介电常数和极板之间的距离有关。
二、磁场1. 磁场的概念：磁场是指物质周围的空间中存在的力场，它可以对旋转的带电粒子或者带电体系产生力的作用。
对物质中的电流来说，它也可以产生磁场。
磁场的强度用磁场强度矢量表示，单位是特斯拉。
2. 磁感应强度和磁力：磁感应强度是描述磁场强度的物理量，用磁感应强度矢量表示，单位是特斯拉。
当带电粒子在磁场中运动时，会受到磁力的作用，磁力是与磁感应强度、电荷的速度和磁场之间的夹角有关的力。
3. 洛伦兹力和毕奥萨法尔定律：带电粒子在磁场中运动时，它会受到磁力的作用。
洛伦兹力是电场力和磁场力的合力，在磁场中受力的带电粒子将做圆周运动。
电磁场的能量和能流
t
而当V→∞时，通过无限远界面的能量为零，有：
v f
vvdV
d dt
wdV
表明场对电荷所作的总功率等于场的总能量减小率
4
2、电磁场能量密度和能流密度的表达式
由Lorentz力公式：fv
v E
v J
v B
v E
vv
v B
v f
vv
w
v S
ห้องสมุดไป่ตู้
0
t
根据能量守恒定律表达式有：
w
v S
v f
vv
v E
vv
量，方向为电磁场能量流动的方向。描述能量在场内的传播
v S
W
t
evn
(2) 能量守恒
单位时间通过界面S流入V内的能量可以用
能流密度表示为：
W
v
ÑS S
dv
dv
evn
v
S
S
2
由于在V内存在电荷和电流分布，因而流入的电磁场会对电荷做
功，使得系统的机械能增加，单位时间内电磁场对电荷所作的功
为：
Wm
V
v B
vv
vv E J
t
v
v
v H
v J
v D
t
v E
v
v H
D t
v E
D
t
v E
v H
E B t
v E
D
v (E
v H)
v H
Ev
t
v E
v H
v E
v D
v H
v B
v (E
v H)
v H
Ev
v E
v H
高中物理竞赛(电磁学)电磁场和电磁波：电磁场的能量密度与能流密度表达式(共13张PPT)
Z
E SH a
I
(2) 导体表面处
H
I
2a
e
S
EH
I2R
n
2al
E
IR
k
l
S沿表面的负法 向,即指向轴心
对于长 l 的导体,单位时间内通过表面积 Ａ=2al 输入的电磁能量为
S dA
I2R
2al
I2R
A
2al
三、电磁场的动量
S wv 1 E 2 H 2 v 2
v 1
E H
S EH
能流密度矢量 坡印廷矢量 S E HEHS Nhomakorabeaw
对于振荡电偶极子辐射波,可导出(自证推导) 平均能流密度（辐射强度）:
S
p0 4 sin2
24 2 r 2v
上式表明:
1) 辐射具有方向性
2) S与4成正比
例 圆柱形导体,长为l,半径为a,电阻为
四、同步辐射
在回旋加速器的磁场中
v
作圆周运动的质子或电子就 要产生强烈的辐射，这时由
a
S的角分布 加速器提供给粒子的能量将 有一部分转变为辐射能。当
B
粒子的速度接近光速时粒子
辐射的能流密度的角分布形
作匀速率圆周电荷 的同步辐射运动
成一个指向前方的锥形瓣， 随粒子运动，象一个转动的
探照灯束，这种辐射称为同
R,通有电流I,证明（国赛冲刺模拟练习）Z
1)在导体表面上,坡印廷
矢量S处处垂直导体表
面并指向导体内部.
2)沿导体表面的坡印廷矢
l
量的面积分等于导体内
a
产生的焦耳热功率I2R.
电磁场能量密度与能流密度的计算及物理意义
电磁场能量密度与能流密度的计算及物理意义电磁场在物质世界中无处不在，它们对我们的日常生活和现代科技发展起着至关重要的作用。
电磁场中能量密度和能流密度是描述电磁场特性的重要参数，对于探究电磁场的性质和认识电磁作用具有重要的意义。
本文将从电磁场能量密度和能流密度的计算方法、物理意义以及在现实生活中的应用等方面展开讨论。
电磁场能量密度的计算及物理意义能量密度的定义在电磁场中，能量密度表示单位体积内所含有的电磁场能量。
电磁场的能量密度可以通过电场和磁场的能量计算而得。
对于电场能量密度u e，可以通过以下公式计算：$$ u_{e} = \\frac{1}{2}\\varepsilon_0 E^2 $$其中，$\\varepsilon_0$为真空中电容率，E为电场强度。
对于磁场能量密度u m，可以通过以下公式计算：$$ u_{m} = \\frac{1}{2\\mu_0}B^2 $$其中，$\\mu_0$为真空中磁导率，B为磁感应强度。
能量密度的物理意义能量密度是电磁场能量在空间分布的描述，其数值大小代表了单位体积内所蕴含的电磁场能量。
能量密度的概念有助于我们理解电磁场的存储能量和传递能量特性。
能量密度的计算根据上述公式，我们可以通过实际电场和磁场的强度数值计算出电磁场的能量密度。
在具体问题中，可以根据实际情况选择适当的电场和磁场计算公式进行计算。
电磁场能流密度的计算及物理意义能流密度的定义能流密度表示单位时间内通过单位面积的能量流量。
在电磁场中，能流密度是描述电磁能量传输和传播的重要参数。
电磁场的能流密度可以通过电场和磁场的关系计算。
能流密度的物理意义能流密度描述了电磁场中能量的传输方向和速率，它说明了电磁场中能量传递的方式和路径，对于理解电磁波在空间中的传播具有重要意义。
能流密度的计算电磁场的能流密度根据Poynting矢量定义，可以表示为：$$ \\mathbf{S} = \\mathbf{E} \\times \\mathbf{H} $$其中$\\mathbf{S}$为能流密度矢量，$\\mathbf{E}$为电场强度矢量，$\\mathbf{H}$为磁场强度矢量。
高二物理竞赛课件：能流、能流密度和能量密度
1
2 A2u
2
例1. 证明球面波的振幅与离
开其波源的距离成反比，并 求球面简谐波的波函数.
s2
证：介质无吸收，通过两个 球面的平均能流相等.
s1 r2
r1
I1S1 I2S2
即
1 2
2 A12u4πr12
1 2
2 A22u4πr22
A1 r2 A2 r1
y
A0r0 r
cos[(t
r u
)
0
能流、能流密度和能量密度
可见，对于任意小质元， dEP dEk
dEk
dEp
1 2
dV2 A2
sin2[(t
x u
)
0
]
➢ 小质元的总机械能
dE
dEk
dEp
dV2 A2
sin2[(t
x) u
0 ]
dE ( x, t )
讨论：
1）在波动传播的介质中，任一小质元的动能、 势
能、总机械能均随 (x,t) 作周期性变化，且变化是同
E wut S
能流 P E wu S
uS2
t A2
s
in
2[
(t
x u
)
0
]
单位：焦耳/秒(J•s-1)，瓦(W)
ut S
能流也是随时间周期性变化的，测量的应是其平均值.
平均能流：在一个周期内能流的平均值，它等于单位时
间内垂直通过某一截面的平均能量,
P 1
T
Pdt u S w
T0
平均能流密度：单位时间内垂直通过某一单位截面的平
均能量，通常称为能流密度或波的强度。
I P wu 1 2 A2u
S
大学电磁场与电磁波第五章5.9正弦时变电磁场中的平均能量与功率
二次式的时间平均值
在时谐电磁场中，常常要关心二次式在一个时间周期 T 中的
平均值，即
∫ ∫ 平均电场能量密度 = weav
1 T
T
= 0 we dt
1 T
T
1
E
⋅
D
dt
02
∫ ∫ 平均磁场能量密度 = wmav
1 T
T
= 0 wm dt
1 T
T
1
H
⋅
B
dt
02
∫ ∫ 平均能流密度矢量
= Sav
其中E0、H0 和
解:(1w) = we +
k 为常数。求：(1)
wm =
1
(
E
⋅
D
+
B
⋅
2
w和
H) =
wav ；(2)
1 2
(ε
0
E
2
S
+
和 Sav。
µ0H 2 )
1 2
ε
0
E02
cos2
(ωt
−
kz
)
+
µ0
H
2 0
cos
2
(ωt
−
kz)
由于 E xˆ= ˆEˆ0ˆe− jkz , D* xε= 0E0e jkz , H y= H0e− jkz , B* yµ0H0e jkz
为
例1 E(z) =
已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢
yE0e−
jkz，其中k
和
E0
为常数。求：（1）磁场强度复矢量H
量 ；
（2）瞬时坡印廷矢量 S
；（3）平均坡印廷矢量
大学物理公式-电磁学
1. 电场强度：E =F /q 0 （对点电荷：rrq Eˆ420πε=） 2. 电势：⎰∞⋅=aar d E U（对点电荷rq U04πε=）；电势能：W a =qU a (A= –ΔW)3. 电容：C=Q/U ；电容器储能：W=CU 2/2；电场能量密度ωe =ε0E 2/24. 磁感应强度：大小，B=F max /qv(T)；方向，小磁针指向（S →N ）。
5. 库仑定律：6. rrQq k F ˆ2= （k=1/4πε0） 7. 高斯定理：⎰⎰=⋅0εq S d E （静电场是有源场）→无穷大平板：E=σ/2ε08. 环路定理：⎰=⋅0l d E（静电场无旋，因此是保守场） 9.毕奥—沙伐尔定律：24ˆr r l Id B d πμ⨯=10. 直长载流导线：)cos (cos 4210θθπμ-=r I B11. 无限长载流导线：rI B πμ20=12. 载流圆圈：R I B 20μ= ，圆弧：πθμ220R I B =大学物理第二学期公式集电磁学1．定义：①E 和B ：F =q(E +V ×B)洛仑兹公式②电势：⎰∞⋅=rr d E U电势差：⎰-+⋅=l d E U电动势：⎰+-⋅=l d Kε（qF K 非静电=） ③电通量：⎰⎰⋅=S d E eφ磁通量：⎰⎰⋅=S d B Bφ磁通链：ΦB =N φB 单位：韦伯（Wb ） 磁矩：m=I S=IS nˆ ④电偶极矩：p=q l⑤电容：C=q/U 单位：法拉（F ）E =F/q 0 单位：N/C =V/ｍB=F max /qv ；方向，小磁针指向（S →N ）；单位：特斯拉（T ）=104高斯（G ）Θ ⊕-q l*自感：L=Ψ/I 单位：亨利（H ） *互感：M=Ψ21/I 1=Ψ12/I 2 单位：亨利（H ） ⑥电流：I =dtdq ； *位移电流：I D =ε0dtd e φ 单位：安培（A ）⑦*能流密度： B E S⨯=μ12．实验定律①库仑定律：0204r rQq F πε=②毕奥—沙伐尔定律：204ˆr r l Id B d πμ⨯=③安培定律：d F =I l d ×B④电磁感应定律：ε感= –dtd Bφ 动生电动势：⎰+-⋅⨯=l d B V)(ε感生电动势：⎰-+⋅=l d E iε（E i 为感生电场）*⑤欧姆定律：U=IR （E =ρj）其中ρ为电导率3．*定理（麦克斯韦方程组）电场的高斯定理：⎰⎰=⋅0εq S d E ⎰⎰=⋅0εq S d E 静（E静是有源场）⎰⎰=⋅0S d E感 （E 感是无源场）磁场的高斯定理：⎰⎰=⋅0S d B⎰⎰=⋅0S d B（B 稳是无源场）⎰⎰=⋅0S d B（B 感是无源场） 电场的环路定理：⎰-=⋅dtd l d EB φ⎰=⋅0l d E静（静电场无旋） ⎰-=⋅dtd l d E Bφ 感（感生电场有旋；变化的磁场产生感生电场）安培环路定理：d I I l d B 00μμ+=⋅⎰⎰=⋅I l d B 0μ稳（稳恒磁场有旋） dtd l d Be φεμ00⎰=⋅ 感（变化的电场产生感生磁场）4．常用公式①无限长载流导线：r I B πμ20= 螺线管：B=ｎμ0I②带电粒子在匀强磁场中：半径qBm V R =周期qBm T π2=磁矩在匀强磁场中：受力F=0；受力矩B m M⨯=③电容器储能：W c =21CU 2 *电场能量密度：ωe =21ε0E 2 电磁场能量密度：ω=21ε0E 2+021μB 2*电感储能：W L =21LI 2 *磁场能量密度：ωB =021μB 2 电磁场能流密度：S=ωV ④ *电磁波：C=001εμ=3.0×108m/s 在介质中V=C/ｎ，频率ｆ=ν=021εμπ。
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电磁场的能量密度和能流密度
●电磁场能量
●电磁场对电荷系统作功
●电磁能密度和电磁能流密度的表达式
●介质的极化能和磁化能
( 1 ) 电磁场能量
电磁场是一种物质。
电磁场运动与其他物质运动形式之间能够互相转化，它们都具有共同的运动量度−−能量。
这里，我们通过电磁场与带电物体相互作用过程中，电磁场能量和带电物体运动的机械能之间的相互转化，导出电磁场能量的表达式。
能量是按照一定的方式分布在电磁场内的，而且随着电磁场的运动，能量将在空间中传播。
引进：
电磁能密度(体积电磁能) w，表示电磁场单位体积内的能量；
电磁能流密度矢量S，表示单位时间内流过与能量传输方向(矢量S方向)垂直的单位横截面积的电磁能量( 2 ) 电磁场对电荷系统作功
考虑空间某区域，设其体积为V，表面为A，自由电荷密度为ρe0，电流密度为j0. 以f表示电磁场对电荷
的作用力密度，v 表示电荷的运动速度，则电磁场对电荷系统所作功的功率为
⎰⎰⎰⋅)
(d V V v f ,
体积V 内电磁场能量的增加率为 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂=)()
(d d d d V V V t w V w t , 通过界面A 流入V 内的电磁能为
σ⎰⎰⋅-)
(d A S .
能量守恒定律要求单位时间内通过界面A 流入V 内的能量，等于场对V 内电荷作功的功率以及V 内电磁场能量的增加率之和，即
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂+⋅=⋅-)()()
(d d d A V V V t w V v f A S . (14.64)
利用奥-高斯公式可得，式(14.64)的相应的微分形式是 v f S ⋅-=∂∂+⋅∇t
w . (14.65) ( 3 ) 电磁能密度和电磁能流密度的表达式 ① 由洛仑兹力公式可得
0)()(j E v E v B v E v f ⋅=⋅=⋅⨯+=⋅ρρρ. (14.66)
② 将麦克斯韦方程组中的式
t ∂∂-⨯∇=D H j 0 (14.22) 代入上式，可得 t ∂∂⋅-⨯∇⋅=⋅D
E H E j E )(0.
(14.67) ③ 利用矢量分析中的公式
)()()(H E E H H E ⨯∇⋅-⨯∇⋅=⨯⋅∇,
及式 t ∂∂-=⨯∇B
E ，
(14.20)
可将式(14.67)化为 t t ∂∂⋅-∂∂-⋅+⨯⋅∇-=⋅D
E B H H E j E )()(0,
即 t t ∂∂⋅+∂∂⋅+⨯⋅∇=⋅-D
E B H H E v f )(.
④ 将上式与能量守恒定律所要求的式 v f S ⋅-=∂∂+⋅∇t w
(14.65)
比较，即
=∂∂+⋅∇t w S t t ∂∂⋅+∂∂⋅+⨯⋅∇D
E B
H H E )(,
可得
H E S ⨯=, (14.68)
t
t t w ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂B H D E . (14.69)这就是电磁场能流密度矢量(坡印廷矢量) S 以及能量密度变化率∂w/∂t 的普遍表达式。
( 4 ) 介质的极化能和磁化能
在介质中，极化能和磁化能都归入电磁场能中一起考虑，因此式(14.68)和式(14.69)中的S 和w 分别代表介质中总电磁能的能流密度和能量密度。
由式(14.69)可以得到，介质中电磁场能量的改变量的普遍表达式为 B H D E δ⋅+δ⋅=δw . (14.70)
在线性介质的情况下，
H B E D μμεε00,==， 上式可以积分得到电磁场能量密度的表达式为
)(2
1B H D E ⋅+⋅=w . (14.71) 应该注意到，式(14.71)仅适用于线性介质，在一般情况下必须应用普遍的公式(14.70)。
( 5 ) 平面电磁波
对于平面电磁波，电磁波的能流密度矢量H E S ⨯=总是沿着电磁波的传播方向k 的。
电磁波中的E 和H 都随时间迅速变化，在实际中重要的是S 在一个周期内的平均值，即平均能流密度S .对于简谐平面电磁波，
平均能流密度为 002
1H E S =, (14.72) 式中E 0和H 0分别是E 和H 的振幅。
因E 0和H 0之间存在着比例关系
00r 00r H E μμεε=, 故有 20E S ∝
或 20H S ∝, (14.73)
即平面电磁波的平均能流密度正比于电场强度或磁场强度振幅的平方。
二 电磁场的动量
根据狭义相对论，能量和动量是密切联系着的，它们形成一个四维矢量。
于是，我们可以预期，电磁波除具有能量外还带有一定的动量。
由于电磁波是以光速c 传播的，所以利用狭义相对论所给出的能量-动量关系式
p c E = (7.35) 以及式 v B E ===ε
μ100B E , 或 00r 00r H E μμεε=,
(14.59)
可以求出与真空中平面电磁波相联系的单位体积的动量为 H E ⨯===2201c
c E c w g ε. 由于动量是矢量，其方向与电磁波的传播方向相同，因此上式可以写成如下的矢量形式： S H E g 221
1
c c =⨯=, (14.74)
即电磁波动量密度的大小正比于能流密度，其方向沿电磁波的传播方向。
由于电磁波带有动量，所以在它被物体表面反射或吸收时，必定产生压强，称为辐射压强。
光是一种电磁波，它所产生的辐射压强称为光压。
太阳光投射到与其入射方向垂直的地球表面上的平均强度为 20kW/m 35.1=I ，
称为太阳常量。
与地面大气压强25N/m 10相比，太阳光在镜面上产生的光压 26N/m 109-⨯是一般很难观测到的非常小的压强。
在两个从尺度上看是截然相反的领域中，光压却起了重要的作用：
① 在原子物理学中，最著名的现象是光在电子上散
射时与电子交换动量的过程，即康普顿效应。
②在天体物理学中，星体外层受到其核心部分的引力，相当大一部分是靠核心部分的辐射所产生的光压来平衡的。
例如，彗星尾是由大量尘埃组成的，当彗星运行到太阳附近时，由于这些尘埃微粒所受到的来自太阳的光压比引力大，所以它被太阳光推向远离太阳的方向而形成很长的彗星尾。
彗星尾被太阳光照得很亮，有时能被人用肉眼看到。
在我国的民间，常按其形象把彗星叫做扫帚星。
总之，电磁场不仅具有能量，而且具有动量。
三电磁场是物质的一种形态
能量和动量都是物质运动的量度，运动是物质的存在形式，运动和物质是不可分割的。
电磁场具有能量和动量，它是物质的一种形态。
随着科学技术的发展，发现“场”和“实物”之间的界限日益消失。
对黑体辐射和光电效应等一系列现象的研究发现，光也具有不连续的微观结构，或者说，光在某些方面也具有微粒性；与此同时，从电子衍射现象发现，一向被认为是实物微粒的电子同时也具有波动性。
特别是，1932年发现，一对正负电子结合后可以转化为γ射线，即静质量为零的γ光子。
这些事实表明，电磁场和实物一样，也是客观存在的物质，只是电磁场和实物各具有一些不同的属性，而这些属性还会在一定的条件下相互转化。