相似三角形的性质 优质课教案

相似三角形的性质

【教学目标】

1．初步掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系以及关于它们之间关系的两条定理的证明方法，并会运用定理进行有关简单的计算。

2．在动手参与解决身边实际问题的过程中，增强主动探索、发现数学知识的意识，提高观察、归纳能力，应用数学知识解决生活中实际问题的能力。

3．在学习过程中，进一步改善独立思考、合作学习、自主评价等学习品质。

【教学重难点】

重点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的探究与证明。 难点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的应用。

【教学过程】

一、设计龟免赛跑故事导入新课

4

2

1

有一只极速乌龟和骄傲的兔子在规定的两块相似四边形的场地上进行比赛，谁先跑完一圈谁为胜，已知：免子的速度是乌龟的4倍，结果乌龟跑完一圈只用了一个小时，兔子说，我睡上半个小时再跑，也能比你先跑完一圈；你认为兔子的说的话对吗？你能猜到比赛的最后结果吗？

(以“龟兔赛跑”精典故事开头，引起同学对这堂课的兴趣。) 二、自主探究，发现新知

兔子场地

乌龟场地

1．分组猜想探究活动， 完成下列实验报告单

(学生经历动手实验 - 观察－思考－归纳－发现的学习过程，分别总结两个相似三角形的

C

A

B

相似比

周长比

面积比

111A B C ∆∽ABC ∆ 111A B C ∆∽ABC ∆

从以上表中可以看出，当相似比等于K 时，周长比等于 ，面积比等于 。 由此可以猜想：相似三角形的周长比等于 ，面积比等于 。

要求：①在方格纸（方格边长为1个单位）上，画出一个与已知△ABC 相似， 但相似比不为1的格点111A B C ∆（每小组至少画两种情况）； ②分别计算：△ABC 与111A B C ∆的相似比，周长比及面积比，然后填表； 小组分工：

目的：通过实验发现相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系 《相似三角形的周长与面积》实验报告单

周长比与相似比的关系，面积比与相似比的关系。注重学生动手实验、探索过程，并利用小组合作方式，培养学生的合作意识。)

猜测得到命题：相似三角形的周长比等于相似比。相似三角形的面积比等于相似比的平方。

2．验证猜想，得出结论（小组讨论）

探究：如果两个三角形相似，它们的周长比是否等于相似比呢？两个相似多边形呢？

如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么

⇒AB BC CA

k A B B C C A

=== ''''''

⇒AB=kA′B'，BC=kB'C'，CA=kC'A'

⇒

AB BC CA kA B kB C kC A

k A B B C C A A B B C C A

++''+''+''

== ''+''+''''+''+''

可以得到相似三角形周长的比等于相似比

类似的方法还可以得出相似多边形周长的比等于相似

延伸问题：

探究：

（1）如图27．2-11（1），∆ABC∽∆ A'B'C'，相似比为k1，它们的面积比呢？

图27．2-11（1）

分析：如图27．2-11，分别作出∆ABC和∆ A'B'C'的高AD和A'D'。∵∠ADB=∠A'D'B'=900又∠B=∠B'

∴∆ABD∽∆A'B'D'

∴1

''''

AD AB

k

A D A B

==（在此得出相似三角形对应高的比等于相似比）1111111

1

2

1

2

ABC

A B C

BC AD

S

S B C A D

∆

∆

∙

=

∙

=

()()

1111

2 1111

1

2

1

2

kB C kA D

k

B C A D

=

∙

可以得到：相似三角形面积比等于相似比的平方

相似三角形对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比吗？

（2）如图图27．2-11（2），四边形ABCD相似于四边形A'B'C'D'，相似比为k2，它们的面积比是多少？

图27．2-11（2）

∵ABC

A B C

S

S'''

=ACD

A C D

S

S'''

=k22

∴ABCD

A B C D

S

S''''

=

四边形

四边形

ABC ACD

A B C A C D

S S

S S

''''''

+

=

+

k

2

2

相似多边形面积比等于相似比的平方

三、运用性质，熟悉新知

1．已知两个三角形相似，根据下列数据填表：

相似比 2 1/3

周长比0.01 10

面积比10000 0.0001

2．实际问题的解决

在福州中环线的建设施工中，曾遇到这样一个实际问题：由于马路拓宽，有一个面积是100平方米、周长80米的三角形的绿化地被削去了一个角，变成了一块梯形绿地，原绿化地的一边AB的长由原来的20米缩短成12米（如图所示）。为了保证福州的绿化建设，市政府规定：因为种种原因而失去的绿地面积必须等面积补回。这样就引出了一个问题：这块失去的