数学必修2 第四章 圆与方程教案

第四章 圆与方程

错误!未找到引用源。4.1.1

圆的标准方程

三维目标：

知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程

解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

教学重点：圆的标准方程

教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。 教学过程：

1、情境设置：

在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：

2、探索研究：

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M

r = ① 化简可得：222

()()x a y b r -+-= ②

引导学生自己证明2

2

2

()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究

例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这

个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点00(,)M x y 与圆222

()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：

（1）2200()()x a y b -+->2

r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2

r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2

r ，点在圆内

例（2）： ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程

师生共同分析：从圆的标准方程2

2

2

()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待

定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）

例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为

C 的圆的标准方程.

师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。 （教师板书解题过程。）

总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出ABC 外接圆的标准方程的两种求法：

①、根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程. 根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.

练习：课本127p 第1、3、4题 提炼小结：

1、 圆的标准方程。

2、 点与圆的位置关系的判断方法。

3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。

作业：课本130p 习题4.1第2、3、4题

4.1.2圆的一般方程

三维目标：

知识与技能 ： (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特

征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．

(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定

系数法求圆的方程。

(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

过程与方法：通过对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解

决问题的实际能力。

情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，

勇于探索。

教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确

定方程中的系数，D 、E 、F ．

教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

课题引入：

问题：求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程。 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。

探索研究：

请同学们写出圆的标准方程：

(x －a)2＋(y －b)2=r 2，圆心(a ，b)，半径r ．

把圆的标准方程展开，并整理：

x 2

＋y 2

－2ax －2by ＋a 2

＋b 2

－r 2

=0．

取2

2

2

,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得