立体几何中的向量方法探究性问题

1.（湖北高考）如图，在四棱锥P—ABCD中，

底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，

AB=3，BC=1，PA=2，E为PD的中点.

（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.

本小题主要考查线面关系和四棱锥等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.

解法1：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系， 则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标为A （0，0，0）、 B （

3，0，0）、C （3，1，0）、D （0，1，0）、

P （0，0，2）、E （0，2

1，1）， 从而).2,0,3(),0,1,3(

-==

设PB AC 与的夹角为θ，则

,14

7

37

23cos ==

=

θ ∴AC 与PB 所成角的余弦值为14

73

.

（Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为（x ，O ，z ），则

)1,2

1

,(z x --=，由

NE ⊥面PAC 可得，

⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.021

3,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.

0,0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即

∴⎪⎩

⎪⎨⎧==16

3

z x

即N 点的坐标为)1,0,6

3

(，从而N 点到AB 、AP 的距离分

别为1，6

3.

2.（湖北高考）如图1，45ACB ∠=

，3BC =，过动点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使90BDC ∠=

（1）当BD 的长为多少时，三棱锥A BCD -的体积最大； （2）当三棱锥A BCD -的体积最大时，设点E ，

M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确

定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面

BMN 所成角的大小．

D

A

B

C

A

D

B

图

图1

（Ⅰ）解法1：在如图1所示的△ABC 中，设(03)BD x x =<<，则3CD x =-．

由AD BC ⊥，45ACB ∠=

知，△ADC 为等腰直角三角形，所

以3AD CD x ==-.

由折起前AD BC ⊥知，折起后（如图2），AD DC ⊥，AD BD ⊥，且BD DC D = ，

所以AD ⊥平面BCD ．又90BDC ∠=

，所以

11

(3)22

BCD

S BD CD x x ∆=⋅=-．于是

1111

(3)(3)2(3)(3)33212

A BCD BCD V AD S x x x x x x -∆=⋅=-⋅-=⋅--

3

12(3)(3)21233x x x +-+-⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦

，（lbylfx ） 当且仅当23x x =-，即1x =时，等号成立，

故当1x =，即1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大． 解法2：

同解法1，得3

2

1111(3)(3)(69)3

326

A BCD

BCD

V AD S x x x x x x -∆=⋅=-⋅-=-+．

令3

21()(69)6

f x x

x x =-+，由1

()(1)(3)02

f x x x '=--=，且03x <<，解得

1x =．

当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,3)x ∈时，()0f x '<． 所以当1x =时，()f x 取得最大值．

故当1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大． （Ⅱ）解法1：以D 为原点，建立如图a 所示的空间直角坐标系D xyz -．

由（Ⅰ）知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，1BD =，

2AD CD ==．

于是可得(0,0,0)D ，(1,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)A ，(0,1,1)M ，

1

(,1,0)2

E ， 且(1,1,1)BM =-

．

设

(0,,0)

N λ，则

1

(,1,0)

2

EN λ=-- . 因为

EN BM

⊥等价于

0EN BM ⋅=

，即

11(,1,0)(1,1,1)1022λλ--⋅-=+-=，故12λ=，1

(0,,0)2

N . 所以当12

DN =（即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点）

时，EN BM ⊥．

设平面BMN 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由

,,

BN BM ⎧⊥⎪

⎨⊥⎪⎩

n n 及

1

(1,,0)2

BN =- ，

得2,.y x z x =⎧⎨

=-⎩ 可取(1,2,1)=-n ． 设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ，则由11(,,0)22

EN =--

，

(1,2,1)=-n ，可得

1|1|

sin cos(90)||||EN EN θθ--⋅=-===⋅ n n ，即60θ= ．

故EN 与平面BMN 所成角的大小为60.