理论力学 第4章 空间力系的简化和平衡

28
3
FR 0


M 0 FR M
FR
Mo

MO
FR
FR
FR
O’
oo M M
FR
FR
合力 o
如果一个力与一个力系等效，称该力是这个 力系的合力！
29

4 FR 0

5 FR 0
M 0
M 0
R // M
力螺旋 o
FR
垂直于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，
F1=3N， F2=5N，构件自重不计，求A,B两处的约束反力。
解：取整体为研究对象。
Mx 0 Mz 0
20
§4-4 空间一般力系的合成与平衡
一，空间力系向一点的简化 把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的
简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。 设作用在刚体上有
解：各杆均为二力杆,取球铰O为研究对象
Fix 0


Fiy 0


Fiz 0
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§4-2 力对点的矩与力对轴的矩
一、力对点的矩的矢量表示 在平面中：力对点的矩是代数量。 在空间中：力对点的矩是矢量。
mO (F ) Fd 2AOB面积
如果r 表示A点的矢径，则：
T1 546(kN)
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由B点：
X 0, T2cos cos45T3cos cos450
Y 0, T1sin60T2cos cos45T3cos cos450
Z 0, N2 T1cos60T2sin T3sin 0
cos 4 4, sin 3
力螺旋 o
Mo


M FR
O

M
FR
M
FR
O O
M FR
30
空间力系简化结果分析
主矢(O)
FR 0
FR 0
FR 0
FR 0
FR 0 FR 0
主矩(O)

M 0

M 0

M 0


M 0 FR M
1
工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力 系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。
(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系； (b)图中去了风力为空间平行力系。
迎面 风力
侧面 风力
b
2
第四章 空间力系
§4-1 空间汇交力系 §4-2 空间力矩理论 §4-3 空间力偶理论 §4-4 空间任意力系的简化和平衡
主矢大小
R'
R'
2 x
R'2y
R' 2z

(X )2 (Y )2 (Z )2
主矢方向 cos X ,cos Y ,cosg Z
R'
R'
R'
根据力对点之矩与力对轴之矩的关系:
[mO (Fi )]x mx (Fi )mOx; mOy [mO (F )]y my (F ); mOz [mO (F )]z mz (F )
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三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系 定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力
对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。
又由于 mO (F )rF [mO (F )]x i [mO (F )]y j[mO (F )]z k
mx (F )i my (F ) jmz (F )k
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③合成 F '1,F2 ',F3'Fn ' 得主矢 R ' 即 R 'Fi 'Fi （主矢 R ' 过简化中心O，
且与O点的选择无关） 合成 m1,m2 ,mn 得主矩 M O
即：mO mi mO (F i（) 主矩 M O 与简化中心O有关）
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若取简化中心O点为坐标原点，则：
所以空间任意力系的平衡方程为：
X 0,mx (F )0 Y 0,my (F )0
还有四矩式，五矩式和六矩式， 同时各有一定限制条件。
Z 0,mz (F )0
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空间汇交力系的平衡方程为：
X 0 Y 0 Z 0
因为各力线都汇交于一点，各轴都通过 该点，故各力矩方程都成为了恒等式。
12
二、力对轴的矩
定义： mz (F )mO (Fxy )Fxy d 2OA'B'的面积
它是代数量，方向规定 + –
[证] mz (F )mz (Fz )mz (Fxy )mO (Fxy )
结论：力对//它的轴的 矩为零。即力F与轴共 面时，力对轴之矩为零。
13
力对//它的轴的矩为零。即力F与轴共面时，力对轴之矩为零。
所以力对点O的矩为：
mO (F ) (mx (F ))2 (my (F ))2 (mz (F ))2
cos mx (F ) ,cos my (F ) ,cosg mz (F )
mO (F )
mO (F )
mO (F )
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§4-3 空间力偶系
一、力偶矩用矢量表示： 由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面，
空间平行力系的平衡方程，设各力线都 // z 轴。
Z 0 mx (F )0 m y (F )0
因为
mz (F )0
X 0
Y 0 均成为了恒等式。
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[例1] 已知:P=2000N, C点在Oxy平面内 求：力P对三个坐标轴的矩
解：①选研究对象；②画受力图；③选坐标列方程。
Pz Psin45 Pxy Pcos45 Px Pcos45sin60 Py Pcos45cos60
空间一般力系
F1, F2 , F3 Fn 向O点简化 （O点任选）
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①根据力线平移定理，将各力平行搬到O点得到一空
间汇交力系：F '1,F2 ',F3'Fn ' 和附加力偶系 m1,m2 ,mn [注意] m1,m2 ,mn 分别是各力对O点的矩。
②由于空间力偶是自由矢量，总可汇交于O点。
所以空间力偶矩必须用矢量表示。 力偶的转向为右手螺旋定则。 空间力偶是一个自由矢量。
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二、空间力偶的等效定理 作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相
同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。
[证] ①作II//Ⅰ，cd // ab
②作一对平衡力R, R' (在E点,且
使-R=R')
③由反向平行力合成得：
3、二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向夹角不易
确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y轴上， 即
X F sing cos Fxy cos F cos cos Y F sing sin Fxy sin F cos sin
Z Fcosg Fsin 5
由 X i 为合力在x轴的投影， ∴
Rx Xi R y Yi Rz Zi 7
3、合力投影定理： 空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴
上投影的代数和。
合力: R
Rx2

R
2 y

Rz2

(X )2 (Y )2 (Z )2
cos Rx ,cos Ry ,cosg Rz
R
R
R
8
三、空间汇交力系的平衡： 空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：
R Fi 0
∴几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。
∴解析法平衡充要条件为：
X 0 Y 0
Z 0
称为平衡方程 空间汇交力系的平衡方程
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已知：P=1000N ,各杆重不计。 求：三根杆所受力。
my (P ) my (Px )my (P y )my (Pz ) 005Pz 5Psin4570.7(Nm)
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[例2] 已知：AB=3m,AE=AF=4m, Q=20kN;
求:绳BE、BF的拉力和杆AB的内力
解：分别研究C点和B点作受力图
由C点：Y 0,T1'sin15Qsin450,
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固定端约束
A

A
空间：

A

平面：
YA
ห้องสมุดไป่ตู้
A
XA MA
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二.简化结果分析


1 FR 0 M 0
O M
M
O
O
FR
Mo
若简化中心为O1点，如何?
27

2 FR 0
FR
O
M 0

M
FR
O
O
FR
Mo
若简化中心为O1点，如何?


M 0 FR // M

M 0
简化结果 平衡
合力偶
合力 o 合力 o 力螺旋 o 力螺旋 o
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三、空间任意力系的平衡充要条件是：
R '0F 0 M O mO (Fi )0
又R' (X )2 (Y )2 (Z )2
MO (mx (F ))2 (my (F ))2 (mz (F ))2
32 42 5
5
T2 T3 419 (kN) ,
N2 230 (kN)
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[例3] 曲杆ABCD, ∠ABC=∠BCD=900, AB=a, BC=b, CD=c, m2, m3 求：支座反力及m1=?
4、力沿坐标轴分解：
若以 Fx ,Fy ,Fz 表示力沿直角
坐标轴的正交分量，则：
F Fx Fy Fz 而：
Fx Xi ,Fy Yj,Fz Zk 所以： F Xi Yj Zk
Fz Fx
F X 2 Y 2 Z 2
cos

X F
,cos

Y F
,cosg

Z F
Fy
则主矩大小为： M O
M
2 Ox

M
Oy
2

M
Oz
2
主矩方向：cos' MOx , cos ' MOy , cosg ' MOz
MO
MO
MO
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思考： 主矢,主矩与简化中心的位置有无关系?
主矢：作用在简化中心，大小和方向却与中心的位 置无关； 主矩：作用在该刚体上，大小和方向一般与中心的 位置有关。
F1与R合成得F2，作用在d点 F1'与R'合成得F2'，作用在c点
且R-F1=F2 ，R'- F1'= F2'
④在I内的力偶（F1，F1'）等效变成II内的（ F2， F2' ）
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由此可得出，空间力偶矩是自由矢量，它有三个要素：
①力偶矩的大小= m
②力偶矩的方向——与力偶作用面法线方向相同 ③转向——遵循右手螺旋规则。 三、空间力偶系的合成与平衡 由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意 一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合 矢量运算法则。 合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和
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mO (F )r F , mO (F ) r F sin(r,F ) F d
即：力对点的矩等于矩心到该力 作用点的矢径与该力的矢量积。
O
两矢量夹角为 12
由于F Xi YjZk r xi yj zk
i jk
mO (F )r F x y z ( yZ zY )i (zX xZ ) j(xY yX )k X Y Z [mO (F )]x i [mO (F )]y j[mO (F )]z k
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mz (P )mz (P x )mz (P y )mz (P z )6Px (5Py )0 6Pcos45sin605Pcos45cos6038.2(Nm)
mx (P )mx (P x )mx (P y )mx (P z )006Pz 6Psin4584.8(Nm)
18
n
m m1 m2 m3 mn mi
i 1
m
mx2
m 2y

mz2
;cos

mx m
,cos

my m
,cosg

mz m
显然空间力偶系的平衡条件是：
m m i 0

投影式为：
mx 0 my 0
mz 0
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已知：两圆盘半径均为200mm,AB =800mm,圆盘面O1
3
§4-1 空间汇交力系
一、力在空间轴上的投影与分解：
1.力在空间的表示：
力的三要素：
大小、方向、作用点(线)
g
O

Fxy
大小： F F
作用点：在物体的哪点就是哪点 方向：
由、、g三个方向角确定 由仰角 与俯角 来确定。
4
2、一次投影法（直接投影法）
由图可知：X Fcos, Y Fcos , Z Fcosg
6
二、空间汇交力系的合成： 1、几何法：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多
边形方法求合力。
R F1 F2 F3 Fn F i
即：合力等于各分力的矢量和
2、解析法： 由于 Fi X ii Yi j Zik 代入上式
合力 R X ii Yi j Zik