《工程数学》(概率统计)期末复习提要

《工程数学》（概率统计）期末复习提要

工科普专的《工程数学》（概率统计）课程的内容包括《概率论与数理统计》（王明慈、沈恒范主编，高等教育出版社）教材的全部内容 . 在这里介绍一下教学要求，供同学们复习时参考 .

第一部分：随机事件与概率

⒈了解随机事件的概念

学习随机事件的概念时，要注意它的两个特点：

⑴在一次试验中可能发生，也可能不发生，即随机事件的发生具有偶然性；

⑵在大量重复试验中，随机事件的发生具有统计规律性 .

⒉掌握随机事件的关系和运算，掌握概率的基本性质

要了解必然事件、不可能事件的概念，事件间的关系是指事件之间的包含、相等、和、积、互斥（互不相容）、对立、差等关系和运算 .

在事件的运算中，要特别注意下述性质：

，

.

概率的主要性质是指：

①对任一事件，有

；

② ；

③对于任意有限个或可数个事件，若它们两两互不相容，则

.

⒊了解古典概型的条件，会求解简单的古典概型问题

在古典概型中，任一事件的概率为

，

其中是所包含的基本事件个数，是基本事件的总数 .

⒋熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，理解条件概率，掌握全概公式⑴加法公式：对于任意事件，有

，

特别地，当时有

；

⑵条件概率：对于任意事件，若，有

，

称为发生的条件下发生条件概率 .

⑶乘法公式：对于任意事件，有

（此时），

或（此时） .

⑷全概公式：事件两两互不相容，且，则

.

⒌理解事件独立性概念，会进行有关计算

若事件满足

（当时），

或（当时），

则称事件与相互独立 . 与相互独立的充分必要条件是

.

第二部分：随机变量极其数字特征

⒈理解随机变量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函数的概念，掌握有关随机变量的概率计算

常见的随机变量有离散型和连续型两种类型 . 离散型随机变量用概率分布来刻画，满足：

① ，

② ；

连续型随机变量用概率密度函数来刻画，满足：

① ，

② .

随机变量的分布函数定义为

，

对于离散型随机变量有

，

对于连续型随机变量有

.

⒉了解期望、方差与标准差的概念，掌握求随机变量期望、方差的方法

⑴期望：随机变量的期望记为，定义为

（离散型随机变量，是的概率分布），

（连续型随机变量，是的概率密度） .

⑵方差：随机变量的方差记为，定义为

（离散型随机变量），

（连续型随机变量） .

⑶随机变量函数的期望：随机变量是随机变量的函数，即，若

存在，则在两种形式下分别表示为

（离散型随机变量，是的概率分布），

（连续型随机变量，是的概率密度），

由此可得方差的简单计算公式

.

⑷期望与方差的性质

①若为常数，则；

②若为常数，则；

③若为常数，则.

⒊掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差，熟练掌握正态分布的概率计算，会查正态分布表（见附表）

常用分布：

⑴二项分布的概率分布为

，

特别地，当时，，叫做两点分布；

⑵均匀分布的密度函数为

；

⑶正态分布的密度函数为

.

其图形曲线有以下特点：

① ，即曲线在x 轴上方；

② ，即曲线以直线为对称轴，并在处达到极大值；

③在处，曲线有两个拐点；

④当时，，即以轴为水平渐近线；

特别地，当时，，表示是服从标准正态分布的随机变量 .

将一般正态分布转化为标准正态分布的线性变换：

若，令，则，且Y 的密度函数为

；

服从标准正态分布的随机变量的概率为

；

那么一般正态分布的随机变量的概率可以通过下列公式再查表求出

.

常见分布的期望与方差：

二项分布：；

均匀分布：；

正态分布：；

⒋了解随机变量独立性的概念，了解两个随机变量的期望与方差及其性质

对于随机变量，若对任意有

，

则称与相互独立 .

对随机变量，有

；

若相互独立，则有

.

第三部分：统计推断

⒈理解总体、样本，统计量等概念，知道分布，分布，会查表

所研究对象的一个或多个指标的全体称为总体，组成整体的基本单位称为个体，从总体中抽取出来的个体称为样品，若干个样品组成的集合称为样本 . 样本中所含的样品个数称为样本容量 .

统计量就是不含未知参数的样本函数 .

⒉掌握参数的最大似然估计法

最大似然估计法：设是来自总体（其中未知）的样本，而为样本值，使似然函数

达到最大值的称为参数的最大似然估计值 . 一般地，的最大似然估计值满足以下方程

.

⒊了解估计量的无偏性，有效性概念

参数的估计量若满足

则称为参数的无偏估计量 .

若都是的无偏估计，而且，则称比更有效 .

⒋了解区间估计的概念，熟练掌握方差已知条件下单正态总体期望的置信区间的求法，掌握方差未知条件下单正态总体期望的置信区间的求法

当置信度确定后，方差已知条件下单正态总体期望的置信区间是

，