光的干涉基本原理

第三章 光的干涉
§ 3.1 两列单色波的干涉花样
一．两个点光源的干涉
球面波，在场点P 相遇，则有
)2cos(
)cos(01111011111ϕωλ
π
ϕωψ+-=+-=t r n A t r k A )2cos(
)cos(022********ϕωλ
π
ϕωψ+-=+-=t r n A t r k A
可设初位相均为零，则位相差
-=
∆22(2r n λ
π
ϕ)11r n
光程差
1122r n r n -=δ
在真空中 )(212r r -=∆λ
π
ϕ
干涉相长：
r (2λπ
2)1r -πj 2= 即λδj r r =-=12
干涉相消：
2(2r λπ)1r -π)12(+=j 即=-=12r r δ2
)12(λ+j j=0，±1，±2，±3，±4，……被称做干涉级数。

亮条纹和暗条纹在空间形成一系列双叶旋转双曲面。

在平面接收屏上为一组双曲线，明暗交错分布。

干涉条纹为非定域的，空间各处均可见到。

对于距离为d 的两个点源的干涉，如果物点和场点都满足近轴条件，则两点发出的光波在屏上的复振幅分别为
)2ex p(]}2)2/([ex p{),(~
2221x D ikd D y x d D ik D A y x U '-'+'++=''
)2ex p(]}2)2/([ex p{),(~
2222x D
ikd D y x d D ik D A y x U ''+'++=''
合成的复振幅为
=
''+''=''),(~
),(~),(~21y x U y x U y x U )]2ex p()2]}[ex p(2)2/([ex p{222x D ikd x D ikd D y x d D ik D A '-+'-'+'++ )2cos(]}2)2/([ex p{2222x D
kd D y x d D ik D A ''+'++= 强度分布为)2(cos 4)2(cos 4)2(cos 220
22
22x D kd I x D kd D A x D kd D A I '='⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎪⎭⎫ ⎝⎛= 20)(D
A
I =为从一个孔中出射的光波在屏上的强度。

是一系列等间隔的平行直条纹。

间距由π='∆x D kd 2决定，为λd
D
x ='∆。

二．两个线光源的干涉（双缝干涉）
在接收屏上，为相互平行的直条纹，明暗交错。

满足近轴条件时，
=-12r r θd ， θ0r x =d
r 0
=
)(12r r - 则亮条纹在
λd
r j
x 0
=处 暗条纹在 2
)12(0λ
d r j x +=处 亮（暗）条纹间距
λd
r x 0
=
∆ 如两列波初位相不为零，则条纹形状不变，整体沿X 向移动。

如光源和接收屏之间充满介质，因为n
d D j
kd D j x λ
π
=='2，则条纹间距为n
d r x λ
0=
∆ ， n 为折射率。

干涉条纹为非定域的，接收屏在各处均可看到条纹。

三．干涉条纹的反衬度（可见度）
反衬度的定义：在接收屏上一选定的区域中，取光强最大值和最小值，有
m
M m
M I I I I +-=
γ
而 2
21221)(,)(A A I A A I m M -=+=
则有 22
21212A A A A +=γ22
12
1
)
(12
A A A A +=，
当A 1=A 2时，γ=1；当A 1<<A 2或A 1>>A 2时，即A 1、A 2相差悬殊时，γ=0。

记I 0=I 1+I 2，则条纹亮度可表示为
)
cos 1(]cos 21)[(cos 202
2
2
1212
221212221ϕγϕϕ∆+=∆++
+=∆++=I A A A A A A A A A A I
四．两束平行光的干涉
两列同频率单色光，。

振幅分别为A 1，A 2；初位相为10ϕ，20ϕ，方向余弦角为（111,,γβα），
（222,,γβα）
在Z=0的波前上的位相为，
101111)0cos cos (cos ),(ϕγβαϕ+*++=y x k y x
202222)0cos cos (cos ),(ϕγβαϕ+*++=y x k y x
位相差)()cos (cos )cos (cos ),(10201211ϕϕββααϕ-+-+-=∆y k x k y x （x ，y ）处的强度为
)],(cos 1)[(cos 2),(2
221212221y x A A A A A A y x I ϕγϕ∆++=∆++=
可得干涉条纹
)()cos (cos )cos (cos ),(10201211ϕϕββααϕ-+-+-=∆y k x k y x =⎩⎨⎧+π
π
)12(2j j
即亮、暗条纹都是等间隔的平行直线，形成平行直线族，斜率为
1
21
2cos cos cos cos ββαα---
条纹间隔为
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
-=
-=∆-=-=∆12121212cos cos )cos (cos 2cos cos )cos (cos 2ββλββπααλααπk y k x 或条纹的空间频率为⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
∆=∆=y f x f y x 11
是非定域的。

§ 3.2 相干光的获得
一．原子发光的特点
原子从较高的能量状态变化（跃迁）到较低的能量状态时，便会有多余的能量，可以以各种形式释放出来。

如果两能量之差合适，则以发光的形式释放能量。

所以，发光是原子在不同的能量状态之间跃迁的结果。

光源中总是包含大量的原子，总是有大量的原子同时发光，不同原子所发的光波，都有随意的传播方向、振动方向、位相和频率。

所以，不同原子在同一时刻所发出的光波是不相干的；同一原子在不同时刻所发出的光波也是不相干的。

即普通光源所发的光都是不相干的。

所以，在通常情况下看不到光的干涉。

即普通光源所发的光在相遇时总是强度相加，不会产生干涉，出现光强的重新分布。

二．相干光的获得
对于普通的光源，要想得到相干光，只有一种方法，就是设法将同一个原子在同一时刻所发出的一列光波分为几部分，这几部分光波由于来自同一列光波，所以具有相同的频率、固定的位相差，而且存在相互平行的振动分量，就是相干的。

这就是干涉的物理本质。

所以，也可以说，干涉是一列光波自己和自己的干涉，也只有自己和自己之间才有可能发生干涉。

光源所发出的大量光波，其中的每一列都与自己干涉，形成一个干涉花样，有一个光强分布；不同的光波之间，则是干涉花样的强度叠加。

可以用数学表达式表示如下：
在时刻t ，光源中第I 个原子跃迁发出的波记为U i ，该列波经分光装置后分为两部分，这两部分是相干的。

这两部分到达场点P 时振幅为21,i i A A ，位相差为i ϕ∆，该原子发出的波在P 点的干涉强度为i i i i i i A A A A I ϕ∆++=cos 2212
22
1，对于点光源和相同的干涉装置，所有原子的i ϕ∆是相同的。

所有原子在t 时刻发出的波在P 点形成的总的干涉强度为
∑∑==∆++==N
i i i i i i N i i A A A A I I 1
212
22
11
cos 2ϕ
可以通过分波前或分振幅的方法得到相干光。

三、杨氏干涉
一列光波经过双缝或双孔，分成相干的两列光波，两列相干光在空间P 处相遇，位相差为ϕ∆产生干涉。

第二列光波分成的两列相干光，在P 处的位相差与第一列光波相同，亦为ϕ∆，产生与第一列相同的干涉强度分布，与第一列所产生的干涉，进行强度叠加。

依此类推，得到一个干涉花样。

其物理过程为：第一步是相干叠加，第二步是强度叠加（非相干）。

光源发出的任一列光波，经过双缝或双孔，分成相干的两列，在空间相遇，产生干涉。

光源发出的不同光波波列是不相干的，各自干涉后，相互之间只能进行强度叠加。

上述物理过程为：第一步是同一列波的相干叠加；第二步是不同波列间的强度叠加（非相干）。

四、干涉的特点
干涉是一列一列分立的光波之间的相干叠加
干涉是一列光波自己和自己的干涉
干涉的结果，使得光的能量在空间重新分布，形成一系列明暗交错的干涉条纹
干涉之后的光波场仍然是定态波场
§ 3.3 分波前的干涉装置
一．杨氏干涉
一列光波经过双缝或双孔，分成相干的两列光波，两列相干光在空间P处相遇，位相∆产生干涉。

差为ϕ
∆，产生与第二列光波分成的两列相干光，在P处的位相差与第一列光波相同，亦为ϕ
第一列相同的干涉强度分布，与第一列所产生的干涉，进行强度叠加。

依此类推，得到一个干涉花样。

其物理过程为：第一步是相干叠加，第二步是强度叠加（非相干）。

二．菲涅耳（Fresnel）双镜
三．罗埃镜
四. 菲涅耳（Fresnel）双棱镜
五．维纳驻波的干涉
入射波 )cos(11t kz A ωψ-=
反射波 )cos()cos(222ϕωϕωψ-+=+--=t kz A t kz A ，21A A = 合振动 )cos()cos(21ϕωωψψψ-++-=+=t kz A t kz A
)2
cos()2
cos(2ϕ
ϕ
ω-
-
=kz t A
形成驻波。

在0=z ，0=I ，说明πϕ=，反射时有半波损失。

则
kz t A sin sin 2ωψ-=，光强 kz A I 22sin 4=，z=0处，I=0，为极小值。

暗纹间隔πλ
π
=∆=
∆z z k 2，可得2
λ
=
∆z ，板G 上条纹间隔为
θλθsin 2/sin /=∆=∆z l
斜入射时，将波矢分解为平行和垂直于z 的两部分。

与z 平行部分无反射波，不发生干涉。

六．光场的空间相干性
1、光源宽度对干涉条纹可见度的影响
对于由S ’点发出的光波，到达P 点时，光程差包括两部分：
S S S S '-'=121δ，122PS PS -=δ。

21δδδ+=
设S ’的坐标为x ，考虑到对于天体的测量，则b>>d ，同时l 也很大。

βαδx l
d x l l x
d
d l x d l d d d =≈++⋅=⋅=⋅==2121122
l
d
=
β，光源中心对双缝的张角，称为干涉孔径。

S ’上下移动时，2δ不变。

扩展光源上一段dx 形成的干涉强度
)](2cos 1[2)2cos 1(2200δβλ
π
δλπ++=+=x dx I dx I dI
干涉场的强度为⎰
-++=22
20)](2cos
1[2b
b x dx I
I δβλ
π
)2cos sin (220δλ
πλβππβλb b I +
= λ
βππβλb I b I I Max sin 220
0+= λ
βππβλb I b I I Min sin 220
0-= 可见度λ
βπβπλγb b sin =
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
X Axis Title
Y A x i s T i t l e
F1
πλ
β
π=b ，即λβλd
l
b ==
时，γ=0，此时b 为扩展光源的极限宽度。

由于扩展光源导致干涉消失，此为光的空间相干性。

要求相干光源宽度λd l b ≤，或者在光源一定的情况下，双缝间距l b
d λ
≤，干涉孔径角
b l d λβ≤=。

可得最大干涉孔径角，即相干孔径b
λ
θ=∆0。

λθ=∆0b ，空间相干性的反比公式。

当双缝处于相干孔径之内时，可出现干涉，否则无干涉。

相干面积2
d S =。

七．光场的时间相干性
光源的非单色性对干涉的影响。

入射光波长范围为λλλ∆+~，在屏上位置λd
r j
x 0
= 除j=0级之外，第j 级亮纹的宽度从λλd r j
x 0)(=到)()(0λλλλ∆+=∆+d
r
j x 。

当λλ∆+的j 级与λ的j+1级重合时，干涉消失。

即
λλλ)1()(+=∆+j j ，可得λλ∆=/j ，最大相干级数。

对应的光程差=Max δλλλ)1()(+=∆+j j =λλλλλ∆≈
+∆//22，相干长度。

关于相干长度的说明。

一列单色波可表示为)
(),(),(~
t kz i e k z a k z U ω-=，复色光是波长有一定范围的光波，
实际上是波长不同的一系列单色波的叠加。

即∑=
k
k z U z U ),(~
)(~
，波长连续变化时，
求和变为积分，有⎰
⎰∞-
∞
=
=
)
(
)
,
(
)
,
(
~
)
(
~
dk
e
k
z
a
k
z
U
z
U t
kz
iω
波矢的范围为2/
k
k∆
±，各单色波振幅相等，即k
A
k
z
a∆
=/
)
,
(，)
(k
ω
ω=,对于准单色波，由于其波长范围很小，有)
(
)
(
)
(
k
k
dk
d
k
k
k
-
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
=
ω
ω
ω，记
g
k
dk
d
v
=
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛ω
，
t
k
z
k
t
k
k
z
k
k
t
k
k
dk
d
k
kz
t
kz
g
k
)
(
)
(
)
(
)]
(
)
(
[
ω
ω
ω
ω-
+
-
-
-
=
-
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
-
=
-v
积分式为
⎰∆+∆
-
-
-
-
-
∆
=2
2
)
)
(
(
)
(
)
[(
)
(
~k
k
k
k
t
k
z
k
i
t
k
k
z
k
k
i dk
e
e
k
A
z
U gω
v，记k
k
k'
=
-
，
)
(ω
ω=
k，则有
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
2
)
(
2
2
)
(
)
(
2
)
(
2
sin
)
(
)
(
2
sin
2
)
(
]
[
)
(
~
t
z
k
i
g
g
t
z
k
i
g
g
t
z
k
i
g
t
z
k
i
t
z
k
i
t
z
k
i
k
k
t
z
k i
e
t
z
k
t
z
k
A
e
t
z
i
t
z
k
i
k
A
e
t
z
i
e
e
k
A
e
dk
e
k
A
z
U
g
g
g
ω
ω
ω
ω
-
-
-
-
∆
-
-
∆
-
∆
∆
-
-
'
-
∆
-
∆
=
-
-
∆
∆
=
-
-
∆
=
∆
=⎰
v
v
v
v
v
v
v
v
U
(
z
)
z
是波矢为k 0，有效分布区域为λλπ∆=∆=//22
k Z 的波包。

其中高频部分的波矢为0k ，频率为)(0k ω，波包的速度为dk
d g ω
=v ，是这些不同频率的单色波叠加之后的波群传播的速度，称为群速度。

由于P P k v v ==
=
λ
π
ν
π
ω22，所以有dk
d k dk k d dk d p p p g v v v v +===
)
(ω， 而λλ
λλ
π
λ
π
d k
d d dk -
=-
==2
2)2(
，所以λ
λ
d d p p g v v v -==
波列等效长度λλ∆==/2
0Z L ，用频率表示，ν
ννλλλ∆=∆=∆c
c 222，故，ν∆=/0c L 。

波包传过这一长度的时间为0τ，有ντ∆=/0c c ，即10=∆ντ。

时间相干性的反比公式。

以上的计算表明，非单色波列是在空间有限上的一个波包，长度即为其相干长度。

两列波到达某一点的光程差大于波列长度时，它们是不能相遇的，因而不可能进行叠加，这就是相干长度的物理本质。

也是时间相干性的物理本质。

§ 3.4 菲涅耳（Fresnel ）公式
入射光在媒质界面处分为反射和折射两部分。

一．振动矢量的分解
将振动矢量分解为垂直于入射面的S 分量和平行于入射面的P 分量。

P 、S 和k 构成右手系。

S 沿+y 方向为正。

图示为各个分量的正方向。

Fresnel 公式描述了各个分量的电矢量之间的关系。

对于定态光波，Fresnel 公式也是各个分量复振幅之间的关系式。

二．Fresnel 公式
反射、折射瞬间的电矢量与入射电矢量之间的关系。

反射光
)
sin()sin(cos cos cos cos 21212211221111i i i i i n i n i n i n E E s s +--=+-=' )
()(cos cos cos cos 21212112211211i i tg i i tg i n i n i n i n E E P P
+-=+-=' 折射光
)
sin(cos sin 2cos cos cos 2211
222111112i i i i i n i n i n E E s s +=+=
)
cos()sin(cos sin 2cos cos
cos
221211
221121112i i i i i i i n i n i n E E P P -+=+=
三、反射率与透射率
从Fresnel 公式可以直接得到反射率和透射率。

振幅反射率11P P
P E E r '=
，1
1S S S E E r '= 光强反射率2
||s s r R =，2||p p
r R =
振幅透射率，1
2P P P
E E t =，1
2
s s s
E E t =
光强透射率，212||P P t n n T =
，21
2||S S t n n
T = 能流反射率等于光强的反射率 能流透射率
12
21122cos cos i i t S I S I s s s =，1
22
1122cos cos i i t S I S I p p p =
四．半波损失的解释
光波由光疏介质射向光密介质，n1<n2。

1．掠入射
021>-i i ，且
ππ
<+<212
i i ，2
,21π
≈
i i ，由Fresnel 公式，可得
011<'S S E E ，011<'P P E E ，11S S E E '≈11P P E E '
，即1111P S P
S E E E E =''，反射光中，P ，S 分量的方向均在
反射瞬间反转。

逆着X 轴方向观察，可见振动方向反转。

2．垂直入射
0~,21i i ，
011<'S S E E ，011>'P P E E ，11S S E E '≈-11P P E E '
，即1
111P S P S E E E E -=''
反射光中的S 分量在反射瞬间反转，P 分量也反转。

沿Z 轴方向观察，发现振动反转。

以上两种情况说明由于反射使得光的振动方向有突变，转到相反的方向，相当于光的位相突然有π的改变。

对应到光程上，相当于有半个波长的突变。

故称半波损失。

四．Stocks 倒逆关系
r ，t 界面对振幅的反射率和透射率。

入射波振幅为A ，
x
y y
x
有⎩⎨⎧='+='+02r At Art A t At Ar ，即⎩⎨⎧='+='+0
12r r t t r ，22,r r r r '='-=
§ 3.5 薄膜干涉
从O 点发出的光波，在介质的界面处分为反射和折射两部分，折射部分再经下界面的反射又从上界面射出。

在n 1介质中，就有1，2，……一系列光波。

由于这些光都是从同一列光分得的，所以是相干的；这些光是将原入射光的能量（振幅）分为几部分得到的，被称为分振幅的干涉。

对于分振幅的干涉，首先讨论以下两个问题：
一、参与干涉的波列数
可以得到各个反射和透射波列的振幅
Ar A =1，)1(21r Ar t Art t Atr A -='='=，)1(2
333r Ar t t Ar A -='=，
)1(254r Ar A -=，)1(232r Ar A n n -=-
)
1(21r A t At A -='='
，
)1(222
r Ar A -='，)1(243r Ar A -='，)1(2)1(2r Ar A n n
-='-
对透明介质，r 很小，A 1~A 2>>A 3>>A 4>>……，>>'>>'>>'321
A A A ……反射光，A 1，A 2起主要作用；透射光，可见度极小。

如果是高反射率膜，则r 很大，1 r ，而t 很小，故透射的各列波的振幅比较接近，此时就必须考虑多光束的干涉。

二、干涉光的定域
由于用波的模型描述光，从上表面反射的光，可以向任意方向传播，从薄膜内部透射出来的光，同样也可以向任意方向传播，所以在空间各处都有交叠，都可以产生干涉。

但是，一方面，反射波和透射波的能量最大的方向，还是符合几何光学定律得反射和折射方向，另一方面，可以采用特定的光路，使波列在特定的区域内进行交叠，产生干涉，观察光的干涉。

对于薄膜的干涉，最常用的有两种方法，第一，让波列在无限远处产生干涉，由于只有相互平行的波列在能在无限远处相遇，或者这些波的倾角是相同的，被称为等倾干涉；第二、让波列在薄膜的表面进行干涉，由于在膜厚相等的区域，具有相同的光程或光程差，所以，这类干涉被称为等厚干涉。

一 . 等倾干涉——薄膜两表面平行
在所有的反射光和透射光中，相互平行的光将汇聚在无穷远处，则它们的干涉也将在无穷远处发生。

如果在薄膜上表面用凸透镜观察，则所有相互平行的光将汇聚在凸透镜的焦平
面上。

在这种干涉装置中，只需要考虑相互平行的光即可。

1 干涉级
与透镜光轴夹角为
1
i的光，则在薄膜内，其折射角为
2
i，这两条光线在透镜焦平面相遇
时的光程差可以按如下方法计算
2
cos
/
2i
h
BC
AB=
+，
1
2
1
sin
2
sin i
htgi
i
AC
AD=
=，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
cos
2
)
sin
1(
cos
2
)
sin
(
cos
2
)
sin
cos
(
2
i
h
n
i
i
h
n
i
n
n
i
h
i
tg
n
i
n
h
=
-
=
-
=
-
=
δ
两列波之间有半波损失2/
λ，则
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
±
-
=
±
=
2
)1
2(
2/
sin
2
2/
cos
2
1
2
1
2
2
2
2
2λ
λ
λ
λ
δ
j
j
i
n
n
h
i
h
n
1
2
1
2
2
2sin
2i
n
n
h-或
2
2
cos
2i
h
n=
2
)1
2(
λ
+j干涉相长，λj干涉相消。

入射角相同时，光程差相同，是同一干涉级，故名等倾干涉。

入射点不同、入射面不同，只要相对于界面法线，有相同的角度，经透镜后，在焦平面上汇聚为同心圆。

定域于无穷远
处。

所以等倾干涉的条纹是一系列的同心圆环。

其中每一条纹对透镜光心的张角为
1
i。

2
干涉条纹的分布特征
（1） 中央条纹
λ)2
1
(cos 22+=j i nh ，021==i i ，垂直入射，干涉级最大，即中央条纹的干涉级数
最大，由h n 2决定。

h 增大，对同一j ，i 1增大，即圆环膨胀。

h 减小，对同一j ，i 1减小，即圆环收缩。

（2） 条纹间距
相邻条纹，1±=∆j ，λ-=∆22sin 2i i nh ，2
2sin 2i nh i λ
-
=∆，厚度大，条纹间隔小。

（3） 条纹角宽度
相邻亮暗条纹之间的角距离。

22cos 2i h n =2)12(λ
+j ，)cos(2222i i h n ∆+=λj
2/sin 2222λ=∆i i h n ,222sin /i h n i λ=∆
（4） 条纹分布
2
2sin 2i nh i λ
-
=∆，中心处，角度小，2i ∆大，即条纹中心疏，周围密。

二 . 等厚干涉
薄膜两表面不平行，有一夹角α，则在光波相交处均有干涉，整个空间都有干涉条纹，是非定域的。

如果仅仅观察薄膜上表面处的干涉，则计算方法如下。

由于实用的等厚干涉装置，薄膜两面间的夹角α是很小的，计算光程差的方法同前，有
121222sin 2i n n h -或22cos 2i h n =2
)
12(λ
+j 干涉相长，λj 干涉相消。

正入射时，021==i i ，h 相同处，j 相同，故名等厚干涉，定域于薄膜上表面。

则亮纹位置为 2/)12(22λ+=j h n j
j ，j+1间高度差22/n h λ=∆，在表面间距αλαsin 2/sin /2n h l j =∆=∆
在尖端处，只有半波损失，反射光永远是暗纹。

透射光是亮纹。

可用于检测表面平整，确定凸凹。

由于厚度相等处是同一级干涉条纹，所以有凹坑处，厚度增大，不符合干涉的条件，但是，在凹坑附近靠近薄膜尖端的一侧，由于厚度较小，符合干涉的条件，则条纹将向此处弯曲。

对于凸起，则条纹向厚的一侧偏移。

§ 3.6 分振幅的干涉装置
一 .Michelson 干涉仪
G 1：分光板，G 2：补偿板。

G 1与M 1，M 2成45o 角。

两镜均有半波损失。

为等倾或等厚干涉，2121,,cos 2i i n n j i h ===λ。

相当于空气膜的干涉。

用于精确测量长度。

条纹形状
1、M 1┴M 2 等倾干涉
同心圆环，圆心在视场中央。

2、M 1不垂直于M 2 等厚干涉
P1，P2点进入光瞳的光线必须是倾斜的，故其入射角比中央O 点大，所以h 必须增大才能使得满足干涉相长条件，故条纹向厚的一端弯曲。

傅里叶变换光谱仪
在Michelson 干涉仪中，可以让进行干涉的两束光的强度相等，即它们的振幅相等，记为)(k A ，则干涉强度可表示为)]cos(1)[(2)](cos 1)[(2)(2
2
δϕk k A k k A k I +=∆+=，而仪器接收到的光强为各种波长的强度之和。

⎰⎰∞
∞+==0
20
)]cos(1)[(2)()(dk k k A dk k I I δδ
⎰⎰⎰∞
∞
∞
+=+=0
200
2
2
)cos()(2)cos()(2)(2dk k k A I dk k k A dk k A δδ
⎰∞
+=0
0)cos()(dk k k i I δ，其中)(2)(2k A k i =，为光源光强按波数的分布。

即有
⎰
∞
-=0
0)()cos()(I I dk k k i δδ
0I 与波长无关，而后面的积分是一个傅里叶余弦变换的表达式。

其逆变换为
⎰
∞
-=
0cos ])([2
)(δδδπ
d k I I k i 。

在Michelson 干涉仪中，光程差δ即为
两反光镜之间距离的两倍，即2D ，所以，只要在任何位置上记录得到衍射光强，即可通过傅里叶变换得到光源的光谱分布。

由此可以得到光源的光谱分布)(k i 或)(λi 。

二 .干涉滤波片
利用干涉相长或干涉相消原理，对某些波长增透或增反，制成光学镜头或反射镜以及滤光镜。

三 .牛顿环（圈）
反射光：一列在球面被反射，另一列在平面被反射，有半波损失。

是等厚干涉。

亮纹λλδj h =±=2/2，即λ)2
1(2+=j h ，...3,2,1,0=j 。

而2)2(r h R h =-，因为2R>>h ，所以R r h 2/2
=，hR r 2=。

Newton Ring 半径为 R j r j λ)2/1(+=
...3,2,1,0=j 。

透射光：一列直接透过，另一列在平面和球面间反射后透过，由于两次反射，无半波损失。

Newton Ring 半径
R
j r j λ=
...3,2,1,0=j 。

可以通过测量Newton Ring 半径得到球面透镜曲率半径R 。

§ 3.7 多光束干涉——Fabry-Perot 干涉仪
一 .光强分布
两相对反射面严格平行，由于镀有高反射率膜，光线在两面间多次反射。

等倾干涉，条纹为同心圆环。

除第一列反射光外，相邻两列反射光相同光程差，相邻两列透射光也有相同光程差和位相差，
122122sin 2i n n h -=δ，δλ
πδϕ2==∆k
第一列位相为0ϕ，第n 列位相为ϕϕ∆+n 0 对于透射光，振幅可表示为
)1(2)1(2r Ar A n n
-='-=n r r r A 222)1(--=10-n A ρ 220),1(r r A A =-=ρ，对光强的反射率。

第n 列透射光的复振幅为
])1([100~
ϕϕρ∆-+-=n i n e A U 相干叠加
∑∑-=∆=∆-+-==1001])1([1000~
N n in n i N n n i n e e A e A U ϕϕϕϕρρρ
=ϕ
ϕ
ϕρρ∆∆--i iN N i e
e e
A 110
0，当∞→N 时， ϕ
ϕρ∆-=i i e
e A U 1~0
透射光强
2
2
22
02
cos 211)
1)(1(~~ρϕρρρρρρϕϕ
ϕϕ+∆-=
+--=
--==∆-∆∆-∆*A e e A e e A U U I i i i i T
而20222
)1()1(ρρ-=-=I A A
2sin
4)1(2sin 2112)1(cos 22)1(cos 212222
22ϕρρϕρρϕ
ρρρρϕρ∆+-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛∆+-+-=∆-+-=+∆- 2
2
)
1(2sin 41ρϕ
ρ-∆+=
I I T ，
-5
5
10
15
20
25
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
ρ=0.02
ρ=0.1
ρ=0.4
ρ=0.9
I (t )/I (0)
Δφ
反射光2
sin 4)1(12
2
0ϕ
ρρ∆-+
=
-=I I I I T R
半值宽度：光强降为峰值一半时峰的宽度。

光强按ϕ∆为周期分布，可在0=∆ϕ附近计算半值宽度，得
1)1(
2sin 422
=-∆ρϕρ，即1)1(4)1()4(4)1(4sin 4222222=-=-≈-ρρερερρερ，得到ρ
ρε)1(2-=。

ρ越大，ε越小，条纹越锐。

二 .光波场特性
1、 条纹角分布
λπδλπ
ϕ/cos 4222i h n j ==∆，22
2sin 4)(di i h n d j λπϕ-=∆
当εϕ=∆)(j d 时，j i di ∆=2，条纹半角宽度
ρρπλπλε
-==∆1sin 2sin 42222i h n i h n i j
ρ大，h 长，i ∆小，条纹锐。

中央条纹宽，周围细锐。

薄膜干涉，即双光束干涉时，222sin /i h n i λ=∆，可见F —P 条纹锐得多。

即出射的条纹发散角很小。

保证了激光的平行性。

2、 频率（波长）分布
只有特殊的波长满足极大条件，即，
22cos 21i h n j
j =λ 在j λ附近，虽经干涉，并未全部相消，设可见的波长范围为j λ∆，则有ελλπϕ=-=∆j j j d i h n d )/cos 4()(222，可得
ρ
ρπλρρπλλ-=-=∆11cos 2222
j i h n j
h
大，
ρ大时，
j
λ∆小。

可用于选模。

保证了激光的单色性。

入射光
λ
出射光
λ
3、光谱的精细结构分析
λj
i
nh
j
=
cos
2，)
(
)
cos(
2δλ
λ
δ+
=
+j
i
i
nh
j
λ
jd
di
i
nh
j
j
=
-sin
2，即δλ
δ
j
i
nh
j
i
sin
2
=
为波长差为δλ的同一级亮条纹的角距离。

与薄膜干涉相同，但由于条纹锐得多，所以靠得很近的条纹也可以分辨清楚。

当i
i∆
=
δ时，即相邻两条纹的角距离等于每一个条纹的半角宽度时，为可以分辨的极限。

此为Taylor判据。

δλ
δ
j
i
nh
j
i
sin
2
=，
ρ
ρ
π
λ-
=
∆
1
sin
2
2
2
i
h
n
i，可分辨最小波长间隔
ρ
ρ
π
λ
δλ
-
=
1
j
，色分辨本领为π
ρ
ρ
δλ
λ
j
-
=
1。