高一数学两条直线的交点坐标PPT优秀课件

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高一数学复习考点知识讲解课件7---两条直线的交点

高一数学复习考点知识讲解课件§1.4两条直线的交点考点知识1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．导语在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点、直线相关的距离问题等．一、判断直线的交点及由交点求参数问题点A(－2,2)是否在直线l1：3x＋4y－2＝0和直线l2：2x＋y＋2＝0上，点A和直线l1，l2有什么关系？提示在，点A是l1与l2的交点．知识梳理1．设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0：方程组错误!的解一组无数组无解直线l1，l2的公共点一个无数个零个直线l1，l2的位置关系相交重合平行2.已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P ，则点P 既在直线l 1上，也在直线l 2上．所以点P 的坐标既满足直线l 1的方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，也满足直线l 2的方程A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，即点P 的坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．注意点：(1)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．(2)两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.例1(1)(多选)(教材P27例1改编)下列选项中，正确的有() A ．直线l 1：x －y ＋2＝0和l 2：2x ＋y －5＝0的交点坐标为(1,3) B ．直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：2x －4y ＋8＝0的交点坐标为(2,1) C ．直线l 1：2x ＋y ＋2＝0和l 2：y ＝－2x ＋3的交点坐标为(－2,2) D ．直线l 1：x －2y ＋1＝0，l 2：y ＝x ，l 3：2x ＋y －3＝0两两相交答案AD解析方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2＝0，2x ＋y －5＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为(1,3)，A 正确；方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，2x －4y ＋8＝0有无数个解，这表明直线l 1和l 2重合，B 错误；方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋2＝0，2x ＋y －3＝0无解，这表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2，C 错误；方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，y ＝x 的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，2x ＋y －3＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，2x ＋y －3＝0的解也为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以，三条直线两两相交且交于同一点(1,1)，D 正确．(2)直线2x ＋3y －k ＝0和直线x －ky ＋12＝0的交点在x 轴上，则k 的值为() A ．－24B ．24C ．6D ．±6 答案A解析联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －k ＝0，x －ky ＋12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k 2－363＋2k ，y ＝k ＋243＋2k，因为直线2x ＋3y －k ＝0和直线x －ky ＋12＝0的交点在x 轴上，所以y ＝k ＋243＋2k＝0，解得k ＝－24. 反思感悟(1)求两直线的交点坐标可直接建立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系．(2)当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，此点必满足第三条直线．延伸探究若将(1)中选项D 改为“三条直线mx ＋2y ＋7＝0，y ＝14－4x 和2x －3y ＝14相交于一点”，求m 的值．解解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝14－4x ，2x －3y ＝14，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，所以这两条直线的交点坐标为()4，－2.由题意知点()4，－2在直线mx ＋2y ＋7＝0上，将()4，－2代入，得4m ＋2×()－2＋7＝0，解得m ＝－34.跟踪训练1(1)直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点为() A.()4，3B.()－4，3 C.()－4，－3D.()4，－3 答案B解析由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3，所以交点为()－4，3.(2)若直线l 1：y ＝kx ＋k ＋2与直线l 2：y ＝－2x ＋4的交点在第一象限内，则实数k 的取值范围是() A ．k ＞－23B ．k ＜2C ．－23＜k ＜2D ．k ＜－23或k ＞2 答案C解析方法一由题意知，直线l 1过定点P (－1,2)，斜率为k ，直线l 2与x 轴、y 轴分别交于点A (2,0)，B (0,4)，若直线l 1与l 2的交点在第一象限内，则l 1必过线段AB 上的点(不包括A ，B )，因为k P A ＝－23，k PB ＝2，所以－23＜k ＜2.方法二由直线l 1，l 2有交点，得k ≠－2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k ＋2，y ＝－2x ＋4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－k k ＋2，y ＝6k ＋4k ＋2.又交点在第一象限内，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－k k ＋2>0，6k ＋4k ＋2>0，解得－23＜k ＜2.二、求过两直线交点的直线例2求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．解由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)． ∵直线过坐标原点， ∴其斜率k ＝2－2＝－1.故直线方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.反思感悟求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下解法：先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他条件求解．跟踪训练2求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)． ∵l ⊥l 3，l 3的斜率为34，∴k l ＝－43， ∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.三、过两直线交点的直线系方程知识梳理1．平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程为Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )． 2．垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程为Bx －Ay ＋λ＝0.3．过两条已知直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．例3求过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．解方法一解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75，所以两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－75.又所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.故所求直线方程为y ＋75＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35，即15x ＋5y ＋16＝0.方法二设所求直线方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0，即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以有⎩⎪⎨⎪⎧(2＋λ)×1－(λ－3)×3＝0，(2＋λ)×(－1)－(2λ－3)×3≠0，得λ＝112.代入(*)式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋112x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫112－3y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2×112－3＝0，即15x ＋5y ＋16＝0. 延伸探究1．本例中将“3x ＋y －1＝0”改为“x ＋3y －1＝0”，则如何求解？解由例题知直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－75，所求直线与x ＋3y －1＝0平行，故斜率为－13，所以所求直线的方程为y ＋75＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35，即5x ＋15y＋24＝0.2．本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？解设所求直线方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0，即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0，由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直，则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－34，所以所求直线方程为5x －15y －18＝0. 反思感悟解含参数的直线恒过定点问题的策略(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．跟踪训练3无论m 为何值，直线l ：(m ＋1)x －y －7m －4＝0恒过一定点P ，求点P 的坐标．解∵(m ＋1)x －y －7m －4＝0， ∴m (x －7)＋(x －y －4)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝0，x －y －4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3. ∴点P 的坐标为(7,3)．1．知识清单：(1)方程组的解与直线交点个数的关系． (2)两条直线的交点． (3)直线系过定点问题．2．方法归纳：消元法、直线系法． 3．常见误区：对两直线相交条件认识模糊．1．直线2x ＋y ＋8＝0和直线x ＋y －1＝0的交点坐标是() A ．(－9，－10) B ．(－9,10)C ．(9,10)D ．(9，－10) 答案B解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋8＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝10，故两条直线的交点坐标为(－9,10)．2．不论m 为何实数，直线l ：(m －1)x ＋(2m －3)y ＋m ＝0恒过定点() A ．(－3，－1) B ．(－2，－1) C ．(－3,1) D ．(－2,1) 答案C解析直线l 的方程可化为m (x ＋2y ＋1)－x －3y ＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋1＝0，－x －3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1， ∴直线l 恒过定点(－3,1)．故选C.3．不论a 取何值时，直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过第____象限．答案四解析方程可化为a (x ＋2y )＋(－3x ＋6)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝0，－3x ＋6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∵(2，－1)在第四象限，故直线恒过第四象限．4．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k ＝________.答案－12解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，又该点(－1，－2)也在直线x ＋ky ＝0上，∴－1－2k ＝0，∴k ＝－12. 课时对点练1．两条直线l 1：2x －y －1＝0与l 2：x ＋3y －11＝0的交点坐标为()A ．(3,2)B ．(2,3)C ．(－2，－3)D ．(－3，－2)答案B解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0，x ＋3y －11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.2．直线3x ＋my －1＝0与4x ＋3y －n ＝0的交点为(2，－1)，则m ＋n 的值为()A ．12B ．10C ．－8D ．－6答案B解析∵直线3x ＋my －1＝0与4x ＋3y －n ＝0的交点为(2，－1)．∴将点(2，－1)代入3x ＋my －1＝0得3×2＋m ×(－1)－1＝0，即m ＝5，将点(2，－1)代入4x ＋3y －n ＝0得4×2＋3×(－1)－n ＝0，即n ＝5，∴m ＋n ＝10.3．两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值是()A ．－24B ．6C ．±6D ．24答案C解析因为两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，所以设交点为(0，b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3b －k ＝0，－kb ＋12＝0，消去b ，可得k ＝±6. 4．△ABC 的三个顶点分别为A (0,3)，B (3,3)，C (2,0)，如果直线x ＝a 将△ABC 分割成面积相等的两部分，那么实数a 的值等于() A.3B ．1＋22C ．1＋33D ．2－22答案A解析l AC ：x 2＋y 3＝1，即3x ＋2y －6＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －6＝0，x ＝a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ，y ＝6－3a 2，因为S △ABC ＝92，所以12×a ×⎝⎛⎭⎪⎫3－6－3a 2＝94，得a ＝3或a ＝－3(舍去)． 5．过直线l 1：x －2y ＋4＝0与直线l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且过原点的直线方程为()A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －2y ＝0D ．x ＋2y ＝0答案D解析联立⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y ＋1＝0，解得两条直线l 1：x －2y ＋4＝0与直线l 2：x ＋y ＋1＝0的交点坐标为(－2,1)．所以过点P (－2,1)且过原点(0,0)的直线的斜率k ＝－12.所以所求直线方程为y －0＝－12(x －0)，即x ＋2y ＝0.6．若直线l ：y ＝kx －3与直线x ＋y －3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l 的倾斜角θ的取值范围是()A ．{θ|0°<θ<60°}B ．{θ|30°<θ<60°}C ．{θ|30°<θ<90°}D ．{θ|60°<θ<90°}答案C解析由题意可知k ≠－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，x ＋y －3＝0，解得x ＝3＋31＋k ，y ＝3k －31＋k ， ∴两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3＋31＋k ，3k －31＋k . ∵两直线的交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋31＋k >0，3k －31＋k >0，解得k >33. 又直线l 的倾斜角为θ，则tan θ>33，∴30°<θ<90°.7．直线l 1：3x －y ＋12＝0和l 2：3x ＋2y －6＝0及y 轴所围成的三角形的面积为________．答案9解析易知三角形的三个顶点坐标分别为(－2,6)，(0,12)，(0,3)，故所求三角形的面积为12×9×2＝9.8．已知直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －5y ＋c ＝0垂直相交于点(1，m )，则m ＝______. 答案－2解析由两直线垂直得2a －10＝0，解得a ＝5.又点(1，m )在直线上，所以a ＋2m －1＝0，所以m ＝－2.9．求经过直线l 1：7x －8y －1＝0和l 2：2x ＋17y ＋9＝0的交点，且垂直于直线2x －y ＋7＝0的直线方程．解由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋17y ＋9＝0，7x －8y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1127，y ＝－1327，所以交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1127，－1327. 又因为所求直线斜率为k ＝－12，所以所求直线方程为y ＋1327＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1127，即27x ＋54y ＋37＝0. 10．若两条直线l 1：y ＝kx ＋2k ＋1和l 2：x ＋2y －4＝0的交点在第四象限，求k 的取值范围．解联立两直线的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，x ＋2y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1， ∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k 2k ＋1>0，6k ＋12k ＋1<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －12<k <12，－12<k <－16，即－12<k <－16. 则k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－16.11．已知a ，b 满足2a ＋b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫16，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，16D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－13 答案D解析由2a ＋b ＝1，得b ＝1－2a ，代入直线方程ax ＋3y ＋b ＝0中，得ax ＋3y ＋1－2a ＝0，即a (x －2)＋3y ＋1＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，3y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝－13，所以该直线必过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－13. 12．经过直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________．答案x ＋y ＋1＝0或3x ＋4y ＝0解析设直线方程为3x ＋2y ＋6＋λ(2x ＋5y －7)＝0，即(3＋2λ)x ＋(2＋5λ)y ＋6－7λ＝0.令x ＝0，得y ＝7λ－62＋5λ，令y ＝0，得x ＝7λ－63＋2λ. 由7λ－62＋5λ＝7λ－63＋2λ，得λ＝13或λ＝67. 所以直线方程为x ＋y ＋1＝0或3x ＋4y ＝0.13．若三条直线2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则2m ＋4n ＝______. 答案－5解析由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，所以三条直线交点坐标()2，4在直线mx ＋ny ＋5＝0上，2m ＋4n ＋5＝0，所以2m ＋4n ＝－5.14．已知A (－2,4)，B (4,2)，直线l ：ax －y －2＝0与线段AB 恒相交，则a 的取值范围为______________．答案(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析如图所示，直线l：ax－y－2＝0经过定点D(0，－2)，a表示直线l的斜率，设线段AB与y轴交于点C，由图形知，当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段CB上时，a大于或等于DB的斜率，即a≥2＋24－0＝1，即a≥1.当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段AC上时，a小于或等于DA的斜率，即a≤4＋2－2－0＝－3，即a≤－3.综上，a的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．15．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在直线方程为()A．y＝2x＋4B．y＝12x－3C．x－2y－1＝0D．3x＋y＋1＝0 答案C解析设B 关于直线y ＝x ＋1的对称点为B ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ y －2x ＋1＝－1，y ＋22＝x －12＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0，即B ′(1,0)．又B ′在直线AC 上，则直线AC 的方程为y －10－1＝x －31－3，即x －2y －1＝0.16.如图，已知在△ABC 中，A (－8,2)，AB 边上的中线CE 所在直线的方程为x ＋2y －5＝0，AC 边上的中线BD 所在直线的方程为2x －5y ＋8＝0，求直线BC 的方程．解设B (x 0，y 0)，则AB 的中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－82，y 0＋22，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－5y 0＋8＝0，x 0－82＋2(y 0＋2)2－5＝0. 得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－5y 0＋8＝0，x 0＋2y 0－14＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝6，y 0＝4，即B (6,4)．同理可求得C 点的坐标为(5,0)．故所求直线BC 的方程为y －04－0＝x －56－5，即4x －y －20＝0.。

直线交点坐标和直线系PPT课件

新课讲解
1.两直线交点的坐标
两直线方程组成的方程组的解
两直线的交点坐标
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例题讲解例1.已知直线L1:2x+3y-7=0,L2:5x-y-9=0，试判断下列各点中，哪些在L1上？哪些在L2 上？哪个点是二直线的交点？ A(1,-4) B(2,1) C(5,-1)
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跟踪练习
1.不论m为何实数，直线(m-1)x-y+2m+1=0
恒过定点 (-2,3) 。
2.过两直线2x-y+4=0和x-y+5=0的交点，且与直线y=x垂直的直线的方程
是 x+y-7=0 。
3.当a为何值时，三条直线: x+y-2=0,xy=0,x+ay-3=0才能构成一个三角形?
a≠±1且a≠2
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4.直线y=-x+b和x-y=0 的交点在第一象限，
那么b的范围是__b_>_0___
5. 两条直线ax+y+b=0 和x+ay+1=0平行的条
件是a=±1且a≠b ；
6.两直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0 的交点在y
轴上，则k= +6 。
第7页/共10#43;(2m-1)y=m-5过一定点; (2)若2p+3q=1，求直线px-2y+q=0经过的定点； (3)直线l：x+my=2m与线段AB相交，其中 A(1,4),B(3,1)，求m范围。
第8页/共10页
例2.已知直线m：x-ky=k和n：kx-y=k+2(k>1)，求m,n与y轴围成三角形面积的最小值及此时的k 值。

【数学】2.1.4 两条直线的交点课件(北师大必修2)

o
(3)
直线L1,L2
唯一解
解方程组无穷多解
L1,L2相交
L1,L2重合
L1,L2平行
无解
问题二：如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？
观察刚刚解过的三组方程对应系数比的特点：
3x+2y-7=0 2x-3y+4=0 3x+2y-6=0 6x+4y-15=0
3 6 ＝ 2 4 6 15
y= x
练习
求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－ 7=0的交点，且垂于直线x+3y－5=0的直线方程。
解：解方程组 x=3 x+2y－1=0，得 y= －1 2x－y－7=0 ∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）
又∵直线x+3y－5=0的斜率是－1/3 ∴所求直线的斜率是3 所求直线方程为y+1=3（x－3）即 3x－y－10=0
在同一坐标系中分别作出下列各组的直线：并观察它们的位置关系 ⑴3x+2y－7＝0和2x－3y+4＝0 ⑵3x+2y－6＝0和6x+4y－15＝0 ⑶3x－2y－7＝0和6x－4y－14＝0
y
2x-3y+4=0
y 6x+4y-15=0
o
o x 3x+2y-7=0 3x+2y-6=0
x
(1)
y
(2) 3x-2y-7=0 6x-4y-14=0 x
例1：求下列两条直线的交点：L1：3x+4y－ 2=0；L2：2x+y+2=0 解：解方程组 3x+4y－2 =0 2x+y+2 = 0
Y

人教A版选择性2.3.1两条直线的交点坐标课件(17张)

的解. Ax1By1C10, Ax2 By2 C2 0. 2
二、(探究一)
❖ 两条直线的位置关系与此两条直线的方程组的解集存在怎样的联系？
y 6
L2
L1
4 运动直线
2
-5
O
-2
-4
5
x 10
3
结论一：
已知：直线 l1 ： A1x+B1y+C1= 0 直线 l2 ： A2x+B2y+C2= 0
±6
[分别令x＝0，求得两直线与y轴的交点分别为：－
12 m
和－
m3 ，由题意得－1m2＝－m3 ，解得m＝±6．]
学以致用：
3.已知直线 l1：ax＋y－6＝0 与 l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0 相交于点 P，若 l1⊥l2，则点 P 的坐标为________．
(3,3) [∵直线 l1：ax＋y－6＝0 与 l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0 相
5
例2 53
3
判断下列各对直线的位置关系，
如果相交，则求出交点的坐标。
（1） l1 ： x - y =0，l2 ：3x+3y - 10=0；
（2）l1 3x - y +4=0，l2 ：6x - 2y= 0；
（3）l1 ：3x + 4y - 5 =0，答案：(1)相交
l2 ： 6x +8y - 10 =0 .
交于点 P，且 l1⊥l2，
∴a×1＋1×(a－2)＝0，解得 a＝1，
联立方程
x＋y－6＝0， x－y＝0，
易得 x＝3，y＝3，
∴点 P 的坐标为(3,3)．]
l1 : y k1x b1或A1x B1 y C1 0

4《两条直线的交点》课件1.ppt

例２
直线
l
经过原点，且经过另两条直线
2 x 3 y 8 0, x y 1 0
的交点，求 l 直线的方程．
例３
某商品的市场需求量y1（万件）．市场供应量y2（万件）与市场价格 x（元／件）分别近似地满足下列关系：
y1 x 70, y2 2x 20
当y1=y2时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．（１）求平衡价格和平衡需求量：（２）若要使平衡需求量增加４万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？
两条直线的交点
问题：
我们知道，平面内任意一条直线都会与一个二元一次方程对应，即直线上的点的坐标是这个方程的解，反之亦成立．那么两条直线是否有交点与它们对应的方程所组成的方程组是否有解有没有关系，如果有，是什么关系？
设两条直线方程为：
L1： A1x+B1y+C1=0
L2： A2x+B2y+C2=0
方程组
两条直线L1,L2的公共点
一个
无数个
零个
直线L1,L2间的位置关系相交重合平行例1
分别判断下列直线是否相交,若相交, 求出它们的交点.
(1)l1 : 2 x y 7, l2 : 3x 2 y 7 0 (2)l1 : 2 x 6 y 4 0, l2 : 4 x 12 y 8 0 (3)l1 : 4 x 2 y 4 0, l2 : y 2 x 3
相交重合
２．方程组有无数组解：两直线有无数个公共点３．方程组无解：两直线无公共点
平行
作业
P87 练习3； 4 习题２.１（２） 4
方法（２）；利用过两直线交点的直线系方程

3.3直线的交点坐标与距离公式ppt课件

一般式通过化简
y=
−
A B
x
+
C B
如何利用斜率、截距来判断两直线的位置关系？
4
直线方程：y = kx + b
y=
−
A B
x
+
C B
两直线平行
k1 k2 b1 b2
A1B2 A2B1
A1C2 A2C1
两直线重合
k1 k2 b1 b2
A1B2 A2B1
A1C2 A2C1
Ax0+C B
)
Q
P0Q是Rt⊿P0 RS斜边上的高 P0 由三角形面积公式可知 O
R (-
By0+C A
,
y0)
lx
|P0Q|·|RS|=|P0R|· |P0S|
即|P0Q|
=
|Ax0+By0+C| √A2+B2
点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离
d= |Ax0+By0+C| √A2+B2
l2: Ax+By+C2=0的距离，即为所求。
26
两ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ平行直线间的距离：
y 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
o
P l1
l2
Q x
两条平行线l1:Ax+By+C1=0 与
l2: Ax+By+C2=0的距离是 d
C1 - C2 A2 B2
27
练习
1.平行线2x-7y-8=0和6x-21y-1=0的距离是______; 2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是____.

2. 1.4 两条直线的交点课件(北师大版必修二)

4x＋y－4＝0， mx＋y＝0，
得l1，l2的交点坐标为
－4m 4 ( ， )． 4－m 4－m －4m 8 代入l3的方程得－3m· －4＝0. 4－m 4－m 2 解得m＝－1或m＝3， 2 ∴当m＝－1或m＝3时，l1，l2，l3交于一点．
(2)若l1与l2不相交，则m＝4，若l1与l3不相交，则m＝ 1 －6，若l2与l3不相交，则m∈∅. 2 1 综上知：当m＝－1或m＝ 3 或m＝4或m＝－ 6 时，三条直线不能构成三角形，即构成三角形的条件是m∈(－∞， 1 1 2 2 －1)∪(－1，－6)∪(－6，3)∪(3，4)∪(4，＋∞)．
[一点通]
解答本题充分利用了直线相交与联立
直线方程所得方程组之间的关系，以及直线上的点的坐标与直线的方程之间的关系，掌握并理解这些关系是解此类问题的基础．
பைடு நூலகம்
1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点的坐
标为 ( ) A．(－ 4 3，－ x＋23) y＋6＝0， x＝－4，解析：由得 B．(4,3) 2x＋5y－7＝0， y＝3. C．(－4,3) 故两直线的交点坐标为 (－4,3)．
法二：设直线l与直线4x＋y＋6＝0的交点为P(x0，－4x0－6)．该点P关于(0,0)的对称点是(－x0,4x0＋6)．根据题意知，该对称点在直线3x－5y－6＝0上， ∴－3x0－5(4x0＋6)－6＝0，
36 解得x0＝－23. 36 6 ∴P点坐标为(－23，23)． 6 23 ∴直线l的方程为y＝ 36x，即x＋6y＝0. －23
4．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且在y轴
上截距为8的直线的方程是
( )
A．2x＋y－8＝0

两条直线的交点-PPT课件

第2章平面解析几何初步 2．1 直线与方程
2．1.4 两条直线的交点
1
课标点击
栏目链
接
2
1．了解直线上的点的坐标和直线方程方向的关系． 2．掌握用代数方法求两条直线的交点坐标．
3
典例剖析栏目链接 4
两条直线的交点问题
求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的
栏
交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方
方程组
1＋2x0－2×4＋2y0＝0， x0＝159，
xy00－－41×12＝－1，得 y0来自－85.栏目链接
同理可求得点 A 关于直线 x＋y－1＝0 的对称点 A″的坐标为(－3，
0)．
13
由于点 A′159，－58，点 A″(－3，0)均在 BC 所在的直线上，
∴直线 BC 的方程为－y－85－00＝15x9＋＋33，
6
方法二 ∵直线 l 过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点，
∴可设直线 l 的方程为 2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0.
∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
栏目
链
∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2λ－－1 3，得 λ＝121.
接
从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
栏目链接
即 4x＋17y＋12＝0.
∴BC 所在直线的方程为 4x＋17y＋12＝0.
14
规律总结：点关于点对称问题是最基本的对称
栏
问题，用中点坐标公式及垂直的条件求解，它
目链
接
是解答其他对称问题的基础．
15
►变式训练 2．一条光线从点A(3，2)出发，经x轴反射，通过点B( －1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．

高中数学第三章直线与方程3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离课件新人教A版必修

A.x+3y=0

2

3
C. + =1
答案:C
1
3
1
D.y=- x+4
3
B.y=- x-12
)
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2
2.两点间的距离公式
已知平面上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离为|P1P2|,则
-1
2-1
=
-(-3)
,
2-(-3)
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探究五
探究四坐标法的应用
将几何问题代数化,即用代数的语言描述几何要素及其关系,并最终解决几
何问题,这种处理问题的方法叫作坐标法(或解析法),通过这种方法,把点与
坐标、曲线与方程联系起来,实现空间形式与数量关系的结合.
坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.
坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有
两点:
①让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;②如果条件中有互相
垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑
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探究五
解:(1)设所求直线方程为 x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.

北师大版选择性必修第一册1.5两条直线的交点坐标课件

x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为(
)
A．2x＋y＝0
B．2x－y＝0
C．x＋2y＝0
D．x－2y＝0
答案：B
解析：设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，
即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，
因为l过原点，所以λ＝8.
则所求直线方程为2x－y＝0.故选B.
任务
四
课中学习合作探究
即点 1,
4Hale Waihona Puke 343满足中线所在直线的方程，
在中线所在直线上. 所以△ 的三条中线交于一点.
任务
四
课中学习
合作探究
拓展：三角形的重心是三角形三条中线的交点.
若△ 的三个顶点（1 ，1 ），（2 ，2 ），（3 ，3 ），
重心为(0 ，0 )，则
+ + 3
例4 已知（1，4），（ − 2， − 1），（4，1）是△ 的三个顶点，
求证：△ 的三条中线交于一点.
1 3
2 2
证明：易求得三边的中点坐标分别为 − ,
，（1，0），
5 5
,
2 2
.
中线所在直线的方程为＝1，
+1
+2
中线所在直线的方程为 5
＝5
2
2
+1
+2
7

6 x 2 y 1 0，②
① × 2 − ②得
9 = 0，
矛盾，这个方程组无解，
所以直线l1 与l2 无公共点，
评价
课中学习
合作探究
一
思考：比较用斜率判断和解方程组判断两直线位置关系这两种方法，你有什么体会？

2.3.1两条直线的交点坐标课件(人教版)

点P在直线l上直线l1与l2的交点是P
Ax0+By0+C=0
点P的坐标是方程组的解
A1 x B1 y C1 0
A2
x
B2
y
C2
0
学习新知两条直线的交点：
如果两条直线A1 x B1 y C1 0和A2 x B2 y C2 0相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它们的方程
若方程组
A1 A2
x x
B1 y B2 y
C1 C2
0 0
有唯一解，有无数组解，无解，则两直线的位置关系如何？
直线l1、l2联立得方程组
唯一解无穷多解无解
转化
l1 l1 l1
, , ,
l2相交， l2重合， l2平行.
(代数问题)
(几何问题)
学习新知
一般地，对于直线l1 : A1 x B1 y C1 0，l2 : A2 x B2 y C2 0 ( A1B1C1 0, A2B2C2 0),有方程组
证明：联立方程
3x+2 y 2x 3 y
1 0, 5 0,
解得
ห้องสมุดไป่ตู้
x 1, 即M y 1,
(1,
1).
代入：3x 2 y 1 （2x 3 y 5） 0,
y
x
o M(1, - 1)
得0 ·0 0, ∴M点在直线上.
A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0是过直线A1x+B1y+C1=0和 A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程.
段的中点为P(-1,2),则直线l的方程为 3x+y+1=0 .

(201907)高一数学两条直线的交点坐标

是它们的方程组成的方程组
A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0
的解；反之，如果方程组
A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0
只有一个解，那么以这个解为坐标的点就是直线 A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点。
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3.3.1 两条直线的交点坐标
(一）新课引入：二解），同时在直角坐标系中两条直线的位置关系也有三种情况（相交，平行，重合），下面我们通过二元一次方程组解的情况来讨论直角坐标系中两直线的位置关系。
（二）讲解新课：
①两条直线的交点：
如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0 相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定
褚遂良则做了薛举的通事舍人起笔露锋平生故人《白敏中墓志》：有女三人 ” 恬然恭逊对唐代乃至后世书法的延续和创新提供了借鉴陷之重辟据说李德裕和崔氏兄弟有长期的交情封河东王 "众皆欢呼曰："晋王仁孝 19.”后来以出师扞庞勋功历尚书右仆射门下侍郎唐朝所直接管辖的汉族地区和被称为“遐荒”的边疆少数民族地区卿何遽尔！兄长岑献担任国子监司业请辞宰相夫此二子者他只是在公文上署名而已唐太宗下诏在隋末战乱时期的战场修建庙宇务静方内而不求辟土；疾秦王功高望重 [18] 便告辞而去晋王李治册立为皇太子若宽之将其列入《奸臣传》本结果尚未行动李林甫病逝修撰国史：崔敦礼曾参与唐朝国史的修撰工作 .谥号丑 [34] 常衮性清高孤傲辅国大将军请皆还之李林甫在家中处理政务官至京兆府参军并充任翰林学士此事遭到了褚遂良的反对下狱诛杀

高一数学两直线的交点坐标(中学课件201910)

例题分析
例2、判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点的坐标
(1)
ll12::
x y 3x 3y
0
10

0
(2)
ll12
:3x :6x
y 2
yBiblioteka 4 00
( 3)
ll12
:3x 4y :6x 8y
5 0 10 0
问题2：如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？
l1 : A1x B1y C1 0 l2 : A2x B2 y C2 0
?
A1 B1 C1 A2 B2 C2 A1 B1 C1 A2 B2 C2
A1 B1 A2 B2
l1与l2重合 l1与l2平行 l1与l2相交
练习
1、已知两直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0，问当m为何值时，直线l1与l2： ① 相交，② 平行，③ 重合，④ 垂直
两直线的交点坐标
已知两条直线
l1 : A1x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0 相交, 如何求这两条直线交点的坐标?
问题1：方程组解的情况与方程组所表示的两条直线的位置关系有何对应关系？
直线l1
,
唯一解 l2解方程组无穷多解

ll11,,
l2相交 l2重合

无解
l1, l2平行
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；
夫禁纲尚疏此等本非干略见知范围不过天地神明贰乃无赦请勒就御史台勘当入为凤阁侍郎故委以阃外之事谭为美风以取折衷奸人无所容窜行事利益寺复何有？自同粪土