【精品】初中数学——分类讨论思想(初二)

分类讨论

分类讨论问题是创新性问题之一，此类题综合性强，难题较大，在历年中考试题中多以压轴题出现，对考生的

能力要求较高，具有很强的选拔性。综合中考的复习规律，分类讨论的知识点有三大类：

1．代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等

.

2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等

. 3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用. 在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重

要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．

分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其

实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．

正确的分类必须是周全的，既不

重复、也不遗漏．

分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；

（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级有序进行．（4）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型. 题型 1.考查数学概念及定义的分类

规律提示:熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论

对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。

例题1．方程560x x x 的最大根与最小根的积为＿＿＿＿＿＿.

例题2．解关于x 的方程：ax - 1= x

例题3．试解关于x 的方程1

11x )x (例题4．a

34933

2无解，求x x ax x 例题5．已知四个数：10、10、x 、8，它们的中位数和平均数相等，则x=___________

题型2：考查字母的取值情况或范围的分类.

规律提示：此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用

条件及范围.

例题1．已知2225,7x y x y ，则x y 的值等于＿＿＿＿＿＿＿.

例题2．如图所示，在平行四边形

ABCD 中，4A D cm ，∠A ＝60°，BD ⊥AD ，一动点P 从A 出发，以每秒1cm 的速度沿A B C 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM ⊥AD.

（1）当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE 的面积；

（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A B C的路线运动，

且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速

运动.过Q作直线QN，使QN//PM.设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），

直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2.

①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值.

题型3．考查图形的位置关系或形状的分类.

规律提示：熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决.

与，则线段AB的中点C到直线l的距离是（）例题1．平面上A、B两点到直线l的距离分别是2323

A．2B．3C．2或3D．不能确定

例题2．直角三角形的两边为3和4，那么第三边长为

例题3．已知x，y为直角三角形两边的长满足，则第三边的长为_____________

例题4．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P从A出发，沿AB以每秒1cm的速度

向B运动，同时，点Q从点B出发，沿BC以相同速度向C运动，问，当运动几

秒后，△PBQ为直角三角形？

例题5．在等腰三角形ABC中，AB=AC,一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和

12两部分，则这个三角形的底边长为：.

例题6．三角形一边长AB为13cm，另一边AC为15cm，BC上的高为12cm,求此三角形的面积。

例题7．在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成等腰三角

形，这样的点共有几个分别画出相应的图形。

例题8．在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cm，宽16cm的长方形纸板上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形上的边上）请你帮助同

学们计算剪下的等腰三角形的面积.

题型4.考查图形的对应关系可能情况的分类

规律提示：图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.

例题1．一条绳子对折后成右图A、B, A.B上一点C，且有BC=2AC,将其从C点剪断，得到的线段中最长的一段为40cm,请问这条绳子的长度为____________