概率统计 期末复习-经管(1)

第一章 随机事件及其概率

一、基本概念

1． 事件的关系与运算、运算规律

因为事件是样本空间的一个集合, 故事件之间的关系与运算可按集合之间的关系和运算来处理。事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的

表1.1

没有相同的元素

与互不相容

和事件事件的差集与不发生发生而事件事件的交集与同时发生与事件事件的和集与至少有一个发生与事件事件的相等与相等

与事件事件的子集是发生发生导致事件的余集的对立事件子集事件元素基本事件空集不可能事件全集必然事件

样本空间集合论概率论

记号B A B A AB B A B A B A B A B A AB B A B A B A B A B A B A B A B A B A A A A A ∅

=-=⊂∅

ΩY ω

,

对偶律：

A B A B =U I ，A B A B =I U

2、概率的定义

频率：

A

n n f (A )n

=

，其中n 为试验次数, A

n 为事件A 发生的次数

概率的统计定义：

在相同条件下重复进行n 次试验，若事件

A 发生的频率A

n n f (A )n

=

随着试验次数n 的增大而稳定地在某个常数p ()10≤≤p 附近摆动，则称p 为事件的概率，记为)(A P 古典概型：

具有下列两个特征的随机试验模型： 1. 随机试验只有有限个可能的结果; 2. 每一个结果发生的可能性大小相同.

概率的古典定义：

在古典概型的假设下，设事件

A

包含其样本空间

S

中

k

个基本事件, 即

},

{}{}{2

1

k

i i i e e e A Y ΛY Y =则事件

A

发生的概率

.)()()(1

1中基本事件的总数

包含的基本事件数S A n k e P e P A P k

j i k j i j

j

==

==∑==Y 概率的公理化定义：

设

E 是随机试验, S 是它的样本空间,对于E 的每一个事件A 赋于一个实数, 记为)(A P , 若)(A P 满足下列三个条件: 1. 非负性：对每一个事件A ,有 0)(≥A P ; 2. 完备性：1)(=S P ;

3. 可列可加性：设

Λ

,,21A A 是两两互不相容的事件，则有

.

)()(1

1

∑∞

=∞

==

i i

i i A P A P Y 则称

)(A P 为事件A 的概率.

概率的基本性质：

○

1()0P ;∅=

○

2设12n A ,A ,,A L 是两两互不相容的事件，则有1

1

n

n

i i i i P(A )P(A ).===∑U

○

3()()1P A P A ;=-

○

4()()()P A B P A P AB ;-=-特别地，若B A ⊂，则()()()P A B P A P B ;-=-()()P A P B ;≥

○

5对任一事件A 有()1P A ≤

○

6对于任意两个事件A ，B 有()()()()P A B P A P B P AB =+-U

3、条件概率与独立性

条件概率：

)

()

()|(A P AB P A B P =

（0)(>A P ），在事件A 发生的条件下,事件B 的条件概率.

事件的独立性：

A ,

B 相互独立P(AB )P(A)P(B )⇔=

n A A A ,,,21Λ相互独立()

1

11j j

k k

i i j j k,k n,P A P A ==⎛⎫⇔∀≤≤= ⎪⎝⎭∏I

事件独立的性质： ○

1当0)(>A P ,0)(>B P 时, A ,B 相互独立与A ,B 互不相容不能同时成立. 但∅与S 既相互独立又互不相容(自证). ○

2 设A ,B 是两事件, 且0)(>A P ,若A ,B 相互独立, 则)()|(A P B A P =. 反之亦然.

伯努利概型（试验的独立性） 设随机试验只有两种可能的结果：事件A 发生(记为A )或事件A 不发生(记为A )，则称这样的试验为伯努利(Bermourlli)试验。

将伯努利试验独立地重复进行n 次，称这一串重复的独立试验为n 重伯努利试验。

二、基本公式 1、加法公式：

○

1()()()P A B P A P B ,AB =+=∅U 若

○

2()1

1

1n

n

i i i j i i P(A )P(A ),,A A i,j ,,n ====∅=∑U L 若

○

3()()()()P A B P A P B P AB =+-U

○

4()()()()()()()()=++---+U U P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ○

5若B A ⊂，则()()()P A B P B P A ;-+=

○

6()()1P A P A +=

2、乘法公式

○

1A ,B 相互独立，P(AB )P(A)P(B )=