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什么是动态规划算法,常见的动态规划问题分析与求解

什么是动态规划算法,常见的动态规划问题分析与求解

什么是动态规划算法,常见的动态规划问题分析与求解理解动态规划动态规划中递推式的求解⽅法不是动态规划的本质。

我曾经给学校参加NOIP的同学多次讲过动态规划,我试着讲⼀下我理解的动态规划,争取深⼊浅出。

希望你看了我的答案,能够喜欢上动态规划。

0. 动态规划的本质,是对问题状态的定义和状态转移⽅程的定义。

引⾃维基百科dynamic programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems.动态规划是通过拆分问题,定义问题状态和状态之间的关系,使得问题能够以递推(或者说分治)的⽅式去解决。

本题下的其他答案,⼤多都是在说递推的求解⽅法,但如何拆分问题,才是动态规划的核⼼。

⽽拆分问题,靠的就是状态的定义和状态转移⽅程的定义。

1. 什么是状态的定义?⾸先想说⼤家千万不要被下⾯的数学式吓到,这⾥只涉及到了函数相关的知识。

我们先来看⼀个动态规划的教学必备题:给定⼀个数列,长度为N,求这个数列的最长上升(递增)⼦数列(LIS)的长度.以 1 7 2 8 3 4 为例。

这个数列的最长递增⼦数列是 1 2 3 4,长度为4;次长的长度为3,包括 1 7 8; 1 2 3 等.要解决这个问题,我们⾸先要定义这个问题和这个问题的⼦问题。

有⼈可能会问了,题⽬都已经在这了,我们还需定义这个问题吗?需要,原因就是这个问题在字⾯上看,找不出⼦问题,⽽没有⼦问题,这个题⽬就没办法解决。

所以我们来重新定义这个问题:给定⼀个数列,长度为N,设为:以数列中第k项结尾的最长递增⼦序列的长度.求中的最⼤值.显然,这个新问题与原问题等价。

⽽对于来讲,都是的⼦问题:因为以第k项结尾的最长递增⼦序列(下称LIS),包含着以第中某项结尾的LIS。

上述的新问题也可以叫做状态,定义中的“为数列中第k项结尾的LIS的长度”,就叫做对状态的定义。

动态规划讲解大全含例题及答案

动态规划讲解大全含例题及答案

动态规划讲解大全含例题及答案动态规划讲解大全动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支,是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。

20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时,提出了著名的最优化原理(principle of optimality),把多阶段过程转化为一系列单阶段问题,逐个求解,创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。

1957年出版了他的名著Dynamic Programming,这是该领域的第一本著作。

动态规划问世以来,在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。

例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题,用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。

虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题,但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划),只要人为地引进时间因素,把它视为多阶段决策过程,也可以用动态规划方法方便地求解。

动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法,而不是一种特殊算法。

不象前面所述的那些搜索或数值计算那样,具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。

动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题,由于各种问题的性质不同,确定最优解的条件也互不相同,因而动态规划的设计方法对不同的问题,有各具特色的解题方法,而不存在一种万能的动态规划算法,可以解决各类最优化问题。

因此读者在学习时,除了要对基本概念和方法正确理解外,必须具体问题具体分析处理,以丰富的想象力去建立模型,用创造性的技巧去求解。

我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论,逐渐学会并掌握这一设计方法。

基本模型多阶段决策过程的最优化问题。

在现实生活中,有一类活动的过程,由于它的特殊性,可将过程分成若干个互相联系的阶段,在它的每一阶段都需要作出决策,从而使整个过程达到最好的活动效果。

动态规划问题标准版文档

动态规划问题标准版文档
决策 决策 决策 到最高。
线性规划、非线性规划等静态的规划问题也可以通过适当地引入阶段的概念,应用动态规划方法加以解决。 航天飞机飞行控制问题:由于航天飞机的运动的环境是不断变化的,因此就要根据航天飞机飞行在不同环境中的情况,不断地决定航
状态 状态 状态 状态 天飞机的飞行方向和速度(状态),使之能最省燃料和实现目的(如软着落问题)。 1 2 n 在低负荷下生产时,产品的年产量h和投入生产的机器数量u2的关系为
g=g(u1)
精品课程《运筹学》
这时,机器的年完好率为a,即如果年初完好机器 的数量为u,到年终完好的机器就为au, 0<a<1。
在低负荷下生产时,产品的年产量h和投入生产 的机器数量u2的关系为
h=h(u2)
相应的机器年完好率b, 0< b<1。
假定开始生产时完好的机器数量为s1。要求制
定一个五年计划,在每年开始时,决定如何重新 分配完好的机器在两种不同的负荷下生产的数量, 使在五年内产品的总产量达到最高。
决策达到最优效果。 在多阶段决策过程中,系统的动态过程可以按照时间进程分为状态相互联系而又相互区别的各个阶段;
找到不同时刻的最优决策以及整个过程的最优策略。 机器负荷分配问题:某种机器可以在高低两种不同的负荷下进行生产。 找到不同时刻的最优决策以及整个过程的最优策略。 要求制定一个五年计划,在每年开始时,决定如何重新分配完好的机器在两种不同的负荷下生产的数量,使在五年内产品的总产量达
解决。
优策略。 线性规划、非线性规划等静态的规划问题也可以通过适当地引入阶段的概念,应用动态规划方法加以解决。
机器负荷分配问题:某种机器可以在高低两种不同的负荷下进行生产。 在高负荷下进行生产时,产品的年产量g和投入生产的机器数量u1的关系为

算法分析与设计动态规划ppt课件

算法分析与设计动态规划ppt课件
问题的描述 1)二分检索树定义
二分检索树T是一棵二元树,它或者为空,或者其每个 结点含有一个可以比较大小的数据元素,且有:
·T的左子树的所有元素比根结点中的元素小; ·T的右子树的所有元素比根结点中的元素大; ·T的左子树和右子树也是二分检索树。 注: ·二分检索树要求树中所有结点的元素值互异
29
二分检索树
COST(n)0
for jn -1 to 1 by –1 do
设r是一个这样的结点,<j, r>∈E且使c(j,r)+COST(r)取小值
COST(j)c(j,r)+COST(r)
D(j)r repeat P(1)1;P(k)n
计算出COST(j)的值, 并找出一条最小成本 路径
for j2 to k-1 do
12
4.2 多段图
多段图向前处理的算法
– 设P(i, j)是一条从Vi中的节点j 到汇点t 的最小 成本路径,COST(i, j)表示这条路径的成本, 根据向前处理方法有公式4.5:
13
多段图的向前处理算法
因为,若<j, t> ∈E成立,有COST(k-1,j)=c(j,t), 若<j, t> ∈E不成立,则有COST(k-1,j)=∞,所以 可以通过如下步骤解式公式(4.5),并求出 COST(1,s)。 首先对于所有j∈Vk-2,计算COST(k-2, j),然后对 所有的j∈Vk-3,计算计算COST(k-3, j)等等,最后 计算出计算COST(1, s)
BCOST(2,4)=3; BCOST(2,5)=2;
21
V1
V2
V3
V4
V5
24
9
1
3

动态规划

动态规划
量的可分性
递推优化问题求解
构造最优解
2.动态规划
LCS问题(最长公共子序列问题) 给定序列X[1,7]: A B C B D A B 给定序列Y[1,6]: B D C A B A
子序列:在给定的序列中去掉零个或多个元 素之后的序列
例如对于X: A ; AD ;ACBD; 最长公共子序列:给定两个序列X,Y中相同 的子序列,并且子序列的长度最长。
2.动态规划
易于确定全局最优解
能得到一族解,有利 于分析结果
能利用经验提高求解 效率
动态 规划
没有标准的模型 应用的局限性 维数障碍
3 随机动态规划
3.随机动态规划
随机型动态规划:状态的转移规律是不确定的,即给定的状态和决策,下一 阶段到达的状态是具有确定概率分布的随机变量。
gs (s ) s
动态规划
Dynamic Programming
目录
背动 随 包态 机 问规 动 题划 态
规 划
1 背包问题
1.背包问题
现在有三个小偷,对一家商店进行盗窃,每个小偷最大的携带能力为10kg。为保证 本次活动收益最大,三个小偷选择了不同的策略。
重量/个 价值/个
物品A
3kg 40元
物品B
4kg 50元
确定问题状态变量和最优值的合理 表示方法,建立最优值之间的递推 关系式。
根据递推关系式,基于自底向上的 方式,按照规模由小到大的顺序依 次计算各子问题的最优值,最终得 到原问题最优值。
利用各子问题的最优值以及递推关 系式,按照与计算最优值相反的顺 序,逐步构造原问题的最优解。
序贯决策问题的特征 保证目标函数和状态变
2 动态规划
2.动态规划

动态规划问题

动态规划问题

动态规划问题动态规划(Dynamic Programming)是一种通过拆分问题为较小子问题来解决复杂问题的算法思想。

在计算机科学中,动态规划经常被用于最优化问题。

动态规划的基本思想动态规划通常用于解决具有重叠子问题和最优子结构的问题。

重叠子问题意味着问题可以被分解为多个重叠子问题,而最优子结构意味着问题的最优解可以通过子问题的最优解来计算。

动态规划的基本思想是将大问题分解为小问题,并依次求解小问题的最优解,然后将这些最优解组合起来得到大问题的最优解。

在动态规划的过程中,通常会使用表格或数组来保存子问题的计算结果,以便在下一次遇到相同子问题时直接查表得出最优解。

动态规划的应用动态规划广泛应用于诸如优化、序列匹配、最短路径等领域。

以下是一些典型应用场景:•背包问题:给定一个背包容量和一组物品,每个物品有自己的价值和重量,求解如何在不超过背包容量的情况下使得装入背包的物品价值最大化。

•最长公共子序列:给定两个序列,求解这两个序列最长的公共子序列的长度。

•最短路径问题:求解两点之间的最短路径,例如Dijkstra算法和Floyd算法都是动态规划的应用。

•最长递增子序列:给定一个序列,求解其中一个递增子序列的最大长度。

•编辑距离问题:求解将一个字符串转换成另一个字符串的最小操作次数,包括删除、插入、替换操作。

•区间调度问题:给定一组活动的起止时间,求解在不重叠的情况下能参加的最多活动数量。

动态规划的问题特征动态规划问题通常具有以下特征:1.最优子结构:问题的最优解可以通过子问题的最优解来递推求解。

2.重叠子问题:问题可以被分解为多个重叠的子问题,这些子问题可以共享相同的解。

3.状态转移方程:问题可以通过状态之间的转移关系来描述,通常采用递推式或递归的方式定义状态转移方程。

4.基本案例:问题需要定义基本情况,也称为递归的终止条件。

动态规划的解题步骤解决动态规划问题通常需要遵循以下步骤:1.定义状态:明确问题的状态,通常需要定义一个状态数组或矩阵来表示问题的状态。

(完整版)动态规划问题常见解法

(完整版)动态规划问题常见解法

(完整版)动态规划问题常见解法动态规划问题常见解法一、背包问题1. 0/1背包问题0/1背包问题是动态规划中的经典问题,解决的是在背包容量固定的情况下,如何选择物品放入背包,使得总价值最大化。

常见的解法有两种:记忆化搜索和动态规划。

记忆化搜索是一种自顶向下的解法,通过保存子问题的解来避免重复计算,提高效率。

动态规划是一种自底向上的解法,通过填表格的方式记录每个子问题的解,最终得到整个问题的最优解。

2. 完全背包问题完全背包问题是在背包容量固定的情况下,如何选择物品放入背包,使得总价值最大化,且每种物品可以选择任意个。

常见的解法有两种:记忆化搜索和动态规划。

记忆化搜索和动态规划的思路和0/1背包问题相似,只是在状态转移方程上有所不同。

二、最长公共子序列问题最长公共子序列问题是指给定两个序列,求它们之间最长的公共子序列的长度。

常见的解法有两种:递归和动态规划。

递归的思路是通过分别考虑两个序列末尾元素是否相等来进一步缩小问题规模,直至问题规模减小到边界情况。

动态规划的思路是通过填表格的方式记录每个子问题的解,最终得到整个问题的最优解。

三、最短路径问题最短路径问题是指在加权有向图或无向图中,求解从一个顶点到另一个顶点的最短路径的问题。

常见的解法有两种:Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。

Dijkstra算法是通过维护一个距离表,不断选择距离最短的顶点来更新距离表,直至找到目标顶点。

Bellman-Ford算法是通过进行多次松弛操作,逐步缩小问题规模,直至找到目标顶点或发现负权环。

总结:动态规划是一种解决最优化问题的常见方法,它通过分组子问题、定义状态、确定状态转移方程和填表格的方式,来得到整个问题的最优解。

在解决动态规划问题时,可以采用记忆化搜索或者动态规划的策略,具体选择哪种方法可以根据问题的特点和优化的需要来决定。

动态规划(完整)

动态规划(完整)

(3) 决策、决策变量
所谓决策就是确定系统过程发展的方案,
决策的实质是关于状态的选择,是决策者
从给定阶段状态出发对下一阶段状态作出
的选择。
用以描述决策变化的量称之决策变量, 和状态变量一样,决策变量可以用一个数, 一组数或一向量来描述.也可以是状态变量
的函数,记以 xk xk (sk ) ,表示于 k 阶段状
动态规划的分类:
• 离散确定型 • 离散随机型 • 连续确定型 • 连续随机型
动态规划的特点:
• 动态规划没有准确的数学表达式和定义 精确的算法, 它强调具体问题具体分析,
依赖分析者的经验和技巧。
• 与运筹学其他方法有很好的互补关系, 尤 其在处理非线性、离散性问题时有其独 到的特点。
通常多阶段决策过程的发展是通过状态的一系列变换来 实现的。一般情况下,系统在某个阶段的状态转移除与本阶 段的状态和决策有关外,还可能与系统过去经历的状态和决 策有关。因此,问题的求解就比较困难复杂。而适合于用动 态规划方法求解的只是一类特殊的多阶段决策问题,即具有 “无后效性”的多阶段决策过程。
4 6
C1
3
B2 3
4T
3 3
C2
阶段指标函数:
vk sk , xk cskxk
5
A3
B3
过程指标(阶段递推)函数:
fk(sk ) min
vk (sk , xk )
fk
1
(sk
1 )
k= 4
f4 (C1) = 3, f4 (C2) = 4
2
k=3
f3(B1)=min{1+f4(C1)=4*, 4+f4(C2)=8}=4
(6) 指标函数
用来衡量策略或子策略或决策的效果的 某种数量指标,就称为指标函数。它是定义 在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量 函数。对不同问题,指标函数可以是诸如费 用、成本、产值、利润、产量、耗量、距离、 时间、效用,等等。

《动态规划算法》课件

《动态规划算法》课件
总结词
多阶段决策优化
详细描述
背包问题是一个经典的动态规划问题,通过将问题分解 为多个阶段,并为每个阶段定义状态和状态转移方程, 我们可以找到最优解。在背包问题中,我们使用一个二 维数组来存储每个状态的最优解,并逐步更新状态以找 到最终的最优解。
最长公共子序列求解
总结词
字符串匹配优化
详细描述
最长公共子序列问题是一个经典的动态规划问题,用 于找到两个序列的最长公共子序列。通过动态规划, 我们可以避免在寻找公共子序列时进行冗余比较,从 而提高算法效率。在动态规划中,我们使用一个二维 数组来存储子问题的最优解,并逐步构建最终的最长 公共子序列。
动态规划的基本思想
01
将问题分解为子问 题
将原始问题分解为若干个子问题 ,子问题的解可以构成原问题的 解。
02
保存已解决的子问 题
将已解决的子问题的解保存起来 ,以便在求解其他子问题时重复 使用。
03
递推求解
从子问题的解逐步推导出原问题 的解,通常采用自底向上的方式 求解。
02
动态规划算法的步骤
可并行化
动态规划算法可以并行化执行,以提高计算效率,这对于 大规模问题的求解非常有利。
缺点
• 空间复杂度高:动态规划算法需要存储大量的中间状态,因此其空间复杂度通常较高,有时甚至会超过问题规 模的一个指数倍。
• 问题规模限制:由于动态规划算法的空间复杂度较高,因此对于大规模问题的求解可能会遇到困难。 • 可能产生大量重复计算:在动态规划算法中,对于每个子问题,可能会被多次计算和存储,这会导致大量的重复计算和存储空间浪费。 • 不易发现:动态规划算法的应用范围有限,对于一些非最优子结构问题或没有重叠子问题的优化问题,动态规划算法可能不适用。因此,在解决问题时需要仔细分析问题特性,判断是

动态规划问题

动态规划问题

动态规划问题动态规划(Dynamic Programming)是一种将复杂问题分解成更小的子问题并逐步解决的算法思想。

它通常用于解决涉及重叠子问题和最优子结构性质的问题,通过将问题分解成更小的子问题,并将解保存在一个表格中,以便后续的计算可以直接使用。

动态规划算法的核心思想是,通过维护一个辅助的状态表格来存储子问题的解,以便在需要用到子问题的解时,可以直接查表获取,避免重复计算。

在解决问题的过程中,我们通常会先从最小的子问题开始解决,并将解保存在表格中。

然后,根据较大规模子问题的解来逐步解决较小规模的子问题,最终得到整个问题的解。

动态规划算法的关键步骤可以描述如下:1. 定义子问题:将问题分解成更小规模的子问题,描述子问题的解与原问题解的关系;2. 定义状态:定义子问题的解与状态之间的对应关系,用于将子问题的解存储在状态表格中;3. 定义状态转移方程:描述较大规模子问题的解与较小规模子问题的解之间的关系,用于从表格中获取已计算的解;4. 初始化状态表格:将表格中所有的状态初始化为无效值,以便在获取解时可以判断是否已计算;5. 根据状态转移方程计算状态表格中的所有解;6. 根据问题的要求从状态表格中获取最优解。

动态规划算法可以用于解决各种问题,如最长递增子序列、最短路径、背包问题等。

通过分解问题、定义状态和状态转移方程,动态规划算法可以高效地求解复杂的问题,并避免重复计算。

在实际应用中,通过合理设计状态转移方程和思考问题的最优子结构性质,可以使动态规划算法更加高效和准确。

总之,动态规划是一种将问题分解成更小子问题的算法思想,通过保存子问题的解并使用状态转移方程,可以高效地求解复杂问题。

通过合理设计状态和思考最优子结构性质,可以使动态规划算法更加高效。

动态规划算法在实际应用中具有广泛的应用价值,在算法设计和问题求解过程中发挥着重要的作用。

第五章 动态规划问题

第五章 动态规划问题
互联系的阶段,阶段就是问题所处的地段或时段。描述阶段 的变量称为阶段变量,通常用k表示。 • 例5.1中,阶段为问题所处的地段,且k=1,2,3,4; • 例5.2中,阶段为问题所处的时段(月),且k=0,1,…,6;
(2)状态
• 状态就是在各阶段开始时问题的自然状况。
如例5.1中,各阶段的起始位置就是该问题的状态;
• 对于指标函数为阶段指标和的形式的问题,其动态规划方 程形式为:
fk (sk )
opt
uK Dk (sk )
vk (sk ,uk )
f k1 (sk1 )
fn1 (sn1) 0
k n, n 1,,1
• 对于指标函数为阶段指标积的形式的问题,其动态规划方 程形式为:
fk
(sk
)
opt
即满足指标函数的可分离性
②阶段指标积的形式,即过程或子过程的指标为各阶段指标 的积,用公式描述如下
n
Vk,n ( pk,n (sk )) v j (s j , u j )
jk
• 显然,这种形式的指标函数也满足可分离性,即
n
Vk,n ( pk,n (sk )) vk (sk , uk ) v j (s j , u j )
jk
• 其中,vj(sj,uj)表示j阶段在状态为sj作出决策为uj时的 指标,即所谓的阶段指标。本章例5.1和例5.2的指标函数 均为阶段指标和的形式。显然,这种形式还可以描述成
n
Vk,n ( pk,n (sk )) vk (sk , uk ) v j (s j , u j )
j k 1
vk (sk , uk ) Vk1,n ( pk1,n (sk1 ))
设库存容量H=9,开始时库存量为2,期终库存量为0,现要求 制定一个半年逐月生产计划,使得既满足需求和库存容量的 限制,又使总耗费的工时最少。

动态规划(运筹学讲义).

动态规划(运筹学讲义).

)

min
d d
( (
E2 E2
, ,
F1) F2 )
f6 (F1) f6 (F2 )

min
5 2

4 3

5
u*5 (E2 )= F2
f5
(E3
)

min
d d
( (
E3 E3
, ,
F1) F2 )

f6 (F1) f6 (F2 )


min


fk
(sk
)

opt
uk Dk ( sk
)
vk (sk ,uk ) fk1(sk1)
fn1(sn1) 0
k=n, n 1, ,1
(8.4a) (8.4b)
Opt 可根据题意取 min 或 max
11
动态规划的基本思想如下:
(1)动态规划方法的关键在于正确写出基本递推关系式和恰当的边界条 件,因此必须将多阶段决策过程划分为n个相互联系的阶段,恰当地选取 状态变量、决策变量及定义最优指标函数,从而把问题化为一族同类型 的子问题,然后逐个求解 (2)求解时从边界条件开始,逆(或顺)过程逐段递推寻优。在每一个 子问题求解中,均利用了它前面子问题的最优结果,最后一个子问题的 最优解,就是这个问题的最优解。 (3)动态规划方法既把当前阶段与未来阶段分开,又把当前效益和未来 效率结合,因此每段的最优决策选取是从全局来考虑。 (4)在求这个问题的最优解时,由于初始状态是已知,而每阶段的决策 都是该段状态的函数,故最优策略所经过的各各阶段状态可逐次变换得 到,从而确定最优路线。
量最高。
决策
决策
决策
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❖每个分解可以用O(1)的时间求得结果
❖因此,动态规划解决钓鱼问题的时间复杂度是 O(m*n2),空间复杂度是O(m*n),用于记录所经历的 选择;如果不要求记录路径,而只是给出最大收益 结果,则空间复杂度是O(n)
4.2 多段图最短路径问题
4.2.1 多段图问题描述 4.2.2 多段图动态规划解法示例 4.2.3 多段图动态规划解法的步骤 4.2.4 动态规划解多段图的复杂度 分析
4.2.3 多段图动态规划解法的步骤
❖按照多段图的阶段规定把问题划分为若干阶段
❖每个阶段的每个节点要标记两个信息:到当前 节点的最短路径;实现当前节点最短路径的来源
❖当前节点最短路径由上一阶段每个节点的最短 路径加上它与当前节点距离的最大值求得
❖最后一个节点(终止点)所标最短路径长度就 是该问题的最短路径长度。可以根据最短路径来 源把从后向前依次回溯,就可以求得各个阶段所 做的选择,也就是最优路径。
4.2.4 动态规划解多段图的复杂 度分析
❖假设多段图共有n段,每一段上最多有m个节点。
❖对每个阶段上的每个节点,都要计算前一阶段的 每个节点到该节点后的路径长度
❖因此,动态规划解决多段图问题的时间复杂度是 O(m2*n),空间复杂度是O(m*n),用于对每个节点扩 充空间,记录当前最短路径和当前最短路径的来源
花费时间2:所花费时间可以分为2+0+0,1+1+0,0+1+1三种,
其最大收益是:max{45, 30, 20} = 45
花费时间3:所花费时间可以分为3+0+0,2+1+0,1+1+1,0+1+2 四种。其最大收益是:max{45+0, 45+0, 30+20, 0+37} = 50
4.1.3 钓鱼问题的动态规划解法 的步骤
❖按照池塘把决策问题划分为若干个阶段
❖每个阶段有若干个状态:到当前状态(移动到 某个池塘)时,总共花费了多少时间
❖到当前池塘每一种花费时间的情况有一个最大 收益,这个最大收益的计算仅仅由前一个阶段的 收益表和当前池塘的收益决定
❖到最后一个池塘花费最多的解就是问题解,按 照选择回溯,就可以得到所经过的选择。例如, 上面的例子最大值50=30+20,即第一个池塘花费 1个时段,第2个池塘花费1个时段受益最大
❖动态规划就是累积各阶段的最优,以达到 全局的最优
2. 采用动态规划解决问题的先 决条件
❖问题可以分阶段 ❖满足最优性原理:无论过程的初始状态和 பைடு நூலகம்始决策是什么,其余决策都必须相对于初 始决策产生的状态,构成一个最优决策序列
3. 动态规划法求解的一般步骤
❖明确划分问题的阶段 ❖从问题的初始端或终结端开始,分阶段 依次进行最优状态选择 ❖从另一端开始回溯,确定全局最优解包 含哪些阶段性选择
4. 动态规划法示例
4.1 钓鱼问题 4.2 多段图最短路径问题 4.3 资源分配问题 4.4 最长公共子序列问题 4.5 最长不升自序列问题 4.6 0/1背包问题 4.7 村庄和邮局问题 4.8 最大子段和问题
4.1 钓鱼问题
4.1.1 钓鱼问题的描述 4.1.2 钓鱼问题的动态规划解 法示例 4.1.3 钓鱼问题的动态规划解 法的步骤 4.1.4 动态规划解决钓鱼问题 的复杂度分析
4.2.1 多段图问题描述
4
02
3
19
8
8
27
8
4
37
45
6 8
56
77 9
6
83
65
❖寻找起始点0到终止点9的最短路径
4.2.2 多段图动态规划解法示例
每个节点上增加两个信息 ❖到目前节点为止的最短路径长度 ❖达到目前节点的最短路径长度要经过的前 一阶段的节点是哪一个。也就是说,要在当 前节点达到最短路径,其路径来源是谁
4.3 资源分配问题
4.3.1 资源分配问题的描述
4.3.2 资源分配问题的动态规 划解法示例
4.3.3 资源分配问题的动态规 划解法的步骤
4.3.4 动态规划解决资源分配 问题的复杂度分析
4.3.1 资源分配问题的描述
❖所有的资源可以平均分割成n个单元,这些资 源可以分配给m个工程。对每一个工程,它的收 益和获得的每一份资源之间是一个函数,这个 函数是单调不增的。问:如何把这n个单元的资 源分配给这m个工程,使得收益最大?
❖它与钓鱼问题有什么区别和联系?钓鱼问题增 加了池塘之间移动所需时间的耗费;钓鱼问题 要求每个池塘相邻两个时段的收益是单调不增 的。可以认为,钓鱼问题是资源分配问题的特 例
4.3.2 资源分配问题的动态规划 解法示例
x01234
G1(x) 0 4 20 25 31 G2(x) 0 5 15 41 50 G3(x) 0 6 11 18 23 如果5个资源全部由G1(x)获得,则随时间增加,最 大收益分别为0, 4, 20, 25, 31, 31;如果1个资源由 G1(x)和G2(x)获得,则最大收益是max{4, 5}=5;如 果2个资源由G1(x)和G2(x)获得,则最大收益是max {20+0, 4+5, 0+15},则最大收益是20……
4.1.1 钓鱼问题的描述
钓鱼者要从n [20, 40]个池塘中钓鱼。这些池塘在一 条直线上,从一个池塘移动到另一个池塘需要1个时 间单位;一个时间单位之中该人能够从池塘j中钓到 鱼fj条,但下一个时间单位内能钓到鱼的数量会按照 某个函数递减。给定若干个时间单位[100, 300],该 钓鱼者能够最多钓到多少条鱼?
……
4.1.2 钓鱼问题的动态规划解法示例
池塘
1
2
3
第1时
30
20
50
第2时
15
17
20
第3时
0
13
5
分配8个时间段:先对第1池塘:
花费时间1,最大收益是30;花费时间2,最大收益是45;
花费时间3,最大收益是45;。。。。。。
对第2池塘
花费时间1;最大收益max{30+0, 0+0}—对应时间1+0+0;0+1+0
4.1.4 动态规划解决钓鱼问题的 复杂度分析
❖假设时间共有n段,池塘共有m个。
❖在每一个池塘,都要对n个时间段做加数分解,即 n = 0+n = 1+(n-1) = 2+(n-2) = …… = (n-1)+1 = n+0; (n-1) = 0+(n-1) = 1 + (n-2) = …… = (n-1)+0; 2 = 2+0 = 1+1 = 0+2
1. 动态规划的思想
❖有一类问题,它们的活动过程往往划分为 若干阶段,每一阶段决策依赖于前一阶段 的状态,由决策所采取的动作使状态发生 转移,成为下一阶段的依据
❖动态规划方法试图在每一个阶段上按照前 一阶段的状态决定自己的选择;如果本阶 段不知道哪个状态是否最优,那么它会把 它所掌握的信息转告给下一阶段
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