6概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章

=
(n
2 + 1)(n
+
2)
，
E(Y(2n) )
=
1 y 2 ⋅ nyn−1dy = n ，
0
n+2
∫ ∫ ∫ ∫ E(Y(1)Y(n) ) =
1
0 dy(n)
y( n ) 0
y(1) y(n)
⋅ n(n −1)( y(n)
−
y(1) )n−2 dy(1)
=
1
0 dy(n)
y( n ) 0
y(1) y(n)
1
∑ ∑ 则
⎡ n−1 E ⎢c
⎣ i=1
( X i+1
−
X
i
)
2
⎤ ⎥⎦
=
n−1
c
i=1
E[( X i+1
−
Xi )2]
=
c ⋅ (n
−1) ⋅ 2σ
2
=
2c(n
− 1)σ
2
，
∑ ∑ 故当
c
=
1 2(n −1)
时，
⎡ E ⎢⎣c
n−1 i=1
( X i+1
−
X
i
)2
⎤ ⎥
⎦
=
σ
2
，即
c
n−1 i=1
解：因 E(Y ) = aE( X1) + bE( X 2 ) = aµ + bµ = (a + b)µ = µ ， 故 Y 是µ 的无偏估计；
因 Var(Y ) = a2 Var( X1) + b2
Var( X 2 ) = a2
⋅σ2 n1
+ (1 − a)2 ⋅ σ 2 n2
=
⎜⎜⎝⎛
n1 + n2 n1n2
a2
−
2 n2
a+
1 n2
⎟⎟⎠⎞σ 2 ，
令
d da
Var(Y )
=
⎜⎜⎝⎛
n1 + n2 n1n2
⋅ 2a
−
2 n2
⎟⎟⎠⎞σ
2
=
0
，得
a
=
n1
n1 + n2
，且
d2 d 2a
Var(Y )
=
n1 + n2 n1n2
⋅ 2σ
2
>
0，
故当 a = n1 ， b = 1 − a = n2 时，Var (Y ) 达到最小 1 σ 2 ．
x2
⋅
3(θ − θ3
x)2
dx
=
3 θ3
⎜⎜⎝⎛θ
2
⋅
x3 3
− 2θ ⋅ x4 4
+
x5 5
⎟⎟⎠⎞
0
=θ2 ， 10
∫ E(
X
2 (3)
)
=
θ 0
x2
⋅
3x2 θ3
dy
=
3 θ3
⋅
x5 5
θ
= 3θ 2 5
，
0
即 Var(X (1) )
=
θ2 10
− ⎜⎛ θ ⎝4
⎟⎞2 ⎠
=
3θ 2 80
， Var(X (3) )
⎧0,
p(
x)
=
1 θ
Ι 0< x<θ
，
F
(
x)
=
⎪x ⎪⎨θ
,
⎩1,
x < 0; 0≤ x <θ; x ≥θ.
有 X (1)与 X (3)的密度函数分别为
p1 ( x)
=
3[1 −
F (x)]2
p(x)
=
3(θ − x)2 θ3
Ι 0< x<θ
，
p3 (x)
=
3[F (x)]2
p(x)
=
3x2 θ3
，
∫ ∫ 则 E(Y(1) ) =
1 0
y
⋅
n(1 −
y)n−1 dy
=
n
⋅
Γ(2)Γ(n) Γ(2 + n)
=
1 n +1
，
E(Y(n) )
=
1 y ⋅ nyn−1dy = n ，
0
n +1
∫ ∫ E(Y(12) ) =
1 0
y2
⋅ n(1−
y ) n−1 dy
=
n
⋅
Γ(3)Γ(n) Γ(3 + n)
2
2
n
12n
因 Y 的密度函数与分布函数分别为
⎧0,
pY
(
y)
=
I0<y<1，
FY
(
y)
=
⎪ ⎨
y,
⎪⎩1,
y < 0; 0 ≤ y < 1; y ≥ 1.
有 Y (1)与 Y (n)的密度函数分别为 p1( y) = n[1 − FY ( y)]n−1 pY ( y) = n(1 − y)n−1Ι0<y<1 ， pn ( y) = n[FY ( y)]n−1 pY ( y) = nyn−1Ι0<y<1 ，
ai
Xi
⎟⎟⎠⎞
=
n Cov⎜⎛ 1
i=1
⎝n
X
i
,
ai
X
i
⎟⎞ ⎠
=
n i=1
ai n
Cov( X
i
,
X
i
)
=
σ2 n
n
ai
i=1
=σ2 n
，
因 Var(X ) = 1 Var(X ) = σ 2 = Cov(X , T ) ，
n
n
故 X 与 T 的相关系数为 Corr(X , T ) = Cov(X , T ) =
+
Var(Y(n) )
+
2 Cov(Y(1) ,
Y(n) )]
=
4(n
2n + 2 + 1)2 (n
+
2)
=
2(n
1 + 1)(n
+
2)
，
因
E(X
)
=
θ
，
E
⎡ ⎢⎣
1 2
( X (1)
+
X (n) )⎥⎦⎤
=
θ
，
故
X
及
1 2
( X (1)
+
X (n) )
都是θ
的无偏估计；
因当
n
>
1
时，
Var( X
)
⋅ n ⋅ (−1)d ( y(n)
−
y(1) )n−1
∫ ∫ =
1 0
dy (
n)
⎢⎣⎡−
ny(1)
y(n
)
(
y(
n)
−
y(1) )n−1
y( n ) 0
+
y( n) 0
n( y(n)
−
y(1) )n−1
⋅
y(n
)dy(1)
⎤ ⎥⎦
∫ ∫ =
1
0 dy(n)
⎢⎣⎡−
y(n)
⋅
( y(n)
−
y(1) )n
pY
( y)
=
λn Γ(n)
y n−1 e−λ y
Ι y>0
，
∫ ∫ 则 E⎜⎛ 1 ⎟⎞ = E⎜⎛ n ⎟⎞ = ⎝ X ⎠ ⎝Y ⎠
+∞ n ⋅ λn y n−1 e−λ y dy = nλn
0 y Γ(n)
Γ(n)
+∞ 0
y n−2
e−λ y
dy
=
nλn Γ(n)
⋅
Γ(n −1) λn−1
=
y( n) 0
⎤ ⎥⎦
=
1 0
y(nn+)1dy(n)
=
n
1 +
2
y n+2 (n)
1 0
=
1 n+
2
，
即 Var(Y(1) )
=
(n
2 + 1)(n
+
2)
−
⎜⎛ ⎝
1 ⎟⎞2 n +1⎠
=
(n
n + 1)2 (n
+
2)
， Var(Y(n) )
=
n
n +
2
− ⎜⎛ ⎝
n ⎟⎞2 n +1⎠
=
(n
n + 1)2 (n
Ι 0< x<θ
，
θ
∫ 则 E( X (1) ) =
θ 0
x
⋅
3(θ − x)2 θ3
dx
=
3 θ3
⎜⎜⎝⎛θ
2
⋅
x2 2
− 2θ ⋅ x3 3
+
x4 4
⎟⎟⎠⎞
0
=θ ， 4
∫ E( X (3) ) =
θ 0
x⋅
3x2 θ3
dy
=
3 θ3
⋅
x4 4
θ
= 3θ 4
，
0
θ
∫ E(
X
2 (1)
)
=
θ 0
1 9
Var( X 1 )
+
1 9
Var(X 2 )
+
1 9
Var(X 3 )
=
1σ 9
2
+
1σ 9
2
+
1σ 9
2
=
1σ 3
2
，
Var(µˆ 3 )
=
1 36
Var( X 1 )
+
1 36
Var(X 2 )
+
4 9
Var(X 3)
=
1σ 36
2
+
1 36
σ
2
+
4σ 9
2
=
1 2
σ
2
，
故 Var(µˆ2 ) < Var(µˆ1) < Var(µˆ3) ，即 µˆ2 有效性最好， µˆ1 其次， µˆ3 最差．
⎟⎞ ⎠
=
16 9
⋅
3θ 2 80
=θ2 15
，有
Var(4
X
(1)
)
>
Var⎜⎛ ⎝
4 3
X
(3)
⎟⎞ ⎠
，
故
4 3
X (3)
比
4X
(1)更有效．
7． 设从均值为µ ，方差为σ 2 > 0 的总体中，分别抽取容量为 n1 和 n2 的两独立样本， X 1 和 X 2 分别是这
两个样本的均值．试证，对于任意常数 a, b（a + b = 1），Y = aX 1 + bX 2 都是µ 的无偏估计，并确定常 数 a, b 使 Var (Y ) 达到最小．
2． 设 X1, X2, …, Xn 是来自 Exp(λ)的样本，已知 X 为 1/λ的无偏估计，试说明1/ X 是否为λ的无偏估计． 解：因 X1, X2, …, Xn 相互独立且都服从指数分布 Exp(λ)，即都服从伽玛分布 Ga(1, λ)，
n
∑ 由伽玛分布的可加性知 Y = X i 服从伽玛分布 Ga(n, λ)，密度函数为 i=1
( X i+1
−
Xi
)2
是σ
2
的无偏估计．
5． 设 X1, X2, …, Xn 是来自下列总体中抽取的简单样本，
p(x; θ ) = ⎪⎨⎧1,
θ − 1 ≤ x≤θ + 1;
2
2
⎪⎩0, 其他.
证明样本均值
X
及
1 2
( X (1)
+
X (n) )
都是θ
的无偏估计，问何者更有效？
证：因总体 X ~ U ⎜⎛θ − 1 , θ + 1 ⎟⎞ ，有 Y = X − θ + 1 ~ U (0, 1) ，
n
n
n
∑ ∑ ∑ 则 E(T ) = ai E( X i ) = µ ai = µ ，即 ai = 1 ，
i=1
i=1
i=1
因 X1, …, Xn 相互独立，当 i ≠ j 时，有 Cov (Xi, Xj) = 0，
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 则
Cov( X
,
T
)
=
Cov⎜⎜⎝⎛
1 n
n i=1
Xi,
n i=1
1 6
X1
+
1 6
X
2
+
2 3
X3．
证：因
E ( µˆ1 )
=
1 2
E(X1)
+
1 3
E(X
2)
+
1 6
E(X3)
=
1 2
µ
+
1 3
µ
+
1 6
µ
=
µ
，
E ( µˆ 2
)
=
1 3
E(
X1)
+
1 3
E(
X
2
)
+
1 3
E(
X3)
=
1 3
µ
+
1 3
µ
+
1 3
µ
=
µ
，
E (µˆ 3 )
=
1 6
E(X1)
+
1 6
=
1 12n
>
Var⎢⎣⎡
1 2
( X (1)
+
X (n) )⎥⎦⎤
=
2(n
1 + 1)(n
+
2)
，
故
1 2
( X (1)
+
X (n) )
比样本均值
X
更有效．
6．
设
X1,
X2,
X3
服从均匀分布
U
(0,
θ
)，试证
4 3
X (3) 及 4X (1)都是θ
的无偏估计量，哪个更有效？
解：因总体 X 的密度函数与分布函数分别为
E(X2)
+
2 3
E(X3)
=
1 6
µ
+
1 6
µ
+
2 3
µ
=
µ
，
故 µˆ1, µˆ2, µˆ3 都是总体均值µ 的无偏估计；
因
Var(µˆ1)
=
1 4
Var( X 1 )
+
1 9
Var(X 2 )
+
1 36
Var(X 3)
=
1σ 4
2
+
1σ 9
2
+
1σ 36
2
=
14 σ 36
2
，
Var(µˆ2 )
=
第六章 参数估计
习题 6.1
1． 设 X1, X2, X3 是取自某总体容量为 3 的样本，试证下列统计量都是该总体均值µ 的无偏估计，在方差存 在时指出哪一个估计的有效性最差？
（1） µˆ1
=
1 2
X1
+
1 3
X
2
+
1 6
X3 ；
（2） µˆ2
=
1 3
X1
+
1 3
X
2
+
1 3
X
3
；
（3） µˆ3
=
n1 + n2
n1 + n2
n1 + n2
8． 设总体 X 的均值为µ ，方差为σ 2，X1, …, Xn 是来自该总体的一个样本，T (X1, …, Xn)为µ 的任一线性
无偏估计量．证明： X 与 T 的相关系数为 Var( X ) Var(T ) ．
n
∑ 证：因 T (X1, …, Xn)为µ 的任一线性无偏估计量，设 T ( X1, L, X n ) = ai X i ， i=1
+
2)
，
2
且
Cov(Y(1) ,
Y(n) )
=
n
1 +
2
−
1 n +1
⋅
n n +1
=
(n
1 + 1)2 (n
+
2)
可得
E ⎢⎣⎡
1 2
(X
(1)
+
X
(n)
)⎥⎦⎤
=
1 2
[ E (Y(1)
)
+
E (Y( n )
)]
+
θ
−
1 2
=
θ
，
Var⎢⎣⎡
1 2
( X (1)
+
X (n) )⎥⎦⎤
=
1 4
[Var(Y(1) )
n
∑ 4． 设总体 X ~ N (µ , σ 2)，X1, …, Xn 是来自该总体的一个样本．试确定常数 c 使 c ( X i+1 − X i )2 为σ 2 的无 i=1
偏估计． 解：因 E[(Xi + 1 − Xi )2 ] = Var (Xi + 1 − Xi ) + [E(Xi + 1 − Xi )]2 = Var (Xi + 1) + Var (Xi ) + [E(Xi + 1) − E(Xi )]2 = 2σ 2，
且(Y (1), Y (n))的联合密度函数为 p1n ( y(1) , y(n) ) = n(n −1)[FY ( y(n) ) − FY ( y(1) )]n−2 pY ( y(1) ) pY ( y )Ι (n) y(1)<y(n)
=
n(n
− 1)( y(n)
−
y ) Ι n−2
(1)
0< y(1) < y( n) <1
⎝ 2 2⎠
2
则X
=Y
+θ
−
1 2
，
X (1)
= Y(1)
wenku.baidu.com
+θ
−
1 2
， X(n)
= Y(n)
+θ
−
1 2
，即
1 2
(
X
(1)
+
X(n)) =
1 2 (Y(1)
+ Y(n) ) + θ
−1 2
，
可得 E( X ) = E(Y ) + θ − 1 = E(Y ) +θ − 1 = θ ， Var(X ) = Var(Y ) = 1 Var(Y ) = 1 ，
=
3θ 2 5
− ⎜⎛ 3θ ⎝4
⎟⎞2 ⎠
=
3θ 2 80
，
因
E
(4
X
(1)
)
=
4
⋅
θ 4
=θ
， E⎜⎛ 4 ⎝3
X
(
3)
⎟⎞ ⎠
=
4 ⋅ 3θ 34
=θ
，
3
故
4X
(1)及
4 3
X (3)
都是θ
的无偏估计；
因
Var(4
X
(1)
)
=
16
⋅
3θ 2 80
=
3θ 2 5
， Var⎜⎛ 4 ⎝3
X
(3)
nλ n −1
，
故1/ X 不是λ的无偏估计．
3． 设θˆ 是参数θ 的无偏估计，且有 Var(θˆ) > 0 ，试证 (θˆ)2 不是θ 2 的无偏估计．
证：因 E(θˆ) = θ ，有 E[(θˆ)2 ] = Var(θˆ) + [E(θˆ)]2 = Var(θˆ) + θ 2 > θ 2 ，故 (θˆ)2 不是θ 2 的无偏估计．