立体几何与空间向量

第30练 空间角的突破方略

题型一 异面直线所成的角

例1 在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线BA 1与AC 所成的角．

破题切入点 利用BA 1→·AC →＝|BA 1→|·|AC →|×cos 〈BA 1→，AC →〉，求出向量BA 1→与AC →的夹角〈BA 1→，AC →〉，

再根据异面直线BA 1，AC 所成角的范围确定异面直线所成角．还可用几何法或坐标法． 解 方法一

因为BA 1→＝BA →＋BB 1→，AC →＝AB →＋BC →，

所以BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(AB →＋BC →)

＝BA →·AB →＋BA →·BC →＋BB 1→·AB →＋BB 1→·BC →.

因为AB ⊥BC ，BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，

所以BA →·BC →＝0，BB 1→·AB →＝0，

BB 1→·BC →＝0，BA →·AB →＝－a 2.

所以BA 1→·AC →＝－a 2.

又BA 1→·AC →＝|BA 1→|·|AC →|·cos 〈BA 1→，AC →〉，

cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 2

2a ×2a ＝－12. 所以〈BA 1→，AC →〉＝120°.

所以异面直线BA 1与AC 所成的角为60°.

方法二

连接A 1C 1，BC 1，则由条件可知A 1C 1∥AC ，

从而BA 1与AC 所成的角亦为BA 1与A 1C 1所成的角，

由于该几何体为边长为a 的正方体，

于是△A 1BC 1为正三角形，∠BA 1C 1＝60°，

从而所求异面直线BA 1与AC 所成的角为60°.

方法三 由于该几何体为正方体，

所以DA ，DC ，DD 1两两垂直且长度均为a ，

于是以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，

于是有A (a,0,0)，C (0，a,0)，A 1(a,0，a )，B (a ，a,0)，

从而AC →＝(－a ，a,0)，BA 1→＝(0，－a ，a )，

且|AC →|＝|BA 1→|＝2a ，AC →·BA 1→＝－a 2，

∴cos 〈AC →，BA 1→〉＝－a 22a ·2a

＝－12， 〈AC →，BA 1→〉＝120°，

所以所求异面直线BA 1与AC 所成角为60°.

题型二 直线与平面所成的角

例2 如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 的中点．

(1)证明：PE ⊥BC ；

(2)若∠APB ＝∠ADB ＝60°，求直线P A 与平面PEH 所成角的正弦值．

破题切入点 平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立坐标系，利用待定系数法求出平面PEH 的法向量．

(1)证明

以H 为原点，HA ，HB ，HP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，线段HA 的长为单位长度，建立空间直角坐标系(如图)，

则A (1,0,0)，B (0,1,0)．

设C (m,0,0)，P (0,0，n ) (m <0，n >0)，则D (0，m,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，m 2，0.

可得PE →＝⎝⎛⎭

⎫12，m 2，－n ，BC →＝(m ，－1,0)． 因为PE →·BC →＝m 2－m 2

＋0＝0，所以PE ⊥BC . (2)解 由已知条件可得m ＝－

33，n ＝1， 故C ⎝⎛⎭⎫－33，0，0，D ⎝⎛⎭⎫0，－33，0，E ⎝⎛⎭

⎫12，－36，0， P (0,0,1)．

设n ＝(x ，y ，z )为平面PEH 的法向量，

则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·HE →＝0，n ·HP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧

12x －36y ＝0，z ＝0.

因此可以取n ＝(1，3，0)．又P A →＝(1,0，－1)，

所以|cos 〈P A →，n 〉|＝24

. 所以直线P A 与平面PEH 所成角的正弦值为

24. 题型三 二面角

例3 如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的

中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12

AD . (1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小；

(2)证明：平面AMD ⊥平面CDE ；

(3)求二面角A －CD －E 的余弦值．

破题切入点 以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系．

(1)解

如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)， D (0,2,0)，E (0,1,1)，

F (0,0,1)，

M ⎝⎛⎭⎫12

，1，12. BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)，

于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12·2＝12. 所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.

(2)证明 由AM →＝⎝⎛⎭⎫12

，1，12，CE →＝(－1,0,1)，AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0. 因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，

故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，