平面与空间直线

第3章 平面与空间直线

§ 3.1平面的方程

1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：

（1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点)1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面；

（3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ∆平面垂直的平面。

解： （1） }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面，

故所求的平面方程为：

⎪⎩

⎪⎨⎧++-=-=--=v u z u y v u x 212123

一般方程为：07234=-+-z y x

（2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又}3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：

⎪⎩

⎪⎨⎧+-=+-=+=v u z u y u x 317521

一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。

（3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ：

}1,5,4{--=，}2,0,1{-=

从而π的参数方程为：

⎪⎩

⎪⎨⎧+-=+=--=v u z u

y v u x 235145 一般方程为：0745910=-++z y x 。

（ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ∆所在的平面

∴ }1,5,4{--=， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-⨯--=⨯

均与π'平行，所以π'的参数式方程为：

⎪⎩

⎪⎨⎧+-=++=+-=v u z v u y v u x 35145

一般方程为：0232=--+z y x .

2.化一般方程为截距式与参数式：

042:=+-+z y x π.

解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--， 所以，它的截距式方程为：

1424=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-，

∴ 所求平面的参数式方程为：

⎪⎩

⎪⎨⎧=-=++-=v z u

y v u x 24 3.证明矢量},,{Z Y X v =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：0=++CZ BY AX .

证明： 不妨设0≠A ，

则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==---=v z u

y v A C u A B A D x 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A

C A B --， 从而平行于平面0=+++

D Cz By Ax 的充要条件为：

v ，}1,0,{},0,1,{A

C A B --共面⇔

01

001=--A

C A B Z Y X ⇔ 0=++CZ BY AX . 4.已知：连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 里的坐标z .

解： }5,2,3{z +-= 而AB 平行于0147=--+z y x

由题3知：0)5(427)3(=+-⨯+⨯-z

从而18=z .

§ 3.2 平面与点的相关位置

1.计算下列点和平面间的离差和距离：

（1）)3,4,2(-M ，

:π 0322=++-z y x ； （2）)3,2,1(-M ， :π 0435=++-z y x .

解： 将π的方程法式化，得：

013

23132=--+-

z y x ， 故离差为：3

11332431)2()32()(-=-⨯-⨯+-⨯-=M δ， M 到π的距离.31)(==M d δ （2）类似（1），可求得

0354

353

356

355

)(=-++-=M δ，

M 到π的距离.0)(==M d δ

2.求下列各点的坐标：

（1）在y 轴上且到平面02222=--+z y 的距离等于4个单位的点；

（2）在z 轴上且到点)0,2,1(-M 与到平面09623=-+-z y x 距离相等的点；

（3）在x 轴上且到平面01151612=++-z y x 和0122=--+z y x 距离相等的点。 解：（1）设要求的点为)0,,0(0y M 则由题意

492

20=-y

∴ 610=-y ⇒50-=y 或7.

即所求的点为（0，-5，0）及（0，7，0）。

（2）设所求的点为),0,0(0z 则由题意知：

7962102022-=

++z z 由此，20-=z 或-82/13。

故，要求的点为)2,0,0(-及)13

82,0,0(-。 （3）设所求的点为)0,0,(0x ，由题意知：

31225

1

0120-=+⨯x

由此解得：20=x 或11/43。 所求点即（2，0，0）及（11/43，0，0）。

3.已知四面体的四个顶点为)4,1,1(),5,11

,2(),3,5,3(),4,6,0(---C B A S ，计算从顶点S 向底面ABC 所引的高。

解：地面ABC 的方程为：

0522=+--z y x 所以，高335426=+⨯--=

h 。

4.求中心在)2,5,3(-C 且与平面01132=+--z y x 相切的球面方程。

解：球面的半径为C 到平面π：01132=+--z y x 的距离，它为：