金融工程基本概念

∞ ∑ j =−∞ ∞ ∑ j =−∞
cj z j ,
cj Xt−j
在某种意义下收敛，就定义 ψ (B ) =
∞ ∑
cj B j , cj B j Xt =
∞ ∑ j =−∞
ψ (B )Xt =
j =−∞ ∞ ∑ j =−∞
cj Xt−j ,
这时上述自回归滑动平均模型可以写成 A(B )Xt = B (B )εt , t ∈ Z.
i
为：
若 X 是连续型随机变量，存在概率密度函数 f (x) ， X 的期望可表示 ∫ ∞ E (X ) = xf (x)dx
−∞
两个性质： 1. E (aX + bY ) = aE (X ) + bE (Y ) ∫ 2. E (g (x)) = g (X )dP
Ω
样本均值:样本 {x1 , x2 , · · · , xn } 的均值即我们常说的平均数， µ= 。
3
正态分布
正态分布又名高斯分布。称随机变量 X 服从期望为 µ ，方差为 σ 2 的正态 分布，如果 X 的概率密度函数可写为
− 1 f (x) = √ exp σ 2π
(x − µ)2 2σ 2 ,
记为 X ∼ N (µ, σ 2 ) 其中 µ 决定了其中心位置，而标准差 σ 决定了分布的幅度。通常我们所说的标 准正态分布是 µ = 0, σ = 1 的正态分布。 标准正态分布的分布函数习惯上记为 Φ(x) , ∫ x 1 x2 Φ(x) = F (x; 0, 1) = √ exp(− )dx 2 2π −∞ 其反函数 Φ−1 (y ) 一般可以通过查表得到。
N 1 ∑ xi N i=1
2
方差与标准差
随机变量 X 的方差定义为 Var(X ) = E (X − E (X ))2
方差的正平方根称为随机变量的标准差，一般用符号 σ 表示，因此随机变 量的方差常用 σ 2 表示。 1
样本标准差定义为 σ= 1 ∑ (xi − µ)2 N − 1 i=1
N
它反应了样本内个体间的离散程度。
4
相关系数
Peason 相关系数简称相关系数，描述了两个随机变量间的线性关系的强 度和方向，其定义为 ρX ;Y = cov(X, Y ) E ((X − µX )(Y − µY )) = σ X σY σX σY
当两个变量的标准差都不为零，相关系数才有定义。从 Cauchy-Schwarz 不 等式可知，相关系数的绝对值不超过1。当两个变量的线性关系增强时，相关系 数趋于1或-1。当一个变量增加而另一变量也增加时，相关系数大于0。当一个 变量的增加而另一变量减少时，相关系数小于0。当两个变量独立时，相关系数 为0。但反之并不成立。这是因为相关系数仅仅反映了两个变量之间是否线性相 关。 取 {X }, {Y } 的容量为 n 的样本， (Xi , Yi ), i = 1, 2, · · · , n 为样本点，则样 本的简单相关系数为 n ∑ xi yi r=
时间序列（简称时序或序列）通常是按时间顺序排列的一系列被观测数据 （信息），其观测值按固定的时间间隔采样。对某一个或一组变量 x(t) 进行 观察测量，将在一系列时刻 t1 , t2 , · · · , tn (t为自变量且t1 < t2 < · · · < tn ) 所得 到的离散数据组成的序列集合 {x(t1 ), x(t2 ), · · · , x(tn )} ，称之为时间序列，记 为 X = {x(t1 ), x(t2 ), · · · , x(tn )} 。 时间序列分析是对时间序列进行统计分析，即对某事件大量的已有的时间 序列数据，用数学的方法进行研究分析，寻找其变化规律，从而可以对事件未 来的情况进行预测、决策和控制。 平稳序列 如果时间序列 {Xt } = {Xt : t ∈ N} 满足
2 (1)对任何 t ∈ N ， EXt < ∞;
(2)对任何 t ∈ N ， EXt = µ; (3)对任何 t, s ∈ N ， E [(Xt − µ)(Xs − µ)] = γt−s , 就称 {Xt } 是平稳时间序列，简称平稳序列。称实数列 {γt } 为 {Xt } 的自协 方差函数。设平稳序列 {Xt } 的标准化序列是 {Yt } ， {Yt } 的自协方差函数 是 {γt } ，称 γk ρk = γ0 为平稳序列 {Xt } 的自相关系数。 白噪声 设 {εt } 是一个平稳序列，如果对任何 t, s ∈ N ， { 2 σ , t=s Eεt = µ, cov(εt , εs ) = 0, t ̸= s, 就称 {εt } 是一个白噪声，记为 WN(µ, σ 2 ) 。 当 {εt } 是独立序列时，称 {εt } 是独立白噪声； 当 µ = 0 时，称 {εt } 是零均值白噪声； 当 µ = 0, σ = 1 时，称 {εt } 是标准白噪声。 对于独立白噪声，当 {εt } 服从正态分布时，称 {εt } 是正态白噪声。
金融工程中常用的计量学概念及表述
永安期货研究院 程序化交易部 January 5, 2011
1
数学期望和样本均值
定义：若 X 是在概率空间 (Ω, P ) 中的随机变量，其希望 E (X ) 定义为： ∫ E (X ) = X dP
Ω
注意并不是每个随机变量的期望都存在。 ∑ 若 X 是一个离散随机变量，且 P (X = xi ) = pi , i = 1, 2, · · · , ( pi = 1) ， 那么 ∑ pi xi E (X ) =
7
自 回 归 滑 动 平 均 （ ARMA ） 模 型
设 {εt } 是零均值白噪声，实系数多项式 A(z ) 和 B (z ) 没有公共根，满 足 b0 = 1, ap bp ̸= 0 和 A(z ) = 1 − B (z ) =
q ∑ j =0 p ∑ j =1
aj z j ̸= 0,
|z | ≤ 1 ,
bj z j ̸= 0,
|z | < 1,
4
我们称差分方程 Xt =
p ∑ j =1
aj Xt−j +
q ∑ j =0
Leabharlann Baidu
bj εt−j ,
t∈Z
是一个自回归滑动平均模型，简称为 ARMA(p, q ) 模型，称满足上述方程的平 稳序列 {Xt } 为平稳解或 ARMA(p, q ) 序列。 对于时间序列 {Xt } 的指标 t ，定义推移算子 B ： B Xt = Xt−1 . 对于无穷级数 ψ (z ) = 只要级数
σ2 . 2 Var(ε) = σ I = . . 0
··· .. . ···
0 . . . σ2
其中 I 为 n 阶单位矩阵。 5.随机扰动项服从条件正态分布。可表示为 ε | X ∼ N (0, σ 2 I)
关于线性回归的模型估计请参见相关书籍，这里不多作介绍。
3
6
时间序列的概念、平稳序列
1. Xit ∼ I(d) 。 ∑N 2.存在一个 N × 1 向量 β ，使得 j =1 βj Xjt ∼ I(d − b) ， 则称时间序列 {X1t }, {X2t }, · · · , {XN t } 存在阶数为 (d, b) 的协整关系， β 称为 协整向量，其中的分量称为协整参数。最常用的协整关系是两个时间序列 的 (1, 1) 协整，即 N = 2 ， d = 1 ， b = 1 ，两个时间序列都是一阶单整序 列，它们的某个线性组合是平稳序列。 协整检验 判定两个或多个时间序列是否存在协整关系的假设检验，常见方法有 EG 两 步法， Johansen 方法等。具体方法不作详细介绍。
8
单整序列与单位根过程
若上述方程中 A(z ) = 0 的若干个根恰好在单位圆上，这种根称为单位根， 该过程为单位根过程。 若时间序列经过 {Xt } 经过 d 次差分后得到的序列 {Yt } 是一个平稳、可逆 的自回归滑动平均过程，即 A(B )Yt = A(B )(1 − B )d Xt = B (B )εt , t ∈ Z,
6
i=1 n ∑ i=1
x2 i
n ∑ i=1
2 yi
对于多个随机变量也可以讨论其相关性问题，除了可用两两随机变量的简 单相关系数来考察其相关程度外，更准确地应采用偏相关系数。 2
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线性回归模型及古典假定
经济学变量之间的关系实质上是一种统计关系，而非经济理论上所描述的 确定性函数关系。回归模型就是刻画经济变量之间的这种统计关系的。从本质 上讲，回归模型是对变量联合分布的一组约束，回归分析的基本任务就是要利 用统计数据检验这些约束是否成立，并估计出其中的参数，这些参数反映了经 济变量间回归关系的大小和方向。 线性回归模型的数学形式 线性回归模型的一般形式是 Y = β1 X1 + · · · + βk Xk + ε. 1. X 和 Y 均为可观察的随机变量。 Y 被称为因变量，也称被解释变量。 常见的单方程模型只有一个被解释变量。 X1 , · · · , Xk 称为自变量，也称解释 变量或控制变量。一般情况下 X1 = 1 ，代表常数项，真正的解释变量个数 为 K −1 。 2. β1 , · · · , βk 称为总体参数，它们是客观存在的，但永远是未知的，我们 只能利用数据进行估计。而计量经济学的基本任务就是利用 X1 , · · · , Xk 及 Y 的 样本数据来估计参数 β1 , · · · , βk 。在这 K 个参数中， β1 不同于其他参数，它 对应于 X1 ，称为截距项，而其他参数都称为斜率。若模型不含常数项 X1 ， 也就是说不含截距项 β1 ，此时称为无截距模型。 3.前面已经指出，计量经济模型不可能把所有的因素、精确的关系都考虑 到，而且各种经济变量本质上具有随机性，所以模型所刻画的变量之间的关系 只是简化，近似的统计关系，这样就有必要在模型中引进随机扰动项。 古典线性回归模型的基本假定 1.线性性：指因变量 Y 对参数 β 而言是线性的，在此假定下，我们可以通 过变量替换使得因变量与自变量之间也成为线性关系。 2.自变量外生性：指扰动项 ε 关于自变量 X 的条件期望为零，即 E ( ε | X) = 0 3.样本矩阵 X 列满秩。 4.随机扰动项同方差、无自相关，即
称 {Xt } 单 整 自 回 归 滑 动 平 均 过 程 ， 又 称 求 和 ARIMA 过 程 ， 记 为 Xt ∼ I(d) 。当 d = 0 时，时间序列退化为自回归滑动平均序列。
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单位根检验与协整检验
单位根检验，顾名思义，即检验时间序列是否存在单位根，是对时间序 列是否平稳的一个假设检验。比较常用的单位根检验有 ADF 检验， PP 检验 等。具体方法不作详细介绍。 协整关系 对于时间序列 {X1t }, {X2t }, · · · , {XN t } ，如果已知： 5