19-20版 第2章 2.4 第1课时 等比数列

2.4 等比数列

第1课时等比数列

学习目标核心素养

1.理解等比数列的定义(重点).

2.掌握等比数列的通项公式及其

应用(重点、难点).

3.熟练掌握等比数列的判定方

法(易错点)．

1.通过等比数列的通项公式及等比中项

的学习及应用，体现了数学运算素养.

2.借助等比数列的判定与证明，培养逻

辑推理素养.

1．等比数列的概念

(1)文字语言：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常

数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．

(2)符号语言：

a n＋1

a n＝q(q为常数，q≠0，n∈N

*)．

思考：能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？

[提示]不能．

2．等比中项

(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．

(2)结论：G叫做a，b的等比中项．

(3)满足的关系式：G2＝ab．

思考：当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？

[提示]不一定，如数列0，0，5就不是等比数列．

3．等比数列的通项公式

一般地，对于等比数列{a n }的第n 项a n ，有公式a n ＝a 1·q n －1．这就是等比数列{a n }的通项公式，其中a 1为首项，q 为公比．

4．等比数列与指数函数的关系

等比数列的通项公式可整理为a n ＝a 1q ·q n ，而y ＝a 1

q ·q x (q ≠1)是一个不为0的常数a 1q 与指数函数q x 的乘积，从图象上看，表示数列{a 1

q ·q n }中的各项的点是函数y ＝a 1

q ·q x 的图象上的孤立点．

思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式． [提示] 还可以用累乘法．

当n >2时，a n a n －1＝q ，a n －1a n －2＝q ，…，a 2a 1＝q ，

∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2…a n －1a n －2·a n

a n －1

＝a 1·q n －1.

1．2＋3和2－3的等比中项是( )

A ．1

B ．－1

C ．±1

D ．2 C [设2＋3和2－3的等比中项为a ， 则a 2＝(2＋3)(2－3)＝1.即a ＝±1.] 2．下列数列为等比数列的序号是________．

①2，22，3×22；②1a ，1a 2，1a 3，1a 4，1

a 5(a ≠0)；③s －1，(s －1)2，(s －1)3，(s －1)4，(s －1)5；④0，0，0，0，0.

② [222≠3×2222，所以①不是等比数列；②是首项为1a ，公比为1

a 的等比数列；③中，当s ＝1时，数列为0，0，0，0，0，所以不是等比数列；④显然不是等比数列．]

3．等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝1

4，则公比q ＝________． 1

2 [由定义知a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝a 5a 4

＝q ，则a 2＝a 1q ＝2，①

a 5＝a 4q ＝a 3q 2＝a 2q 3＝a 1q 4＝1

4，② 所以②÷①得q 3＝18，所以q ＝1

2.]

4．在等比数列{a n }中，a 4＝27，q ＝－3，则a 7＝________． －729 [由等比数列定义知a 7a 6

＝a 6a 5

＝a 5

a 4

＝q .

所以a 5＝a 4q ＝27×(－3)＝－81， a 6＝a 5q ＝－81×(－3)＝243， a 7＝a 6q ＝243×(－3)＝－729.]

等比数列的通项公式及应用

n (1)已知a 1＝3，q ＝－2，求a 6； (2)已知a 3＝20，a 6＝160，求a n . [解] (1)由等比数列的通项公式得， a 6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)设等比数列的公比为q ， 那么⎩⎨⎧a 1q 2＝20，a 1q 5＝160，

解得⎩⎨⎧q ＝2，a 1＝5.

所以a n ＝a 1q n －1＝5×2n －1.

1．等比数列的通项公式涉及4个量a 1，a n ，n ，q ，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．

2．关于a 1和q 的求法通常有以下两种方法：

(1)根据已知条件，建立关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再求a n ，这是常规方法．

(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q 后，再求a 1，最后求a n ，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．

1．在等比数列{a n }中，

(1)若它的前三项分别为5，－15，45，求a 5； (2)若a 4＝2，a 7＝8，求a n . [解] (1)∵a 5＝a 1q 4，而a 1＝5， q ＝a 2

a 1

＝－3，∴a 5＝405.

(2)因为⎩⎨⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6

，所以⎩⎨⎧a 1q 3＝2， ①

a 1q 6＝8， ② 由②①得q 3＝4，从而q ＝3

4，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝1

2， 所以a n ＝a 1q n －1＝22n －53

.

等比中项

【例2】 (1)等比数列{a n }中，a 1＝1

8，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项是( ) A ．±4 B ．4 C ．±14 D ．1

4

(2)已知b 是a ，c 的等比中项，求证：ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项． 思路探究：(1)用定义求等比中项． (2)证明(ab ＋bc )2＝(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)即可．

(1)A [由a n ＝18·2n －1＝2n －4知，a 4＝1，a 8＝24，所以a 4与a 8的等比中项为±4.] (2)[证明] b 是a ，c 的等比中项，则b 2＝ac ，且a ，b ，c 均不为零， 又(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)＝a 2b 2＋a 2c 2＋b 4＋b 2c 2＝a 2b 2＋2a 2c 2＋b 2c 2，

(ab ＋bc )2＝a 2b 2＋2ab 2c ＋b 2c 2＝a 2b 2＋2a 2c 2＋b 2c 2，所以(ab ＋bc )2＝(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)，即ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项．