信号与线性系统题解第四章

第四章习题答案

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4.1 由于复指数函数是LTI 系统的特征函数，因此傅里叶分析法在连续时间LTI 系统分析

中具有重要价值。在正文已经指出：尽管某些LTI 系统可能有另外的特征函数，但复指数函数是唯一．．能够成为一切．．LTI 系统特征函数的信号。

在本题中，我们将验证这一结论。 (a) 对单位冲激响应()()h t t δ=的LTI 系统，指出其特征函数，并确定相应的特征值。 (b) 如果一个LTI 系统的单位冲激响应为()()h t t T δ=-，找出一个信号，该信号不具有st

e 的形式，但却是该系统的特征函数，且特征值为1。再找出另外两个特征函数，它们的特征值分别为1/2和2，但不是复指数函数。 提示：可以找出满足这些要求的冲激串。

(c) 如果一个稳定的LTI 系统的冲激响应()h t 是实、偶函数，证明cos t Ω和sin t Ω实该系统的特征函数。

(d) 对冲激响应为()()h t u t =的LTI 系统，假如()t φ是它的特征函数，其特征值为λ，确定()t φ应满足的微分方程，并解出()t φ。 此题各部分的结果就验证了正文中指出的结论。 解：(a)

()()h t t δ=的LTI 系统是恒等系统，所以任何函数都是它的特征函数，其特征值

为1。

(b)

()()h t t T δ=-，∴()()x t x t T →-。如果()x t 是系统的特征函数，且特征值为

1，则应有()()x t x t T =-。满足这一要求的冲激序列为()()k x t t kT δ∞

=-∞

=

-∑。

若要找出特征值为1/2或2的这种特征函数，则可得：

1

()()()2

k

k x t t kT δ∞

=-∞=-∑， 特征值为1/2。

()2()k

k x t t kT δ∞

=-∞

=

-∑， 特征值为2。

(c) 1cos ()2

j t

j t t e e ΩΩ-Ω=

+

()()

1()()()()2

11

()()22

j t j t j t j j t j y t h t x t h e e d e h e d e h e d ττττττττττ

∞Ω--Ω--∞∞∞Ω-Ω-ΩΩ-∞-∞⎡⎤=*=⨯+⎣⎦=+⎰⎰⎰

()h t 为实、偶函数 ∴()()j j h e

d h

e d τ

τττττ∞

∞

Ω-Ω-∞-∞

=⎰⎰

∴ 1

()()

()cos ()2

j t j t j y t e e h e d t H j τττ∞

Ω-Ω-Ω-∞

=+=ΩΩ⎰

同理可证sin t Ω。

(d)

()()h t u t =

()()()

'()()()y t x t dt

y t t y t t φλφ∴=⎧=⎪∴⎨=⎪⎩⎰ 于是 ()t

t ce λφ=

4.2 求下列信号的傅里叶级数表示式。

(a) ()cos 4cos6x t t t =+

(b) ()x t 是以2为周期的信号，且(),11t

x t e t -=-<< (c) ()x t 如图P4.2(a)所示。 (d) ()x t 如图P4.2(b)所示。 (e) ()x t 如图P4.2(c)所示。 (f) ()x t 如图P4.2(d)所示。

图P4.2

解：(a) 44661111cos 4sin 62222j t j t j t j t

t t e e e e j j

--+=

++-，取02ω=，则有

2233111;;;0(2,3)222k a a a a a k j j

--==

==-=≠±± (b) 02,T ωπ==, 则

(1)1(1)111(1)1()22(1)2(1)jk k

t jk t jk k a e e

dt e e e jk jk e

πππππ+--+---⎡⎤==-=-⎣⎦++⎰ 2(1)(1)()2(1)

k jk t

k e x t e e jk ππ∞

=-∞--∴

=+∑

(c) 2T =，

()x t 是奇函数，00a ∴=

1111111

1

111(1)||,(0)22(1)(1)()k

jk t jk t jk t k k k jk t jk t

k k j a te te e k jk jk k j j x t e e k k ππππππππππ-------∞

=-∞

=-⎡⎤-==-

+=≠⎢⎥⎣⎦--∴=

+⎰∑

∑

(d) 06,/3T ωπ==，可求得

()123321

12

33213

011

66112||sin sin ,(0)2226

()()

0;

jk t jk t k jk t jk t jk t

k

k a e dt e dt

k k e e k jk jk jk x t x t a x t a e

ππππ

π

πππππ--------∞

=-∞

=--=-+=≠=--∴==

⎰⎰∑

(e) 04,/2T ωπ==，()x t 是偶函数，012

a ∴=

022********cos (1)(1)422jk t jk t k t t

k t a e dt e dt k k ππ

ππ

π---⎡⎤-=++-=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰ (f) 04,/2T ωπ==，可求得

()122201

12

22201422

011

24411||(2),(0)22311;()();44422jk t jk t k jk t jk t jk jk jk jk jk t k a a k k a e dt e dt

j e e e e k jk jk k a a s k e s k e x t a e ππ

πππ

πππππππ

ππ

------∞---=-∞

=+=--=+-≠=∴=+=⎰⎰∑

4.3 已知某LTI 系统的单位冲激响应为 ()4()t

h t e u t -=