高等数学重积分总结
重积分的积分性质和计算规则
重积分的积分性质和计算规则重积分是高等数学中的一种重要概念，指对于一个二元函数而言，将其在一个二维区域上进行积分的过程。
与单积分类似，重积分也有其特定的积分性质和计算规则。
本文将详细介绍重积分的这些性质和规则，以帮助读者更好地理解和应用重积分的相关知识。
一、积分性质1. 线性性质：重积分具有线性性，即对于常数c与两个可积函数f(x,y)和g(x,y)，有如下式子成立：∬ (c*f(x,y) + g(x,y)) dxdy = c * ∬ f(x,y) dxdy + ∬g(x,y)dxdy2. 可积性与非负性：如果函数f(x,y)在一个有限二维区域上是可积的，那么它在该区域上的积分一定存在；而如果函数g(x,y)在该区域上非负，则其积分也是非负的。
3. 积分次序可交换：如果二元函数f(x,y)在一个矩形区域上是可积的，则对于该区域内的任意两个积分限定，这两个积分的次序可以任意交换而不影响结果，即：∬ f(x,y) dxdy = ∬ ( ∬f(x,y)dy ) dx = ∬(∬f(x,y) dx)dy二、计算规则1. Fubini定理：Fubini定理是重积分中的一个重要定理，可以将对二元函数在一个区域上的重积分转化为两个一元函数相应区域上的积分，即：∬f(x,y)dxdy = ∫a∫b f(x,y)dxdy = ∫b∫a f(x,y)dydx = ∫a∫b f(x,y)dydx其中f(x,y)为被积函数，a和b分别为区域在x和y轴上的积分限。
2. 直角坐标系下的计算规则：在直角坐标系下，重积分可以用二重积分的形式表示，即：∬f(x,y)dxdy = ∫c∫d f(x,y)dxdy其中 c 和 d 分别为区域在x和y轴上的积分限，这个积分区域可以是矩形、梯形、三角形等形状。
在进行计算时，通常需先用对x或y的积分公式进行计算，再对另一个变量进行积分。
3. 极坐标系下的计算规则：在极坐标系下，重积分可以用二重积分的极坐标形式表示，即：∬f(x,y)dxdy = ∫α∫β f(r*cosθ,r*sinθ)rdrdθ其中α和β为对应极角的积分限，r是到极点的距离，θ是到x轴的角度。
高数大一知识点总结重积分
高数大一知识点总结重积分高数大一知识点总结：重积分高等数学中的重积分是一种扩展了二重积分的概念，它在多变量函数的积分中扮演重要的角色。
本文将对高数大一课程中的重积分进行总结和讲解。
一、重积分的概念和性质重积分是定义在三维空间内的函数的积分，通常用来计算多变量函数在某个区域上的累积效应。
与二重积分类似，重积分可以通过分割区域，将其近似为无穷小的小区域，然后对每个小区域进行积分，再将这些积分进行累加而得到。
重积分的计算通常与坐标系的选择有关，常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和柱坐标系等。
根据实际问题的特点和对称性的分析，选择合适的坐标系可以简化计算过程。
在计算重积分时，需要注意积分顺序的选择。
根据题目给定的区域和函数的特点，可以选择先对哪个自变量进行积分，这样有助于简化计算，并得到准确的结果。
重积分具有一些重要的性质，例如线性性、划分性和保号性等。
这些性质在具体计算过程中可以灵活运用，简化计算和分析。
二、重积分的计算方法1. 直角坐标系下的重积分计算方法直角坐标系下的重积分计算通常通过多次积分来实现。
根据题目给定的区域和函数的特点，可以选择先对哪个自变量进行积分，再对另一个自变量进行积分。
通过逐步积分，最终可以得到准确的结果。
2. 极坐标系下的重积分计算方法极坐标系下的重积分计算常常适用于具有旋转对称性的问题。
在极坐标系下，将函数和区域表示成极坐标形式，通过选择合适的积分顺序和极角范围，可以简化计算过程，得到准确的结果。
3. 柱坐标系下的重积分计算方法柱坐标系下的重积分计算通常应用于具有柱对称性的问题。
在柱坐标系下，将函数和区域表示成柱坐标形式，通过选择合适的积分顺序和柱角范围，可以简化计算过程，得到准确的结果。
三、重积分的应用领域重积分在科学和工程领域有广泛的应用。
例如，在物理学中，用重积分可以计算物体的质量、质心和转动惯量等；在电磁学中，可以用重积分计算电荷、电场和电势等；在流体力学中，可以用重积分计算流体的质量、流速和流量等。
高等数学定积分及重积分的方法与技巧
高等数学定积分及重积分的方法与技巧第一部分 定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限. )0(21lim 1>++++∞→a nn a a a a n . 解 原式=∫∑=⋅=∞→1011lim a ani n x n n i dx =aa x a +=++11111. 例2 求极限 ∫+∞→121lim xx n n dx .解法1 由10≤≤x ，知nn x x x ≤+≤210，于是∫+≤1210x x n ∫≤1n x dx dx .而∫10nx ()∞→→+=+=+n n n x dx n 0111101，由夹逼准则得∫+∞→1021lim xx n n dx =0. 解法2 利用广义积分中值定理()()x g x f ba ∫()()∫=b ax g f dx x dx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号）， ().1011112102≤≤+=+∫∫n n nn dx x dx xx x x由于11102≤+≤nx，即211nx+有界，()∞→→+=∫n n dx x n01110，故∫+∞→1021lim x x n n dx =0. 注 （1）当被积函数为()22,x a x R +或()22,a x x R −型可作相应变换.如对积分()∫++3122112xxdx，可设t x tan =；对积分()02202>−∫a dx x ax x a，由于()2222a x a x ax −−=−，可设t a a x sin =−.对积分dx e x ∫−−2ln 021，可设.sin t e x =−（2）()0,cos sin cos sin 2≠++=∫d c dt td t c tb t a I π的积分一般方法如下：将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]′，可求出22dc bdac A ++=，22dc adbc B +−=. 则积分 ()220cos sin ln 2cos sin cos sin πππtd t c B A dt td t c t d t c B A I ++=+′++=∫.ln2dc B A +=π例3 求定积分()dx x x x ∫−1211arcsin分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ()dxx x x ∫−1211arcsin 2tx x t ==12121211212arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2tt d t dt tt ==−∫∫.1632π=解法2 ()dx x x x∫−1211arcsin .163cos sin cos sin 2sin 2242242πππππ==⋅=∫u du u u uu u u x 小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元()t x ϕ=时还应注意：（1）()t x ϕ=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例4 计算下列定积分（1）∫+=2031cos sin sin πx x xdx I ， dx xx xI ∫+=2032cos sin cos π；（2）.1cos 226dx e xx ∫−−+ππ解 （1）∫+=2031cos sin sin πxx xdx I)(sin cos cos 2023du u u uu x −+−=∫ππ=.sin cos cos 223∫=+πI dx xx x故dx xx xx I I ∫++==203321cos sin cos sin 21π=()41cos cos sin sin 212022−=+−∫ππdx x x x x . （2）=I .1cos 226dx e x x ∫−−+ππ()dxe xdu e uu x x u ∫∫−−+=−+−=2262261cos 1cos ππππ+++=∫∫−−2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x x x.3252214365cos cos 21206226πππππ=×××===∫∫−xdxxdx这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：dx xdx n n∫∫=2020cos sin ππ()()()()()()=⋅×−×−−=×−×−−=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22421331,1322431π小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。
高等数学重积分笔记
高等数学重积分笔记重积分是高等数学中的一个重要概念，它涉及到空间内某些图形的面积、体积、重量等方面的计算。
以下是一些重积分的笔记内容: 1. 重积分的概念：重积分是一种积分方法，它可以用来计算空间内某些图形的面积、体积、重量等。
重积分的基本思想是将空间内的某个区域分割成多个小区域，然后对每个小区域进行积分。
最终通过求和的方式得到整个区域的面积、体积、重量等。
2. 重积分的基本公式：重积分的基本公式可以用来计算任意函数的重积分。
基本公式如下:∫ABf(x,y)dxdy = ∫ABF(x,y)dydx + ∫BFCA(x,y)dydx - ∫ACBf(x,y)dxdy其中，∫AB 表示空间内某个区域 AB 的面积，f(x,y) 表示区域AB 内的函数值，∫ABF(x,y)dydx 表示区域 AB 内部的函数值，∫BFCA(x,y)dydx 表示区域 AB 外部的函数值，CB 表示区域 AB 的边界。
3. 重积分的应用领域：重积分广泛应用于空间内的图形计算，例如计算球的体积、圆柱的体积、圆锥的体积等。
此外，重积分还可以用于计算曲线的长度、曲线的弧长、函数的极值点等。
4. 重积分的变量替换法：在重积分的计算中，有时候会遇到难以求解的积分，这时可以通过变量替换法来解决。
变量替换法是指将某些变量替换成其他变量，使得积分变得容易求解。
例如，当积分式中含有根号时，可以通过变量替换来解决。
5. 重积分的分部积分法：在重积分的计算中，有时候会遇到难以求解的积分，这时可以通过分部积分法来解决。
分部积分法是指将积分式中的某些变量拆分成两个变量，然后分别进行积分。
例如，当积分式中含有 lnx 时，可以通过分部积分来解决。
以上是重积分的一些笔记内容，希望有所帮助。
高等数学第十章重积分
高等数学第十章重积分1. 引言在高等数学中，积分是一个重要的概念。
在之前的学习中，我们学习了定积分和不定积分的概念和性质。
在本章中，我们将进一步学习一种扩展的积分形式，即重积分。
2. 重积分的引入和定义重积分是一种将函数在二维或更高维空间内的区域上进行积分的方法。
它的引入主要是为了解决在二维平面上对非矩形区域进行积分的问题。
在计算重积分之前，我们首先需要定义积分区域。
对于二维平面上的区域，我们可以使用极坐标或直角坐标来描述。
对于更高维的区域，我们则需要使用其他的坐标系。
一般来说，重积分可以分为两类：累次积分和二重积分。
累次积分是指先对一个变量进行积分，然后再对另一个变量进行积分。
而二重积分则是指在一个积分符号下同时对两个变量进行积分。
对于二重积分，我们可以使用迭代积分和换元积分的方法来计算。
迭代积分是将一个二重积分转化为两个累次积分的过程，而换元积分是利用变量替换的方法来简化计算。
3. 重积分的性质重积分具有一些和定积分相似的性质。
例如，重积分具有线性性质和保号性质。
线性性质指的是对于两个函数的重积分，其和函数的重积分等于两个函数分别取重积分后再相加。
保号性质指的是如果函数在积分区域上恒大于等于0，则函数的重积分也大于等于0。
此外，重积分还具有可加性和可积性。
可加性指的是如果一个积分区域可以被分割为多个不相交的子区域，则重积分可以拆分成多个子区域的重积分之和。
可积性指的是如果一个函数在有界闭区域上连续或只有有限个间断点，那么该函数的重积分存在。
4. 重积分的应用重积分在物理学、经济学和几何学等领域中有着广泛的应用。
在物理学中，我们可以使用重积分来计算物体的质心、面积、体积等性质。
在经济学中，我们可以使用重积分来计算市场需求曲线和供给曲线之间的面积，从而得到市场的总需求量和总供给量。
在几何学中，重积分可以用来计算平面和空间中的曲线长度、曲面面积和体积。
例如，我们可以使用重积分来计算球体的体积和球冠的体积。
三重积分知识点总结
三重积分知识点总结一、三重积分的基本概念1. 几何意义三重积分的几何意义是在三维空间中求某一区域内函数的平均值。
我们可以想象三维空间被分割成无数个小立方体，每个小立方体的体积趋于零。
然后将函数在每个小立方体上的值相加，并对整个区域进行求和，得到的就是三重积分的值。
2. 定义三重积分的定义是对平面上的二重积分的推广。
设函数f(x, y, z)在空间区域V上有定义，V的边界为S，那么三重积分可以表示为：∭V f(x, y, z) dV其中，dV表示体积元素，它等于dxdydz，即三个方向上的微小长度的乘积。
3. 坐标变换在进行三重积分的计算时，有时需要进行坐标变换，以便简化积分的计算。
常见的坐标变换包括球坐标、柱坐标和直角坐标之间的转化。
通过坐标变换，可以将原积分区域变换成更容易处理的形式，从而简化计算步骤。
二、三重积分的计算方法1. 直角坐标系下的三重积分直角坐标系下的三重积分是最基本的计算方法，它通常通过分割积分区域，并利用定积分的性质逐步进行计算。
对于简单的积分区域和函数，直角坐标系下的三重积分计算比较直观和容易理解。
2. 球坐标系下的三重积分在球坐标系下进行三重积分的计算，可以避免一些复杂的计算步骤。
球坐标系下的积分区域通常是球形或者球形的一部分，利用球坐标系的简洁性可以简化积分的计算过程。
3. 柱坐标系下的三重积分柱坐标系下进行三重积分的计算，适用于柱状或圆柱状的积分区域。
柱坐标系的简化性使得积分的计算更加方便和高效。
三、三重积分的应用1. 物理学中的应用在物理学中，三重积分被广泛应用于计算物体的质量、密度、电荷分布等问题。
例如，通过三重积分可以计算物体的质心、转动惯量等物理量，也可以计算电荷在空间中的分布情况。
2. 工程学中的应用在工程学中，三重积分被用于计算空间中的流体流动、物体的温度分布、材料的应力分布等问题。
通过三重积分可以得到流体的流速、压强分布等关键信息，也能够计算物体的热传导、热辐射等问题。
重积分知识点总结(一)
重积分知识点总结(一)前言重积分是高等数学中的重要知识点，是对多重积分进行研究的内容。
它在物理学、工程学和计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将针对重积分的知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和掌握这部分知识。
正文一、重积分的定义与性质1.重积分的定义：对于二重积分来说，可以将其理解为将被积函数在某个有界闭区域上的“总体积”。
而对于三重积分来说，则是将被积函数在某个有界闭区域上的“总体积”。
2.交换积分次序：在某些情况下，交换积分次序可以简化重积分计算的复杂程度。
3.重积分的性质：包括线性性质、保号性质、次可加性质等。
这些性质在进行重积分计算时非常重要。
二、二重积分的计算方法1.二重积分的计算方法主要有面积法、直角坐标法和极坐标法。
在具体的计算过程中，可以根据题目要求和被积函数的形式选择合适的计算方法。
2.面积法：将被积函数看做是一片平面上每一点的贡献，通过对整个区域的累加求和来计算二重积分。
3.直角坐标法：根据被积函数在直角坐标系内的表达式，利用基本积分计算公式进行计算。
4.极坐标法：将被积函数用极坐标系表示，通过变量代换进行计算。
对于具有旋转对称性的问题，极坐标法可以简化计算过程。
三、三重积分的计算方法1.三重积分的计算方法主要有体积法、直角坐标法和柱坐标法。
在具体的计算过程中，同样需要根据题目要求和被积函数的形式选择合适的计算方法。
2.体积法：将被积函数看做是空间内每一点的贡献，通过对整个区域的累加求和来计算三重积分。
3.直角坐标法：根据被积函数在直角坐标系内的表达式，利用基本积分计算公式进行计算。
4.柱坐标法：将被积函数用柱坐标系表示，通过变量代换进行计算。
对于具有旋转对称性的问题，柱坐标法可以简化计算过程。
结尾重积分是数学中重要而复杂的知识点，在实际应用中具有广泛的价值。
通过本文的总结，希望读者们能够对重积分的定义、性质和计算方法有更深入的理解，从而更好地应对相关问题的解决和应用。
前言重积分是高等数学中的重要知识点，是对多重积分进行研究的内容。
高等数学重积分总结
高等数学重积分总结重积分是高等数学中的一个重要章节，包括了二重积分和三重积分。
本文将对重积分的相关概念、性质、计算方法等进行总结。
一、重积分的定义和性质重积分可以看作是对多元函数在一个区域内的积分，其中二重积分和三重积分分别对应了二元函数和三元函数。
对于一个区域D，其可以用极限值对角线的方法划分成n个微小的小区域Di，其中i的取值范围为1到n。
设函数f(x,y)在小区域Di上的面积为S，且S趋近于0，则重积分可以表示为：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\lim_{\substack{n,m\to \infty}} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m f(x_{ij},y_{ij})\Delta S$$其中$\Delta S$为小区域Di的面积，$(x_{ij},y_{ij})$为小区域Di的任意一点。
与一元函数的积分类似，重积分也具有线性性、可加性、区间可减性和保号性等数学特征。
同时，由于重积分的定义，其也满足如下性质：1.积分与被积函数与积分区域的连续性，即对于在区域D上连续的函数f(x,y)，有：2.积分与区域的可加性，即对于一个区域D可以分割成两个没有公共点的子区间，则：同时还有极坐标和柱面坐标下的重积分公式：对于极坐标，有：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\iint_D f(rcos\theta,rsin\theta)rdrd\theta$$$$\iiint_W f(x,y,z)dxdydz=\int_a^b\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\int_{\rho_1}^{\rho_2} f(\rho cos\varphi,\rho sin\varphi, z)\rho d\rho d\varphi dz$$其中W为三维区域，$(\rho,\varphi,z)$为柱面坐标系。
三、重积分的计算方法对于重积分的具体计算，常用的有以下几种方法：1.累次积分法累次积分法就是将多重积分化为多个一元积分，以二重积分为例，若：$$\iint_D f(x,y)dxdy$$其中D为一个平面区域，那么可以先将y作为常数，对x进行积分，再将x作为常数，对y积分，即可得到：其中a、b、c、d为D中x、y坐标的极值。
高等数学(下册) 二重积分要点总结
2
V f ( x, y )dxdy ；
S xy
求平面薄片质量:在薄片区域上对薄片密度进行积分。 求薄片质心：
x
x 乘以密度的积分 y 乘以密度的积分 ;y 对密度的积分 对密度的积分
求薄片转动惯量：
I x y 2 乘以密度在薄片上积分 I y x 2 乘以密度在薄片上积分
比较：求质量对密度积分；求质心密度乘 x 积分（除质量） ，惯量密度乘 x 2 积分。
f ( 标系 系左右边型：
f ( x, y)dxdy
D
x b
x a
dx
y 2 ( x ) y1 ( x )
f ( x, y )dy
典型题：
极坐标系里 里外边型：
f ( x, y) dx dy
D
d
2 ( ) 1 ( )
区域 D 关于 X 轴对称 被积函数关于 Y 变量是 奇函数
f ( x, y)dxdy
D
0
f ( x , y ) f ( x, y )
四、计算二重积分步骤： 画出积分区域（注意必要时划分区域） 根据区域形式和被积函数形式选择合适的区 域描述 确定累次积分并计算（注意：充分利用区域对称性，函数奇偶性） 五、二重积分的类型题目： 交换积分顺序； 直角坐标和极坐标下积分的互相表示； 重积分的具体计算； 求曲面围成的曲顶柱形的体积：曲顶 z f ( x, y ) ，几何体在 xy 平面投影 S xy ，体积
二重积 积分要点 点总结
1、二重积 积分：二重积 积分性质就 就是一般积分 分性质，6 个性质，重 个 重点前三个 。 2、二重积 积分计算：必 必须掌握，必须算准 区域形式及 及描述 直角坐标系 系上下边型 计算公式
高等数学重积分(思维导图)
dA =
1
+
fx2
(x,
y)
+
fy2
(x,
y)dσ为曲面S的面积元素，以它为被积表达式
在闭区域D上的积分，得A = ∬D
1
+
fx2
(x,
y)
+
fy2
(x,
y)dσ
曲面的面积
1
1
若薄片面密度为常量，则A= A ∬D xdσ,y= A ∬D ydσ
x= My = ∬D xμ(x, y)dσ ,y= Mx = ∬D yμ(x, y)dσ ,其中
6.(二重积分的中值定理)设函数f(x,y)在闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上 至少存在一点（ξ，η），使得∬D f (x, y) dσ = f (η, ξ)σ
柱面坐标计算三重积分
三重积分的计算
0 ≤ ρ < +∞,0 ≤ θ ≤ 2π,−∞ < z < +∞,ρ=常数，即以z轴为轴的圆柱面；θ= 常数，即过z轴的半圆面；z=常数，即与xOy面平行的平面。dv=ρdρdθdz为柱面坐标
f
(x,
y)dx
b
∫a
dx
∫ φ2 (x)
φ1 (x)
f (x,
y)dy=
d
∫c
dy∫ ψ2(y)
ψ1 (y)
f (x,
y)dx
极坐标计算二重积分
ρdρdρ
为极坐标中的面积元素，φ1
(θ
ห้องสมุดไป่ตู้
)
≤
φ2
重积分知识点
重积分知识点重积分是数学分析中的一个重要概念，是对多元函数在三维空间中的积分，也称为三重积分。
它是高等数学、微积分、物理学等领域中必须掌握的基本知识点。
下面将从定义、性质、计算方法和应用四个方面详细介绍重积分知识点。
一、定义重积分是对三元函数在三维空间中某一区域内的积分，表示为：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV$$其中，$\Omega$表示被积区域，$dV$表示体积元素。
二、性质1.线性性质：若$f(x,y,z)$和$g(x,y,z)$在$\Omega$上可积，则有：$$\iiint_{\Omega}(af+bg)dV=a\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV+b\iiint_{ \Omega}g(x,y,z)dV$$其中$a,b$为常数。
2.可加性质：若将$\Omega$划分成若干个互不相交的子区域$\Omega_1,\Omega_2,...,\Omega_n$，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV=\sum^n_{i=1}\iiint_{\Omega_i}f(x,y,z )dV$$3.保号性质：若$f(x,y,z)\geq0$在$\Omega$上成立，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV\geq0$$4.单调性质：若$f(x,y,z)\leq g(x,y,z)$在$\Omega$上成立，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV\leq\iiint_{\Omega}g(x,y,z)dV$$三、计算方法1.直接计算法：将被积函数$f(x,y,z)$转化为三元积分的形式，然后按照定积分的方法进行计算。
2.累次积分法：将三重积分转化为三个定积分的累次积分，然后按照定积分的方法进行计算。
3.极坐标法：适用于旋转对称的区域，可以通过极坐标系下的面积元素$dS$和体积元素$dV$来简化计算。
4.柱面坐标法：适用于柱面对称的区域，可以通过柱面坐标系下的面积元素$dS$和体积元素$dV$来简化计算。
大一高数重积分知识点
大一高数重积分知识点重积分是高等数学中的重要概念，主要是对二重积分的推广和拓展。
在本篇文章中，将介绍一些大一高数课程中涉及的重积分的基本知识点和相关概念。
一、重积分的概念重积分是对多变量函数在某个区域上的积分，主要用于计算空间内的体积、重心以及质心等物理量。
在二维情况下，重积分被称为二重积分，表示对平面上的区域进行积分；在三维情况下，重积分被称为三重积分，表示对空间内的区域进行积分。
二、二重积分的计算对于二重积分的计算，常用的方法有直角坐标法和极坐标法。
1. 直角坐标法通过将二重积分化为两个一重积分的形式来计算。
例如，对于函数f(x, y)，其在矩形区域D上的二重积分可以表示为：∬D f(x, y) dxdy通过确定积分的上下限，将二重积分转化为两个单变量函数的积分。
2. 极坐标法对于具有极坐标对称性的函数，可以采用极坐标来进行计算。
通过将二重积分转化为极坐标下的一重积分，可以简化计算过程。
三、三重积分的计算对于三重积分的计算，也可以采用直角坐标法或柱坐标法进行计算。
1. 直角坐标法对于函数f(x, y, z)，其在空间内的三重积分可以表示为：∭E f(x, y, z) dxdydz通过逐次进行积分，将三重积分转化为三个一重积分的形式。
2. 柱坐标法对于具有柱坐标对称性的函数，可以采用柱坐标来进行计算。
通过将三重积分转化为柱坐标下的一重积分，可以简化计算过程。
四、变量替换法在计算重积分时，有时可以通过变量替换法来简化积分的计算过程。
通过适当选择变量替换，可以将原先复杂的积分问题转化为更简单的形式。
变量替换法在求解一些特殊的积分问题时非常有用。
五、应用领域重积分在物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
在物理学中，通过重积分可以计算物体的质量、质心、转动惯量等物理量。
在工程学中，通过重积分可以计算流体的流量、电荷分布等问题。
总结：大一高数课程中的重积分是深入学习积分学的重要内容，涵盖了二重积分和三重积分的计算方法，以及变量替换法的应用。
高等数学《重积分的概念与性质》
f ( x, y)d f ( x, y)d .
D
D
性质5 （二重积分估值定理）
设M 、m 分别是 f ( x, y)在闭区域 D 上的最
大值和最小值， 为 D 的面积，则
m f ( x, y)d M
D
性质6 （二重积分中值定理）
设函数 f ( x, y)在闭区域 D 上连续， 为 D 的面积，则在 D 上至少存在一点( ,) 使得
D
D
三、比较下列积分的大小:
1、 ( x 2 y 2 )d与 ( x y)3 d ,其中D 是由圆
D
D
( x 2)2 ( y 1)2 2所围成 .
2、 ln( x y)d与[ln( x y)]2 d ,其中D 是矩形
D
闭区域:3 x 5,0 y 1 .
四、估计积分I ( x 2 4 y 2 9)d 的值,其中D 是圆
( k ) max P1P2 P1,P2 k
令
max 1 k n
( k )
n
V
lim
0 k1
f (k , k ) k
f (k , k )
D (k ,k ) k
2. 平面薄片的质量
有一个平面薄片,在 xoy 平面上占有区域 D ,其面密
度为
计算该薄片的质量 M .
设D 的面积为 ,则
设 f ( x, y, z)是空间有界闭区域 上的有界 函数，将闭区域 任意分成n 个小闭区域V1，
V2,, Vn ，其中Vi 表示第i 个小闭区域，也
表示它的体积, 在每个Vi 上任取一点(i ,i , i ) 作乘积 f (i ,i , i ) Vi ，(i 1,2,, n)，并作和,
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于
高等数学第十章重积分PPT课件
总结词
矩形区域上的重积分计算是重积分中最基础的一种计算方 法。
详细描述
在矩形区域上，可以将积分区域划分为若干个小矩形，然后对每个小矩形进行 积分，最后将所有小矩形的积分结果相加即可得到整个矩形区域的积分值。
公式
$int_{a}^{b}int_{c}^{d}f(x,y)dxdy$
圆形区域上的重积分计算
公式
根据具体情况而定，一般需要通过微分几何和拓扑学知识 进行推导和计算。
03
重积分的应用
重积分在几何学中的应用
80%
计算立体体积
通过重积分可以计算三维空间中 物体的体积，如旋转体、曲面和 不规则体的体积。
100%
计算表面积
重积分可以用来计算封闭曲面或 复杂曲面的表面积，如球面、椭 球面和抛物面等。
化简积分表达式
在计算过程中，尽量化简积分 表达式，以减少计算量。
避免重积分的常见错误
上下限错误
确保上下限的确定是正确的，特别是对于复杂区 域。
公式应用不当
使用不合适的公式可能导致计算错误或无法得出 结果。
积分次序错误
选择错误的积分次序可能导致计算结果不正确。
计算失误
在计算过程中，可能会因为疏忽或笔误导致结果 不准确。
求解流体动力学问 题
重积分在流体动力学中有重要应 用，如计算流体压力、速度和密 度等。
重积分济活动中 涉及到的成本和收益，如生产成 本、销售收入和利润等。
预测经济趋势
通过重积分可以建立经济模型， 预测未来经济趋势和市场变化， 为决策提供依据。
优化资源配置
二重积分的定义
二重积分是计算平面区域上的面积的数学工具，其值等于二元函数在平面区域上的所有点的函数值与该点处面积微元 相乘后累加的总和。
重积分的定义与性质
重积分的定义与性质重积分是高等数学中的一个重要概念，是对多元函数在空间内的积分运算。
在实际应用中，经常需要对物理量、几何量等进行多个变量的积分运算，这时就需要用到重积分。
本文将对重积分的定义和性质进行详细阐述。
一、连续函数的重积分对于连续函数$f(x,y)$，其中$(x,y)$为定义域内的任意一个点，其重积分定义如下：$$\iint_D f(x,y) dxdy$$在上式中，$D$为定义域。
这个式子的含义是在二维平面上对函数$f(x,y)$从定义域$D$内的每个点$(x,y)$到坐标轴正方向的区域进行积分。
其中，$dxdy$表示微元，用来表示积分的范围。
重积分也可以用极坐标系进行表示：$$\iint_D f(x,y) dxdy=\iint_D f(r\cos\theta,r\sin\theta) rdrd\theta$$这里，$r$和$\theta$分别表示极坐标系下的径向坐标和角度坐标。
二、重积分的性质对于重积分，我们要了解一些基本的性质。
1. 线性性：若$f(x,y)$和$g(x,y)$是$D$上的可积函数，$k_1$和$k_2$为常数，则：$$\iint_D (k_1f(x,y)+k_2g(x,y)) dxdy=k_1\iint_D f(x,y)dxdy+k_2\iint_D g(x,y) dxdy$$也就是说，重积分运算具有线性性。
2. 绝对可积性：如果$\iint_D |f(x,y)| dxdy$有定义，则称$f(x,y)$是$D$上的绝对可积函数。
3. 积分中值定理：如果$f(x,y)$在$D$上连续，则存在一点$(\xi,\eta)\in D$，使得：$$\iint_D f(x,y) dxdy=f(\xi,\eta) Area(D)$$这个公式的含义是，若在平面上将定义域$D$分成许多小的矩形，则在每个小矩形上，函数$f(x,y)$的大小是近似相等的。
因此，整个定义域上的积分值与函数的平均值在某个点上相等。
重积分的积分方法和积分公式
重积分的积分方法和积分公式重积分是高等数学中的重要概念，也是应用数学和物理学中使用最广泛的数学工具之一。
重积分包括二重积分和三重积分两种形式，其积分方法和积分公式对于求解各种物理量的大小、均值、中心、惯性矩等、数学物理问题的衍生、傅里叶级数的变换等都有着非常重要的应用价值。
1.二重积分的积分方法在二维空间内，设有一函数$f(x,y)$，在有界区域$D$上有定义，那么$f(x,y)$在$D$上的二重积分可以通过将$D$分成若干个无穷小的小矩形，然后对每个小矩形求面积乘上$f(x,y)$在矩形内的均值得出，公式如下：$\iint_Df(x,y)dxdy=\lim_{\Delta x, \Delta y \to 0} \sum_{i=1}^nf(x_i, y_i) \Delta x_i \Delta y_i$这里，$\Delta x$和$\Delta y$表示$x$和$y$在区域$D$上的最小划分，$n$表示小矩形的个数，而$f(x_i,y_i)$则为小矩形中心点$(x_i,y_i)$处的函数值。
不同的小矩形划分方式会影响到二重积分的精确度，一种常用的划分方式是网格划分方法，即将区域D分成若干格子，然后在每个格子中取其中心点作为较准确的位置来求积分。
2.二重积分的积分公式(1) Fubini定理：对于在矩形域$D$上的二重积分，其积分范围可以交换。
$\iint_Df(x,y)dxdy=\int_{a}^{b}dx\int_{c}^{d}f(x,y)dy=\int_{c}^ {d}dy\int_{a}^{b}f(x,y)dx$(2) 极坐标变换：若对于$f(x,y)$在极坐标下的表示为$f(r,\theta)$，则对于圆域$D$有以下公式成立。
$\iint_Df(x,y)dxdy=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{R(\theta)}f(r\c os\theta,r\sin\theta)rdr$其中，$R(\theta)$表示圆$D$在极坐标系下，相对于$\theta$的极径取值范围。
高等数学-第九章 三重积分及应用
( R > 0 )的公共部分.
D 2z
z R
R
2
提示: 被积函数缺 x , y
D1z
o x
y
原式 =
R2 z2 dz
0
dxdy
D1z
R R
z2 dz
2
dxdy
D2z
0R2z2(2Rzz2)dzR R2z2(R2z2)dz
59 R5
480
3、柱坐标代换
14dz (x2y2)dxdy 21 D z
1 21 4dz0 2d02zr3dr21
4
1
Dz
oy x
小结：
重积分计算的基本方法 —— 累次积分法 1. 选择合适的坐标系
使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 3. 掌握确定积分限的方法
x2 y2
11
x2 y2
原式 dxdy z dz d x d y z d z
Dxy
0
1 x 2
0
2、 截面法 (“先重后单” “先二后一”)
z { ( x ,y ,z ) |a z b ,( x ,y ) D z }b
f(x,y,z)dv
b
z a
adzD Zf(x,y,z)dxdy
x
适用范围：
Dz
y
积分区域介于两个平行于坐标面的平面之间;
在平行于坐标面的截面上二重积分易算 典型题目： 被积函数只为某一变量的函数;且截面面积易求
例(截面法): 计算积分 z2dxdydz, 其中是两个球
x2y2z2R2及 x2y2z22R z
高数大一知识点三重积分
高数大一知识点三重积分高等数学是大学数学专业的一门重要课程，对于数学专业的学生来说，掌握高数知识点是非常重要的。
在大一的高等数学课程中，三重积分是一个非常重要的知识点。
下面将从基本概念、计算方法和应用等几个方面来介绍三重积分。
一、基本概念三重积分是对三维空间中的函数进行积分运算。
如果一个三维空间中的函数在某个区域上是连续的，那么可以对这个函数进行三重积分。
三重积分可以看作是对空间中的体积进行求和的过程。
在三重积分中，我们需要确定积分函数、积分区域、积分方向和积分顺序等要素。
二、计算方法三重积分的计算方法有直接计算法和间接计算法两种。
直接计算法是将积分区域划分成小的立体元，然后对每个立体元进行积分计算，最后将所有立体元的积分结果相加得到最终的积分结果。
间接计算法是利用高斯公式和格林公式来进行计算。
高斯公式是将三重积分转化为对闭合曲面上的二重积分，然后再将二重积分转化为对曲线上的一重积分。
格林公式则是将曲线积分转化为坐标轴上的一重积分。
利用这两个公式，可以将三重积分的计算转化为一重积分的计算，简化了计算的步骤。
三、应用三重积分在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
在物理学中，三重积分可以用来计算物体的质量、重心、转动惯量等物理量。
例如，在力学中，我们可以通过对物体密度分布函数进行三重积分来计算物体的质量。
在工程学中，三重积分可以用来计算物体的体积、质量、质心等。
例如，在建筑工程中，我们可以通过对建筑结构进行三重积分来计算结构的体积和质量。
在计算机图形学中，三维模型的表面可以通过三重积分来进行渲染和着色。
例如，通过对三维物体的颜色分布进行三重积分，可以得到物体在不同方向上的颜色分布，从而实现逼真的渲染效果。
四、总结三重积分是大一高等数学中的一个重要知识点，掌握三重积分的基本概念、计算方法和应用是非常重要的。
通过对三重积分的学习和应用，可以提高数学建模和问题求解的能力，并在物理学、工程学和计算机图形学等领域中发挥重要作用。
高等数学重积分求解题技巧
高等数学重积分求解题技巧高等数学中的重积分是一种对多变量函数进行积分运算的方法，其求解需要掌握一定的技巧。
下面我将介绍一些常用的高等数学重积分求解题技巧。
一、确定积分区域在求解重积分时，首先需要确定积分区域。
常用的方法有：图形法、参数方程法、立体体积法、坐标轴法等。
根据题目给出的条件，选择合适的方法确定积分区域。
二、确定积分次序在确定积分次序时，需要考虑到函数在积分区域上的表达式。
通常可以将多变量函数的积分次序调整为适合计算的方式。
常用的方法有：先积x后积y、先积y后积x、极坐标系下积分等。
三、利用对称性在一些情况下，积分区域具有对称性，可以利用对称性简化求解过程。
例如，当积分区域关于x轴对称时，可以将积分区域进行对称延拓，然后将求解的结果乘以2。
利用对称性可以减少计算量，加快解题速度。
四、变量代换在求解一些复杂的重积分时，可以采用变量代换的方法进行简化。
变量代换可以将复杂的积分转化为简单的形式。
常见的变量代换有：平铺代换、柱坐标代换、球坐标代换等。
选择合适的变量代换可以使原始的积分更容易计算。
五、利用奇偶性在一些情况下，被积函数具有奇偶性。
可以利用奇偶性进行简化。
例如，当被积函数为奇函数时，其在对称区域上的积分结果为0，只需要计算对称区域上的一个部分即可。
六、利用分部积分在求解重积分时，可以利用分部积分的方法进行简化。
分部积分可以将积分的被积函数分解为两个因子之积，然后进行积分操作。
通过反复应用分部积分法，可以逐步简化积分表达式。
七、利用定积分的性质重积分实际上可以看作多个定积分的组合。
因此，可以运用定积分的性质进行求解。
例如，定积分可以与求导、极限运算交换次序，可以通过定积分的积分区间的变化进行转化等。
八、利用对数、指数性质在一些特殊情况下，重积分可以转化为对数、指数的形式。
可以利用对数、指数的性质进行求解。
例如，当积分的被积函数具有指数型形式时，可以利用指数函数的积分性质进行简化。
九、利用对数函数的导数当被积函数可以表示为某个对数函数的导数时，可以利用对数函数的导数来简化积分过程。
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高等数学重积分总结文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968）第九章二重积分【本章逻辑框架】【本章学习目标】⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。
⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。
熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。
⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。
二重积分的概念与性质【学习方法导引】1．二重积分定义为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。
从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。
在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ∆∆∆的分法要任意，二是在每个小区域i σ∆上的点(,)i i i ξησ∈∆的取法也要任意。
有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。
2．明确二重积分的几何意义。
(1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d Df x y σ⎰⎰表示以区域D 为底，以(,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。
特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d Df x y σ⎰⎰表示平面区域D 的面积。
(2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积(3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d Df x y σ⎰⎰表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积).3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。
有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数(,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。
【主要概念梳理】1.二重积分的定义 设二元函数f(x,y)在闭区域D 上有定义且有界. 分割 用任意两组曲线分割D 成n 个小区域12,,,n σσσ∆∆∆，同时用i σ∆表示它们的面积，1,2,,.i n =其中任意两小块i σ∆和()j i j σ∆≠除边界外无公共点。
i σ∆既表示第i 小块,又表示第i 小块的面积. 近似、求和 对任意点(,)i i i ξησ∈∆ ,作和式1(,).ni i i i f ξησ=∆∑取极限 若i λ为i σ∆的直径，记12max{,,,}n λλλλ=,若极限1lim (,)ni i i i f λξησ→=∆∑存在，且它不依赖于区域D 的分法，也不依赖于点(,)i i ξη的取法，称此极限为f (x,y )在D 上的二重积分. 记为1(,)d lim (,).niii Df x y f λσξη→==∑⎰⎰ 称f (x,y )为被积函数，D 为积分区域，x 、y 为积分变元，d σ为面积微元(或面积元素).2.二重积分 (,)d Df x y σ⎰⎰的几何意义(1) 若在D 上f (x,y )≥0，则(,)d Df x y σ⎰⎰表示以区域D 为底，以f (x,y )为曲顶的曲顶柱体的体积.(2) 若在D 上f (x,y )≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰ 的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积(3)若f (x,y )在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d Df x y σ⎰⎰表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积).3．二重积分的存在定理若f (x,y )在有界闭区域D 上连续，则f (x,y)在D 上的二重积分必存在(即f (x,y )在D 上必可积).若有界函数f (x,y )在有界闭区域D 上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则f (x,y )在D 可积.4．二重积分的性质二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f (x ,y )，g(x,y)在区域 D 上都是可积的.性质1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即[(,)(,)]d (,)d (,)d .DDDf x yg x y f x y g x y σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即(,)d (,)d ().DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰为常数性质3 若D 可以分为两个区域D 1,D 2，它们除边界外无公共点，则12(,)d (,)d (,)d .DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质4 若在积分区域D 上有f (x ,y )=1，且用S (D )表示区域D 的面积，则d ().DS D σ=⎰⎰性质5 若在D 上处处有f (x ,y )≤g (x ,y )，则有(,)d (,)d .DDf x yg x y σσ≤⎰⎰⎰⎰推论(,)d (,)d .DDf x y f x y σσ≤⎰⎰⎰⎰性质6(估值定理) 若在D 上处处有m ≤f (x ,y )≤M ，且S (D )为区域D 的面积，则()(,)d ().DmS D f x y MS D σ≤≤⎰⎰性质7(二重积分中值定理) 设f (x ,y )在有界闭区域D 上连续，则在D 上存在一点(,)ξη,使(,)d (,)().Df x y f S D σξη=⎰⎰【基本问题导引】根据二重积分的几何意义或性质求解下列各题：1．2d Da xdy =⎰⎰ ，其中222{(,)|}D x y x y a =+≤2．设D 是由x 轴，y 轴与直线1x y +=所围成的区域，则21(),DI x y d σ=+⎰⎰32()DI x y d σ=+⎰⎰的大小关系是 . 【巩固拓展提高】1．若f (x ,y )在有界闭区域D 上连续，且在D 的任一子区域D *上有*(,)d 0D f x y σ=⎰⎰，试证明在D 内恒有f (x ,y )＝02．估计22(y )d DI x xy x xdy =+--⎰⎰的值，其中{(,)|02,01}.D x y x y =≤≤≤≤3．设f (x ,y )是有界闭区域D ：222x y a +≤上的连续函数，则201lim (,)a Df x y dxdy a π→⎰⎰的值为多少【数学思想方法】二重积分是一元函数定积分的推广与发展，它们都是某种形式的和的极限，即分割求和、取极限，故可用微元法的思想来理解二重积分的概念与性质。
在直角坐标系中二重积分的计算 【学习方法导引】本章的重点是二重积分的计算问题，而直角坐标系中二重积分的 计算问题关键是如何确定积分区域及确定X 型区域还是Y 型区域，这也是本章的难点。
直角坐标系中二重积分计算的基本技巧：(1)在定积分计算中，如果D 的形状不能简单地用类似12()()x y x a x b ϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩或12()()y x y c y dφφ≤≤⎧⎨≤≤⎩的形式来表示，则我们可以将D 分成若干块，并由积分性质12(,)d (,)d (,)d .DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰对右端各式进行计算。
(2)交换积分次序不仅要考虑到区域D 的形状，还要考虑被积函数 的特点。
如果按照某一积分次序的积分比较困难，若交换积分次序后，由于累次积分的积分函数(一元积分)形式发生变化，可能会使新的积分次序下的积分容易计算，从而完成积分的求解。
但是无论是先对x 积分，再对y 积分，还是先对y 积分，再对x 积分最终计算的结果应该是相同的。
一般的处理方法是由积分限确定积分区域D ，并按照新的积分次序将二重积分化成二次积分。
具体步骤如下：①确定D 的边界曲线，画出D 的草图；②求出D 边界曲线的交点坐标；③将D 的边界曲线表示为x 或y 的单值函数； ④考虑是否要将D 分成几块； ⑤用x ,y 的不等式表示D .注：在积分次序选择时，应考虑以下几个方面的内容：(ⅰ)保证各层积分的原函数能够求出；(ⅱ)若D 为X 型(Y 型),先对x (y )积分；(ⅲ)若D 既为X 型又为Y 型，且满足(ⅰ)时，要使对D 的分块最少。
(3) 利用对称性等公式简化计算 设f (x ,y )在区域D 上连续，则 ①当区域D 关于x 轴对称若(,)(,)f x y f x y -=-，则(,)d Df x y σ⎰⎰＝0；若(,)(,)f x y f x y -=，则(,)d Df x y σ⎰⎰＝21(,)d D f x y σ⎰⎰，其中D 1为D 在x轴上方部分。
②当区域D 关于y 轴对称若(,)(,)f x y f x y -=-，则(,)d Df x y σ⎰⎰＝0；若(,)(,)f x y f x y -=，则(,)d Df x y σ⎰⎰＝22(,)d D f x y σ⎰⎰，其中D 2为D 在y轴右侧部分。
③当区域D 关于x 轴和y 轴都对称若(,)(,)f x y f x y -=-或(,)(,)f x y f x y -=-，则(,)d Df x y σ⎰⎰＝0；若(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=，则(,)d Df x y σ⎰⎰＝41(,)d D f x y σ⎰⎰，其中D 1为D在第一象限部分。
④轮换对称式设D 关于直线y x =对称，则(,)d Df x y σ⎰⎰＝(,)d Df y x σ⎰⎰.【基本问题导引】 一．判断题1．dxdy=Dxy ⎰⎰4122221dxdy,:4;:4,0,0D xy D x y D x y x y +≤+≤≥≥⎰⎰ ( )2. 若f 为连续函数，则21221012(,)(,)(,)x xydx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx--+=⎰⎰⎰⎰⎰ ( )【主要概念梳理】直角坐标系中二重积分计算当被积函数f (x ,y )≥0且在D 上连续时,若D 为 X - 型区域 12()():x y x D a x b ϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩则 21()()(,)d d d (,)d bx Dax f x y x y x f x y y ϕϕ=⎰⎰⎰⎰若D 为Y –型区域12()():y x y D c y d ψψ≤≤⎧⎨≤≤⎩,则21()()(,)d d d (,)d dy Dcy f x y x y y f x y x ψψ=⎰⎰⎰⎰说明:若积分区域既是X –型区域又是Y2211()()()()(,)d d d (,)d d (,)d bx dy Dax cy f x y x y x f x y y y f x y xϕψϕψ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰【巩固拓展提高】1.(1992)计算112111224.y y xxyI dy e dx dy e dx =+⎰⎰⎰2.设1()x xyf x e dy =⎰，计算10()f x dx ⎰.在极坐标系中二重积分的计算 【学习方法导引】极坐标系中二重积分计算的基本技巧：(1)一般地，如果积分区域是圆域、扇形域或圆环形域，且被积函数为22(),f x y +(),yf x()x f y 等形式时，计算二重积分时，往往采用极坐标系来计算。