勾股定理知识点梳理

勾股定理知识点梳理

1•直角三角型有哪些特殊的性质；①角，直角三角型的两锐角互余；②边，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，用符号表示：在Rt △ ABC中，

a

2 b^ c2；③面积，两种

计算面积的方法。

2.如何判定一个三角形是直角三角形呢？

①有一个内角为直角的三角形是直角三角形; ②两个内角互余的三角形是直角三角形；③如果三角形的三边长为a、b、c满足a2 - 6 =c2，那么这个三角形是直角三角形

3 •勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理

与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4.互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设, 命题。如

果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

这样的两个命题叫做互逆

5.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2・b2=c2中，a , b , c为

正整数时，称a , b , c为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ；6,8,10 ；5,12,13 ；7,24,25 , 8,15,17 ；9,40,41 等

6.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法

如下：

方法4S「S正方形EFGH = S E 方形ABCD，1 2 2

4 2a—"，化简可证.

方法

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S = 4 -ab c^2ab c2

2

大正方形面积为S =(a b)2 =a22ab ■ b2

所以a2b2 =c2

1 1 1

方法三：S梯形(a b) (a b) , S梯形=2S ADE，S，ABE =2 —ab ■ — c，化简得证

2 2 2

一.典型例题

类型一：勾股定理的直接用法a J b\c 、B b C

b

a

1、在Rt A ABC中，/ C=90°

(1)已知a=6, c=10，求b, (2)已知a=40, b=9,求c；(3)已知c=25, b=15,求a. 思路点拨：写解的过程中, 股定

理的变形使用。

定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾

(2)

:如图/ B=Z ACD=90° , AD=13,CD=12, BC=3,则 AB 的长是多少？

勾股定理的构造应用

已知：在

中，——

-「，丄」 【，一---.求：BC 的长.

A

，

1 ，再由勾股定理计算出 AD 、DC 的长，进而求

出BC 的长.

举一反三 【变式1】如图，已知：

」，二亠于

P.求证：

A

【变式2】已知：如图，/ B=Z D=90°,Z A=60°,

AB=4, CD=2。求：四边形 面积。

思路点拨

则有

—二于 D ，

举一反三

【变式】 类型二: 2、如图,

ABCD 的

类型三：勾股定理的实际应用

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题

3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地

-------到达B 点，然后再沿北偏西

向走了

求A 、C 两点之间的距离。

确定目的地 C 在营地A 的什么方向。 举一反三

【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高

(1) 2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工

A 点出发，沿北偏东

30。方向走了 500m 到达目的地

【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过， 只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小

于CH.如图所示，点 D 在离厂门中线0.8米处，且CDX AB, 与地面交于H.

（二）用勾股定理求最短问题

4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网 改造，某地有四个村庄 A 、B 、C D ,且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村 庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方

案，

如图实线部分.请你帮助计算一下， 哪种

架设方案最省电线.

思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短, 然后进行比较，得出结论.

举一反三

【变式】如图，一圆柱体的底面周长为 20cm ，高AB 为4cm , BC 是上底面的直径.

只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点

C,试求出爬行的最短路程.

如图，在Rt AABC 中，BC=底面周长的一半=10 cm ,根据勾股定理得

（提问：勾股定理）

答：最短路程约为1 0.77 cm .

类型四：利用勾股定理作长为而的线段

通过利用勾股定理计算线路长,

解

:

AC =

」」＞ 亍；=_,7

^10.77( cm )(勾股定理)

O

5、作长为、」-；、“」的线段。

思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为

'/■和1的直角三角形斜边长就是J-：，类似地可作门」。

举一反三【变式】在数轴上表示■■…的点。

解析：可以把看作是直角三角形的斜边,

为了有利于画图让其他两边的长为整数,

而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。

作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC丄OA且截取AC=1,以OC为半径,

以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为O

类型五：逆命题与勾股定理逆定理

6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确

1 •原命题：猫有四只脚.（正确）

2 .原命题：对顶角相等（正确）

3 •原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等. （正确）

4 •原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等. （正确）

思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。

解析：1.逆命题：有四只脚的是猫（不正确）

2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）

3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. ？（正确）

4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上. （正确）

总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。

2 2 2

7、如果△ ABC的三边分别为a、b、c,且满足a+b+c+50=6a+8b+10c,判断△ ABC的形状。

总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的，在证明中也常

要用到。

举一反三【变式1】四边形ABCD中，/ B=90° , AB=3, BC=4, CD=12, AD=13, 求四边形ABCD的面积。

【变式2】已知：△ ABC的三边分别为m2—n2,2mn,m 2+ n2（m,n为正整数，且

m > n）,判断△ ABC是否为直角三角形•

分析：本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明：a2+b2=c2即可