风险管理-利率风险度量 久期和凸度

•久期

•凸度

•久期和凸度公式推导•久期和凸度的经济意义

Bond Coupon Maturity Initial

YTM

A 12% 5 years 10%

B 12%30 years 10%

C 3%30 years 10%

D 3%30 years 6%

A

B C D

Change in yield to maturity (%)

P e r c e n t a g e c h a n g e i n b o n d p r i c e

–ex.A B C

–票面利息($)909090

–面值1,000 1,000 1,000–Moody's Rating Aa Aa Aa

–期限 5 yrs. 10 yrs. 15 yrs.–YTM9%10%11%–价格1,000939856

–Let yields decrease by 10% (8.1%, 9%, and 9.9% respectively).

–

–新价格:1,0361,000931–%Price change: 3.6% 6.6%8.8%

•

债券期限越长，利率风险越大

$0$50$100$150$200$2500%

2%

4%

6%

8%10%

12%

14%

16%

Rate

P r i c e 10 Year 20 Year 5 Year

债券期限票面利率面值A58%100 B1010%100 C1513%100

A？

B?

C?

•李同学向张同学借了1000元钱，没有说明什么时候还。张同学除了担心李能否还钱（本金安全）外，还担心什么？

•李同学承诺三个月内还钱。有三种方式让张同学选：A、三个月后一次性还1000元；B、第一个月末还200，第二个月末还300，第三个月末还剩下的500；C、每个月末平均还1000/3元。从资金安全的角度看，张同学会选哪种？

•久期(duration) ：将所有影响债券利率风险的因素全考虑进去，形成一个经过修正的投资标准期限，用以衡量债券价格的利率风险程度。该标准期限越短，债券对利率的敏感度越低，风险越低；该标准期限越高，债券对利率的敏感度越高，风险亦越大。

•由麦考利(F.R.Macaulay, 1938) 提出，使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。•计算公式：

其中，D 是麦考利久期，是债券当前的市场价格，c t 是债券未来第t 次

支付的现金流(利息或本金)，T 是债券在存续期内支付现金流的次数，t 是第t 次现金流支付的时间，y 是债券的到期收益率，PV(c t ) 代表债券第t 期现金流用债券到期收益率贴现的现值。•

决定久期的大小三个因素：

各期现金流、到期收益率及其到期时间

()

()()1

11

1/1[][] (6)

P

T

t

t

t

T

T

t t t t t c t

y c y PV c D t t P P ===×++=

=×=×∑∑∑

•计算公式：

其中，D p 表示债券组合的麦考利久期，W i 表示债券i 的市场价值占该债券组合市场价值的比重，D i 表示债券i 的麦考利久期，k 表示债券组合中债券的个数。

k

1

p i i

i D W D ==∑

•假设现在是0时刻，假设连续复利，债券持有者在t i 时刻收到的支付为c i (1≤i ≤n)，则债券价格P 和连续复利到期收益率的关系为：y ′∑=′−=n i t y i i

e

c P 1

−=′∂∂n

i y P ∑∑=′−=′−==

n

i t y i i n

i t y i i P e

c t P

e

c t D i

i

1

1

]

[PD y P

−=′

∂∂P

P

=∂

y

D D +=

1*

1P D y P y

∂∂=−

+Q

•只有零息债券的麦考利久期等于它们的到期时间。

•附息债券的麦考利久期小于或等于它们的到期时间。只有仅剩最后一期就要期满的附息债券的麦考利久期等于它们的到期时间，并等于1 。•永续债券的麦考利久期等于，其中y 是计算现值采用的贴现率。

•在到期时间相同的条件下，息票率越高，久期越短。

•在息票率不变的条件下，到期时间越长，久期一般也越长。

•在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越低，久期越长。

[]11y

+

•假设价格收益率曲线是线性的

•假设利率期限结构是平坦的

•假设未来现金流不随利率变化而变化•假设收益率曲线平行移动

Price

Pricing Error

from convexity Duration

•定义：

凸度(Convexity) 是指债券价格变动率与收益率变动关系曲线的曲度。

•如果说马考勒久期等于债券价格对收益率一阶导数的绝对值除以债券价格，我们可以把债券的凸度(C) 类似地定义为债券价格对收益率二阶导数除以价格。即：

2

2

1P C P y

∂=∂