《应用离散数学》方景龙版-4.2 半群与群
离散数学第五章第二节
<N,+>、<R,*>不是群,N中除幺元0外,其余元素无逆元。R中0无逆元。
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3、群的定义(dìngyì)
（2）
例3 设G={a,b,c,d}, G上的二元运算(yùn suàn)*由下表给出，证 明<G,*>是群。
证：因<S,*>是半群，运算封闭且可结合，所以可定义半群中任 意(rènyì)元素b的幂： b2=b*b, b3=b2*b=b*b*b, ...。
因S为有限集，在幂的序列中，必存在j>i,使 bi=bj。 令p=j-i1,则bi=bp*bi，此式两边不断右*b,可使
bkp =bp*bkp（k1为正整数） 这样bkp=bp*bkp
x*y=c=x*z(如右下图所示)。按群的消去律(定理5)y=z,但这是不可能的！说明 一行中不能有两个相同的元素。对列也是一样。
(3) G中每个元素必出现在群表的任 一行和任一列。
设任意x,wG,那么x-1*w是G中的元素， 它应出现在群表的顶行；另一方面， x*(x-1*w)=(x*x-1)*w=w，所以w必出现在x
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2、独异点(1)
定义3 含有(hán yǒu)幺元的半群叫独异点。也称为含幺半群。
例如，<Z+,+>，<N，+>，<Q，+>都是半群，其中+是普通加法。 Z+、N、Q 分别(fēnbié)是正整数集、自然数集和有理数集。这些半群中除<Z+,+>外都 是独异点
离散数学半群与群
运算.
（6）<R*,◦>为半群，其中R*为非零实数集合，◦运算定
义如下：
∀ x,y∈R*, x◦y=y
二、半群与独异点的性质
1．半群<S,◦>中的幂
可以定义元素的幂，对任意x∈S，规定：
x1=x
xn+1=xn◦x,
n∈Z+
用数学归纳法不难证明x 的幂遵从以下运算规则：
xn◦xm=xn+m
(xn)m= xnm
|b−1ab| = |a|. （2）设 |ab| = r，|ba| = t，则有 (ab)t+1 = a(ba)t b = ab
由消去律得 (ab) t = e，从而可知，r|t. 同理可证 t|r. 因此 |ab| = |ba|.
第三节 子群
一、子群的定义
定义11.8 设G是群，H是G的非空子集，如果H关于G中 的运算构成群，则称H是G 的子群, 记作H≤G.若H是G的子 群，且H⊂ G，则称H是G的真子群，记作H<G. 例 nZ（n 是自然数）是整数加群〈Z,+〉的子群. 当 n≠1 时,nZ 是 Z 的真子群.对任何群 G 都存在子群. G 和{e}都 是 G 的子群，称为 G 的平凡子群.
<e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}.
2．群G 的中心C：设G为群,令C={a| a∈G∧∀ x∈ G(ax=xa)}，则C是G的子群，称为G 的中心.
证明：e∈C. C是G的非空子集. 任取a,b∈C，只需证明ab−1与G中所有的元素都可交换. ∀ x∈G，有 (ab−1)x = ab−1x = ab−1(x− )1 −1 = a(x−1b)−1 = a(bx−1)−1
第8章 半群与群
例 1 群（I，+） ，0 为幺元，x 的逆元为-x，1 为生成元，-1 也是生成元。周 期为无限。 例 2 I 是整数集，I 中的关系 R 为模 m 同余关系（等价的） ，而 Zm=I/R=｛[0]R，[1]R，„，[m-1]R｝ ，定义 Zm 上的运算“+m” ： [i]R +m [j]R =[(i+j) (mod m)]R 则（Zm，+m）是循环群，[0]R 是幺元，[i]R 的逆元是[m-i]R， [1]R 是生成元， 周期是 m。 定理 8.4.1 由 a 生成的循环群（G，）有： (1) 若 a 的周期是无限，则（G，）与（I，+）同构。 (2) 若 a 的周期是有限，则（G，）与（Zm，+m）同构。 证明： （1） 首先， ak=ah 当且仅当 k=h， 事实上， ak=ah 得到 ak-h=e， 由于周期无限， 所以只有 k=h。 这样可以构造双射 f：GI，f(ak)=k， 由于 f(ak。ah)=f(ak+h)=k+h=f(ak)+f(ah) ------保运算的 因此（G，）与（I，+）同构。 （2） 构造双射 f：G Zm，f(ak)=[k]R 由于 f(ak。ah)=f(ak+h)=[k+h]R=f(ak)+f(ah) ------保运算的 这是因为[k]R +m [h]R =[(k+h) (mod m)]R 因此（G，）与（Zm，+m）同构。 所以： 无限群可表示为：„，a-2，a-1，a0，a，a2，„ 有限群可表示为：a0，a，a2，„，am-1
−1
，g(eG )= eH
。 由幺元的 唯一 性 知
g(a)=g(a eG )= g(a)g( eG )
离散数学及其应用课件：典型代数系统简介
典型代数系统简介
9.3.2 布尔代数的概念与性质 定义9.20 如果一个格是有补分配格,则称它为布尔格或
布尔代数。布尔代数通常记为<B,∨,∧,',0,1>,其中“¢”为求 补运算。
典型代数系统简介
典型代数系统简介
定义9.21 设<B,*,·>是一个格代数系统,*和·是B 上的两 个二元运算,如果*和·满足交换律、分配律、同一律和互补 律,则称<B,*,·>为布尔代数。
(2)若 H 是G 的子群,且 H ⊂G,则称 H 是G 的真子群,记作
H <G。 定理9.6 假设G 为群,H 是G 的非空子集,则 H 是G 的子
群当且仅当下面的条件成立:
(1)∀a,b∈H 必有ab∈H; (2)∀a∈H 有a-1∈H。 证明 必要性是显然的。为证明充分性,只需证明e∈H。 因为 H 非空,必存在a∈H。由条件(2)知a-1∈H,再根据条件(1)
典型代数系统简介
典型代数系统简介
定义9.10 令<R,+,·>是环,若环中乘法·适合交换律,则称R 是交换环。若环中乘法·存在单位元,则称R 是含幺环。 注意
(1)在环中通常省略乘法运算·; (2)为了区别含幺环中加法幺元和乘法幺元,通常把加法 幺元记作0,乘法幺元记作1。可以证明加法幺元0恰好是乘法 的零元。 (3)环中关于加法的逆元称为负元,记为-x;关于乘法的逆 元称为逆元,记为x-1。
有aa-1∈H,即e∈H。
典型代数系统简介
定理9.7 假设G 为群,H 是G 的非空子集,H 是G 的子群当
且仅当∀a,b∈H 有ab-1∈H。
证明 根据定理9.6必要性显然可得出,这里只证充分性。
因为 H 非空,必存在a∈H。根据已知条件得aa-1∈H,即e∈H。 任取a∈H,由e,a∈HH得ea-1∈H,即a-1∈H。任取a,b∈H,知b1∈H .再利用给定条件得a (b-1)-1∈,即ab∈H。
离散数学第四讲半群和独异点(共10张PPT)
证: i) 任取x,y∈T, 则 x * y=(x*x)*(y*y)=x*(x*y)*y=(x*y)*(x*y)
所以, x*y∈T,
ii) T是S的子集，*在T上可结合；
iii) e*e=e, e是等幂元素,所以,e∈T。
故〈T, *, e〉是子独异点。证毕。 本定理对可交换半群也成立。
如 〈[0，1], * 〉,〈N, * 〉都是〈R, * 〉的子半群.
定理1 证： 子半群是子代数, 关于运算*封闭, 结合律是继承的,
所以是半群。 证毕。
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半群和独异点
定义4：如果〈S,*,1〉是独异点。T ⊆S , 且关于运算*封
闭 T, T , 1∈ 那么〈 定义 5：在半群(独异点)中, 若运算是可交换的, 则称此半 ,* ,1〉是〈S ,* ,1〉的子代
N 〉 〈R, *,1 〉 如 〈 , *,1 就是 下中面较我 高们者定；义独异点〈S, *, e〉中任意元素a的幂。
i集ii)合e*Te=可e构, e成是子等独幂异元点素。,所以,e∈T。
的子独异点.
离〈散S,数* 〉学的第子四半讲群半。群和独异点
由使于每独 一异元点素中a∈, 运S,算都*有是一可个结相合应的的, 容h∈易N证能明把如a此写定成义gh,
② 〈S,*〉，其中S是不同高度的人的集合，a*b表示a,b
又因为 ai * e ≠ aj 对任意a、 b∈S, 存在m、n∈N, 使a=gm和b=gn,
由于独异点中, 运算*是可结合的, 容易证明如此定义
*
e
,所以任意两行都不相同。
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《离散数学》课件第6章 (2)
〈SS, , 〈Σ*, τ〉不是可交换半群。
定义 6.1.3 含有关于*运算的幺元的半群〈S， *〉， 称
它为独异点(monoid)， 或含幺半群， 常记为〈S, *, e〉(e是
幺元)。
第六章 几个典型的代数系统
【例6.1.4】
〈Z, +〉是独异点， 幺元是0， 〈Z, +, 0〉;
〈Z, ×〉是独异点， 幺元是1， 〈Z, ×, 1〉；
(4) A≠ , 〈P(A), ∩〉是半群， 幺元为A， 非空集合无逆
元， 所以不是群。
(5) A≠ , 〈P(A), 是S， 所以是群。
S∈P(A), S的逆元
(6) 〈Q+, ·〉(正有理数与数乘)为一群， 1为其幺元。 〈Q, ·〉不是群， 因为数0无逆元。
因为零元无逆元， 所以含有零元的代数系统就不会是群。
逻辑关系见图6.1.1。
第六章 几个典型的代数系统
图6.1.1
第六章 几个典型的代数系统
定义 6.1.1 设〈S， *〉是代数系统， *是二元运算， 如果*运算满足结合律， 则称它为半群(semigroups)。
换言之， x, y, z∈S, 若*是S上的封闭运算且满足 (x*y)*z=x*(y*z)， 则〈S， *〉是半群。
设半群〈S, *〉中元素a(简记为a∈S)的n次幂记为an， 递 归定义如下：
a1=a an+1=an*a1 n∈Z+ 即半群中的元素有时可用某些元素的幂表示出来。
因为半群满足结合律， 所以可用数学归纳法证明
am*an=am+n， (am)n=amn。
第六章 几个典型的代数系统
普通乘法的幂、 关系的幂、 矩阵乘法的幂等具体的代 数系统都满足这个幂运算规则。
离散数学课件11半群与群-4
只需证明H中的任何元素都可以表成am的整数次幂。
任取al∈H，由除法可知存在整数q和r，使得
l＝qm+r， 其中 0≤r≤m-1
因此有
ar ＝ al-qm ＝ al(am)-q
由al,am∈H且H是G的子群可知ar∈H，
因为am是H中最小正方幂元，必有r＝0。
这就推出 al＝(am)q∈<am>。
定理11.20(2)的证明
不难看出,在上述分解式中任何两个轮换都作用于不同的元 素上,我们称它们是不交的。因此,可以说任何n元置换都可 以表示成不交的轮换之积。
(2) 轮换分解式的特征
进一步可以证明将n元置换分解为不交的轮换之积时,它 的表示式是唯一的。
这里的唯一性是说：若 σ=σ1σ2…σt 和σ=τ1τ2…τs 是σ的两个轮换表示式,则有 {σ1,σ2,…,σt}={τ1,τ2,…,τs}
五．n元置换群及其实例
考虑所有的n元置换构成的集合Sn. 任何两个n元置换之积仍旧是n元置换,Sn关于置换的乘法
(2)设G＝<Z9,>是模9的整数加群，则(9)＝6。 小于或等于9且与9互质的数是1,2,4,5,7,8， 根据定理11.19，G的生成元是1,2,4,5,7和8。
(3)设G＝3Z＝{3z|z∈Z}，G上的运算是普通加法。 那么G只有两个生成元：3和-3。
循环群的子群求法
定理11.20 (1) 设G＝<a>是循环群，则G的子群仍是循环群。 (2) 若G＝<a>是无限循环群，则G的子群除{e}以外都是无
换句话说,由于分解式中的任意两个轮换都作用于S的不 同元素上,根据函数复合的性质可以证明,交换轮换的次序 以后得到的仍是相等的n元置换。因此在不考虑表示式中 轮换的次序的情况下,该表示式是唯一的。
离散数学课件-第十一章节半群与群
半群与群在其他领域的应用
经济学
半群与群的概念在经济模型中用于描述市场交易 和供需关系，特别是在博弈论和经济计量学中。
社会学
群的概念在社会学中用于描述社会结构和群体行 为，例如在人类学和社会网络分析中。
语言学
群的概念在语言学中用于描述语言的语法和词法 结构，特别是在形式语言学和句法分析中。
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习题与解答01Βιβλιοθήκη 020304
封闭性
群的二元运算是封闭的，即对 任意的a、b属于群，运算结
果仍属于群。
结合律
群的二元运算是满足结合律的 ，即(a*b)*c=a*(b*c)。
单位元存在
群中存在一个单位元e，使得 对任意的a属于群，都有 e*a=a*e=a。
逆元存在
对任意的a属于群，都存在唯 一的逆元a'，使得a*a'=e，
在S上的二元运算。
群是一个有序对(G,*)，其中G 是一个非空集合，*是一个在 G上的二元运算，满足封闭性、
结合性和存在单位元。
半群没有单位元，而群有； 半群的运算不满足结合律，
而群的运算满足结合律。
一个具体的半群的实例是自然数 集N和加法运算；一个具体的群 的实例是矩阵集合M和乘法运算 ，其中M是一个有限维线性空间 的可逆矩阵组成的集合，满足封 闭性、结合性和存在单位元。
第十一章节半群与群的习题
01
02
03
04
1. 什么是半群？请给出 其定义。
2. 什么是群？请给出其 定义。
3. 半群和群有哪些主要 区别？
4. 请举例说明一个具体 的半群和群的实例。
习题答案及解析
1. 半群的定义
2. 群的定义
3. 主要区别
离散数学课件 第9章 半群和群
第9章半群和群semigroup and group§9.1 二元运算复习binary operation revisitedA上二元运算f：A×A→Af处处有定义的函数。
Dom（f）＝A×A，对任意a，b∈A，f(a，b)∈A，唯一确定。
二元运算常记做＋，－，×，*，◦，等等对任意a，b∈A，a◦b∈A说成A对◦封闭。
A＝{a1,a2,……,a n}时，二元运算可以用运算表给出。
二元运算的性质1可换commutativea*b=b*a2 结合associativea*(b*c)=(a*b)*c3 幂等idempotenta*a=a特殊元素单位元对任意a∈A，e*a=a*e＝a. 单位元也叫恒等元零元对任意a∈A，0*a=a*0＝0逆元对任意a，b∈A，a*b=b*a＝e a,b互为逆元代数结构(A,*)A上定义了二元运算满足1)封闭性2)结合律-----------半群3)有单位元---------独异点4)有逆元-----------群5)可交换-----------交换群例子：1)(Z n +), (Z n, )2)(A*, *) 字符串的连接Homework P323－32416，20，22，24，25，26§9.2 半群semigroup半群定义：(S,*) *是S上乘法，满足结合律。
半群的例(Z，＋），（Z，×），（N，×），（N，＋），（Q，＋），（R，×），（P(S),∪），（P(S), ∩），（M n，＋），（Mn，×），S上全体映射，对于复合，（L，∧），（L，∨），L是格（A*, ）,定理1.半群中，n个元素的乘积与乘法的次序无关。
幂power：设（S，*）是半群，a∈S，定义a的幂power：a1＝a， a n=a n-1*a.a0=？a-n=?a m*a n=a m+n(a m)n=a mn.子半群subsemigroup 子独异点submonoid设（S，*）是半群，T⊆S，T对*封闭，则（T，*）也是半群，称为（S，*）的子半群。
应用离散数学(方景龙)课后答案
q 和逻辑联接词符号化下列复合命题。
（1）你的车速没有超过每小时 120 公里。 （2）你的车速超过了每小时 120 公里，但没接到超速罚款单。 （3）你的车速若超过了每小时 120 公里，将接到一张超速罚款单。 （4）你的车速不超过每小时 120 公里，就不会接到超速罚款单。 （5）你接到一张超速罚款单，但你的车速没超过每小时 120 公里。 （6）只要你接到一张超速罚款单，你的车速就肯定超过了每小时 120 公里。 （2） p ∧ ¬q ； （3） p → q ； （4） ¬p → ¬q ； 解 （1） ¬p ；
p
0 0 1 1
q
0 1 0 1
¬q
1 0 1 0
p → ¬q
1 1 1 0
（2）是可满足式。
p
0 0 1 1 （3）是永真式。
q
0 1 0 1
¬p
1 1 0 0
¬p ↔ q
0 1 1 0
p
0 0 1 1
q
0 1 0 1
p→q
1 1 0 1
¬p
1 1 0 0
¬p → q
0 1 1 1
( p → q) ∨ (¬p → q)
解 因为 p 、 q 和 r 分别取 1，1，0。所以 （1） ( p ↔ q) → r = (1 ↔ 1) → 0 = 0 ； （2） (r → ( p ∧ q)) ↔ ¬p = (0 → (1 ∧ 1)) ↔ ¬1 = 0 ； （3） ¬r → (¬p ∨ ¬q ∨ r ) = ¬0 → (¬1 ∨ ¬1 ∨ 0) = 0 ； （4） ( p ∧ q ∧ ¬r ) ↔ ((¬p ∨ ¬q) → r ) = (1 ∧ 1 ∧ ¬0) ↔ ((¬1 ∨ ¬1) → 0) = 1。 2. 构造下列复合命题的真值表，并由此判断它们是否永真式、永假式和可满足式。 （1） p → ¬q （3） ( p → q) ∨ (¬p → q) （5） ( p ↔ q) ∧ (¬p ↔ q) 解 （1）是可满足式。 （2） ¬p ↔ q （4） ( p → ¬q) ∧ (¬p → ¬q) （6） ( p ↔ ¬q) ∨ (¬p ↔ ¬q)
离散第3讲_半群和群的定义和性质.ppt
定义10.1(1)： <S,*>是一个代数系统， 其中S是非空集合，*是S上的一个二元运 算(运算*是封闭的)，如果运算*是可结 合的，即对任意的x,y,z∈S， 满足(x*y)*z=x*(y*z)
则称代数系统<S,*>为半群。
2024/11/24
1
例10.1
Sk={x|x∈Z∧x≥k}，<Sk,+>为半群 <Z+,->，<R,/>不是半群
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群的性质（一元一次方程有解）
性质1：设<G,*>是一个群，任给a,b∈G，必存 在唯一的x∈G，使得a*x=b；必存在唯一的 x∈G，s.t. y*a=b.
证a-1b 是ax=b 的解. 假设c 为解，则 c = ec = (a-1a)c =a-1(ac) = a-1b
2024/11/24
⇒mn|r
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元素乘积的阶（2）
例10.6: G为群，a,b∈G是有限阶元，则： (1)|b-1ab| = |a|
(2) |ab| = |ba| 证： (1)|设|a| = r, |b-1ab|=t ，则 1) (b-1ab)r= (b-1ab) (b-1ab) …… (b-1ab)
(1).运算*是封闭的 (2).运算*是可结合的
aG ={ag|g∈G} =G
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幂等元
▪ 定义：代数系统<G,*>中，如果存在a∈G， 有a*a=a，则称a为幂等元。
2024/11/24
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有限半群必存在幂等元
性质：设<S,*>是一个半群，如果S是一 个有限集，则必有a∈S，使得a*a=a.
离散数学第10章——半群与群
e a b c
e e a b c
a a e c b
b c b c c b e a a e
特征： 1. 满足交换律 2. 每个元素都是自己的逆元 3. a, b, c中任何两个元素运算结 果都等于剩下的第三个元素
二、群的定义、术语、实例
定义10.2 (1) 若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无 限群. (2) 只含单位元的群称为平凡群. (3) 若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换 群或阿贝尔 (Abel) 群.
方法：根据定义验证，注意运算的封闭性
2. 设V1= <Z, +>, V2 = <Z, >,其中Z为整数集合, + 和 分别代表普通加法和乘法. 判断下述集合S 是否构成V1和V2的子半群和子独异点. (1) S= {2k | kZ} (2) S= {2k+1 | kZ} (3) S= {1, 0, 1}
定义10.4 设G是群，a∈G，使得等式 ak=e 成立的最
小正整数k 称为a 的阶，记作|a|=k，称 a 为 k 阶元.
若不存在这样的正整数 k，则称 a 为无限阶元. 例如，在<Z6,>中， 2和4是3阶元， 3是2阶元， 1和5是6阶元， 0是1阶元. 在<Z,+>中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.
(3) 集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算 构成环. (4) 设Zn＝{0,1, ... , n－1}，和分别表示模n的加 法和乘 法，则<Zn,,>构成环，称为模 n的整数 环.
定义10.13 设<R,+,· >是环
(1) 若环中乘法 · 适合交换律，则称R是交换环 (2) 若环中乘法 · 存在单位元，则称R是含幺环 (3) 若a,b∈R，ab=0 a=0∨b=0，则称R是无零因 子环 (4) 若R既是交换环、含幺环、无零因子环，则称R 是整环
大学离散数学方景龙版答案-§4.2 半群与群
20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：§4.2 半群与群习题4.21. 设G 是所有形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211a a的矩阵组成的集合， *表示矩阵乘法。
试问>*<，G 是半群吗？是有么半群吗？这里1211a a 、是实数。
解 任取G 中的2个元素 =A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211a a 、=B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211b b 、 ∵ =*B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211b b ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0012111111b a b a G ∈ ∴ >*<，G 是一个代数系统。
且因为矩阵的乘法满足结合律，所以>*<，G 是半群。
又因为，只要11a ＝1，则=*B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211a a *⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211b b ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0012111111b a b a ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛001211b b B =对任何的G B ∈成立，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛00112a 是左单位元（不论12a 取什么值）。
但右单位元不存在，因为不论11b ，12b 取什么值，=*B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211b b ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0012111111b a b a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111a a B = 不可能对任何的G A ∈成立。
所以单位元不存在（事实上，若单位元存在，则左、右单位元都存在且相等还唯一），所以>*<，G 不是有么半群。
2. 在正实数集合+R 上定义运算*如下ab ba b a ++=*1试问>*<+，R 是半群吗？是有么半群吗？ 解 略3. 在自然数集合N 上定义运算∨和∧如下：}max{b a b a ，=∨，}min{b a b a ，=∧试问>∨<，N 和>∧<，N 是半群吗？是有么半群吗？ 解 略4. 设>*<，G 是半群，它有一个左零元θ，令}|{G x x G ∈*=θθ证明>*<，θG 构成半群。
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§4.2 半群与群
习题4.2
1. 设G 是所有形如
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛001211
a a
的矩阵组成的集合， *表示矩阵乘法。
试问>*<，
G 是半群吗？是有么半群吗？这里1211a a 、是实数。
解 任取G 中的2个元素 =A ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛001211a a 、=B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211b b 、 ∵ =*B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211a a
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211b b ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0012111111b a b a G ∈ ∴ >*<，G 是一个代数系统。
且因为矩阵的乘法满足结合律，所以>*<，
G 是半群。
又因为，只要11a ＝1，则
=*B A ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛00
1211
a a *⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211
b b ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0012111111b a b a ＝⎪⎪⎭⎫
⎝⎛001211b b B = 对任何的G B ∈成立，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00112a 是左单位元（不论12a 取什么值）。
但右单位元不存在，
因为不论11b ，12b 取什么值，
=
*B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211b b ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0012111111b a b a ＝⎪⎪⎭⎫
⎝⎛001111
a a B =
不可能对任何的G A ∈成立。
所以单位元不存在（事实上，若单位元存在，则左、右单位元都存在且相等还唯一），
所以>*<，G 不是有么半群。
2. 在正实数集合+
R 上定义运算*如下
ab b
a b a ++=
*1
试问
>*<+
，R 是半群吗？是有么半群吗？ 解 略
3. 在自然数集合N 上定义运算∨和∧如下：
}max {b a b a ，=∨，
}min{b a b a ，=∧
试问>∨<，N 和>∧<，N 是半群吗？是有么半群吗？ 解 略
4. 设>*<，
G 是半群，它有一个左零元θ，令 }|{G x x G ∈*=θθ
证明>*<，θG 构成半群。
解 略
5. 在一个多于一个元素的有么半群中，证明一个右零元不可能有右逆元。
解 略
6. 设G 是一个多于一个元素的集合，G
G 是G 上所有函数组成的集合，证明有么半群
>< ，G G 有多于一个的右零元，但没有左零元。
这里 表示复合运算。
解 略
7. 设Z 为整数集合，在Z 上定义二元运算*如下：
Z ∈∀-+=*y x y x y x ，，2
问Z 关于运算*能否构成群？为什么？ 解 略 8. }0|)({R ∈≠+==b a a b ax x f G ，，，证明>< ，G 是群，这里 是复合运算。
解 略
9. 设)}1/(/)1()1/(11/1{----=r r r r r r r r G ，，，，，
，证明>*<，G 是群，这里，运算b a *表示将b 代换到a 中r 所在位置。
解 略
10. 设}10|{，
≠∧∈=x x x A R 。
在A 上定义六个函数如下： x x f =)(1
12)(-=x x f
x x f -=1)(3
14)1()(--=x x f 15)1()(--=x x x f
16)1()(--=x x x f
令G 为这六个函数构成的集合， 是复合运算。
（1）给出>< ，G 的运算表。
（2）验证>< ，
G 是群。
解 （1）>< ，
G
（2）从上运算表可以看出，运算具有封闭性，满足结合律，单位元为1f ，每个元都有逆元，
所以>< ，
G 构成群。
11. 在群>+<，R 中计算下列元素的幂：
?5.02= ?5.010=
?5.00=
?42
=
?4
10= ?40
=
解 15.02
=
55.010=
05.00=
442
=
204
10
=
040
=
12 在群>*<，
G 中，证明
n m n m x x x +=*， n
m n m x x ⨯=)(，Z ∈∀n m ，
解 略
13. 设}654321{，，，，，=G ，对于G 上的二元运算“模7乘法7⨯”：
)7)(mod (7j i j i ⨯=⨯
>⨯<7，G 构成群。
请
（1）给出
>⨯<7，G 的运算表。
（2）验证
>⨯<7，G 构成群。
（3）给出每个元的次数。
解 略
14. 设}14131187421{，，，，，，，=G ，对于G 上的二元运算“模15乘法15⨯”：
)15)(mod (15j i j i ⨯=⨯
请
（1）给出
>⨯<15，G 的运算表。
（2）验证
>⨯<15，G 构成群。
（3）给出每个元的次数。
解 （1）>< ，
G
（2）从上运算表可以看出，运算具有封闭性，满足结合律，单位元为“1”，每个元都
有逆元（元素14131187421，，，，，，，的逆元分别是：1，8，4，13，2，11，7，14），
所以>⨯<15，G 构成群。
（3）元素14131187421
，，，，，，，的次数分别是：1，4，2，4，4，2，4，2。