矩阵分析第四章.

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第四章矩阵分析及矩阵函数

第四章矩阵分析及矩阵函数
4.1 矩阵分析 4.2 矩阵函数 4.3 线性常系数微分方程 4.4 变系数微分方程组
4.1 矩阵分析
4.1.1基本概念 4.1.1基本概念定义4 定义 4.1.1 令 A 1 , A 2 , L 是 m× n的矩阵序 × 列，假如存在一个 ×n m×
k →∞
令 A 1 , A 2 , L是 m× n 矩阵序列， × 矩阵序列，
构造部分和序列 A 1 , A1 + A 2 , A 1 + A 2 + A 3 ,L 假如其收敛到 A , 记
∞
∑A
∞
k
= A
k =1
则级数∑ A k ,收敛到 A .
k =1
定理4 (Cauchy收敛准则收敛准则) 定理4.1.3 (Cauchy收敛准则) 收敛， ∑ A 收敛，当且仅当矩阵序列
∞
Ak
收敛，收敛，则矩
k =1
特别地，对于方阵 A ，如果级数 ∑ 特别地，收敛，收敛，则矩阵幂级数收敛. ∑ A 收敛.
k
∞
Ak
∞
k =1
k =1
定理4 定理 4.1.5
设幂级数
∑
∞
a k λk
的收敛半径时，矩阵
k =0
是 R ，则当方阵 A 的范数幂级数 ∑ a k A k 收敛。收敛。
于是矩阵幂级数
1 1 2 1 3 I + A + A + A + LL 1! 2! 3!
1 2 1 4 I − A + A − LL 2! 4! 1 3 1 5 A − A + A − LL 3! 5!

矩阵分析课后习题解答(整理版)

第一章线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。

1.10.证明同1.9。

1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数）1.13.提示：设),)(-⨯==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行），代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故A A T -=，即A 为反对称阵。

若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ，0=+ji ij a a ，再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)(1.15.存在性：令2,2HH A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==,唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B HH -==，且C C B B ≠≠11,，由1111C B C B A H H H -=+=，得C A A C B A A B HH =-==+=2,211（矛盾)第二章酉空间和酉变换（注意实空间与复空间部分性质的区别）2.8 法二：设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n T n i ==（1在第i 行）；~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n T n j ==（1在第j 行）根据此题积定义⎩⎨⎧≠===j i j i X Y e e H j i 01),~~（故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。

矩阵分析第4章ppt课件.ppt

从而
A
P 1
Ir 0
D 0
Q
1
P 1
Ir 0
I
r
D Q 1
BC
其中
B
P 1
Ir
0
Crmr ,
C Ir
D
Q
1
C rn r
A BIr D Q1 B D Q1 AQ B D
所以B是A中r 个线性无关的列
例：分别求下面三个矩阵的满秩分解
1 2 1 0 1 2
(1)
0 0
0 1 1 (2) A 2 0 0
解：（1）由于
1 2
AAH 0 0
0 0
1 2
0 0
0 0
5 AAH 0
0
0 0 0
0 0 0
显然 AAH 的特征值为5，0，0，所以 A 的
奇异值为 5
（2）由于
0 2
AAH
0 2
1 0
1 0
1 1
0 0
AAH
2 0
0 4
显然 AAH 的特征值为 2，4，所以 A 的
2
0
cnn
2
n Unnn ，
c11 c21
cn1
R
c22
cn
2
cnn
显然矩阵 R 是一个正线上三角矩阵。
A是列满秩也有
注：Ar 1 2
r
c11 c21
cr1
1 2
r
c22
cr
2
crr
UrR 矩阵 R 是一个正线上三角矩阵
下面考虑分解的唯一性。设有两种分解式
A UR UR
1
2
1 2
1
1 2

矩阵分析引论第四版课后练习题含答案

矩阵分析引论第四版课后练习题含答案简介《矩阵分析引论》是矩阵分析领域的经典教材之一，已经发行了四个版本。

该书主要以线性代数、矩阵理论和应用为主要内容，重点介绍了矩阵分析的基本概念、原理和应用。

本文主要介绍该书第四版中的课后练习题及其答案。

提供的资料本文为矩阵分析引论第四版课后练习题及其答案，包含了第一章到第五章的所有习题和答案。

其中，习题从简单到复杂，大部分习题都有详细的解答过程和答案。

内容概述第一章引言第一章主要介绍了矩阵分析的历史和基本概念、性质、符号等。

本章习题主要涉及了矩阵、向量、矩阵运算等基本概念和性质。

第二章基本概念和变换第二章主要介绍了线性变换的基本概念和性质，以及线性代数中的一些重要定理和定理的证明。

本章习题主要涉及了线性变换、矩阵的秩和标准型、特征值和特征向量等内容。

第三章矩阵运算第三章主要介绍了矩阵运算的基本概念和性质，包括矩阵乘法、逆矩阵、行列式等。

本章习题主要涉及矩阵运算的基本操作和应用。

第四章矩阵分解第四章主要介绍了矩阵分解的基本概念和应用，包括特征值分解、奇异值分解、QR分解等。

本章习题主要涉及了矩阵特征值和特征向量、矩阵的奇异值分解等内容。

第五章线性方程组和特征值问题第五章主要介绍了解线性方程组和求特征值的方法，包括高斯消元法、LU分解、带状矩阵、雅可比迭代等。

本章习题主要涉及了线性方程组的解法、矩阵的特征值问题等内容。

结语本文介绍了矩阵分析引论第四版课后练习题及其答案。

对于学习矩阵分析的同学，课后习题是一个非常重要的练习和提升自己能力的途径。

本文所提供的习题和答案可以帮助读者巩固和提高自己的矩阵分析能力。

同时，本文也希望能够帮助更多的人学习矩阵分析，并成为矩阵分析领域的专家。

矩阵分析课件第四章矩阵分解

A R U R1U1
定理2.2：设
A
C mr r
，
则
A
可以唯一的分解为
A UR
U
U
mr r
R 是r 阶正线上三角阵
推论2.2：设
PAQ
Er 0
D
0
P
C mm m
Q
C nn n
A
P1
Er 0
D 0
Q1
P1
Er 0
Er
D Q1 BC
C
B
B
C mr r
,
C
C rn r
例题1.1, 1.2
矩阵的满秩分解是不唯一的，但是它们之间满足：
定理1.2：若 A BC B1C1 均为A的满秩分解，那么
(1)存在
C rR r
第8节 Hermite变矩阵、 Hermite二次齐式
对称矩阵，二次型
AH A AT A
定理8.1：若A是n阶复矩阵，则，
（1）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 x Cn ，xH Ax是实数。（2）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 S Cnn ， S H AS 是 Hermite矩阵。
证明：
A
C nn n
A (1, 2 ,
, n )
主对角线元素为正的
(1, 2 , , n ) 正交化 (1, 2 , , n ) 单位化 (v1, v2 , , vn )
1 1
2
2
(2 , 1) (1, 1)
1
3
3
(3, 1) (1, 1)
1
( 3 , (2,
2 ) 2)
2
1 1
2
(2 , 1) (1, 1)

数值分析第四章矩阵特征值与特征向量的计算

192.9996. 973
12
➢ 幂法的加速—原点移位法
应用幂法计算矩阵A的主特征值的收敛速度主要
由比值 r=|2/1|来决定, 但当r接近于1时, 收敛可能
很慢. 这时可以采用加速收敛的方法.
引进矩阵
B=A－0I
其中0为代选择参数. 设A的特征值为1, 2, …, n, 则B的特征值为1－0, 2－0, …, n－0, 而且A, B
10
2 1 0 例用幂法求矩阵 A 0 2 1
0 1 2
的按模最大的特征值和相应的特征向量.
取 x(0)=(0, 0, 1)T, 要求误差不超过103.
解 y 0 x 0 0 ,0 ,1 T ,
x 1 A 0 0 y , 1 , 2 T , 1 m x ( 1 ) ) a 2 , x
y(1)
x(1)
1
(0,0.5,1)T
x ( 2 ) A ( 1 ) 0 . 5 y , 2 , 2 . 5 T ,2 m x ( 2 ) ) 12 1a . 5 ,
y(2)
x(2) 2
(0.2,0.8,1)T
x ( 3 ) A ( 2 ) 1 . 2 y , 2 . 6 , 2 . 8 T ,3 m x ( 3 ) ) 2 a . 8 ,
x
(
k
1
)
Ax
(k )
A k1 x (0)
在一定条件下, 当k充分大时:
1
x ( k 1) i
x
( i
k
)
相应的特征向量为: x(k1) 4
➢ 幂法的理论依据
n
对任意向量x(0), 有 x(0) tiui ,
i1
x(k1) Ax(k) Ak1x(0)

博士研究生入学《矩阵分析》考试大纲

博士研究生入学《矩阵分析》考试大纲第一章线性空间和线性映射1.1线性空间；1.2基变换与坐标变换；1.3线性子空间（概念，子空间的交，和，子空间的直和，补子空间）；1.4线性映射（概念，线性映射的矩阵表示）；1.5线性映射的值域，核；1.6线性变换的不变子空间；1.7特征值与特征向量；1.8 矩阵的相似对角形；第二章λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形2.1λ-矩阵及标准形；2.2初等因子与相似条件；2.3矩阵的Jordan标准形；第三章函数逼近与曲线拟合3.1内积空间；3.2函数的最佳平方逼近；3.3正交多项式（用正交函数系作最佳平方逼近）；3.4曲线拟合的最小二乘法；3.5三次样条插值；第四章数值积分4.1数值求积公式的基本概念；4.2牛顿－柯斯特公式；4.3复化求积公式及其收敛性；4.4高斯型求积公式；4.5数值微分；第五章常微分方程的数值方法5.1欧拉方法及其截断误差和阶；5.2龙格－库塔方法；5.3单步法收敛性与稳定性；5.4线性多步法；5.5预测－校正技术和外推技巧；第六章线性代数方程组的解法6.1预备知识（向量与矩阵范数，范数的连续性定理，范数等价性定理范数收敛性，矩阵的算子范数矩阵特征值的上界等）；6.2高斯消去法，高斯主元素消去法；6.3矩阵分解及其在解方程组中的应用；6.4误差分析；6.5线性代数方程组的迭代解法；第七章线性代数方程组的解法7.1二分法；7.2简单迭代法；7.3迭代过程的加速；7.4Newton迭代法；7.5弦截法与抛物线法；第八章矩阵特征值与特征向量计算8.1幂法与反幂法；8.2Jacobi方法；8.3QR方法；。

矩阵分析第4章课件

矩阵满秩分解不唯一;但同一矩阵的两个满
秩分解的因式矩阵之间存在密切的关系( 见P153,定理4.1.2).
ACrmn r=rank A min{m,n} A的秩等于它的行秩、列秩或行列式秩。A的行( 列)秩是它的最大线性无关组的行(列)数；A 的行列式秩是它的非0子式的最大阶数。 A=BC rank A rank B & rank A rank C
1
初等变换与初等矩阵性质
①3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). ②将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变
换等价于左(右)乘A以可逆矩阵Pr,…,P1(P1,…,Pr).
③可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的行(列)是A的行(列)的任意排列.可适当选第三类初等矩阵P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j) 元变为0.可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k 使P(i(k))A的非零(i,i)元变为1.综合起来推出: Er 0 存在初等矩阵的乘积P和Q,使 PAQ= 0 0 m n 其中r=rank A.一般地,ACr 都 Er 0 存在m,n阶可逆阵P和Q使 PAQ=
a11 a1n AB ann
b11 b1n a11b11 * bnn annbnn
a11 a1n 1/ a11 * 1 1 A , aii 0 det A 0 A det A a 1/ a nn nn
1 C11 1 2 C21 1 C22 2 n Cn1 1 Cn 2 2 ... Cnn n

矩阵分析引论--第四章--矩阵的奇异值分解-向量范数、向量范数

n
定义 E
xi2 .
证明
a,
都与
b
E 等价.
i 1
利用 a
x11 xn n
( x1 ,, xn )连续，
在单位球面
S
y
(
y1 ,,
yn
n
)
i 1
yi2
1
上
取得最大值M与最小值m.
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第四章第一二节向量范数、矩阵范数
第二节矩阵范数
定义4-2 设A P nn ,定义非负实数 A，满足下列条件: (1) 正定性：当A 0时，A 0; (2) 齐次性：kA k A (k P); (3) 三角不等式： A B A B . (4) AB A B . 则称非负实数||A||为n×n方阵的范数.
则称非负实数||||为向量的范数.
此时称线性空间V 为线性赋范空间.
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第四章第一二节向量范数、矩阵范数
设V是内积空间， V ,定义： ( , ),
则 • 是V上的一个范数，称为由内积引出的范数.
向量范数的性质：
P124, 1
(1) 0 0 ;
(2) 0时， 1 1 ;
A F
n
2
aij
tr( AH A）
i , j1
是与 2相容的方阵范数. 称为 F 范数.
注：当U为酉矩阵时，有
F范数的优点
A的酉相似矩阵的F 范数相同.
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第四章第一二节向量范数、矩阵范数
常用的矩阵范数
n
(1)
A
1
max
1 jn i 1
aij

矩阵分析史荣昌魏丰第三版第一章-第四章期末复习总结

定义：若v1 ∩ v =0，则称v1与v 2 的和空间v1 + v 2 是直和，用记号v1 ⊕ v 2 表示
交
定理：设v1与v 2 是线性空间 v 的两个子空间，则下列命题是等价的
与
和
1) v1 + v 2 是直和
直和
2) dim(v1 + v 2 )= dim v1 + dim v 2
3)
设
α1， αn1
α α α 定理：(1) R(T)=span{T( 1 ),T( 2 ),……T( n )} (2)rank(T)=rank(A)(A 为线性映射在基下的矩阵表示)
值
域
性质:
设 A 是 n 维线性空间V1 到 m 维线性空间V2 的线性映射，α1，α2， αn
是V1
的一组基，β1,
β
2
,
,βm
是V2 的一组基。线性映射 A 在这组基下的矩阵表示是 m*n 矩阵 A=( A1，A2， An
特征子
空间
V 性质：特征子空间 λi 是线性变换 T 的不变子空间。
定义：设v1和v 2 是数域 F 上的两个线性空间，映射 A:v1 → v 2 ,如果对任何两个向量 α1,α2 ∈ v1和任何数λ ∈ F
有 A（ α1 + α2 ）=A（ α1 ）+A（ α2 ），A（ λα1 ）= λ A（ α1 ），便称映射 A 是由v 1到v 2 的线性映射
α1,α
2
,
αr
生成的子空间为
T
的不变子空间。
0 0 an,r +1 ann
λ α λ λ λ 定义：设 T 是数域 F 上 n 维线性空间 V 的线性变换，如果 V 中存在非零向量α，使得 T(α)= 0 , 0 ∈F.那么称 0 是 T 的一个特征值，称α是 T 的属于 0 的一个特征向量。

分析04-矩阵的特征值

4-6
矩阵的特征值与特征向量的计算
产生迭代向量序列
（由x 的某一分量的相邻二次结果之比可得出1），而相应的特征向量为 x ( k 1) 。
实际上，由式（4-1）可得：
x ( k 1) Ax( k ) Ak 1 x ( 0) Ak 1 ( i ui )
i 1 k i k 1ui 11 1u1 2k 1u2 n k 1un i 2 n i 1 n n
当n不大时，如n4 解特征方程，可求出全部特征值（n 3较难）当 n较大（n>5），计算量会增大得惊人，且不可能求得准确结果，还可能出现不稳定，所以当n稍大一般不直接求解特征方程，而根据实际问题的需要，介绍相应的一些行之有效的数值解法
第四章矩阵的特征值与特征向量的计算
4-4
W
矩阵的特征值与特征向量的计算概述（续1）
x(k+1)为1对应的特征向量收敛到1u1+…+mum
W Y
两点注释（续2）
( k 1) xi ( xi k )

x
( k 1)

( k 1) 1
x
( 0)
可构造向量序列
所以乘幂法实际上是，对于给定的初始向量 x ( 0) （零向量）由迭代法：
x
( k 1)
第四章
W Y

u
i 1
n
i i
1u1 2u 2 nU n
x
( k 1)
Ax
(k )
Ax
(k )
(k 0,1,, )
(4 -1)
5. 若 , 输出 , x, 停机; 否则, 转6
6. 若k<N，置k+1k, ，转3；否则，输出失败信息，停机。

矩阵分析与计算--04-矩阵分解-01-Jordan标准型

d i ( ) d i 1 ( ), i 1,2, r 1,
则 A( ) 的 k 级行列式因子为
Dk ( ) d1 ( )d 2 ( ) d k ( ), k 1,2, r.
26
2）（定理4）矩阵的Smith标准形是唯一的. 证：设矩阵 A( ) 的标准形为
A( ) 与C ( ) 等价.
16
2) A( )与 B( ) 等价存在一系列初等矩阵
P1 PS , Q1 Qt 使 A( ) P1 PS B( )Q1 Qt .
17
七、λ－矩阵的对角化
都等价于下列形式的矩阵
d1 ( ) d 2 ( )
19
1 2 1 1 2 0 [1,3] 1 3 1 1 2 1 2 1 1 3 1 0 2 0 3 2 0 0 1 2 0 [21(2 1),[31( 1)]] 0 3 2
2.（定理2）任意一个非零的 s n 的一矩阵 A( ) 称之为 A( )的 Smith标准形.
d r ( )
0
0
其中 r 1, d i ( ) ( i 1,2, 多项式，且
, r ) 是首项系数为1的
d i ( ) d i 1 ( ) ( i 1,2,
1
( )
1
i行 j行 1
14
② 初等矩阵皆可逆.
p( i , j )1 p( i , j )
p( i (c ))1 p( i ( 1 c ))
p( i , j( ( ))) p( i , j( ( )))

《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第四章课后习题答案

第四章矩阵分析4-1．(1)对矩阵A 只做初等行变换得到行简化阶梯形矩阵82100-55212311125141010551312114001-5582100-5521211251,0105513114001-55A B C A BC ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦=取于是即为其满秩分解表达式(2)对矩阵A 只做初等行变换得到行简化阶梯形矩阵1101010-10-1011110111123131000001110-10-101,0111123A B C A BC ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦=取于是即为其满秩分解表达式(3)对矩阵A 只做初等行变换得到行简化阶梯形矩阵12101212101212213300112124314500000048628100000001112121012,2300112146A B C A BC ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦=取于是即为其满秩分解表达式(4)对矩阵A 只做初等行变换得到行简化阶梯形矩阵120111012011036142360011-1024022270000016121757300000010101201103136,0011-1020270000016173A B C A BC ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=取于是即为其满秩分解表达式4-2．解：首先注意到A 的秩为1，同时计算出HAA 的特征值12=6=0λλ，，所以A 的奇异值1=6.σ然后分别计算出属于12λλ，的标准正交特征向量.]] []121211112121,1-1,1,.3111111=[,]T TH HU UV A UVV V VAηηηηη-====⎡⎤⎢⎥=∆==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎤⎥==⎢⎥⎥⎣⎦，记，现在计算取于是r000003333HrA U V⎤⎥⎤=⎥⎥⎢⎣⎦⎥⎦⎥⎢⎥⎣⎦=∆=⎦⎥⎦或者4-3．解：(1)容易验证H H H HAA A A BB B B==,所以A,B是正规矩阵.(2)下面求A的谱分解：[][]21231123232323111(+1)(-2)=2==-1.=2=.==-1=10-1=1-0.=0=.TTTTTH E A A G λλλλλλλξλλααααξξξξ-===故的特征值为：，对于特征值，其对应的特征向量对于特征值，其对应的特征向量，，，，1，将，正交化和单位化得，，于是2223311133311133311133300111110636221210003331110226H H G ξξξξ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢=+=+⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎢⎣⎢⎥⎣⎦-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=+--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦122113331213331111236333=2A G G ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-因此即为其谱分解.矩阵B 的谱分解参照矩阵A 的谱分解方法. 4-4．解：已知矩阵024102211042A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦[][][]21231212331231231(+1)(+2),==-1=-2==-1=-2,1,0,4,0,1=-2=4,2,1.244[,,]102011T TTE A A A P P AP λλλλλλλλααλααααααα--==---⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=求得所以其对应的特征值为：，对应于特征值，其对应的特征向量对应于特征值，其对应的特征向量为：，，线性无关，所以矩阵可对角化，所以矩阵是单纯矩阵于是而且有：11231112223311161212100211010,()366002221333122112111=--=-=6331263126322433312263311212632T TTTT TT P G G βββαβαβαβ-⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦==取：，，，，，，，，令122433312263311212632A G G A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-+故即为矩阵的谱分解表达式.4-5．解：[][][]12312i 20000-i 0000500000,=5==0000=51,0,02001,0,0,=1,0,0-i 00100H H H H TT T H HHA A AA AA AA U V A U A V λλλδληηη-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢=∆=⎢⎢⎣⎦，求出的特征值为，所以的奇异值为：求出对应于的特征根：==H⎡⎤⎥⎥⎥⎥⎢⎥⎣⎦4-6．解：()()()1231212112204002000i ,0100-i 000000(-1)(-4)=4,=1,=02=2,=1,14=1,0,04=0,1,010,0100H H H H T H TH A A AA E AA AA AA AA U λλλλλλλααμμμμ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-=⇒⎡⎤∆=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥==⎢⎢⎣⎦，所以的奇异值为：特征值为的单位特征向量为：特征值为的单位特征向量为：于是1111100-i 102100110-i 00H H H HV A U A U V -⎥⎥⎡⎤=∆=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=∆=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦因此所以4-7．解：(1) 首先求出矩阵A 的特征多项式212322082(+2)(-6)06=-2==6A (6E-A)=14204206E-A=8400000000E A aa a λλλλλλλλλ---=--=---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以其特征值为：，由于是单纯矩阵，从而r 有此可知：a=0;(2) 由上知a=0；()21231212331112223220=820-(+2)(-6)006==6;=-2,==6=0 =001=-2=0125524551TT T H H A E A A G G λλλλλλλλααλαααααα⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⇒⎫⎪⎭⎫⎪⎭⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所以，求出对应于的单位正交特征向量为：，，，求出对应于的单位特征向量为：因此，的投影矩阵，31212552455062H A G G α⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=-4-8．解： (1)3i -13i -1-i 0i -i 0i -1-i 0-1-i 0,.HH H A A AA A A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=，所以是正规矩阵 (2)()()())()()()212311223312312314122 1.2==-1=0,-i,1,,=0.8801,0.3251i,0.3251,=0.4597,0.6280i 0.6280,=TTTTTE A λλλλλλλλαλαλααααηηη-=+-+=+==-===求出与求出与求出与对应的特征向量为：将单位化得到单位特征向量为：，111222333112233,,=TH H HG G G A G G G ηηηηηηλλλ⎛ ⎝⎭===++所以4-9．解：对矩阵A 只作初等行变换100071415610290102000147712401525001772655700000310007141102901020077,1245250017726500000.A ABC BC A -⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦= 的秩为，且前三个列向量线性无关，故容易验证：4-10.解：对矩阵A 只作初等行变换110130-331321421=261070013339311100000211012130-3321,210013333.2113210-361,93A A B C BC A A B C ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦=⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 的秩为，且第一，第三个列向量线性无关，故容易验证：的秩为，且第二，第三个列向量线性无关，故10992100133.BC A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=容易验证：4-11.解：()()1231231231231===0=00=0004400TTTH A Schmidt U R U A R ααααααυυυυυυ-⎛ ⎝⎛⎝⎛⎝⎡⎢⎢⎢==⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦将，，的列向量，，用方法标准正交化得，命，，，则111335---1444420111==-=--2222-1131=.H x R U b Ax b -⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦不难验证4-12.解：5000000005,0,0A H H AA AA ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦因为的特征值为，故4-13.解：2123111111202000202(-4),=4==0A=2=2.=4==,10111012HH HT T HHHAAE AA AAAA UV A Uλλλλλλαλ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=∆=⎡⎤=∆=∙=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥所以的特征值，，的奇异值为，的特征值的单位特征向量u u因此：不难验1122124.3.443301001HHHHH HA U VAAUA AU A A VU=∆=⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎢⎢=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=证这是定理表达形式.下面介绍定理..表述形式.又的零特征值所对应的次酉矩阵的零特征值所对应的次酉矩阵V于是AA的酉矩阵与的酉矩阵分别为V⎤⎥⎥=⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎥⎦⎥⎦，且2000000HD A UDV ⎡⎤∆⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦=不难验证4-14. 解：()()()12312111121111400010(1)(4),000=4=1=02=2=1=14=1001=01010==010010010=U V 010H HH H H H H H AA E AA AA A AA u AA u U u u V A U i A λλλλλλλαα-⎡⎤⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤∆⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤=∆=⎢⎥⎣⎦∆=，的特征值，，所以的奇异值，，的特征值为的单位特征向量的特征值为的单位特征向量于是因此所以3222121010043300=0=110010(,)=010,V=V 0001100201001001000100HH Hi AA u U U U U i A UDV i ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦若要写成定理..形式还得计算U,V.特征值为的单位特征向量故所以4-15.解：242-24-2422-4-2-2-2252-2-5H i i A i i i i A i i i i -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦由于所以A 是反Hermite 矩阵.2123121233111222-424+22==(+6i)(-3i)-22A ==-6i =3i.==-6i =0==3i 221=i -33354i2i -999-TTT H H iE A i i iA G λλλλλλλλλλλααλααααα+-=⎛ ⎝⎛⎫ ⎪⎝⎭=+= 的特征值，属于特征值的正交单位特征向量，属于特征值的正交单位特征向量，，因此的正交投影矩阵为233124i529992i 2899944i 2i 9994i 429992i 219996i 3i H G A A G G αα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦=-所以的谱分解式为：+4-16..解：130i 2202031-i 022HA A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦由于所以A 是Hermite 矩阵.()21231212331112213--i 220-20==(-2)(+1)31-i 0-22A ==2=-1.==2=010=0=-1=01i 022010i 1-022TTTH H E A A G G λλλλλλλλλλλααλααααα-=⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 的特征值，属于特征值的正交单位特征向量，，，属于特征值的正交单位特征向量因此的正交投影矩阵为233121i 0-22010i 10222-H A A G G αα⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=所以的谱分解式为：4-17. . .解：先求A 的特征值和特征向量，由21234-603+50=(-1)(+2)36-1==1=-2.E A A λλλλλλλλλ--=故的特征值为：，()()()()1231212331123=1-3-60360=0360=2-1,0=0,0,1=-2-3-60360=0360=-11,1201111,,101()=122011010TTT Tx x x x x x P P λααλαααα-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣当时，由方程组求得特征向量为：，，当时，由方程组求得特征向量为：，所以，()()()1231112223312=1,1,0,=-1,-2,1,=1,2,022*******,1201211202TTTT TT G G A A G G βββαβαβαβ⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+=--==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦=-因此于是所求投影矩阵为的谱分解表达式为4-18.解：因为()()1122r r 1122r 20112012012r 11122r r 1122r r 220111011201=+++=++++=++++=(G +G ++G )+()++()=(++++)G +(++++)G ++(+k k k k r s s ss s s s s s A G G G A G G G f a a a a f A a E a A a A a A a a G G G a G G G a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ=+++++++++ 若则()()()211122+++)=G +G ++s s r ra a f f f G λλλλλ 4-19.解：方法一：A 是单纯矩阵()()()()()31234123123441234-1-11-11-1=(-1)(+3)-11-11-1-1===1=-3.===1=1100=101,0=-100,1=-3=1-1-1,111-11100-1,,,=010-10011T T TTE A A P λλλλλλλλλλλλλλαααλααααα-=⎡⎤⎢⎢=⎢⎢⎣故的特征值为：，属于特征值的正交单位特征向量，，，，，，，，，属于特征值的正交单位特征向量，，所以1123411122331111-44443111--4444,()=1311--44441131444413111131=-=-4444444411131111=-=--44444444314+T TTT TT TT P A G ββββαβαβαβ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=因此，，，，，，，，，，，，，，因此的正交投影矩阵为11444131144441131444411134444⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦244121111-4444111144441111--444411114444-3H G A A G G αβ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦=所以的谱分解式为：方法二：A 是正规矩阵.由方法一中已知A 的特征值1234===1=-3λλλλ，，把1234αααα，，，Schmidt 方法标准正交化得123441112233244=00=0=1111=--22223111444413114444+113144441113444411-44T T TTT T TH G G υυυαυυυυυυυυυ⎫⎫⎛⎪⎪ ⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦-==，，，把单位化得，，，正交投影矩阵121144111144441111--444411114444-3A A G G ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦=所以的谱分解式为：。

南京工业大学矩阵论第四章讲义 ch4.

第四章矩阵分析在高等数学中，数列和函数的极限是一个很重要的基本概念，它贯穿在整个高等数学课程中。

在线性代数计算方法中，为了描述迭代法的收敛性，需要有向量，矩阵序列的极限概念。

另外，在高维空间讨论数值逼近和研究微分方程数值解等问题中，常要研究两个向量的逼近程度，这些都和向量、矩阵的范数概念有关，这一章主要讨论这些问题。

§4.1 向量和矩阵的序列和级数一、向量序列的极限设有n R （所有n 维实向量组成的向量记为n R ）中的向量序列：,,,,,)()2()1( k记为)(k ，其中每一个向量)(k 是一个实n 维向量：),2,1(,),,,()()(2)(1)( k a a a k n k k k显然一个n 维向量序列)(k 中各向量的对应分量构成了n 个数列：;,,,,)(1)2(1)1(1)(1k k a a aa,,,,)()2()1()(k n n nk n a a aa 。

定义1 给定n 维向量序列)(k ，当 k ，如果各向量的对应分量构成的n 个数列 ),2,1,,,2,1()( k n i a k i都收敛，则称向量序列)(k 收敛。

设i k i k a a)(lim ，则),,,(21n a a a 称为)(k 的极限，记为：)(lim k k ，简记为)(,)( k k ，反之，如n 个数列中有一个发散，则称)(k 发散。

由定义可知，一个n 维向量序列的收敛等价于n 个数列的收敛，因此根据收敛数列的性质容易得到收敛的向量序列的性质。

性质1 一个收敛的向量序列的极限是唯一的。

性质2 设)(lim k k ，)(lim k k ， b a ,为常数，则：b a b a k k k)(lim )()( 。

例1 设k k k k sin 21）（，求 )(lim k k解：因为021limk k ，0sin lim kkk所以00lim )(k k 。

对于一般的n 维线性空间V 中的一个向量序列)(k ，可以取V 的一个基n ,,,21 ，设)(k 在这个基下的坐标为：),,,()()(2)(1k n k k a a a 。

第4章矩阵分解-1

3 1 2
H2H1A
0
1
1
R
0
0
0
矩阵分析简明教程
Q
H
H 1
21
1 3
1
2 2
2 1 2
2
2 1
所求的QR分解为
A QR
8
0 1 1
矩阵分析简明教程
1 5
x1 2x2 x3 5x2 3x3
0 1
12 5
x3
4 5
(
5 12
)
3 5
x1
2x2 x2
1 3 0
x3
1 3
(2)
x1 x2
1 3 0
x3 1 3
(II )
矩阵分析简明教程
用矩阵形式表示，系数矩阵
1 2 1 r12 (3) 1 2 1
角方阵 R ，使得
A QR
当 m = n 时，Q 就是酉矩阵或正交矩阵。
矩阵分析简明教程
例 1 将下列矩阵进行QR分解：
1 2 2
A
1 0
0 1
2 1
4
矩阵分析简明教程
解： 1 (1,1，0, )T， 1 1 (1,1，0)T
1
||
1 1
||
1 (1,1, 0)T 2
定理4.2.3 设 e1 1, 0,, 0T C n ,
x1 , x2 ,, xn T C n , 0
令
x1
x1 ,
,
x1
0 ，u
e1
x1 0
e1
H E 2uuH是n 阶Householder矩阵，且
H -e1
矩阵分析简明教程
定理4.2.4（QR分解）设 A为任一 n 阶矩阵则必存在 n 阶酉矩阵 Q 和 n 阶上三角方

机器人雅可比矩阵分析

例4.2 如图所示．为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以l m/s的速 T 度运动，求相应的关节速度 q 1 2 解：雅可比J(q)为
逆雅可比可为
1 J (q) l1l2 s2
1
l2c12 l c l c 1 1 2 12
T
l1s1 l2 s12 l2 s12
[1,0] 相应的关节速度于是得到与末端速度 x 反解为 c12 c1 c12 1 ; 2 l1s2 l2 s2 l1s2
讨论：机械手接近奇异形位时，关节速度将趋于无穷大。
关节角位置和操作臂末端的直角坐标位置
x x( q )
运动学正解
q
关节空间
操作空间 x x(q)
运动学反解
关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度
运动学正解
关节空间
操作空间
运动学反解
4.1 雅可比矩阵的定义(Jacobian matrix)
操作空间速度与关节空间速度之间的线性变换。
J (q)q x
在机器人学领域内，通常谈到的雅可比矩阵是把关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联系在一起的。必须注意到，对于任何给定的操作臂的结构和外形，关节速度是和操作臂末端的直角坐标速度成线性关系，但这只是一个瞬间关系。
例4.1
(x,y) y l1
平面2R机械手的运动学方程为
l2
2
x l1c1 l2c12 y l1s1 l2 s12
对于m=1, （标量对矢量的导数） y y1 y1 y1 u u1 u2 un
y1 un y2 un J(u) R mn y J(u)u ym un

矩阵分析lecture4内积空间

V = V1 ⊕V2 ,V = V1 ⊕V3
令 x ∈V2 ，则 x ∈V ，由第二式有：
x = x1 + x3
这里， x1 ∈V1, x3 ∈V3 。又因为 x ⊥ x1 ，所以，
0 = ( x, x1 ) = ( x1 + x3, x1 ) = ( x1, x1 ) + ( x3, x1 )
但 x3 ⊥ x1 ，故 (x3, x1) = 0 ，从而 (x1, x1) = 0 ，于是 x1 = 0 ， x = x3 ∈V3 ；即V2 ⊆ V3 。
定理 1：设 V 是内积空间， x, y 是 V 中任意两个向量，则有：
(x, y)2 ≤ (x, x)( y, y)
且等号成立当且仅当 x, y 线性相关时成立。
证明：设 t 为任意实数，则根据内积定义 (x − ty, x − ty) ≥ 0 。
即对任意实数 t，
( y, y)t2 − 2(x, y)t + (x, x) ≥ 0
| x |= (x, x)
由此，C—S 不等式即：
| (x, y) |≤| x | ⋅ | y |
从而： ±(x, y) ≤| x | ⋅ | y | 进一步，当 x ≠ 0, y ≠ 0 时，我们有
(x, y) ≤ 1 xy −1 ≤ (x, y) ≤ 1
xy
可用等式
cosϕ = (x, y) xy
则 e3 ≠ 0 ，再由 (e3, e1) = 0, (e3, e2 ) = 0 得
β1
=
−
( f3, e1 ) (e1, e1 )
,
β2
=
−
( f3, e2 (e2 , e2
) )
按此方法做下去，若已作出正交组 e1, e2,", en−1 则令

矩阵分析PPT

有关性质：
1）零向量的范数是零。
2）当
时，有
实际上，我们还可以通过已知的向量范数来构造新的向量范数。
定理4.1 设
是
上的一种已知向量范数
（不一定是P-范数），A是n阶满秩方阵，
，定义，则是
上的一种向量范数。
证明：
所以
是
上的一种向量范数。是中向量是的n元连续
定理4.2 设
的一种范数，则函数。
p i 1
n
1/ p
( i )
p i 1
1/ p
( i )
p i 1
n
1/ p
其中
y (1 ,2 ,,n ) C n
注：这里要用到 Holder不等式：
其中因为
1 1 1, p 1, q 1. p q
1 p 1 ( p 1) p p 1
2
因为 Re（x, y ) ( x, y ) ( x, x)( y, y ) x y
证明 x max i 是Cn 上的一种范数，例4.2
这里x 1 , 2 , n C
i
n
x y max i i max i max i x y
定义4.2 满足上述不等式的两种范数称为是等价的.由此可见任意两种向量范数是等价的。
定理4.4
( ( C n 中的 x ( k ) 1( k ) , 2 k ) ,, n k )
收敛到向量 x 1 , 2 ,, n ，序列
的充要条件是对任一种范数
x
二. 向量范数的等价性定理4.3 设 x 和 x 为有限维线性空间V 的任意两种向量范数，则存在两个与向量无关的正常数 c1和 c2 使下面不等式成立

同济大学--矩阵分析课件---矩阵论§4.3

∵ || β − δ ||2 ≥ 0 ∴ || γ ||=|| α − β ||≤|| α − δ ||
5
显，O ) = ⎜ α i , ∑ α j ⎟ = (α i , α i ) j =1 ⎝ ⎠ ⇔ α i = O, i = 1, 2, s
实内积空间V的任一子空间W必有唯一正交补，记定理：
这正交补为 W ⊥ , 则W ⊥ = α ∈V α ⊥ W . 证明：如果 W = {O} , 则 V = W ⊕ V , 即V 是W 的正交补. 如果 W ≠ {O} , 子空间W关于V中内积也成为内积空间，存在正交基 e1 , , em . 由基的扩充定理，
2
{
}
将它扩充成V的一个正交基 e1 , , em , em +1 , , en , ( n = dim V ). 令 U = 〈em +1 , em + 2 , , en 〉 ,则有 W ⊥ U ,
V = W ⊕ U 所以U是W的正交补.下面证明 U = W ⊥ ,
即U是由所有与W正交的向量组成的，由此也证明了W 的正交补的唯一性.
α = β + γ , β ∈ W , γ ∈ W ⊥ , 向量β称为向量α在子空间有 W上的正投影，而 || γ || 称为向量α到子空间W的距离. 设定理： α ∈V , β是α在V 的子空间W上的正投影，则对任意 δ ∈ W ,有 || γ ||=|| α − β ||≤|| α − δ || 且等号成立 ⇔β = δ
注：说明将 || γ || 定义为α 到W的距离是合理的.
4
证明：
α
γ
δ W
β
γ = α − β , γ ⊥ W , β − δ ∈W
∴ γ ⊥ ( β − δ ) α − δ = (α − β ) + ( β − δ ) || α − δ ||2 =|| α − β ||2 + || β − δ ||2 由勾股定理得