离散型随机变量的期望和方差(参考答案)

离散型随机变量的期望和方差(参考答案)

想一想①：

1.解：ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5,6.对应的概率均为6

1.易得Eξ=3.5.

2.解：E(2ξ+3)=2Eξ+3=3

7.

想一想②：证: D(X +Y)=E[(X +Y)2]−[E(X +Y)]2

=E[X 2+Y 2+2XY]−[E(x)+E(Y)]2 =E(X 2)+E(Y 2)+2E(X)E(Y)−[E(X)]2 −[E(Y)]2−2E(X)E(Y)

={E(X 2)−[E (X )]2}+{E(Y 2)−[E (Y )]2}=D(X)+D(Y).

想一想③：

1.解：Eξ=np=7，Dξ=np(1－p)=6，所以p=17

.

2.解：Dξ=npq≤n(p+q 2)2=n

4，等号在

p=q=1

2时成立，此时，Dξ=25，σξ=5.

答案：1

2

； 5.

想一想④：

解：要使保险公司能盈利，需盈利数ξ的期望值大于0，故需求Eξ. 设ξ为盈利数，其概率分布为

且Eξ=a(1－p 121212要盈利，至少需使ξ的数学期望大于零，故a ＞30000p 1+10000p 2.

想一想⑤：

1.解：直接考虑得分的话，情况较复杂，可以考虑取出的4只球颜色的分布情况：

4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，

故P(ξ=5)=C 41C 33C 7

4=4

35

，P(ξ=6)=

C 42C 32C 7

4=1835

，P(ξ=70)=

C 43C 31C 7

4，

P(ξ=8)=

C 44C 30C 7

4，Eξ=54

35.

2.解：分析，可能来多少人，是一个随机变量ξ．而ξ显然是服从二项分布的，用数学期望来反映平均来领奖人数，即能说明是否可行．

设来领奖的人数ξ=k,(k =0,1,2,⋯,3000)，所以

P(ξ=k)=C 3000k

(0.04)k ⋅(1−0.04)30000−k ，可见ξ~B (30000,0.04)，所以， Eξ=3000×0.04=120(人)100>(人)． 答：不能，寻呼台至少应准备120份礼品．

想一想⑥：

解：设X~B(n,p), 则X 表示n 重贝努里试验中的“成功” 次数.

若设X i ={

1 如第i 次试验成功

0 如第i 次试验失败

i =1,2，…，n

则X =∑X i n i=1是n 次试验中“成功”的次数，E(X i )=0×q +1×p =p ， 故D(X i )=E(X i 2)−[E(X i )]2=p −p 2=p(1−p)，1,2,,i n =

由于X 1，X 2，X 3⋯，X n 相互独立，于是D(X)=∑D(X i )n i=1pq.

习题2.3 1．解：由已知q 应满足：

解得q =1−√1

2

故ξ的分布列为

∴Eξ=(−1)×1+0×(√2−1)+1×(−√2)=−+3

−√2=1−√2.

Dξ=[−1−(1−√2)]2×12+(1−√2)2×(√2−1)+[1−(1−√2)]2×(3

2

−√2)

=(√2−2)2×12+(√2−1)3+2(3

2−√2).12-=

2.解：设学生甲答对题数为ξ，成绩为η，则ξ～B(50，0.8)，η=2ξ，故成绩的期望为

Eη=E(2ξ)=2Eξ=2×50×0.8=80(分). 成绩的标准差为ση=√Dη=√D(2ξ)=√4Dξ=2√50×0.8×0.2=4√2≈5.7(分). 3.该组练习耗用的子弹数ξ为随机变量，ξ 可以取值为1，2，3，4，5．

ξ＝1，表示一发即中，故概率为P(ξ=1)=0.8;

ξ＝2，表示第一发未中，第二发命中，故P(ξ=2)=(1−0.8)×0.8=0.16; ξ＝3，表示前二发未中，第三发命中，故P(ξ=3)=(1−0.8)2×0.8=0.032; ξ＝4，表示前三发未中，第四发命中，故P(ξ=4)=(1−0.8)3×0.8=0.0064； ξ＝5，表示第五发命中，故P(ξ=5)=(1−0.8)4⋅1=0.24=0.0016. 因此，ξ 的分布列为

Eξ==1.25

=0.05+0.09+0.098+0.0484+0.0225=0.31.

说明：此题的随机变量ξ并不服从几何分布.故不能用公式来求期望和方差.要特别注意. 4.解：(1)分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点” 为事件A 1，A 2，A 3. 由已知A 1，A 2，A 3相互独立，P （A 1）=0.4，P （A 2）=0.5，P （A 3）=0.6， 客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0， 所以ξ的可能取值为1，3. P(ξ=3)=P(A 1·A 2·A 3)+ P(A 1⋅A 2⋅A 3) = P(A 1)P(A 2)P(A 3)+P(A 1)P(A 2)P(A 3)

=2×0.4×0.5×0.6=0.24，

P(ξ=1)=1－0.24=0.76，所以ξ的分布列如右. E ξ=1×0.76+3×0.24=1.48.

(2)方法1. 因为f(x)=(x −3

2ξ)2+1−9

4ξ2, 所以函数f (x )=x

2−3ξx +1在区间[3

2ξ,+∞)上单调递增，要使f(x)在[2,+∞)上单调递增，当且仅当3

2ξ≤2，即ξ≤4

3. 从而

；

⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤=+-+.1,1210,1212122q q q q