第九章 无穷级数(数一、三)
高等数学讲义 无穷级数(数学一和数学三)
第八章 无穷级数（数学一和数学三）引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。
例如：+-++-+-+1)1(1111n历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和” 第一种 0)11()11()11(=+-++-+- 第二种 1)11()11()11(1=------- 第三种 设S n =+-++-+-+ 1)1(1111则[]S =+-+-- 11111,1S S =- ,12=S 21=S 这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。
1) 什么是无穷多项相加？如何考虑？ 2) 无穷多项相加，是否一定有“和”？3) 无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。
因此对无穷级数的基本概念和性质需要作详细的讨论。
§ 8.1 常数项级数（甲） 内容要点 一、基本概念与性质 1. 基本概念无穷多个数 ,,,,,321n u u u u 依次相加所得到的表达式 +++++=∑∞=n n nu u u u u3211称为数项级数（简称级数）。
∑===nk k n u S 1123n u u u u ++++ （ ,3,2,1=n ）称为级数的前n 项的部分和，{}),3,2,1( =n S n 称为部分和数列。
S u S ，，u S ，S n n n n n n ==∑∑∞=∞=∞→11)(lim 记以且其和为是收敛的则称级数存在若n n S ∞→lim 若不存在，则称级数∑∞=1n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。
（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。
）2． 基本性质 （1） 如果∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=++11111)(,n n n n n n n nnn nv b u a ，bv au，b ，a v u 且等于收敛则为常数皆收敛和（2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。
无穷级数(全)
无穷级数1、无穷级数：表达式 +++++n u u u u 321 称为无穷级数,简称级数.记作∑∞=1n nu, 其中n u 称为级数的一般项.2、部分和: 级数∑∞=1n nu的前n 项和 ∑==nk kn uS 1称为级数∑∞=1n nu的部分和.3、收敛的定义: 如果级数∑∞=1n nu的部分和数列}{n S 有极限S ,即S S n n =∞→lim ,则称级数∑∞=1n nu收敛.S 称为级数∑∞=1n nu的和, 并写成： ++++=321u u u S ∑∞==1n nu.如果}{n S 没有极限, 则称级数∑∞=1n nu发散.4、常数项级数收敛的必要条件：若级数∑∞=1n nu收敛，则必有0lim =∞→n n u ，反之若0lim ≠∞→n n u ，则级数一定发散5常用级数敛散性判定方法： ①等比级数：∑∞=0n n aq ，当 1q < 收敛，且级数收敛于qa -111q ≥ 发散当然等比级数的敛散性也可以由等比级数的部分和数列来判断：若S 存在则收敛，反之则发散. ②P-级数：∑∞=1n P n 11p >收敛，1p ≤发散(p=1时为调和级数)；③常数级数：∑∞=0n C 当0≠C 时级数发散，0=C 时，级数收敛.6、级数收敛的性质 以下假设∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛于S 与T , 则①∑∑∞=∞==11n n n nu u λλ, (λ为常数). ②∑∑∑∞=∞=∞=±=±111)(n n n n n n nv u v u.③∑∞=1n nu收敛⇔对任意的非负整数m ,有∑∞+=1m n nu收敛.即: 在级数前面去掉或加上有限项不影响级数的敛散性. ④若S un n=∑∞=1,则将级数的项任意加括号后所成的级数S n n=∑∞=1σ. 反之不然.7、正项级数敛散性的判定方法： ①充要条件：部分和数列有界②比较法：对级数的缩放，利用已知的级数来判断未知级数的敛散性；适用于含有P(型)-级数、、多项式和正余弦的级数.其中P(型)-级数、对数、多项式主要是删减低次项和常数项，而正余弦主要是利用其小于1的性质.③比阶法：找到一个已知敛散性的级数，通过其与需求级数作商曲极限，来判断需求级数的敛散性.适用于P(型)-级数，等比级数、多项式等.定义如下：设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 均为正项级数,若L v u nnn =∞→lim，则(1)当L=0时,若∑∞=1n nv收敛,则∑∞=1n nu也收敛；(2)当L=+∞时,若∑∞=1n nv发散,则∑∞=1n nu也发散.(3)当0<L<+∞时,∑∞=1n nv与∑∞=1n nu有相同敛散性.④比值法：通过对级数通向第n+1项与第n 项作商取极限来判断级数敛散性.不适用含有对数、多项式和正余弦的级数.定义如下：设∑∞=1n n u 为正项级数,若ρ=+∞→nn n u u 1lim,则(1)1<ρ时, 级数∑∞=1n nu收敛；(2) 1>ρ或+∞=ρ时, 级数∑∞=1n nu发散；(3)1=ρ时, 级数∑∞=1n nu可能收敛也可能发散.⑤其他常用方法(1)关于级数中带有多项式的分式方程的：ⅰ分子最高次≥分母最高次则级数一定发散； ⅱ分子最高次＜分母最高次，则用比阶法来判断. 设sn n V 1=（s 为分子最高项-分母最高项的差值） (2)关于级数中带有对数的：用比阶法题目中()c n U tn +=ln ，就设tn n V 1=作商取极限，需要用L ，hospital 定理8、交错级数的审敛法：（莱布尼茨定理) 设∑∞=--11)1(n n n u 为交错级数, 若满足(1) n n u u ≤+1, ,2,1=n ； (2) 0lim =∞→n n u , 则 ∑∞=--11)1(n n n u 收敛,9、任意项级数的绝对收敛和条件收敛 ①绝对收敛的级数∑∞=1n nu ：∑∞=1||n nu 收敛；②条件收敛的级数∑∞=1n n u：∑∞=1||n nu发散, 但∑∞=1n n u 收敛.③∑∞=1||n nu收敛 ⇒ ∑∞=1n n u 收敛. 反之不然.④此类级数多用比值法来判断绝对值级数是否发散 ⑤若任意项级数∑∞=1n nu条件收敛，则其所有正项或者负项构成的级数均为发散的.10、函数项级数①定义: 设 ),(,),(),(21x u x u x u n 是定义在I 上的函数,则++++=∑∞=)()()()(211x u x u x u x u nn n称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.②收敛域(1) 收敛点I x ∈0—— ∑∞=10)(n nx u 收敛；(2) 发散点I x ∈0——∑∞=10)(n nx u 发散；(3) 收敛域D —— ∑∞=1)(n nx u 的所有收敛点的全体D ；(4) 发散域G ——∑∞=1)(n n x u 的所有发散点的全体G .（5）解题方法：已知级数∑∞=1)(n nx u，求其收敛域.ⅰ用比值法算出大致收敛域：）（的式子关于x 1Q x lim==+∞→nn n u u ρ，令）（x Q <1，算出x 收敛大范围（a ，b ），收敛半径R=2b-a （()∞++∞∞-∈可以为R R ,,） ⅱ将端点值带入级数∑∞=1)(n nx u中，算出∑∞=1)(n n a u 与∑∞=1)(n n b u 的敛散性，判断端点值是否可以取到，过程可以略过. ⅲ综上所述，写出级数∑∞=1)(n nx u的收敛域③和函数)(x S —— ∑∞==1)()(n nx u x S , D x ∈.解题方法：已知级数∑∞=1)(n nx u，求其和函数.ⅰ求出其收敛域；ⅱ将级数经过求导或者积分，得到一个等比级数 ⅲ用等比级数收敛公式qa -11算出和函数的导数或者原函数的表达式；ⅳ将求出的表达式积分或求导，写成)(x S 的形式，并注明收敛域.【注】已知级数∑∞=1)(n nx u，求∑∞=1n n V 的和ⅰ-ⅳ步骤同上ⅴ将n n V x u 与)(建立起联系，想当x 为何值时n n V x u =)(，然后将x 带入)(x S 中.11、函数项级数的展开式.(1) f (x ) = e x= ∑∞=0!n nn x , x ∈(-∞, +∞);(2) f (x ) = sin x = ∑∞=++-012!)12()1(n n n xn ,x ∈(-∞, + ∞);(3) f (x ) = cos x = ∑∞=-02!)2()1(n nn x n ,x ∈(-∞, + ∞);(4) 11()1n n f x x x ∞===-∑ ,x ∈(-1, 1);(5) 11()()1n n f x x x ∞===-+∑ ,x ∈(-1, 1);(6) f (x ) = ln (1 + x ) = ∑∞=+-11)1(n nn x n , x ∈(-1, 1]。
高等数学-无穷级数ppt
根据级数项的性质，无穷级数可分为正项级数、交错级数和任意 项级数。
收敛与发散性质பைடு நூலகம்
收敛性质
如果无穷级数的部分和数列有极限， 则称该无穷级数收敛，此时极限值称 为级数的和。
发散性质
如果无穷级数的部分和数列没有极限 ，或者极限为无穷大，则称该无穷级 数发散。
绝对收敛与条件收敛
绝对收敛
如果无穷级数的每一项的绝对值所构 成的级数收敛，则称原级数为绝对收 敛。
在量子力学中，波函数通常表示为无穷级数形式，用于 描述微观粒子的状态和行为。
电磁学中的场强计算
通过无穷级数的展开，可以计算电磁场中各点的场强分 布，进而分析电磁现象。
在工程学中的应用，如信号处理、控制系统设计等
信号处理中的滤波
在信号处理领域，利用无穷级数设计的滤波器可以对 信号进行平滑处理、降噪等操作。
要点二
洛朗级数展开
将函数f(z)在圆环域D内展开成双边幂级数形式，即f(z) = ... + a-2/z^2 + a-1/z + a0 + a1z + a2z^2 + ...，其中an是 洛朗系数，可通过计算f(z)在D内的各阶导数求得。
泰勒级数与洛朗级数的比较
适用范围不同
泰勒级数适用于在一点处展开 的情况，而洛朗级数适用于在 圆环域内展开的情况。
控制系统设计中的稳定性分析
在控制系统设计中，通过无穷级数的稳定性分析方法 ，可以判断控制系统的稳定性并进行相应的优化设计 。
THANK YOU
感谢聆听
幂级数展开
幂级数是指形如$sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$的级数，其 中$a_n$为常数。幂级数在收敛域内可以逐项求导和逐项积 分，具有连续性和可微性。
高等数学(10)无穷级数
在具体讨论之前，先将我们所要讲的内容做简略的 分类。所要讨论的级数有两大类： 1.数项级数；2函数项级数。 数项级数本身是有意义的，但是函数项级数才是更 重要的。而了解数项级数，是探讨函数项级数的基础。 正项级数； 1 数项级数： 交错级数； 2 3 其它的一般项级数。
1 一般函数项级数的基本理论； 函数项级数： 2 幂级数； 3 三角级数。
（2）函数列的一致收敛 设函数列{ f n }nZ 与函数 f 都是在 D 上定义的函数， 若满足如下条件：
0, N ( n N | f n ( x ) f ( x ) | )
则称函数列 { f n }nZ 在 D 上一致收敛于 f 。
的敛散性，并求n为何值时用部分和Sn代替级数和S时 所得误差小于0.01.
【例9-15】判别级数 ( 1) tan
n n 1
3n
的敛散性.
注：对上述（例9-14）交错“调和级数”进一步讨论， 可以发现，即便是收敛级数（条件收敛），无穷交换 律也是不成立的。这是无穷运算与初等运算的一个重 大差异，需好好理解。
（4）比值（达朗贝尔）与根值（柯西）判别法
这两种判别法，本质上都是参考等比级数的敛散性得 到的判别法。其思想与证明方法类似，下面仅证明比 值判别法，两个定理一起陈述。
（1）比值与根值判别法（定理9-4,5）
则
n1 un 是正项级数，如果 un1 lim ( un 0), 或者 lim n un . n u n n
第九章 无穷级数
1.常数项级数 2.正项级数敛散性判别法
3.任意项级数敛散性判别法
4.函数项级数及其收敛性（！！）
5.幂级数 6.傅里叶级数
无穷级数知识点总结
无穷级数知识点总结一、无穷级数的定义无穷级数是指由无限个实数或复数项组成的数列之和。
一般地，我们用数列 {a_n} 来表示无穷级数的各项，那么无穷级数就可以表示为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...其中 S 代表无穷级数的和，而 a_1, a_2, a_3, ... 分别代表无穷级数的各项。
无穷级数通常可以用极限的概念来进行定义，即无穷级数的和就是数列的极限。
如果数列 {S_n} 的部分和数列收敛到某个数 L，那么无穷级数 S 的和便为 L，即：S = lim (n->∞) S_n = L这里的 S_n 代表无穷级数的部分和数列，它可以写成：S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n无穷级数的定义是无穷数列极限的推广，它引入了无穷个数的概念，因此无穷级数的性质和收敛性等问题相对于有限级数来说更加复杂和多样。
二、无穷级数的性质无穷级数在数学中有着许多重要的性质，这些性质对于研究无穷级数的收敛性、计算方法以及应用等方面都有着重要的作用。
下面我们将详细介绍无穷级数的一些重要性质。
1. 无穷级数的有限项相加结果相同如果无穷级数的有限项相加的结果相同，那么这个无穷级数的和也相同。
即如果无穷级数S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的前 n 项之和等于 S_n，而无穷级数 T = b_1 + b_2 + b_3 + ... 的前 n 项之和等于 T_n，并且 S_n = T_n，那么这两个无穷级数的和也相等，即 S = T。
2. 无穷级数的倒序相加结果相同如果无穷级数的倒序相加的结果与原来的无穷级数相同，那么这个无穷级数的和同样相同，即如果无穷级数 S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的倒序相加的结果也等于 S，那么这个无穷级数的和就等于 S。
3. 无穷级数的部分和数列的有界性如果无穷级数的部分和数列 {S_n} 是有界的，即存在一个正数 M，使得对于所有的正整数n，都有 |S_n| <= M，那么这个无穷级数是收敛的。
无穷级数知识点总结简短
无穷级数知识点总结简短
1. 无穷级数的定义
无穷级数是指由无限个数相加而成的级数，通常表示为：
S = a1 + a2 + a3 + ...
其中，a1, a2, a3...表示级数的每一项。
2. 无穷级数的收敛与发散
无穷级数可能收敛也可能发散。
如果无穷级数的部分和S_n在n趋向无穷时收敛于某一有
限数，即lim(S_n) = S，则称该无穷级数收敛；如果无穷级数的部分和S_n在n趋向无穷
时发散至无穷大或者发散至负无穷大，即lim(S_n) = ±∞，则称该无穷级数发散。
3. 无穷级数的收敛性判别法
无穷级数的收敛性判别法有很多种，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判
别法等。
这些判别法可以用来判断无穷级数的收敛性，并且在实际问题中有很多应用。
4. 无穷级数的性质
无穷级数有许多重要的性质，包括级数的线性性质、级数的绝对收敛性、级数的收敛域等。
这些性质在研究无穷级数的收敛性和计算级数的和时非常重要。
5. 无穷级数的应用
无穷级数在物理、工程、计算机科学等领域都有重要的应用。
例如，在物理学中，泰勒级
数可用于近似计算非线性函数的值；在工程学中，级数可以用来描述振动、波动等现象；
在计算机科学中，级数在算法复杂性分析和数值计算中也有广泛的应用。
总之，无穷级数是数学中一个重要的概念，它涉及到收敛与发散、收敛性判别法、性质和
应用等方面，对于理解和应用级数有着重要的意义。
无穷级数知识点总结公式
无穷级数知识点总结公式无穷级数的定义：无穷级数的一般形式可以表示为：\[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]其中，\( a_n \) 是级数的第 n 个项。
级数的和通常记为 \( S \)，即\[ S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]当级数的和存在有限值时，称级数收敛；当级数的和不存在有限值时，称级数发散。
无穷级数的性质：1. 无穷级数的和与项的次序无关级数的项次序可以进行重新排列，其和仍然相同。
2. 收敛级数的任意项的和都趋于零对于收敛级数，其各项的和对应的部分和序列的极限为级数的和。
3. 收敛级数的每一项都可以表示为部分和序列的差对于收敛级数，其每一项都可以表示为相邻两个部分和之差。
无穷级数的收敛性：在讨论无穷级数时，我们关心的一个重要问题是该级数是否收敛。
无穷级数的收敛性可以通过不同的收敛判别法来进行判断。
1. 正项级数收敛判别法对于正项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)：- 若 \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \) 且 \( a_n \) 单调递减（即 \( a_{n+1} \leq a_n \)），则级数收敛；- 若 \( a_n \) 单调递减且有界，则级数收敛；- 若 \( \lim_{n \to \infty} a_n \) 不存在或 \( \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \) ，则级数发散。
2. 比较判别法设 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 和 \( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 为两个级数，若存在正常数 \( C \)，当 \( n \) 充分大时有 \( 0 \leq a_n \leq Cb_n \)，则级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 收敛时级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 收敛，级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 发散时级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 发散。
无穷级数重要知识点总结
无穷级数重要知识点总结一、无穷级数的定义1.1 无穷级数的概念无穷级数是一种特殊的数列求和形式。
它由一个无穷数列的项之和构成，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中a1, a2, a3, ...是数列的项。
无穷级数的和是用极限的概念来定义的，即当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和趋于一个确定的数。
1.2 无穷级数的收敛和发散无穷级数有两种基本的收敛性质：收敛和发散。
当无穷级数的和存在时，我们称这个级数是收敛的；当无穷级数的和不存在时，我们称这个级数是发散的。
1.3 无穷级数的通项无穷级数的通项是指级数中每一项的公式表示。
通项的形式多种多样，可以是一个简单的代数式，也可以是一个复杂的函数表达式。
通项的形式对于判断无穷级数的收敛性有着重要的作用。
二、无穷级数的性质2.1 无穷级数的加法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的和也存在，并且等于这两个级数的和的和。
即∑(ai + bi) = ∑ai + ∑bi。
2.2 无穷级数的乘法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的乘积也存在，并且等于这两个级数的乘积的和。
即(∑ai) * (∑bi) = ∑(ai * bi)。
2.3 无穷级数的极限性质当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和会趋于一个确定的数。
这个极限的存在性和确定性是无穷级数的一个重要性质。
2.4 无穷级数的收敛性质对于一个给定的无穷级数，我们需要研究它的收敛性质，即它是否收敛、以及收敛到哪个数。
无穷级数的收敛性质对于很多数学问题有着深远的影响。
2.5 无穷级数的发散性质发散是无穷级数的另一个重要性质，它表示无穷级数的和不存在。
高等数学习题详解-第9章 无穷级数
习题9-11. 判定下列级数的收敛性：(1) 1n ∞=∑; (2) 113n n ∞=+∑; (3)1ln 1n n n ∞=+∑; (4) 1(1)2nn ∞=-∑;(5) 11n n n ∞=+∑; (6) 0(1)21n n nn ∞=-⋅+∑． 解：（1）11n n k S ===∑，则lim lim(11)nnnS n ，级数发散。
（2）由于14113n n nn，因此原级数是调和级数去掉前面三项所得的级数，而在一个级数中增加或删去有限项不改变级数的敛散性，所以原级数发散。
（3）11ln[ln ln(1)]ln1ln(1)ln(1)1nnnk k n S n n n n n ，则lim lim[ln(1)]nnnS n ，级数发散。
（4） 2 , 21, 1,2,3,; 0 , 2nn k S k nk因而lim n nS 不存在，级数发散。
（5）级数通项为1nn u n ，由于1lim10nn n，不满足级数收敛的必要条件，原级数发散。
（6）级数通项为(1)21n nnu n ，而lim n n S 不存在，级数发散。
2. 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) 11123n nn ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑； (2) 11(1)(2)n n n n ∞=++∑; (3) 1πsin 2n n n ∞=⋅∑; (4)πcos 2n n ∞=∑．解：（1）因为111111111131111(1).23232232223nn n nk kkk n n n nk k k S 所以该级数的和为31113lim lim(),22232nn nnnSS 即1113.232nnk（2）由于1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n nn n n n，则111111111[][](1)(2)2(1)(1)(2)22(1)(2)nnnk kS k k kk kk kn n所以该级数的和为 1111limlim [],22(1)(2)4nnn SS n n即111.(1)(2)4n n n n（3）级数的通项为sin2nu n n，由于sin2lim sinlim()02222nnnn nn，不满足级数收敛的必要条件，所以原级数发散。
ppt0901课件常数项级数的概念与性质
四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件:
当n无限增大时, 它的一般项 un趋于零, 即
性质8.5
级数 un收敛
n 1
lim un 0.
n
证明 S un n 1
则 un S n S n1 ,
n n
limun lim S n lim S n1
n 1
( 包括极限为 ) ,
例2 证明级数 123 n 是发散的 证: 此级数的部分和为
n(n 1) sn 1 2 3 n 2
lim sn , 因此所给级数是发散的 显然, n
下页
例3 讨论等比级数(几何级数)
1.
常数项级数的定义
假设 {u n } 是一个数列 : u1, u2, u3, , un, ,
u
n1
一般项
n
u1 u2 u3 un
— (常数项)无穷级数
n
级数的部分和
sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
s1 u1 , s2 u1 u2 ,
s3 u1 u2 u3 ,
sn u1 u2 un ,
例1
下列各式均为常数项级数
1 1 1 1 n ; n 2 4 2 n 1 2
n 1 2 n ; n 1
推论 如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散
收敛, 则 也收敛.
“加括号后所成的级数收敛, 原级数不一定收敛.”
下页
注 收敛级数 加括号仍为收敛级数. 注
例如级数 a a a a (1)n1 a 是发散级数. 但将相邻的两项加括号后所得级数
无穷级数PPT课件
234
n1
| un | 1 , 所以 un 0 , 级数发散；
2. 级数的一般项趋于零,不能保证级数一定收敛。
如 ln(1 1 ) : ln(1 1 ) 0 (n ) , 但级数发散。
n1
n
n
11
例4 判别级数 un的敛散性，其中 n1
1 un
1 n2 1
1 n2 2
1； n2 n
3
1. 级数的定义
数列 u1，u2，u3，，un，
一般项
无穷级数 u1 u2 u3 un
无 穷 项 求 和 叫 做 （ 常 数项 ） 无 穷 级 数 ，
简称（常数项）级数，记为 un .
一般项 部分和
n1
无穷级数表达式中的第n项un . n
sn u1 u2 un ui
部分和数列
则
lim
m
m
lim
n
sn
s.
例如，若级数 un 收敛， 则级数
n1
(u2n1 u2n ) 、 (u3n2 u3n1 u3n ) 均收敛，
n1
n1
且和不变.
18
注意
1.收敛级数可以加括弧，但收敛级数去括弧后所 成的级数不一定收敛.
例如 (1 1) (1 1) 收敛
1111
发散
2.如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.
n1 n1
n1
14
注:
(1) 不能由 (un vn) 收敛推出 un 、 vn 收敛；
n1
n1
n1
(2) 若 un 收敛,而 vn 发散,则 (un vn) 必发散.
n1
n1
n1
证 假设 (un vn) 收敛,由 vn (un vn ) un ,
考研数学考前预测重点题型之无穷级数(数一、数三)
考研数学考前预测重点题型之无穷级数（数一、数三）无穷级数是考研数学中数学一和数学三同学必考的内容，这一部分是同学们复习的难点，但是它也是考试的重点. 在考试中，既可以以选择题和填空题的方式进行考查，也可以以解答题的方式进行考查. 要求同学们对于数项级数敛散性的判别，幂级数收敛半径，收敛区间，收敛域的求法，求幂级数的和函数，求函数的幂级数展示式的基本方法掌握到位，不过这一块经常也会出一些比较难的压轴题，比如和数列极限存在性的结合，和微分方程的综合题等等.题型一：判别数项级数的敛散性【例1】设正项级数1ln(1)n n a ∞=+∑收敛，则级数1(1)n ∞=-∑ ) (A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 敛散性不能确定【难度】中【答案】(B)【解析】由于正项级数1ln(1)n n a ∞=+∑收敛，所以0n a >，且lim 0n n a →∞=， 又因为ln(1)lim 1n n n a a →∞+=，所以1ln(1)n n a ∞=+∑与1n n a ∞=∑有相同的敛散性，即1n n a ∞=∑收敛，故11n n a ∞+=∑也收敛.又()11(1)2n n a a +-=≤+，而()11n n n a a ∞+=+∑收敛，所以由比较判别法可得1(1)n ∞=-∑. 【小结】此题考查了正项级数的比较判别法.抽象型数项级数敛散性的判别经常以选择题的方式进行考查,而出现了正项级数，经常考的是比较判别法.题型二：简单函数的幂级数展开【例2】设21()3n n n S x a x ∞==+∑满足()()2x S x S x e '+=+，求()S x ，并求出n a .【难度】中【解析】已知()()2x S x S x e '+=+且可得(0)3S =，解得1()2()2x x S x e e -=++.001()()2[]2!!n n n n x x S x n n ∞∞==-=++∑∑011(1)22!nn n x n ∞=+-=+∑22200112112232(2)!(2)!(2)!n n n n n n x x x n n n ∞∞∞====+=+=+∑∑∑，(,)x ∈-∞+∞ 因21()3n n n S x a x ∞==+∑，故1(2)!n a n =. 【小结】此题考查了微分方程和幂级数的综合题，但是此题难度不大. 通过微分方程可以求出函数的表达式，进而可以写出对应的幂级数展开式.要求对于常见函数的麦克劳林级数形式记住了.题型三：求幂级数的和函数【例3】求幂级数20(1)1n n n x n ∞=-+∑的和函数.【难度】中 【解析】22(1)2lim 11n n n n n→∞-+⋅=+，故收敛半径为1. 当1x =±时，20(1)1n n n ∞=-+∑发散，故收敛域为(1,1)-. 设20000(1)1()(1)4411n n n n n n n n n S x x n x x x n n ∞∞∞∞====-==+-+++∑∑∑∑， 112001()(1)1(1)nn n n x S x n x x x x ∞∞+==''⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑， 204()41nn S x x x ∞===-∑，301()41n n S x x n ∞==+∑， 14301()()41n n S x xS x x n ∞+===+∑，404()41n n S x x x ∞='==-∑，4()4ln(1)S x x =--， 当0x ≠时，34ln(1)()x S x x --=， 此时22144ln(1)434()ln(1)(1)1(1)x x S x x x x x x x--=--=-----. 当0x =时，(0)1S =. 故2434ln(1),(1,0)(0,1)(1)()1,0x x x x x S x x -⎧--∈-⎪-=⎨⎪=⎩. 【小结】此题考查了幂级数的和函数的计算，属于常规类型的题目，在考试中是同学们要拿分的题目.掌握基本方法，注意细节，考试尽量拿满分.。
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(2) 若
u n 和 v n 分别收敛于 s, ，则 (un vn ) 收敛于 s .
n 1 n 1
(3) 改变级数前有限项不影响级数的敛散性. (4) 收敛级数加括号仍收敛且和不变.
(5)
u
n 1
n
收敛,则 lim un 0 ，反之不一定成立
n
an 1 0 ，由比较法的极限形式知，级数 a n 与 同敛散，则 a n 发散，故应选（B）. n 1 n 1 n 1 n n 1 n
解法 2 排除法. 考虑 a n 但 lim na n lim
n
1 1 ，级数 发散. n ln n n 2 n ln n
n 1
所以不能用比较判别法的极限形式，故只能用一般形式，而一般形式需要将通项放大或者缩小，由于是分式，所以只需要将分母变大或者变小，根据 an 单调减 小，所以
1 1 1 ，其中 l lim an . ，最后发现只需要判别 ( an an1 ) 的敛散性，从形式看，用定义 n a1 an l n 1
3.任意项级数
u
n 1
n
, u n 为任意实数
(1) 绝对收敛与条件收敛概念.
(2) 绝对收敛的级数一定收敛,即
| un | 收敛 un 收敛.
n 1 n 1
(1)
n 1
n 1
1 ，当 P 1 绝对收敛，当 0 P 1 条件收敛，当 P 0 发散. nP
【例 4】设有命题：（1）若
a n 收敛，则 a2 n 收敛；
n 1 n 1
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（2）若
a n 为正项级数，
n
( lim un 0 ,则
n
u
n 1
n
发散)
【例 1】设 un 是数列，则下列命题正确的是(
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)
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(C) 若
u
n 1
n
收敛,则 lim n 2 u n 0 .
n
(D) 若
u
n 1
n
发散,则存在非零常数 ,使得 lim nu n .
n
【分析】（2004 年）抽象数项级数敛散性的判别. 【解析】 解法 1 直接法. 由 lim nan 0 知， lim
【例 6】设正项数列 an 单调减少，并且 ( 1) n an 发散. 讨论 ( 1) n (1
n 1 n 1
an1 ) 的敛散性． an an 1 ) 数比值法、根治法很明显不满足条件，同时由于找不到通项的等价无穷小， an
【分析】对一般项级数，先判别是否绝对收敛，加绝对值之后正项级数 (1
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注：两个重要级数 （1）等比级数（几何级数）
a q0 n 源自1n 1 a0 1 q , 当 q 1时, 发散 ， 当 q 1时.
【解析】
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【例 7】设 f ( x ) 在区间 (0,1) 内可导，且导函数 f ( x) 有界，证明:
（Ⅰ）级数
n 1
(A) 若
un 收敛，则 (u2 n1 u2 n ) 收敛．
n 1 2 n 1
(B) 若
(u
n 1
u2 n ) 收敛，则 un 收敛．
n 1 n 1
(C) 若
un 收敛，则 (u2 n1 u2n ) 收敛．
n 1 n 1
1
n
an
n2
( 0) .
【分析】一般项级数判别敛散性先判断是否绝对收敛，再判断是否条件收敛. 【解析】（1） bn ln(1 a2 n )
a2 n
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第九章 无穷级数(数一、三)
第一节 数项级数
知识点详解
一、概念与性质
n
1.定义: 2.性质
u
n 1
lim S n ，极限存在，则称 un 收敛，否则发散.
n n 1
n 1
(1)
u n 与 kun 同敛散性，其中 k 0 .
n 1 n 1 n 1
选项(D):取 un 1 ，这时
(u
n 1
2 n 1 u2 n ) 0 收敛，但 u n 1 发散，故选项(D)错误.所以选项(A)正确．
二、数项级数敛散性的判别
1.正项级数
u
n 1
n
, un 0
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v n 收敛 u n 收敛； u n 发散 v n 发散.
n 1 n 1 n 1 n 1
3) 若 l ,则
v n 发散 u n 发散； u n 收敛 v n 收敛.
n 1 n 1 n 1 n 1
收敛, 1, un 1 ,则 u n 发散, 1, (3) 比值法:设 lim n u n 1 n 不一定, 1. 收敛, 1, (4) 根值法(数一):设 lim n u n ,则 u n 发散, 1, n n 1 不一定, 1.
）
(A) 若 lim nu n 0 ,则
n
u
n 1
n
收敛．
(B) 若存在非零常数 ,使 lim nu n ,则
n
u
n 1
n
发散.
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(D) 若
(u2 n1 u2n ) 收敛，则 un 收敛．
n 1
【分析】本题考查数项级数的性质． 【解析】 方法 1：数项级数的性质：如果级数收敛，则对级数的项任意添加括号后所成的级数仍收敛，所以选项(A)正确． 方法 2：排除法，举反例．
n 1 n 1 n 1
n
1 0 ，则（A）和（D）都不正确. ln n
考虑 a n
1 an 收敛，但 lim n 2 a n 1 0 ，则（C）不正确. ，显然级数 2 n n n 1
故应选（B）. 【评注】这类题型常考，需要牢固掌握级数的性质. 【题型二】一般项级数敛散性的判别
典型例题及方
【题型一】正项级数敛散性的判别 【例 2】判别下列级数敛散性
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(1)设 un
n 1
n
e x dx ,判别 un 的敛散性； x n 1
[ f ( 2
n 1
1
n
) f (
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定理：
un 为正项级数，则 un 收敛 Sn 有界.
n 1 n 1
(1) 比较判别法一般形式：设 u n v n ,则
v n 收敛 u n 收敛; u n 发散 v n 发散.
n (3) vn (1)
1 1 1 , un (1)n n n n
选(A). 【例 5】判断下列级数的敛散性
(1)设正项级数
a n 收敛， bn (1) n ln(1 a 2 n ) ，则 bn ；
n 1 n 1
(2) 若
a
n 1
2 n
收敛，则
n 1
故
u
n 1
n
收敛.
（2） un
n
( n 1)
sin 2 x 1 dx x n
n
( n 1)
sin 2 xdx
1 n
0
sin 2 xdx
1 2n
un
1 ，所以 u n 发散. 2(n 1) n 1
【例 3】设
u
n 1
n
为正项级数,下列结论正确的是（
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n 1
因为正项级数
a n 收敛，所以 a2n 收敛.
n 1
所以
b
n 1
n
绝对收敛.
(2)
1
2
n
an
n
2
1 2 1 an 2 2 n
n
1 an ( 0) 绝对收敛. 1 因为 an , 2 收敛所以 n 1 n 1 n n 1 n2