微分几何练习题库及答案

《微积分几何》复习题 本科 第一部分：练习题库及答案

一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长）

第一章

1．已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，则这两个向量的夹角的余弦θcos =

3

6 2．已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，求这两个向量的向量积⨯=a b (-1,-1,-1)． 3．过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=0

4．求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2

1

131--=

-=+z y x 5．计算2

3

2

lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k ．

6．设()(sin )t t t =+f i j ，2()(1)t

t t e =++g i j ，求0

lim(()())t t t →⋅=f g 0 ．

7．已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ，其中2

t u =，t v sin =，则d d t

=r

(2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8．已知t =ϕ，2

t =θ，则

d (,)

d t

ϕθ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+ 9．已知4

2

()d (1,2,3)t t =-⎰r ，6

4

()d (2,1,2)t t =-⎰

r ，求

4

6

2

2

()d ()d t t t t ⨯+⋅⋅=⎰⎰a r b a r )5,9,3(-，其中(2,1,1)=a ，(1,1,0)=-b

10．已知()t '=r a （a 为常向量），求()t =r t +a c 11．已知()t t '=r a ，（a 为常向量），求()t =r

2

12

t +a c 12．已知()(2)(log )t t t =++f j k ，()(sin )(cos )t t t =-g i j ，0t >，则4

d

()d d t t ⋅=⎰f g 4cos 62-． 第二章

13．曲线3

()(2,,)t

t t t e =r 在任意点的切向量为2

(2,3,)t

t e

14．曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15．曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b

16．设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为

2111

-=--

=-z e

e y e e x 17．设有曲线t

t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x 第三章

18．设(,)u v =r r 为曲面的参数表示，如果u v ⨯≠r r 0，则称参数曲面是正则的；如果:()G G →r r 是 一一的 ，

则称参数曲面是简单的．

19．如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 ．(坐标网;易;3分钟) 20．平面(,)(,,0)u v u v =r 的第一基本形式为22d d u v +，面积元为d d u v

21．悬链面(,)(cosh cos ,cosh sin ,)u v u v u v u =r 的第一类基本量是2cosh E u =,0F =,2cosh G u = 22．曲面z axy =上坐标曲线0x x =，0y y =

223．正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的第一基本形式是2

2

2

2

d ()d u u b v ++． 24

．

双

曲

抛

物

面

(,)((),(),2)

u v a u v b u v uv =+-r 的第一基本形式是

2222222222(4)d 2(4)d d (4)d a b v u a b uv u v a b u v +++-++++

25．正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的平均曲率为 0 ．（正螺面、第一基本量、第二基本量；中；3分钟） 26．方向(d)d :d u v =是渐近方向的充要条件是(d)0n κ=或22d 2d d d 0L u M u v N v ++=

27．两个方向(d)d :d u v =和(δ)δ:δu v =共轭的充要条件是(d ,δ)0=II r r 或d δ(d δd δ)d δ0L u u M u v v u N v v +++= 28．函数λ是主曲率的充要条件是

0E L

F M

F M

G N

λλλλ--=--

29．方向(d)d :d u v =是主方向的充要条件是

d d d d 0d d d d E u F v

L u M v

F u

G v M u N v

++=++

30．根据罗德里格定理，如果方向(d)(d :d )u v =是主方向，则d d n κ=-n r ，其中n κ是沿(d)方向的法曲率 31．旋转极小曲面是平面 或悬链面 第四章

32．高斯方程是k ij ij k

ij k

L =

Γ+∑r r

n ，,1,2i j =，魏因加尔吞方程为,kj i ik i j k

L g =-∑n r ，,1,2i j =

33．ij

g 用ij g 表示为22

1212

111()det()ij

ij g g g g g g -⎛⎫

=

⎪-⎝⎭

． 34．测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线()C 在P 点的测地曲率的绝对值等于()C 在P 点的切平面∏上的正投影曲