半角的正弦余弦和正切公式
课件6：3.2.2 半角的正弦、余弦和正切
1．(1)已知|cos θ|＝35，且52π<θ<3π，则 sinθ2，cosθ2，tanθ2的值
分别为( B )
A．－2 5 5， 55，2
B．－2 5 5，－ 55，2
2 C.
5
5，－
55，2
D．－2 5 5，－ 55，－2
(2)若 cos α＝－45，α 是第三象限的角，则11＋－ttaannα2α2＝( A )
(2) 2＋2cos 8＋2 1－sin 8的化简结果是_－__2_si_n__4_．
(3)化简(tan
5°－tan
cos 70° 85°)·1＋sin 70°.
【解析】(1)cos12α＋tan 2α＝cos12α＋csoins 22αα＝
（scionsα2α＋－csoisn2αα）2＝csions
(3)选公式．涉及半角公式的正切值时，常用 tanα2＝
sin α 1＋cos
α＝1－sincoαs
α，其优点是计算时可避免因开方带
来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，
常先利用 sin2α2＝1－c2os α，cos2α2＝1＋c2os α计算．
(4)下结论．结合(2)求值．
跟踪训练
(2)正确．当 cos α＝－ 3＋1 时，上式成立，但一般情况
下不成立．
(3)错误．当 α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下
不成立．
(4)正确．若 α 是第一象限角，则α2是第一、三象限角，
此时 tanα2＝
1－cos 1＋cos
α成立． α
2．已知 cos α＝32，270°<α<360°，那么 cosα2的值为
正切的半角公式
1－cos α tan α2＝_±_____1_＋__c_o_s__α_____
常用三角函数公式及口诀
常用三角函数公式及口诀常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
半角的正弦余弦正切公式
半角的正弦余弦正切公式正弦的半角公式是指，对于任意角x，有sin(x/2) = ±√((1 - cos x)/2)。
余弦的半角公式是指，对于任意角x，有cos(x/2) = ±√((1 + cos x)/2)。
正切的半角公式是指，对于任意角x，有tan(x/2) = ±√((1 - cos x)/(1 + cos x))。
这些半角公式在三角学中起到了重要的作用，可以将一个角的正弦、余弦或正切值表示为另一个角的正弦、余弦或正切值的函数。
这些公式可以用来简化计算，减少计算复杂度。
我们来证明正弦的半角公式：根据泰勒级数展开，我们知道sin x = x - x^3/3! + x^5/5! -x^7/7! + ...。
将x替换为(2y)，则有sin (2y) = (2y) - (2y)^3/3! + (2y)^5/5! - (2y)^7/7! + ...=2y-(8y^3/3!)+(32y^5/5!)-(128y^7/7!)+...再将y替换为(x/2)，我们有sin x = sin (2(x/2))=2(x/2)-(8((x/2)^3)/3!)+(32((x/2)^5)/5!)-(128((x/2)^7)/7!)+...根据幂函数的乘法法则和阶乘的定义，我们可以简化上述等式：sin x = 2(x/2) - (8(x^3/2^3)/3!) + (32(x^5/2^5)/5!) -(128(x^7/2^7)/7!) + ...=x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!)+...然后我们考虑sin(x/2)的幂级数展开：sin (x/2) = (x/2) - ((x/2)^3/3!) + ((x/2)^5/5!) -((x/2)^7/7!) + ...我们可以将sin x的幂级数展开与sin (x/2)的幂级数展开进行比较：x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!)+...=(x/2)-((x/2)^3/3!)+((x/2)^5/5!)-((x/2)^7/7!)+...通过对比可以看到，两个展开式的各项对应系数相等。
第8章8.28.2.4 第1课时 半角的正弦、余弦和正切
1.若 cos α＝23，α∈(0，π)，则 cos α2的值为(
)
A．
6 6
B．－
6 6
C．
30 6
D．－
30 6
C [由题意知α2∈0，π2，∴cos α2>0，
cos α2＝
1＋cos 2
α＝
30 6 .]
6
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2.下列各式与 tan α 相等的是( )
A．
1－cos 2α 1＋cos 2α
1
第八章 向量的数量积与三角恒等变换
8.2 三角恒等变换 8.2.4 三角恒等变换的应用 第1课时 半角的正弦、余弦和正切
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2
学习目标
核心素养
1.了解由二倍角的变形公式推导半角 1.通过半角的正弦、余弦和正
的正弦、余弦和正切公式的过程．(一 切公式的推导，培养学生的逻
般) 辑推理的核心素养．
α2＋cosБайду номын сангаас2
α2＋sin
α2－cos 2
α 2＝－
2cos
α2.
12
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13
要熟记一些可用公式的形式，如：1＋cos α＝2cos2α2，1－cos α
＝2sin2α2，1±sin
α＝sin
α 2±cos
α22等，解题时应有意识地将这些形式
变形寻求思路．
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1.已知32π<θ<2π，试化简： 1＋sin θ－ 1－sin θ.
[解] ∵32π<θ<2π，∴34π<θ2<π， ∴0＜sin2θ＜ 22，－1＜cos2θ＜－ 22， 从而 sin2θ＋cos2θ＜0，sin2θ－cos2θ＞0.
三角函数半角公式大全及推导过程
三角函数半角公式大全及推导过程
三角函数的半角公式包括半角正弦公式、半角余弦公式、半角正切公式等等，接下来分享具体的三角函数半角公式大全及推导过程。
三角函数的半角公式
sin(α/2)=±√((1-cБайду номын сангаасsα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/((1+cosα))
三角函数半角公式推导过程
已知公式
sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα
cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α①
半角正弦公式
由等式①，整理得：sin²α=1-cosα/2
将α/2带入α，整理得：sin²α/2=1-cosα/2
开方，得sinα/2=±√((1-cosα)/2)
半角余弦公式
由等式①，整理得：cos2α+1=2cos²α
将α/2带入，整理得：cos²α/2=cosα+1/2
开方，得cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
半角正切公式
tan(α/2)=[sin(α/2)]/[cos(α/2)]=±√((1-cosα)/((1+cosα))
三角函数的万能公式
sin(α)=[2tαn(α/2)]/[1+tαn2(α/2)]
cos(α)=[1-tαn2(α/2)]/[1+tαn2(α/2)]
三角函数公式表(全)
三角函数公式表同角三角函数的基本关系式倒数关系: 商的关系：平方关系：tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 sinα/cosα＝tanαsin2α＋cos2α＝11＋tan2α＝sec2α（六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。
”）诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。
）sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotαsin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotαsin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝co sαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβtan（α＋β）＝———----———1－tanα ·tanβtanα－tanβtan（α－β）＝—————-------—1＋tanα ·tanβ2tan(α/2)sinα＝——————1＋tan2(α/2)1－tan2(α/2) cosα＝——————1＋tan2(α/2)2tan(α/2)tanα＝——————1－tan2(α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式Sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2 ] 1sinα ·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]21cosα ·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）]21cosα ·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]21sinα ·sinβ＝— -[cos（α＋β）－cos（α－β）]2化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）。
高中数学第三章三角恒等变换3.2.2半角的正弦、余弦和正切bb高一数学
利用半角公式求值
已知 sin θ＝45，且52π＜θ＜3π，求 cosθ2和 tanθ2的值． 【解】 因为 sin θ＝45， 52π＜θ＜3π， 所以 cos θ＝－ 1－sin2θ＝－35. 由 cos θ＝2cos2θ2－1， 得 cos2θ2＝1＋c2os θ＝15.
＝ccooss22αα2s－inα2sicno2sα2α2＝cos2αcsoisnαα2cosα2
＝sinα2cosα2cos α＝12sin αcos α
＝14sin 2α＝右边．
所以原式成立．
12/13/2021
(1)三角恒等式的证明，包括有条件的恒等式和无条件的恒等式 两种． ①无条件的恒等式证明，常用综合法(执因索果)和分析法(执果 索因)，证明的形式有化繁为简，左右归一，变更论证等． ②有条件的恒等式证明，常常先观察条件与欲证式中左、右两 边三角函数的区别与联系，灵活使用条件，变形得证． (2)进行恒等变形时，既要注意分析角之间的差异，寻求角的变 换方法，还要观察三角函数的结构特征，寻求化同名(化弦或 化切)的方法，明确变形的目的．
第三章 三角恒等变换
3．2.2 半角的正弦、余弦和正切
12/13/2021
第三章 三角恒等变换
1.了解半角公式推导的过程． 2.理解半角的正弦、余 弦和正切公式． 3．能正确运用半角公式进行简单三角函数式的化简、求值和 恒等式的证明．
12/13/2021
半角公式
12/13/2021
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
12/13/2021
失误防范 运用半角公式求值时，要特别注意根据半角的范围去确定半角 三角函数值的正负号，若半角的范围不明确则求值时正负号都 要取．
半角的正弦、余弦和正切
sin(2 ) sin
2 cos( )
sin(2 ) 2 cos( ) sin sin
sin(2 ) sin(2 ) sin sin
( 2 ) sin x (1 tan x tan
, 所以 co s
1 sin
2
5 13
又0<β<
2
2
所以0<α+β<π. 则sin(α+β)= <sinα 5 <α+β<π. 2
若0<α+β<
4
于是α+β<α，这不可能. 所以
所以
co s( )
3 5
co s co s[( ) ] co s( ) co s sin ( ) sin 33 65
tan
2
1 co s 1 co s
（α≠(2k+1)π)
上面三个公式，称作半角公式. 在半角公式中，根号前面的正负号，由角
2
所在的象限确定.
例1.求sin15°，cos15 ° ，tan15 °的值。 解：因为15 °是第一象限角，所以
sin 1 5 1 co s 3 0 2 1 2 3 2 2 2 3
x 2
) tan x
co s x co s x 2 co s x co s x 2 sin x sin x 2
sin x (1 tan x tan
x 2
) sin x
(3)
1 sin co s
学案7： 3.2.2 半角的正弦、余弦和正切
3.2.2 半角的正弦、余弦和正切目标索引1．了解由二倍角的余弦公式推导半角的正弦、余弦、正切公式的过程．2．能正确运用半角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明.学前预习1．半角公式 sin α2＝± 1－cos α2； cos α2＝±1＋cos α2； tan α2＝± 1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 小试身手1．cos 2π8－12＝( )A ．1B .12 C.22 D.242．设α∈(π，2π)，则1－cos π＋α2等于( )A ．sin α2 B.cos α2 C ．－sin α2 D.－cos α23．已知cos α＝33，α为第四象限角，则tan α2＝________.题型探究题型一 给值求值例1 已知sin φcos φ＝60169，且π4＜φ＜π2，求sin φ，cos φ的值．【分析】 先求出cos2φ的值，再利用半角公式求sin φ，cos φ值．变式训练1-1 已知tan2θ＝－22，π<2θ<2π，则tan θ的值为( ) A. 2 B.－22C ．2 D.2或－22题型二 化简例2 化简下列各式：(1) 12－12 12＋12cos2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π； (2)1＋sin8θ－cos8θ1＋sin8θ＋cos8θ.变式训练2-1 化简4cos 2α÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan α2－tan α2等于( ) A.12sin αcos α B.sin2αC ．－sin2α D.2sin2α题型三 半角公式的综合应用例3 已知3π4＜α＜π，tan α＋cot α＝－103.(1)求tan α的值；(2)求5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2的值．【分析】 (1)解关于tan α的方程可得tan α的值；(2)利用降幂扩角公式，最后将所求式化为关于tan α的关系式求值．变式训练3-1 在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C 2，则△ABC 是( )A ．等边三角形 B.等腰三角形C ．不等边三角形 D.直角三角形当堂检侧知识点一 给值求值1．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则sin α2的值为() A ．－33 B.33C.63D.－632．已知sin θ＋2cos θ＝0，求cos2θ－sin2θ1＋cos 2θ的值．3．下列各式与tan α相等的是( )A. 1－cos α1＋cos2αB.sin α1＋cos αC.sin α1－cos2α D.1－cos2αsin2α4.1＋cos100°－1－cos100°等于( )A ．－2cos5° B.2cos5°C ．－2sin5° D.2sin5°5.3cos10°－1sin170°＝________.【参考答案】小试身手1．D【解析】cos 2π8－12＝1＋cos π42－12＝12cos π4＝24，故选D. 2．D【解析】1－cos π＋α2＝ 1＋cos α2＝ cos 2α2＝－cos α2，故选D.3．2－62 【解析】∵α为第四象限角，∴α2为二、四象限角，∴tan α2＝－ 1－cos α1＋cos α＝－ 1－331＋33＝2－62. 题型探究例1 解 ∵sin φcos φ＝60169，∴sin2φ＝120169.又∵π4＜φ＜π2，∴π2＜2φ＜π，sin φ＞0，cos φ＞0，∴cos2φ＜0，∴cos2φ＝－1－sin 22φ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1201692＝－119169， ∴sin φ＝ 1－cos2φ2＝ 1＋1191692＝1213， cos φ＝1＋cos2φ2＝ 1－1191692＝513. 变式训练1-1 B 【解析】解法一：tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22， ∴2tan 2θ－tan θ－2＝0，∴tan θ＝－22或tan θ＝ 2.∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π，∴tan θ<0，∴tan θ＝－22，故选B.解法二：∵π<2θ<2π，且tan2θ＝－22<0，∴3π2<2θ<2π， ∴cos2θ>0， ∴cos2θ＝ 11＋tan 22θ＝13，π2<θ<π，∴tan θ<0， ∴tan θ＝－1－cos2θ1＋cos2θ＝－22，故选B. 题型二 化简例2 解 (1)∵3π2＜α＜2π， ∴ 12＋12cos2α＝|cos α|＝cos α.又∵3π4＜α2＜π，∴ 12－12cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝sin α2. ∴原式＝sin α2.(2)1＋sin8θ－cos8θ1＋sin8θ＋cos8θ＝2sin4θcos4θ＋2sin 24θ2sin4θcos4θ＋2cos 24θ＝2sin4θsin4θ＋cos4θ2cos4θsin4θ＋cos4θ＝tan4θ. 变式训练2-1 B【解析】原式＝4cos 2α·sin α2cos α2cos 2α2－sin 2α2＝2cos 2αsin αcos α＝2sin αcos α＝sin2α，故选B.例3 解 (1)由tan α＋cot α＝－103，得3tan 2α＋10tan α＋3＝0.即tan α＝－3或tan α＝－13.又3π4＜α＜π，所以tan α＝－13为所求．(2)原式＝5×1－cos α2＋4sin α＋11×1＋cos α2－8－2cos α＝5－5cos α＋8sin α＋11＋11cos α－16－22cos α＝8sin α＋6cos α－22cos α＝8tan α＋6－22＝－526. 变式训练3-1 B【解析】由sin A sin B ＝cos 2C 2，得sin A sin B ＝1＋cos C 2， 即2sin A sin B ＝1－cos(A ＋B )，∴cos A cos B ＋sin A sin B ＝1，∴cos(A －B )＝1，即A ＝B ，故△ABC 是等腰三角形．当堂检侧1．B2．解 由sin θ＋2cos θ＝0得sin θ＝－2cos θ，∴cos2θ－sin2θ1＋cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ－2sin θcos θsin 2θ＋2cos 2θ＝cos 2θ6cos 2θ＝16. 3．D【解析】1－cos2αsin2α＝2sin 2α2sin αcos α＝tan α，故选D.4. C 【解析】1＋cos100°－1－cos100° ＝ 2cos 250°－2sin 250°＝ 2cos50°－2sin50°＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos50°－22sin50° ＝2(sin45°cos50°－cos45°sin50°)＝－2sin5°.故选C.5. －4【解析】3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°cos10°sin10°＝2sin10°－30°12sin20°＝－4.。
半角的正弦余弦正切公式
半角的正弦、余弦和正切学案编制单位：临朐七中 编制人 ：王世红 审核人： 编号：5学习目标：1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程；2. 掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单三角函数式的化简、求值和证明恒等式.学习重点： 掌握半角的正弦、余弦、正切公式的结构特点，灵活用公式． 学习难点：半角与倍角公式之间的内在联系及运用公式时正负号的选取． 知识链接：1. 复习二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α= ；cos2α= = = ；tan 2α= . 2. 已知3sin 25α=，求cos α的值.学习过程一、课内探究问题1：若7cos 25α=，且α为锐角，则sin 2α= ， cos2α= ，tan2α= .1︒在α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2α代α即得2sin 2α=2︒在1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2α代α即得2cos 2α= 3︒以上结果相除得2tan2α=半角公式：sin2α= （1）cos2α= （2）t a n 2α= = = （3）问题2：半角公式的特点及使用公式时应该注意什么问题？问题3：你能根据上面的公式解答下列问题吗？1、求值：（1）sin15（2）cos15（3）tan 8π二、典例剖析例1：已知sin θ＝45，且5π2＜θ＜3π，求cos θ2和tan θ2的值．跟踪训练：已知sin φcos φ＝60169，且π4＜φ＜π2，求sin φ，cos φ的值．例2：化简：1. (1＋sin α＋cos α)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°＜α＜360°)2.cot tan1tan tan .222αααα⎛⎫⎛⎫-+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭跟踪训练： 化简：1cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin αααααααα+---+--+-例3：求证：2sin 4x ＋34sin 22x ＋5cos 4x －12(cos4x ＋cos2x )＝2(1＋cos 2x )．练习：证明2(1)1sin 2cos ()42παα+=- 2(2)1sin 2sin ()42παα-=-三、小结反思本节课我最大的收获是什么？四、当堂检测1．cos2π8－12的值为( ) A ．1 B.12 C.22D.242．下列各式与tan α相等的是( )A.sin 1cos αα+ C. sin 1cos 2αα- D. 1cos 2sin 2αα-3．已知180°＜α＜270°，且sin(270°＋α)＝45，则tan 2α的值为( )A ．3B ．2C ．－2D ．－34．已知tan2α＝3，则cos α为( )A.45 B ．－45 C.415 D ．－35 5．已知cos α＝45，且32π<α<2π，则tan 2α等于( )A ．－13 B.13 C ．－13或13D ．－3五、课后巩固1．求下列函数的精确值.（1）sin 22.5= （2）cos67.5=（3）13cos 12π= （4）5cot 8π= 2．已知3sin 5θ=，且322ππθ<<，则cos 2θ= （ ）A.1010 C.10± D. 10± 3．已知等腰三角形顶角的余弦值为725，则底角的余弦值为 .4．设(),2αππ∈等于 .5．已知1cos 22α=-，并且4590α<<，求sin α,cos α,tan α的值.6．求下列函数的周期： (1)2cos 2x y = (2)22sin y x =7．求22cos cos sin y x x x x =--的值域、单调性、周期性并判断其奇偶性.8.求函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值．9.已知02πα<<，5tancot222αα+=，求sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.10.已知3sin ,sin 20,5θθ=<求tan 2θ的值.六、学习后记参考答案知识链接：2.解：2237cos 12sin 122525αα⎛⎫=-=-⋅= ⎪⎝⎭学习过程一、课内探究问题1：35 45 34半角公式：sin2α= （1）cos2α= （2）tan2α==sin 1cos αα+=1cos sin αα- （3）问题2：特点：1︒左式中的角是右式中的角的一半. 2︒公式的“本质”是用α角的余弦表示2α角的正弦、余弦、正切。
三角函数中的半角公式
三角函数中的半角公式三角函数是数学中的一类重要函数，用来描述三角形中的各种关系。
在实际计算中，经常会遇到需要计算角度的一半的情况。
为了方便计算，我们引入了半角公式来简化计算过程。
半角公式是通过已知一个角的三角函数值来计算该角的一半的三角函数值。
在三角函数中，最常用的三角函数是正弦函数、余弦函数和正切函数。
所以我们接下来分别介绍三角函数中的半角公式。
一、正弦函数的半角公式：设角A的正弦函数值为sin(A)，则角A的半角的正弦函数值sin(A/2)可以通过如下公式计算：sin(A/2) = ±√((1 - cos(A)) / 2)其中±表示正负号的不定性，具体取正还是取负要根据实际角度的范围来确定。
二、余弦函数的半角公式：设角A的余弦函数值为cos(A)，则角A的半角的余弦函数值cos(A/2)可以通过如下公式计算：cos(A/2) = ±√((1 + cos(A)) / 2)同样，±表示正负号的不定性，具体取正还是取负要根据实际角度的范围来确定。
三、正切函数的半角公式：设角A的正切函数值为tan(A)，则角A的半角的正切函数值tan(A/2)可以通过如下公式计算：tan(A/2) = ±√((1 - cos(A)) / (1 + cos(A)))同样，±表示正负号的不定性，具体取正还是取负要根据实际角度的范围来确定。
需要注意的是，以上半角公式对于不同的象限有着不同的适用范围。
在计算中需要根据实际情况确定角度所在的象限，并选择正确的半角公式进行计算。
通过半角公式，我们可以简化计算，将角度的一半的三角函数值，通过已知角度的三角函数值来求解。
这在实际计算中非常有用，可以减少计算的复杂度，提高计算的效率。
总结起来，半角公式是三角函数中的一个重要工具，可以通过已知角度的三角函数值来计算该角度的一半的三角函数值。
通过半角公式，我们可以简化计算过程，提高计算的效率。
三角函数的半角公式
三角函数的半角公式三角函数是数学中的重要概念，其中包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。
而对于半角公式，即将一个角度的二分之一转化为三角函数的形式的公式，也是三角函数中相当重要的一个知识点。
在本文中，我们将深入研究三角函数的半角公式，以加深对它的理解。
一、正弦和余弦半角公式正弦函数半角公式为：$\sin(\frac{\theta}{2})= \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}}$，其含义是将角度$\theta$的二分之一转化为正弦函数的形式。
而余弦函数的半角公式则是$\cos(\frac{\theta}{2})=\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{2}}$。
为了证明这两个公式，我们从以下三方面入手：1、同角三角函数的平方和公式：$\sin^2x+\cos^2x=1$当中的“x”是任意角度，这个公式是三角函数中最重要的公式之一。
在进行半角公式的证明时，我们将它作为基本工具来使用。
2、二倍角公式：$\sin2x=2\sin x \cos x$$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x$这个公式是要证明半角公式必不可少的，因为只有它才能够将一个角度的二分之一与三角函数之间建立联系。
3、半角公式的平方形式：$\sin^2(\frac{x}{2})=\frac{1-\cos x}{2}$$\cos^2(\frac{x}{2})=\frac{1+\cos x}{2}$这两个公式是半角公式的关键形式，因为它们将三角函数与角度之间的关系清晰地呈现出来。
有了以上三个方面的基础，我们来证明正弦和余弦函数的半角公式。
首先是正弦函数的半角公式：$\sin(\frac{\theta}{2})^2=\frac{1-\cos \theta}{2}$$\Rightarrow \sin(\frac{\theta}{2})^2+\cos(\frac{\theta}{2})^2=1- \cos \theta$替换同角三角函数的平方和公式得：$\sin(\frac{\theta}{2})^2+\cos(\frac{\theta}{2})^2=1- \cos\theta=1-2\sin^2 (\frac{\theta}{2})$整理一下变形：$\sin(\frac{\theta}{2})^2=\frac{1-\cos \theta}{2}$$\Rightarrow \sin(\frac{\theta}{2})=\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}}$因此，我们得到了正弦函数的半角公式，接下来研究余弦函数的半角公式。
半角的正弦余弦正切公式
半角的正弦余弦正切公式1.半角正弦公式：半角正弦公式用于计算给定角度的正弦值。
在三角函数中，正弦值表示一个角的相对于斜边的长度比例。
半角正弦公式如下：sin(x/2) = ±√[(1 - cos(x))/2]其中，x为给定角度的弧度值，±表示正负两个解，取决于所求角度的象限。
弧度是一种用弧长来表示角度的单位，常用于计算三角函数。
2.半角余弦公式：半角余弦公式用于计算给定角度的余弦值。
在三角函数中，余弦值表示一个角的相对于斜边的长度比例。
半角余弦公式如下：cos(x/2) = ±√[(1 + cos(x))/2]其中，x为给定角度的弧度值，±表示正负两个解，取决于所求角度的象限。
3.半角正切公式：半角正切公式用于计算给定角度的正切值。
在三角函数中，正切值表示一个角的相对于领边的长度比例。
半角正切公式如下：tan(x/2) = ±√[(1 - cos(x))/(1 + cos(x))]其中，x为给定角度的弧度值，±表示正负两个解，取决于所求角度的象限。
这些半角的正弦、余弦和正切公式可以根据需要进行变形，以便于计算不同角度的三角函数值。
在计算实际问题中应用三角函数时，需要将角度转换为弧度值。
通常可以使用如下公式进行角度和弧度之间的转换：弧度值=角度值×(π/180)半角的正弦、余弦和正切公式在三角函数的研究和应用中具有重要的意义。
它们可以用来解决各种问题，如求解三角方程、计算三角函数的特殊值等。
同时，这些公式也可用于求解复杂的三角函数表达式的值，或者优化三角函数计算的算法。
因此，熟练掌握和理解这些公式对于学习和应用三角函数非常重要。
三角函数公式及其图像
tanα－tanβtan（α－β）＝——————1＋tanα ·tanβ1－tan2(α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）初等函数1、基本初等函数及图形基本初等函数为以下五类函数：(1) 幂函数μxy=，μ是常数；1.当u为正整数时，函数的定义域为区间),(+∞-∞∈x，他们的图形都经过原点，并当u>1时在原点处与X轴相切。
且u为奇数时，图形关于原点对称；u为偶数时图形关于Y轴对称；2.当u为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数。
3.当u为正有理数m/n时，n为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。
函数的图形均经过原点和（1 ,1）.如果m>n图形于x轴相切,如果m<n,图形于y轴相切,且m为偶数时,还跟y轴对称;m,n均为奇数时,跟原点对称.4.当u为负有理数时,n为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数.(2) 指数函数 xa y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ；(3) 对数函数x y a log =(a是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞；(4) 三角函数正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，1. 当a>1时函数为单调增,当a<1时函数为单调减.2. 不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方.3. 当x=0时,y=1,所以他的图形通过(0,1)点.1. 他的图形为于y 轴的右方.并通过点(1,0)2. 当a>1时在区间(0,1),y 的值为负.图形位于x 的下方,在区间(1, +∞),y 值为正,图形位于x 轴上方.在定义域是单调增函数.a<1在实用中很少用到/余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，正切函数 x y tan =，2ππ+≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ，余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ；(5) 反三角函数反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，]2,2[ππ-∈y ，反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ，反正切函数 x y arctan =，),(+∞-∞∈x ，)2,2(ππ-∈y ，反余切函数 x y cot arc =，),(+∞-∞∈x ，),0(π∈y ．。
292-半角的正弦、余弦、正切公式及其推导 共20页
第一课时 半角公式及其推导
(一)复习引入 师：上一节课我们学习了倍角公式，其实质就是用单 角的三角函数来表示二倍角的三角函数，下面请同学 们一起回忆倍角公式(引导学生从公式的推导去回忆， 这样等于同时回忆公式的推导)． 生：(板书) sin2α=2sinα·cosα cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
二、，也要根据θ的范围来求．请同学们自己 给出两种解法． (四)总结
(五)练习 课本 P．224中练习 1、2、3、4．
五、作业 课本P．225中习题十六，1、2、3、4、5、6、7、8．
六、板书设计
第二课时 半角公式及应用
一、教与学的过程设计 (一)复习引入 师：上节课我们学习了半角公式，请同学们回忆半角公式(请 一位同学板书)． 生：(板书)
3．3 半角的正弦、余弦、正切
一、素质教育目标 (一)知识教学点 半角的正弦、余弦、正切公式及其推导． (二)能力训练点 1．掌握半角的正弦、余弦、正切公式及其推导．通过公 式的推导，使学生进一步了解各公式的内在联系，从而培 养学生的逻辑推理能力． 2．通过公式的综合运用及一题多解，进一步提高学生的 变形能力和创造性思维能力． (三)德育渗透点 1．半角公式带有“±”号，决定了使用半角公式要十分的 小心，首先要依题意判别符号，这对学生养成严谨的治学 态度非常有益，教学过程要注意培养学生严谨的行为习 惯． 2．倍角和半角这两个概念都是相对而言的，教学过程要 让学生明白
谢谢！
xiexie!
对“数学是符号的魔术，是思维的体操”这句话有深刻 的体会了吧！我们把例4的三个式子
(三)练习 课本P．224练习5、6． (四)总结 本节我们学习了半角公式在条件求值，恒等证明中的应 用，最后推导了万能公式，大家应该关心以下事实i)注 意公式中符号的选取；ii)注意公式的灵活应用，iii)半 角和倍角都是相对的．iv)要记住公式的结构特点． 二、作业 课本P．226中习题十六9、10、11、12、13、14． 三、板书设计
三角函数公式及反三角函数公式整理版_
同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的关系： 平方关系： sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α
sin sec tan con csc con csc cot sin sec
sinsinsin2coscos2sintan2cotcot2tansin2coscos2sintan2cotcot2tan两角和与差的三角函数公式sinsincoscostan1tan半角的正弦余弦和正切公式coscossinsincoscostantancotcotsinsincoscostantancotcottantansin32coscos32sintan32cotcot32tansin32coscos32sintan32cotcot32tan万能公式cotcotsin2sincos2costan2tancot2cotsin2ksincos2kcostan2ktancot2kcot其中kzsinsinsincoscoscoscoscoscoscossinsincossinsinsintantantantantantantan1tan22tan1tan2sin2221tan1tan22cos22tan21tantan2三角函数的降幂公式二倍角的正弦余弦和正切公式sin22cos22tan1tan三角函数的和差化积公式三倍角的正弦余弦和正切公式sin33cos33tan13tan三角函数的积化和差公式121212sin2sincoscossin2222cos112sin2tan233sin4cos4sin3costan32tan3sinsincoscossinsincoscos2sin2cos2cos2sincossincossin22222222sincossinsincossinsinsincoscossincos12coscoscos化asinbcos为一个角的一个三角函数的形式辅助角的三角函数的公式三角函数的反函数是多值函数
高中数学 第三单元 三角恒等变换 3.2.2 半角的正弦、余弦和正切课件 新人教B版必修4.pptx
1－cos α 2，
1＋cos α 2，
(S )
2
(C )
2
1－cos 1＋cos
αα＝1＋sincoαs
1－cos
＝ α
sin α
α
.
(T )
2
8
题型探究
9
类型一 应用半角公式求值
例1
若π2＜α＜π，且 cos α＝－35，则 sin 2α＝
25 5
.
解析 因为 cos α＝1－2sin2α2，
答案
αα
α
tan2α＝ sin cos
2α＝
sin2·2cos α
2 cos2·2cos
2α＝1＋sincoαs 2
， α
α
αα
tan
2α＝ sin
2α＝ sin
2·2sin α
2α＝1－sincoαs
α .
cos 2 cos 2·2sin 2
7 答案
梳理 正弦、余弦、正切的半角公式
sin α2＝ ± cos α2＝± tan α2＝±
sin α、cos α 都可以表示成 tan 2α＝t 的“有理式”，将其代入式子中，
从而可以对式子求值.
11
跟踪训练 1
若 tan θ2＋ 1 θ＝m，则 sin θ＝
2 m
.
tan 2
解析 因为 tanθ2＋ 1 θ＝m， tan2
即tanta2θ2n＋θ2 1＝m，所以tanta2θ2n＋θ2 1＝m1 ，
所以 2sin2α2＝1－c2os α＝45，
又因为π4＜2α＜π2，所以
sinα2＝2
5
5 .
解析 10 答案
容易推出下列式子：
半角的正弦余弦正切公式
半角的正弦余弦正切公式
＝2(1＋cos2x)＝右边． ∴原式成立． 【点评】 (1)三角恒等式的证明，包括有条件的 恒等式和无条件的恒等式两种． ①无条件的恒等式证明，常用综合法(执因索果) 和分析法(执果索因)，证明的形式有化繁为简， 左右归一，变更论证等． ②有条件的恒等式证明，常常先观察条件与欲证 式中左、右两边三角函数的区别与联系，灵活使 用条件，变形得证．
半角的正弦余弦正切公式
半角的正弦余弦正切公式
【点评】 化简的方法： (1)弦切互化，异名化同名，异角化同角． (2)降幂或升幂．
半角的正弦余弦正切公式
半角的正弦余弦正切公式
利用半角公式证明三角恒等式 证明三角恒等式实质上是进行恒等变换，进而 消去等式两端的差异，达到形式上统一的过 程．
半角的正弦余弦正切公式
【解】 ∵sinθ＝45，52π＜θ＜3π， ∴cosθ＝－ 1－sin2θ＝－35. 由 cosθ＝2cos2θ2－1 得 cos2θ2＝1＋2cosθ＝15. ∵54π＜θ2＜32π.
半角的正弦余弦正切公式
半角的正弦余弦正切公式
∴cosθ2＝－
1＋2cosθ＝－
5 5.
θ
θθ
tanθ2＝csoins2θ2＝2c2ocso2ss2iθ2n2
知新益能
课堂互动讲练
考点突破
利用半角公式求值
在套用公式时，一定注意求解顺序和所用到 的角的范围问题，其次还要注意选用公式要 灵活多样．
例已1知 sinθ＝45，且52π＜θ＜3π，求 cosθ2和 tanθ2的值．
【思路点拨】 先由sinθ的值求出cosθ的值， 然后利用半角公式求值．
半角的正弦余弦正切公式
半角的正弦、余弦和正切
半角的正弦余弦和正切及万能公式
7
4
x)
,求 sin 2x 2 sin2 x
3,
201
tan x
x
的值。
2
4
5 12
4
sin( x) 4
4
5
tan( x) 4 tan x 7
4
3
sin 2x 2 tan x 2 7 7 1 tan 2 x 1 72 25
cos 2x 1 tan 2 x 24 1 tan 2 x 25
2
2
(0, )
22
tan 2
2
2
例4.已知 π x 0,sinx cosx 1
2
5
（1）求sinx－cosx的值。
3sin2 x 2sin x cos x cos2 x
（2）求
2
22
2
tanx cotx
解（1）sin x cos x 1 5
2sin x cos x 24 25
2
2
所在象限确定
2
根si据n 2半角的1正 弦c2os、余弦例、1：正已求知：切si公n2式(,c2os,02),,sitnan2
4 5
cos 1 cos
2
2
解： ( , 0), cos 3
2
5
( , 0),
24
tan 1 cos 2 1 cos
sin 2x 2sin 2 x 28
1 tan x
75
2
sin x cos x
cos x sin x
sin x cos x(2 cos x sin x)
12 (2 1) 108 25 5 125
(1 sin cos )(sin cos )