23 2等差数列的前n项和

等差数列的前n项和公式第1课时课件2022-2023学年上学期高二数学选择性必修第二册

Sn，解方程即可求得n.
解: (3)把a1=

,

,

(−)
Sn=+
中的a1，d和
(−)
Sn=-5代入Sn=+
d=, 得
1
n ( n -1)
1
-5 = n +
( ).
2
2
6
2
整理，得 n - 7 n - 60 = 0.
所以 n=12.
解得 n = 12 ，或 n = -5
方法二：拿出中间项，再首尾配对.
S101 =(1+101)+(2+100)+ ⋯+(50+52)+51=102×50+51=5151.
方法三：先凑出偶数项，再首尾配对.
S101 =0+1+2+ ⋯+101
=(0+101)+(1+100)+ ⋯+(50+51)=101×51=5151.
将上述方法推广到一般，可以得到：

解: (2)因为a1=2，a2=，所以d= .
(−)
根据公式Sn=+
，可得
10 (10 -1) 1 85
S10 = 10 2 +
= .
2
2 2
例6 已知数列{an}是等差数列.
1
1
（3）若a1= ，d - ，Sn= -5，求n.
2
6
分析: 在(3)中，已知公式
)
例6 已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1=7，a50=101，求S50；
5
（2）若a1=2，a2= 2 ，求S10；

等差数列的前n项和课件

典例导悟
类型一等差数列前n项和公式的基本运算 [例1] 分别按等差数列{an}的下列要求计算： (1)已知a1 005＝411，求S2 009； (2)已知d＝2，S100＝10 000，求an.
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①a1＋a2 009＝2a1 005；②an＝a1＋(n－1)d. 解答本题要紧扣等差数列的求和公式的两种形式，利用等差数列的性质解题．
[解] (1)∵a1＋a2 009＝2a1 005，
∴S2
009＝2
009a1＋a2 2
009＝2
009a1
005＝2
009×411＝49.
(2)由S100＝100a1＋
100×100－1 2
×2＝10
000，解得a1
＝1.
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
[点评] a1，n，d称为等差数列的三个基本量，an和Sn 都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，an，Sn中可知三求二．即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立得方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．
(2)当已知首项a1，末项an，项数n时用公式Sn＝
na1＋an 2
求和，用此公式时，有时要结合等差数列的性
质．
(3)当已知首项a1，公差d及项数n时，用公式Sn＝na1＋ nn－2 1d求和．
4．数列前n项和Sn与通项an的关系是怎样的？
提示：∵Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an， ∴Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n≥2)．在n≥2的条件下，把上面两式相减可得an＝Sn－Sn－ 1(n≥2)，当n＝1时，a1＝S1，所以an与Sn有如下关系： an＝SS1n，－nS＝ n－11，，n≥2.

4.2.2等差数列的前n项和公式

( − 1)
= 1 +
.
2
作用：已知 a1，d和 n，求 Sn.
典型例题
例1已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1=7，a50=101，求 S50；
5
（2）若a1=2，a2= ，求S10；
2
1
1
（3）若a1= ，d= − ，Sn=−5，求n.
2
6
解：（1）∵a1=7，a50=101，
当n＝6时，an＝0；
所以 an＋1＜an .所以{an}是递减数列.
当n＞6时，an＜0.
由 a1＝10，dБайду номын сангаас＝－2，
得 an＝10＋(n－1)×(－2) ＝－2n＋12.
所以 , S1＜S2＜…＜S5＝S6＞ S7＞…
令 an＞0，解得 n ＜6.
所以，当n＝5或6时，Sn最大.
因为5 = 5 × 10
2

= + (1 − ).
2
2
Sn＝Sn－1＋an（n≥2）
函数思想
课后作业
1.某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，
所以2 = (1 + ) + (1 + ) + ⋯ + (1 + )
= (1 + ).
(1 + )
=
.
2
等差数列的前n项和公式
等差数列{an}的前n项和Sn公式：
(1 + )
=
.
2
作用：已知 a1，an 和 n，求 Sn.
an＝a1＋(n－1)d，(n∈N*)
，有
2
101 + 45 = 310，

等差数列的前n项和公式(2)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

3
即 S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210.
(2)由等差数列前
5
n 项和的性质,得
5
=
9( 1 + 9 )
2
9( 1 + 9 )
=
9
9
=
7×9
9+3
=
21
.
4
练习巩固
方法技巧利用等差数列前n项和的性质简化计算
(1)在解决等差数列问题时,先利用已知条件求出a1,d,再求所求,是基本解法
一、等差数列前n项和的函数特征
等差数列
的前n项
和公式转
移到二次
函数的过
程
等差数列
的前n项
①当A=0,B=0(即d=0,a1=0)时,Sn=0是关于n的常函数,{an}是各项
和公式与
为0的常数列.
二次函数
②当A=0,B≠0(即d=0,a1≠0)时,Sn=Bn是关于n的正比例函数,{an}为
的关系
各项非零的常数列.
2
2
(3)
课堂小结
课堂小结
等差数列 {an} 的通项公式
an dn (a1 d ).
等差数列 {an} 的前 n 项和公式
d 2
d
S n n (a1 ) n.
2
2
函
数
思
想
的和S3m为
.
解 (1)(方法1)在等差数列中,
∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,
∴30,70,S3m-100成等差数列.
∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.
(方法
2 3
22
2)在等差数列中, ,

等差数列的求和公式

等差数列的求和公式
等差数列是指数列的相邻两项之差保持恒定的数列。

求和公式是用于计算等差数列的前n项和的公式。

设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn。

根据等差数列的性质，我们可以推导出等差数列的求和公式：
1. 等差数列通项公式
等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n - 1) * d，其中an 为数列的第n项。

2. 等差数列前n项和的公式
等差数列的前n项和可以表示为：Sn = n * (a1 + an) / 2，其中Sn为前n项和。

由等差数列的通项公式和前n项和的公式，我们可以推导出等差数列的求和公式：
Sn = n * (a1 + a1 + (n - 1) * d) / 2
= n * (2a1 + (n - 1) * d) / 2
= n * (a1 + (a1 + (n - 1) * d)) / 2
使用等差数列的求和公式，我们可以方便地计算等差数列的前
n项和。

这个公式在实际问题中经常被使用，例如计算连续数的和、计算累进的收入等。

需要注意的是，在应用等差数列求和公式时，我们需要确保等
差数列的首项、公差和项数的值是正确的。

总之，等差数列的求和公式是计算等差数列前n项和的有效工具，通过简单的数学运算，我们可以快速得出结果。

在实际问题中，我们可以根据该公式进行求和计算，减少繁琐的手工计算工作，提
高工作效率。

参考文献：
[1] 王福高，初等数学学科发展史，人民教育出版社，1999年。

[2] 李四华，高中数学教育理念研究，教材报刊杂志社，2005年。

等差数列的前N项和公式

等差数列的前N项和公式等差数列是指数列中任意两个相邻项之差保持不变的数列。

前N项和指的是数列前N项之和。

首先，我们来推导等差数列的通项公式。

设等差数列的第一项为a1，公差为d，第n项为an。

根据等差数列的定义可知，第2项为a2 = a1 + d，第3项为a3 = a1 + 2d，以此类推，第n项为an = a1 + (n-1)d。

我们可以把等差数列展开，得到：a1,a1+d,a1+2d,a1+3d,...,a1+(n-2)d,a1+(n-1)d将这些项相加，得到：S=(a1+a1+d+a1+2d+a1+3d+...+a1+(n-2)d+a1+(n-1)d)我们可以将等差数列中的每一项按照公差d进行分组，得到：S=(a1+a1+(n-1)d)+(a1+d+a1+(n-2)d)+(a1+2d+a1+(n-3)d)+...+(a1+(n-2)d+a1+d)+(a1+(n-1)d+a1)根据等差数列的恒等差性质，每一组中的两项之和都等于2a1+(n-1)d。

因此，上式可以进一步化简为：S=n(2a1+(n-1)d)这就是等差数列的前N项和公式，也被称为等差数列求和公式。

为了更好地理解该公式，我们可以举一个具体的例子。

假设有一个等差数列：2,5,8,11,14，求前四项的和。

首先，确定已知量：a1=2(第一项)d=5-2=3(公差)n=4(前四项)代入前N项和公式，可得：S=4(2+(4-1)3)=4(2+3*3)=4(2+9)=4*11=44因此，2,5,8,11的和为44除了使用前N项和公式，我们还可以利用等差数列的性质进行计算。

等差数列可以通过两种方法计算前N项的和：方法一：逐项相加。

通过将每一项相加，可以得到等差数列的前N项和。

在大多数情况下，这种方法适用于较小的N。

方法二：首项加末项乘N除以2、由于等差数列的第一项和最后一项之和等于N，将这两项相加，并乘以N除以2，即可得到前N项和。

这个方法适用于所有的等差数列。

2023版高考数学一轮总复习第四章数列第二讲等差数列及其前n项和课件

100 27 <lg
1＝0，所以数列lg
1
an
的前 6 项和最大.
【规律方法】求等差数列前 n 项和 Sn 的最值的常用方法 (1)函数法：利用等差数列前 n 项和的函数表达式 Sn＝an2＋bn(a≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.
(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而
若aa89＝1175，则SS1157＝(
)
A.2
B.－1
C.1
D.0.5
解析：设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，aa89＝1175， ∴SS1157＝112257aa11＋＋aa1157＝1157aa89＝1157×1175＝1.C 正确.
答案：C
【题后反思】利用等差数列的性质解题的两个关注点 (1)两项和的转换是最常用的性质，利用 2am＝am－n＋ am＋n 可实现项的合并与拆分，在 Sn＝na12＋an中，Sn 与 a1＋an 可相互转化. (2)利用 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m 成等差数列，可求 S2m 或 S3m.
A.6
B.12
C.24
D.48
解析：在等差数列{an}中，a1＋3a7＋a13＝120，
∴a1＋3(a1＋6d)＋(a1＋12d)＝120， ∴a1＋6d＝24，∴3a9－a13＝3(a1＋8d)－a1－12d＝ 2(a1＋6d)＝2×24＝48.D正确.
答案：D
考向 2 等差数列前 n 项和的性质
在这个问题中，记这位公公的第 n 个儿子的年龄为 an，则 a1＝( )
A.23
B.32
C.35
D.38
解析：由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为－3，则 9a1＋9×2 8×(－3)＝207，解得 a1＝35.故选 C.

等差数列前n项和的公式

21
1
问题2
一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个 V形架上共放着多少支铅笔？
问题就是求 “1+2+3+4+…+100=？”
问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）
假设1+2+3+ +100=x,
【变式】若Sn=-3n2 +6n +1，求an？【解析】当n=1时，a1=S1=4. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =（-3n2+6n+1）-[-3（n-1）2+6(n-1) +1]
=9-6n,
a1=4不符合此式.
故an=
4(n 1) 9 6n(n 2)
.
n
1 11 1从而a1=，3或a1=-1.
na1 2 d 35
(A)33
(B)34
(C)35
(D)36
3.数列{an}为等差数列，an=11,d=2, Sn=35,则a1等于( )
(A)5或7
(B)3或5 (C)7或-1
(D)3或-1
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a4=6，则S5=_______.
5.两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，若
(1)
那么100+99+98+ +1=x.
(2)
由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x,
100个101
所以 2x 101100, x=5050.

等差数列的前n项和公式课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

4.2 等差数列
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时等差数列的前n项和公式
课程目标
学法指导
1．借助教材实例了解 1．等差数列是“中心对称”的，因此在求和的时
等差数列前n项和公式候可以从中心对称的角度来思考，这就是倒序相
的推导过程．
加法的本质，采取图示的方法有助于理解公式的
2．借助教材掌握a1，推导．也正是因为中心对称的缘故，等差数列的
(C )
A．5114
B．581
C．9136
D．9132
(3)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S10＝100，S100＝10，试求
S110．
[分析] (1)求 n 想到 Sn＝na1＋2 an＝nam＋2an－m＋1⇒Sn－Sn－4＝an＋an －1＋an－2＋an－3，a1＋a2＋a3＋a4⇒a1＋an.
(2)求值想＋an＝ap＋aq⇒abnn＝ SS2′2nn－－11.
(3)求 S110 想到 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成公差为 n2d 的等差数列 ⇒S10＝100，S100＝10⇒项数和公差．
[解析] (1)Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80． S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40．两式相加得 4(a1＋an)＝120，∴a1＋an＝30．由 Sn＝na1＋ 2 an＝210，∴n＝14． (2)由已知SSn′n＝7nn＋＋32，ab77＝SS1′133＝9136.
解得da＝ 1＝－122，， ∴an＝－2n＋14．
②由①得 Sn＝n12＋124－2n＝－n2＋13n＝－n－1232＋1469. 当 n 取与123最接近的整数，即 6 或 7 时，Sn 有最大值，最大值为 S6 ＝S7＝－72＋13×7＝42．

等差数列的前n项和公式(第一课时) 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

2S n (a1 an )+(a1 an )++(a1 an ) n( a1 an )
n项
n(a1 an )
由此，等差数列 {an}的前n项和公式为：S n
2
等差数列的前n项和公式
(a1 an ) n
知首项/末项
①S n
2
令an a1 (n 1)d
知识巩固：限时训练
练习：已知一个等差数列{ }前10项的和是310，前20项
的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公
问题：等差数列1, 2, 3, …, n, …的前n项和能不能用上述方法求解？
Sn= 1 + 2
&n−2) + (n−1) + n
Sn= n + (n−1) + (n−2) + …… +
3 +
2Sn= 2 1 2 3 (n 1) n n (n 1)
(m，n，p，q∈N*)
选修第二册《第四章数列》
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时
学习目标
1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法，提升逻辑
推理素养
2.掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决
相关问题，体会方程思想，提高数学运算素养
重难点
重点：等差数列前n项和公式的推导及简单应用
难点：等差数列前n项和公式的推导
情境引入
德国著名数学家高斯10岁的时候很快就解决了这
个问题：1＋2＋3＋ … ＋100=？你知道高斯是怎样
算出来的吗？
高斯算法：1＋ 2＋ 3 ＋… +98＋ 99 ＋ 100=？

等差数列前n项和公式课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

令f(n)＝n2－7n，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为 n＝72，因为n∈N*，所以当n＝3或4时，f(n)取得最小值－12，所以实数λ的取值范围是 (－∞，－12].
例题讲解
例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝－16，S6＝－12. ①求{an}的通项公式an； ②求数列{|an|}的前n项和Tn.
方法二 ∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成
等差数列，设公差为d， ∴该数列的前10项和为10×100＋ 102×9d＝S100＝10，解得d＝－22， ∴前 11 项和 S110＝11×100＋11×2 10×(－22)＝－110. 方法三由Snn也是等差数列，构造新的等差数列 b1＝S1100＝10，b10＝ 1S01000＝110，则 d＝19(b10－b1)＝19×－9190＝－1110，
方法四设Sn＝An2＋Bn. 因为S8＝S18，a1＝25，
根据结构设前n项和
所以二次函数图象的对称轴为 n＝8＋218＝13，且开口方向向下，
所以当n＝13时，Sn取得最大值.
82A＋8B＝182A＋18B，
A＝－1，
由题意得A＋B＝25，
解得B＝26，
所以Sn＝－n2＋26n，
所以S13＝169，
知识梳理
1.设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－
S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.
2.若数列{an}是公差为 d
d
的等差数列，则数列Snn也是等差数列，且公差为
__2___.
3.在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n).
例3例3.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110.

高中数学第二章数列 2.2.2 等差数列的前n项和(一)课

以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三
求二，注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体
求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.
2.2.2 等差数列的前n项和(一)
11
预课当跟习堂踪导讲检演学义测练1 在等差数列{a栏n}中目.索引 CONTENTS PAGE
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
CONTENTS PAGE
[学习目标]
1.体会等差数列前n项和公式的推导过程.
2.掌握等差数列前n项和公式.
3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由
其中三个求另外两个.
2.2.2 等差数列的前n项和(一)
2
预课当习堂导讲检学义测
栏目索引
CONTENTS PAGE
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
(1)a1＝65，an＝－32，Sn＝－5，求 n 和 d.
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
解由题意，得 Sn＝na1＋ 2 an＝n56－ 2 23＝－5，
解得n＝15.
又 a15＝56＋(15－1)d＝－32，∴d＝－61.
2.2.2 等差数列的前n项和(一)
12
预课当习堂导讲检学义测
栏目索引
CONTENTS PAGE
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
解由已知，得 S8＝8a1＋2 a8＝84＋2 a8＝172，解得 a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
2.2.2 等差数列的前n项和(一)
13

03 教学课件_等差数列的前n项和公式(第2课时)(3)

类型三：裂项相消法求数列的和
【例 3】等差数列{an}中，a1＝3，公差 d＝2，Sn 为其前 n 项和，求S11＋S12＋…＋S1n. 解：∵等差数列{an}的首项 a1＝3，公差 d＝2， ∴前 n 项和 Sn＝na1＋nn2－1d＝3n＋nn2－1×2＝n2＋2n(n∈ N*)，
∴S1n＝n2＋1 2n＝nn1＋2＝12n1－n＋1 2.
11 解析：∵aa76<－1，且 Sn 有最大值， ∴a6>0，a7<0 且 a6＋a7<0， ∴S11＝11a12＋a11＝11a6>0， S12＝12a12＋a12＝6(a6＋a7)<0， ∴使 Sn>0 的 n 的最大值为 11.
探究题 3 等差数列{an}中，Sm＝n，Sn＝m，求 Sm＋n.
52 解析：由 an≥0 得 n≥4.5，∴前 4 项为负，以后各项为正， ∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋…＋a10)＝－S4 ＋S10－S4＝S10－2S4＝20－2×(－16)＝52.
第二阶段课堂探究评价
关键能力素养提升
类型一：数列{|an|}的前n项和
第四章数列 4.2 等差数列 4.2.2 等差数列的前n项和公式(握等差数列前 n 项和的性质及应用．(重点、难点) 2．会用裂项相消法求和．(重点)
1.数学运算； 2．逻辑推理
第一阶段课前自学质疑
情景导学感知新课
情境导学数列在我们日常生活中有着广泛的应用，比如仓库中堆放的钢管，想要知道共有多少个，可取同样的钢管反位置摆放，这样就可以知道有多少个．你能找到其中所应用的数学原理吗？
解：设等差数列{an}的公差为 d. ∵Sm＝ma1＋mm2－1d＝n，① Sn＝na1＋nn－2 1d＝m，②

2.3.2 等差数列前N项和公式

2
所 S20 − S16 = S4 + (5 −1) ×32 = 129 以因 a17 + a18 +⋯+ a20 = S20 − S16, 则为
a17 + a18 +⋯+ a20的为。值 129
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1 1、已知数列{a n }且a n > 0，n ∈ N ，前 n项的和 s n 满足 s n = ( a n + 4) 2 8 （1）求该数列的通项，并判断该数列是否为等差数列
∗
1 （2）若有 bn = a n − 30，求数列{bn } 的前 n项和Tn的最值与此时的 n值。 2
解根上解：据例得
(n = 1 ) p + q + r an = ) 2 pn − p + q (n〉1
只 r = 0时数 {an}才等数有，列是差列首为 a1 = p + q,公为 d = 2 p 项：差：如数 {an} 前n项是数为0，是果列的和常项且
2、用an：助项式an的负况前n项 Sn的利借通公正情与和变情，an ≤ 0且an+1 ≥ 0 化况
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例：知列{an}是差列 sn是前n项和 3 已数等数，其的。求：s6 , (s12 − s6 ), (s18 − s12 )也等数证成差列
解设差列项 a1,公为d，有: ：等数首为差则 s6 = 6a1 +15d s12 = 12a1 + 66d s18 = 18a1 +153d ∴s12 − s6 = 6a1 + 51d s18 − s12 = 6a1 + 87d ∴(s12 − s6 ) − s6 = 36d = (s18 − s12 ) − (s12 − s6 ) ∴s6 , s12, s18也等数，差 36d 成差列公为

等差数列的前n项和公式(第一课时)课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册全

下面再来看1+2+3+…+98+99+100的高斯算法.
设S100=1 + 2 + 3 +…+98+99+100 作
++ + +
+++
反序S100=100+99+98+…+ 3+ 2 + 1
加法
// // // //
// \\ \\
2S100=101+101+101+…+101+101+101
多1少00个个110011 ?
已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋3n＋2，判断{an}是否为等差数列．
错解: an＝Sn－Sn－1＝(n2＋3n＋2)－[(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝2n＋2.
∵an＋1－an＝[2(n＋1)＋2]－(2n＋2)＝2(常数)，
∴数列{an}是等差数列．
辨析:an＝Sn－Sn－1 是在 n≥2 的条件下得到的，a1 是否满足需另外计算验证．
【解析】由已知得 an1 Sn1 Sn Sn1 Sn ，
两边同时除以 Sn1 Sn ，
得
1 Sn1
1 Sn
1，
1
故数列
Sn
是以-1
为首项，-1
为公差的等差数列，
则
1 Sn
1 (n 1)
n ，
1
所以 Sn n ．
例已知数列{an}满足 a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，求 an.
创设情境
据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：

等差数列的前n项和公式的性质

2
例 3. 项数为奇数的等差数列{an }，奇数项之和为 44，偶数项之和为
33，求这个数列的中间项及项数．
解：设等差数列{an}共有(2n＋1)项，则奇数项有(n＋1)项，偶数项
有 n 项，中间项是第(n＋1)项，即 an＋1，
1
S奇 2a1＋a2n＋1n＋1 n＋1an＋1 n＋1 44 4
解法1: 由S3=S11, 得
1
1
3 13 3 2 d 1113 1110 d
2
2
∴ d=－2
1
Sn 13n n(n 1) (2)
2
n2 14n
( n 7)2 49
故当n=7时, Sn取最大值49.
解法2: 由S3=S11, 得d=－2<0
=
5+2

，则
+3

10n 3
67
7
=_______；
=_______；
2n 2
18
8
课堂小结
等差数列的前n项和公式的性质
性质1：数列{an}是等差数列⟺Sn=An2+Bn (A,B为常数)
Sn

性质2: 若数列{an}是公差为d的等差数列, 则数列也
d
n
是等差数列, 且公差为 2 .
当m=n时，公式变化？
an S 2 n 1

bn T2 n1
例 4.已知{an},{bn}均为等差数列，其前 n 项和分别为 Sn,
5
a5
Sn 2n＋2
Tn，且T ＝
，则b ＝________.
3
n
5
n＋3
变式1. 若

等差数列的前n项和(二)

等差数列的前n项和(二)说课“等差数列的前n项和”第二节课的主要内容是让学生进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，进一步去了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；学会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究S n的最值，学会其常用的数学方法和体现出的数学思想.从而提高学生分析问题、解决问题的能力.通过本节课的教学使学生对等差数列的前n项和公式的认识更为深刻.通过本节例题的教学，使学生能活用求和公式解题，并进一步感受到数列与函数、数列与不等式等方面的联系，促进学生对本节内容认知结构的形成，通过探究一些特殊数学求和问题的思路和方法，体会数学思想方法的运用.在本节教学中，应让学生融入问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、探索、交流、反思，来认识和理解等差数列的求和内容，学会学习并能积极地发展自己的能力.教学重点熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点灵活应用求和公式解决问题.教具准备多媒体课件、投影仪、投影胶片等三维目标一、知识与技能1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3.会利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究S n 的最值. 二、过程与方法1.经历公式应用的过程，形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；2.学会其常用的数学方法和体现出的数学思想，促进学生的思维水平的发展.三、情感态度与价值观通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题.教学过程导入新课师首先回忆一下上一节课所学主要内容.生我们上一节课学习了等差数列的前n 项和的两个公式：(1)2)(1n n a a n S +=；(2)2)1(1d n n na S n -+=.师对，我们上一节课学习了等差数列的前n 项和的公式，了解等差数列的一些性质.学会了求和问题的一些方法，本节课我们继续围绕等差数列的前n 项和的公式的内容来进一步学习与探究.推进新课［合作探究］师本节课的第一个内容是来研究一下等差数列的前n 项和的公式的函数表示，请同学们将求和公式写成关于n 的函数形式.生我将等差数列{a n }的前n 项和的公式2)1(1d n n na S n -+=整理、变形得到：)2(212d a n d S n -+=n .(*) 师很好!我们能否说(*)式是关于n 的二次函数呢?生1 能，(*)式就是关于n 的二次函数.生2 不能，(*)式不一定是关于n 的二次函数.师为什么?生2 若等差数列的公差为0，即d =0时，(*)式实际是关于n 的一次函数!只有当d ≠0时，(*)式才是关于n 的二次函数. 师说得很好!等差数列{a n }的前n 项和的公式可以是关于n 的一次函数或二次函数.我来问一下：这函数有什么特征? 生它一定不含常数项，即常数项为0.生它的二次项系数是公差的一半.……师对的，等差数列{a n }的前n 项和为不含常数项的一次函数或二次函数.问：若一数列的前n 项和为n 的一次函数或二次函数，则这数列一定是等差数列吗?生不一定，还要求不含常数项才能确保是等差数列.师说的在理.同学们能画出(*)式表示的函数图象或描述一下它的图象特征吗? 生当d =0时，(*)式是关于n 的一次函数，所以它的图象是位于一条直线上的离散的点列，当d ≠0时，(*)式是n 的二次函数，它的图象是在二次函数x d a x d y )2(212-+=的图象上的一群孤立的点.这些点的坐标为(n ,S n )(n =1，2，3，…).师说得很精辟.［例题剖析］【例】 (课本第51页例4)分析:等差数列{a n }的前n 项和公式可以写成n d a n d S n )2(212-+=，所以S n 可以看成函数x d a x d y )2(212-+= (x∈N *)当x=n 时的函数值.另一方面，容易知道S n 关于n 的图象是一条抛物线上的点.因此我们可以利用二次函数来求n 的值.(解答见课本第52页) 师我们能否换一个角度再来思考一下这个问题呢？请同学们说出这个数列的首项和公差.生它的首项为5，公差为75-.师对，它的首项为正数，公差小于零，因而这个数列是个单调递减数列，当这数列的项出现负数时，则它的前n 项的和一定会开始减小，在这样的情况下，同学们是否会产生新的解题思路呢？生老师，我有一种解法：先求出它的通项，求得结果是a n =a 1+(n -1)d =74075+-n . 我令74075+=n a n ≤0，得到了n ≥8，这样我就可以知道a 8=0，而a 9＜0.从而便可以发现S 7=S 8，从第9项和S n 开始减小，由于a 8=0对数列的和不产生影响，所以就可以说这个等差数列的前7项或8项的和最大.师说得非常好!这说明我们可以通过研究它的通项取值的正负情况来研究数列的和的变化情况.［方法引导］师受刚才这位同学的新解法的启发，我们大家一起来归纳一下这种解法的规律：①当等差数列{a n }的首项大于零，公差小于零时，它的前n 项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n 的值? 生S n 有最大值，可通过⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 求得n 的值.师 ②当等差数列{a n }的首项不大于零，公差大于零时，它的前n 项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n 的值?生 S n 有最小值，可以通过⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 求得n 的值.［教师精讲］好!有了这种方法再结合前面的函数性质的方法，我们求等差数列的前n 项的和的最值问题就有法可依了.主要有两种：(1)利用a n 取值的正负情况来研究数列的和的变化情况；(2)利用S n ：由n d a n dS n )2(212-+=利用二次函数求得S n 取最值时n的值.课堂练习请同学们做下面的一道练习：已知：a n =1 024+lg21-n (lg2=0.3 01 0)n ∈*.问多少项之和为最大？前多少项之和的绝对值最小？(让一位学生上黑板去板演) 解：1°⎩⎨⎧-=≥-+=+02lg 102402lg )1(10241＜n a n a n n 2lg 10242lg 1024≤⇒n ＜+1⇒3 401＜n ＜3 403.所以n =3 402.2°S n =1 024n +2)1(-n n (-lg2)，当S n =0或S n 趋近于0时其和绝对值最小，令S n =0，即1 024+2)1(-n n (-lg2)=0,得n =2lg 2048+1≈6 804.99. 因为n ∈N *，所以有n =6 805.(教师可根据学生的解答情况和解题过程中出现的问题进行点评)［合作探究］师我们大家再一起来看这样一个问题：全体正奇数排成下表：13 57 9 1113 15 17 1921 23 25 27 29…… ……此表的构成规律是：第n行恰有n个连续奇数;从第二行起，每一行第一个数与上一行最后一个数是相邻奇数，问2 005是第几行的第几个数?师此题是数表问题，近年来这类问题如一颗“明珠”频频出现在数学竞赛和高考中，成为出题专家们的“新宠”，值得我们探索.请同学们根据此表的构成规律，将自己的发现告诉我.生1 我发现这数表n行共有1+2+3+…+n个数，即n行共有2)1(+nn个奇数.师很好!要想知道2 005是第几行的第几个数，必须先研究第n 行的构成规律.生 2 根据生1的发现，就可得到第n行的最后一个数是2×2)1(+nn-1=n2+n-1.生3 我得到第n行的第一个数是(n2+n-1)-2(n-1)=n2-n+1.师现在我们对第n行已经非常了解了，那么这问题也就好解决了，谁来求求看?生4 我设n2-n+1≤2 005≤n2+n-1，解这不等式组便可求出n=45，n2-n+1=1 981.再设2 005是第45行中的第m个数，则由2 005=1 981+(m-1)×2，解得m=13.因此，2 005是此表中的第45行中的第13个数.师很好!由这解法可以看出，只要我们研究出了第n行的构成规律，则可由此展开我们的思路.从整体上把握等差数列的性质，是迅速解答本题的关键.课堂小结本节课我们学习并探究了等差数列的前n 项和的哪些内容?生1我们学会了利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究S n 的最值的方法：①利用a n ：当a n ＞0，d ＜0，前n 项和有最大值.可由a n ≥0，且a n +1≤0，求得n 的值；当a n ≤0，d ＞0，前n 项和有最小值.可由a n ≤0，且a n +1≥0，求得n 的值.②利用S n ：由S n =2d n 2+(a 1-2d )n 利用二次函数求得S n 取最值时n 的值.生 2 我们还对等差数列中的数表问题的常规解法作了探究，学习了从整体上把握等差数列的性质来解决问题的数学思想方法.师本节课我们在熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式的基础上，进一步去了解了等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.学会了一些常用的数学方法和数学思想，从而使我们从等差数列的前n 项和公式的结构特征上来更深刻地认识等差数列.布置作业课本第52页习题2.3 A 组第5、6题.预习提纲：①什么是等比数列？②等比数列的通项公式如何求？板书设计等差数列的前n项和(二)S n与函数的联系例4求S n最值的方法学生练习数表问题。