高等数学下试题及答案

高等数学（II ）试题（A ）
一 填空 （每小题3分 共15分 ） 1 曲面 221z
x y =+- 在点 (2,1,4)的切平面的方程为___________。

2 设隐函数
(,)
z z x y =是由方程
2
z y e x z e ++=确定的，则
_________0,0
z
x y x ∂===∂。

3 设∑是平面 1x y z +
+=在第一卦限部分，则 ()__________x y z dS ∑
++=⎰⎰。

4 设
()f x 周期为2π，且
,0(),0
x e x f x x x π
π⎧≤<=⎨
-≤<⎩，()s x 是()f x 的Fourier 级数的和函数，则 (0)s = ______________。

5 设幂级数
1
n
n n a x
∞
=∑在
2x =处条件收敛，则幂级数13
n
n n
n a x ∞
=∑
的收敛半径
______R =。

二 选择（每小题2分 共10分 ）
1 设D 是平面区域，则下面说法正确的是（ ） （A ） 若(,)f x y 在D 上可微，则(,)f x y 的一阶偏导在D 上一定连续； （B ） 若(,)f x y 在D 上一阶偏导存在，则(,)f x y 在D 上一定可微； （C ） 若
(,)f x y 在D 上一阶偏导存在，则(,)f x y 在D 上一定连续；
（D ） 若在D 上xy f 与yx f 均连续，则 (,)(,)xy yx f x y f x y =。

2 下列级数中绝对收敛的级数是 （ ）
（A ） 1
(1)2n
n
n n
∞
=-∑； （B ）1
1ln(1)n n ∞
=+∑;
（C ） 11(1)sin n n n ∞
=-∑; （D ） 1
(1)1n
n n n ∞
=-+∑。

3 直线过点 (0,0,3)且与直线 x y z ==垂直相交，则交点的坐标是（ ）
（A ） (2,2,1)-； （B ）(1,1,1)； （C ）(1,1,2)--；（D ）(0,0,0)。

4 方程
22480y z x +-+= 表示 。

(A) 单叶双曲面； （B ） 双叶双曲面 ； （C ） 锥面 ； （D ） 旋转抛物面。

5 一阶微分方程 2
33()0x
ydx x y dy -+=的类型是（ ）
（A ）全微分方程； （B ） 可分离变量方程；（C ）齐次方程； （D ）一阶线性微分方程。

三 （6分） 设()u f r =
是具有二阶连续导数的函数，r =，求
2
2
u x ∂∂。

四 （7分）计算 2
2D
x I
d y
σ=⎰⎰
，其中D 是直线 2,x y x ==及双曲线1xy =所围区域。

五 （7分）修建一个容积为V 的长方体地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积造价分别是地面每单位面积造价的3倍和2倍，问如何设计仓库的长、宽和高，可使它的造价最小。

六 （7分）求微分方程 2'(3)x
y y e x ''-=- 的通解。

七 （7分）计算 I zdv Ω
=⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面
z =223x y z
+=所围的空间区域。

八（7分）求 22()()L x y dx x y dy x y
++-+⎰，其中L 是曲线 221x y +=，取逆时针方向。

九（7分）计算曲面积分
222
(cos cos cos )y x z dS αβγ∑
++⎰⎰，其中∑
是锥面z =0,1z z ==之间的部分，而cos ,cos ,cos αβγ
是∑在(,,)
x y z 处的外法线向量的方向余弦。

十 （7分）已知如下命题成立： 设{}n a 是单调减少的正数列，级数
1
n
n a
∞
=∑收敛当且仅当
212k k
k a ∞
=∑收敛。

1）请用此命题证明 11
p n n
∞
=∑ 当01p <≤时发散，而当1p >时收敛；
2）证明所给的命题。

答案
一 填空 （每小题3分 共15分 ）
1 4260x y z +--=；
2 0； 3
2
； 4 12； 5 6。

二 选择（每小题2分 共10分 ） D A B D C 三 （6分）解
'()u x
f r x r
∂=∂ ……………………………4 222
2321()'()"()u x x f r f r x r r r
∂=-+∂………………………….2 四 （7分）解 1
:12,
D x y x x
≤≤≤≤。

………………2 2
2
1
21
1
x
x
I x dx dy y
=⎰⎰………………………………………2 2
2
1
1
()x x dx x
=-⎰
(2)
9
4
=
……………………………………………………………1 五 （7分）解 设地面每个单位造价为1，则墙壁和仓顶分别为 2， 3。

设长宽高分别为,,x y z 。

则现在的要求是 (,,)444f x y z xy xz yz =++在 xyz v =约束下的极值。

……………………………………………………………1 考虑 (,,)()F x y z xy xz yz xyz v λ=+++-，……………………..1 则条件极值点满足一下方程
0000
x y
z F y z yz F x z xz F x y xy xyz v λλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨
=++=⎪⎪-=⎩…………………………………………………..3 由上述方程组可解得
(,,)x y z =
根据实际情况可知，此时造价最小。

………………………………………2 六 （7分）解 特征方程为 2
12200, 2.r r r r -=⇒==
对应的齐次方程的通解为 212x
Y c c e =+ (2)
()(3),1x f x e x λ=-=不是特征根，于是可设特解为
*()x y e ax b =+ (2)
代入到原方程化简可 3ax b x --=-
于是 *(3)x
y e x =--…………………………………………2 所求的通解为 212(3)x
x Y c c e e x =+-- (1)
七 （7分）解
由z =
223x y z +=，得
2
2
3x y +=，…… ……………………………………………..2 于是
20
3
I
zdv d d zdz πρϕρΩ
==⎰⎰⎰⎰⎰ (3)
13
4
π=
……………………………………………………2 八（7分）解 原式＝
()()L
x y dx x y dy ++-⎰ (3)
设D 的边界是L ，根据格林公式， 原式＝
(11)0D
dxdy -=⎰⎰ (4)
九 （7分）解 原式＝
222y dydz x dzdx z dxdy ∑
++⎰⎰，∑取外侧，……… 1 设221
1,1z x y ∑=+≤，取上侧，则
1
2222y dydz x dzdx z dxdy zdv ∑+∑Ω
++=⎰⎰⎰⎰⎰ (2)
＝
211
22
d d zdz π
ρ
π
ϕρρ=
⎰
⎰⎰ (2)
而
1
1
222
y dydz x dzdx z dxdy dxdy π∑∑++==⎰⎰⎰⎰……………………1 于是 原式＝
2
2
π
π
π-=-。

(1)
十 （7分）1 设 1n p a n =，则 122(2)k k p k
a -=，于是由已知 11p n n
∞
=∑的敛散性
与等比数列
11
(2)p k k ∞
-=∑敛散性一致。

…………………………………………1 因此当01p <≤时原级数发散，而当1p >时收敛；…………………… 1 2 令 1221
k
k k i i b a -=+=
∑
，当设{}n a 是单调减少的正数列时，有
1112222k k k k k a b a ---≤≤ (3)
由比较判别法
1
k k b ∞
=∑收敛当且仅当
21
2k k
k a ∞
=∑收敛，
即
1
n n a ∞
=∑收敛当且仅当
21
2k k
k a ∞
=∑收敛。

2。