六年级奥数整除问题
六年级下册奥数试题 数的整除特征(一) 全国通用(含答案)
第1讲数的整除特征（一）知识网络数的整除性质主要有：（1）若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
（4）若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。
（5）若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。
（6）若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（7）个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。
（8）个位上是0或者5的数都能被5整除。
（9）若一个整数各位数字之和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（10）若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（11）若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（12）若一个整数各位数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除。
重点·难点数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。
要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。
学法指导能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别看这个数的末一位、末两位、末三位。
我们可以综合推广成一条：末n位数能被（或）整除的数，本身必能被（或）整除；反过来，末n位数不能被（或）整除的数，本身必不能被（或）整除。
例如，判断253200、371601能否被16整除，因为，所以只要看各数的末四位数能否被16整除。
学习这一讲知识要学会举一反三。
经典例题[例1]在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数尽可能小。
思路剖析这个六位数分别被3、4、5整除，故它应满足如下三个条件：（1）各位数字和是3的奇数；（2）末两位数组成的两位数是4的倍数；（3）末位数为0或5。
小学奥数六年级上第15讲《整除问题综合》教学课件
数学知识点
mathematics
知识精讲 二、质数合数 1.质数合数填数字：注意2和5的特殊性； 2.判断大数是否为质数：逐一试除法； 3.末尾0的个数问题：层除法.
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例题讲解
例题1：
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(1)五位数 3□6□5 没有重复数字，如它能被75整除，那么这个五位数可能是多少? (2)如果六位数 387□□□ 能被624整除，则三个方格中的数是多少?
例题讲解
mathematics
例题4：一个各位数字互不相同的五位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的三位数可以被 23整除，这个五位数的最小值等于多少？最大值呢？ 分析：根据“去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除”及最大值或最小值可确定五位
数的前三位，然后根据9的整除特性确定其余数字. 答案：最小值13806；最大值94365
(3)末三位是999的自然数能被23整除，这个数最小是多少? 答案： （1）105372 （2）220，544，868 （3）20999
例题讲解
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例题2：将自然数1，2，3，…，依次写下去组成一个数：12345678910111213…，如果写 到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被36整除，那么这个自然数N是多少? 分析：36可以分解为4和9，然后分别满足N能被4和9整除，接下来就要用到整除特性了，
答案：260172；197496
巩固提升
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作业3：201×202×203x…×500的末尾有多少个连续的0. 答案：75个
巩固提升
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作业4：两个连续自然数的乘积是1190，这两个数中较小的是多少? 答案：34
六年级奥数数论整除问题ABC级学生版(供参考)
数的整除知识框架一、整除的概念：当两个整数a和b（b≠0），a被b除的余数为零时（商为整数），那么称a被b整除或b整除a，也把a 叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，若是a被b除所得的余数不为零，那么称a不能被b整除，或b不整除a，记作b a.二、常见数字的整除判定方式1.一个数的末位能被2或5整除，那个数就能够被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，那个数就能够被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，那个数就能够被8或125整除；2.一个位数数字和能被3整除，那个数就能够被3整除；一个数列位数数字和能被9整除，那个数就能够被9整除；3.若是一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么那个数能被11整除；4.若是一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么那个数能被7、11或13整除；5.若是一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9的倍数，那么那个数能被9整除；6.若是一个数能被99整除，那个数从后两位开始两位一截所得的所有数（若是有偶数位那么拆出的数都有两个数字，若是是奇数位那么拆出的数中假设干个有两个数字还有一个是一名数）的和是99的倍数，那个数必然是99的倍数。
7.假设一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，若是差是7的倍数，那么原数能被7整除。
若是差太大或心算不易看出是不是7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的进程，直到能清楚判定为止。
例如，判定133是不是7的倍数的进程如下：13－3×2＝7，因此133是7的倍数；又例如判定6139是不是7的倍数的进程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，因此6139是7的倍数，余类推。
假设一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加个位数的4倍，若是和是13的倍数，那么原数能被13整除。
若是和太大或心算不易看出是不是13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的进程，直到能清楚判定为止。
最新的六年级奥数知识点：数的整除.doc
最新的六年级奥数知识点：数的整除
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一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号|，不能整除符号;因为符号∵，所以的符号;
二、整除判断方法：
1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1. 如果a、b能被c整除，那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。
2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
小学六年级奥数 整除综合之整除判别方法_PDF压缩
若：11 d c b a 则 11 abcd
5．拆分系 12=3×4 ，72＝8×9，1001＝7×11×13…… 注：要拆分成互质的数
三位一段求数段差：7、11、13
6．试除法
abcdefg 1000000a 1000bcd efg
999999a 1001bcd efg bcd a
9倍数
若：9 a b c 则 9 abc
两位一段求数段和：99
abcde 10000a 100bc de 9999a99bc de bc a
99倍数
若：99 de bc a 则：99 abcde
4．差系 一位一段求数段差：11
abcd 1000a 100b 10c d 1001a99b 11c d c b a
整除综合之整除判别方法
1．整除的意义 整数a除以整数b(b≠0)，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除。 2．末尾系 能否被2或5整除是看末一位； 能否被4或25整除是看末两位； 能否被8或125整除是看末三位。
3．和系 一位一段求数码和：3和9 abc 100a 10b c 99a9b a b c
【例2】(★ ★ )
两个四位数 A275 和275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除， 求A和B。
【例3】 (★ ★ ★ )
将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6 位数，那么，这个6位数除以667的结果是多少？
【例4】 (★★★) 三位数的百位、十位和个位的数字分别是5，a和b，
将它连续重复写2009次成为：5ab5ab5ab，
2009个5ab
六年级整除奥数题及答案
六年级整除奥数题及答案奥数相对比较深，数学奥林匹克活动的蓬勃发展，极大地激发了广大少年儿童学习数学的`兴趣，成为引导少年积极向上，主动探索，健康成长的一项有益活动。
以下是店铺为大家整理的六年级整除奥数题及答案相关内容，仅供参考，希望能够帮助大家。
六年级整除奥数题及答案1如果多位数能被7整除，那么○内的数字是().考点：数的整除特征.分析：通过计算可知，222222即6个2刚好被7整除，999999即6个9也刚好被7整除，20xx÷6=334…5.所以多位数可简化为22222○99999，其它的刚好被7整除，即22222○99999能被7整除，则这个多位数就能被7整除，由此进行验证即可.解答：解：由于222222即6个2刚好被7整除，999999即6个9也刚好被7整除，20xx÷6=334…5.所以这个多位数可简化为22222○99999，经验证，22222499999=3174642857，即○内的数字是4.故答案为：4.点评：根据6个2刚好被7整除，6个9也刚好被7整除的特点将这多位数化简是完成本题的关键.六年级整除奥数题及答案2题目：用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少?整除问题答案：∵被除数=除数×商+余数，即被除数=除数×40+16。
由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877，∴(除数×40+16)+除数=877，∴除数×41=877-16，除数=861÷41，除数=21，∴被除数=21×40+16=856。
答：被除数是856，除数是21。
六年下册奥数试题：数的整除特征（一）全国通用（含答案）
第1讲数的整除特征（一）知识网络数的整除性质主要有：（1）若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
（4）若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。
（5）若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。
（6）若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（7）个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。
（8）个位上是0或者5的数都能被5整除。
（9）若一个整数各位数字之和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（10）若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（11）若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（12）若一个整数各位数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除。
重点·难点数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。
要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。
学法指导能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别看这个数的末一位、末两位、末三位。
三位。
我们可以综合推广成一条：我们可以综合推广成一条：我们可以综合推广成一条：末末n 位数能被（或）整除的数，整除的数，本身必能被本身必能被（或）整除；反过来，末n 位数不能被（或）整除的数，本身必不能被（或）整除。
例如，判断253200、371601能否被16整除，因为，所以只要看各数的末四位数能否被16整除。
学习这一讲知识要学会举一反三。
经典例题[例1]在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数尽可能小。
思路剖析这个六位数分别被3、4、5整除，故它应满足如下三个条件：（1）各位数字和是3的奇数；（2）末两位数组成的两位数是4的倍数；的倍数；（3）末位数为0或5。
小学六年级关于整除的奥数题
小学六年级关于整除的奥数题【篇一】1、一家洗衣机销售柜，与1990年某日上午和下午分别以相等的价格售出相同的台数。
已知这天共卖得现金额（元）恰好等于这年的年份数。
问这个柜台上、下午各买出几台洗衣机？每台洗衣机价多少？2、有五对夫妻，他们十人的年龄可以排成十个连续自然数，十人岁数的和为345，每对夫妻丈夫比妻子大的岁数，正好是五个一位连续的奇数。
这十人的岁数各是多少？3、a、b、c都是质数，c是一位数，且a×b+c=1993，那么a+b+c=？4、若连乘积975×935×972×（）的最后四个数字都是0，则在括号内最小应填上什么数？5、1512乘以自然数a，得到一个平方数求a的最小值和这个平方数。
6、a、b是两个质数，a的7倍与b的和是111，求a、b各是多少？7、请你把1~9这9个数字填入下列算式的九个方框内，使等式□□□×□□=□□×□□=5568成立。
8、相邻三个奇数的乘积是1□□7，这三个自然数分别是多少？9、如果把一个六位数的个位数移到最前面的十万位上，把其他各位的数字依次向后移一位，得到一个新的如果新数是原数的5倍，那么原来的六位数是几？10、劳技课老师带领一班同学去植树，学生恰好分成三组，如果老师与学生每人种树一样多，则共种了572棵，那么，这个班有学生多少人？每人种树多少棵？【篇二】1、边长为自然数，面积为210的形状不同的长方形有多少个？2、11112222个棋子排成一个长方形阵。
每一横行的棋子数比每一竖行的棋子数多一个。
这一长方形阵每一横行有多少个棋子？3、一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，求a的最小值与这个平方数。
4、六个相邻自然数的乘积是60480，求这六个自然数。
5、某山区农民可拿鸡蛋到商店换热水瓶，商店起初规定45个鸡蛋换一个热水瓶，没有人去换。
后来热水瓶降价，去换的人就多了。
已知商店的全部热水瓶共换到1989个鸡蛋，虽然每个热水瓶成本高于30个鸡蛋的价钱，交换后并不吃亏。
奥数训练——数的整除
数的整除一、解答题（共15小题，满分0分）1．判断能否被3，7，11，13整除．2．试说明形式的6位数一定能被11整除．3．在1998后面添上两个数字构成一个六位数，它能够同时被7和8整除，所添的两个数字是多少？4．求被179整除的最小和最大的四位数．5．一个五位数减去其各位数字之和后变为，则x是多少？6．首位数字是9，各位上的数字互不相同的7位数中，能被6整除最小数是多少？？7．养殖专业户郝大爷共养鸡鸭810只，卖出鸡只数的，鸭只数的75%，剩下鸡鸭只数相同，求原来鸡鸭各养了多少只？8．五个三位数，前四个数分别是123、345、567、789．已知五个数的平均数是9的倍数，第5个数最大是多少？9．五个数之和是308．这五个数分别被2、3、5、7、11整除，且商相同，求这五个数．10．一个数乘以91后乘积的后三位是193，这个数最小是多少？11．一个各位数字全是1的自然数能被33333整除，问这个数最小是多少？12．某六位数能被17和19整除，求．13．五位数能被36整除，求这样的五位数．14．是105的倍数，求．15．给你一个六位数：（1）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被9整除；（2）根据（1）的结果说明该六位数一定不能被72整除；（3）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被24整除；（4）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被55整除；（5）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被91整除．数的整除参考答案与试题解析一、解答题（共15小题，满分0分）1．判断能否被3，7，11，13整除． 考点：数的整除特征．专题：整除性问题．分析： 首先判定能否被3整除，因为能同时被7、11、13整除的最小数为1001，把这个数写成1001×98666+766，探讨766能否被7，11，13整除即可．解答： 解：因为9+8+7+6+5+4+3+2=44，不能被3整除；因为98765432=1001×98666+766，766不能被7整除；766不能被11整除；766不能被13整除；所以不能被3，7，11，13整除．点评： 掌握能被3，7，11，13整除数的特征是解决问题的关键，注意问题的灵活处理．2．试说明形式的6位数一定能被11整除．考点：数的整除特征．专题：整除性问题．分析：根据被11整除数的特征：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除．由此说明即可．解答：解：=100010010=1001c=1001×（10010）因为11能整除1001，所以形式的6位数一定能被11整除．点评：此题考查数的整除特征，掌握被11能出数的特征是解决问题的根本．3．在1998后面添上两个数字构成一个六位数，它能够同时被7和8整除，所添的两个数字是多少？考点：数的整除特征．专题：整除性问题．分析： 不妨设，添加的两个数字为，则8能被8整除，则可以是00，08，16，24，32，40，48，56，64，72，80，88，96；且7能整除1998，也就是整除3，相当于整除20，进一步验证得出答案即可． 解答： 解：设添加的两个数字为，8能整除1998，则可以为：00，08，16，24，32，40，48，56，64，72，80，88，96；7能整除199828542×7+6，也就是7能整除6，经过验证可知，08，64．所以所添的两个数字是08或64．点评： 此题考查能被7，8整除的数的特征，解答此题还要有较强的分析推理能力．4．求被179整除的最小和最大的四位数．考点：数的整除特征．专题：整除性问题．分析： 先求出1000÷179的商，该商+1后，与179相乘的积即为所求的被179整除的最小四位数；先求出9999÷179的商，然后用商与179相乘的积即为所求的被179整除的最大四位数．解解：1000÷179=5…105，答：179×（5+1）=179×6=1074．9999÷179=55…154，179×55=9845；答：被179整除的最小的四位数是1074，最大的四位数是9845．点评：此题考查了数的整除特征，明确倍数的求法，是解答此题的关键．5．一个五位数减去其各位数字之和后变为，则x是多少？考点：数字问题．专题：数性的判断专题．分析：五位数与各位数字和的差为7，已知万位为7，那么47应是9的倍数，进一步解决问题．解答：解：设原来的三位数是，由题意得：110﹣（）=7，99999999997，因此，五位数减去各们数字之和一定是9的倍数，可得47=9（或18，或27，36）经验证，只有47=27符合题意，因此5点评：设原来的三位数是，五位数减去各们数字之和一定是9的倍数，然后通过验证推出结果．6．首位数字是9，各位上的数字互不相同的7位数中，能被6整除最小数是多少？？考点：数的整除特征．专题：整除性问题．分析：首位数字确定，要使最小，不妨设为901234x，x是偶数，且9+1+2+3+418+（1）要能被3整除，求得2或8，最小且不重复就是8．解答：解：要使最小，不妨设为901234x，x是偶数，则9+1+2+3+418+（1）需能被3整除，则2或8，2与前面的数字重复，所以x取8．所以能被6整除最小数是9012348．点评：此题考查被一个数整除的数的特征，掌握被2或3整除数的特征是解决问题的关键．7．养殖专业户郝大爷共养鸡鸭810只，卖出鸡只数的，鸭只数的75%，剩下鸡鸭只数相同，求原来鸡鸭各养了多少只？考点：分数和百分数应用题（多重条件）．专题：分数百分数应用专题．分析： 根据“卖出鸡只数的，鸭只数的75%，剩下鸡鸭只数相同”，可知鸡×（1﹣80%）=鸭×（1﹣75%），所以鸡：鸭=（1﹣75%）：（1﹣80%）=5：4．那么鸡有810÷（5+4）×5=450（只），进而求出鸭的只数．解答： 解：（1﹣75%）：（1﹣80%）=5：4鸡有：810÷（5+4）×5=810÷9×5=450（只）鸭有：810﹣450=360（只）答：原来鸡养了450只，鸭养了360只．点评：此题先求出鸡鸭只数的比，是解答此题的关键．8．五个三位数，前四个数分别是123、345、567、789．已知五个数的平均数是9的倍数，第5个数最大是多少？考点：平均数问题；整除性质．专题：平均数问题；整除性问题．分析：123+345+567+789=1824，根据题意“已知五个数的平均数是9的倍数”所以得出这五个三位数的能既能被5整除，又能被9整除，因为能被5整除，所以个位数是0或5，因为求这个五位数最大是900多，1824+900=2724，因为这5个三位数的和能被9整除，所以各个数位上数的和能被9整除，然后分析当这五个数的和的个位是0或5时，要求的数的大小，然后进行比较，进而得出结论．解答：解：123+345+567+789=1824，因为能被5整除，所以个位数是0或5，因为求这个五位数最大是900多，1824+900=2724因为这5个三位数的和能被9整除，所以各个数位上数的和能被9整除，当个位是0时，2+7+9+0=18，能被9整除，所以这个数的和是2790，则要求的数为：2790﹣1824=966；当个位是5时，2+7+4+5=18，能被9整除，所以这个数的和是2745，则要求的数为：2745﹣1824=921；因为921＜966所以要求的三位是最大是966．答：第5个数最大是966．点评： 此题考查了数的整除特征，明确能被5和9整除的数的特征，是解答此题的关键．9．五个数之和是308．这五个数分别被2、3、5、7、11整除，且商相同，求这五个数． 考点：整除性质．专题：整除性问题．分析： 先求出2、3、5、7、11的和，然后用308除以这五个数的和，求出商，然后用商分别乘2、3、5、7、11，即可求出这五个数．解答：解：2+3+5+7+11=28，308÷28=11，所以这五个数分别是：2×11=22，3×11=33，5×11=55，7×11=77，11×11=121；答：这五个数分别是22，33，55，77，121．点评： 求出2+3+5+7+11的和，然后用308除以28，求出商，是解答此题的关键．10．一个数乘以91后乘积的后三位是193，这个数最小是多少？考点：最大与最小．专题：整除性问题．分析：因为是193，3只能和1×3才出3．所以这个数的最后一个数是3，又3×90=270，十位90﹣70=20，则这个数的十应是2，即后两位是23，91×23=2093，百位还差1，只要找个数与1相乘得1相乘得1就可以了，1与1相乘得了，则这个数最小是123，即123×91=11193．解答：解：由于1×3=3，则这个数个位是3，3×90=270，十位90﹣70=20，1×20=20，则这个数的十应是2，即后两位是23，91×23=2093，百位还差1，1与1相乘得1，则这个数最小是123，即123×91=11193．答：这个数最小是123．点评：首先根据题意确定这个数的个位是3，然后逐步进行推理是完成本题的关键．11．一个各位数字全是1的自然数能被33333整除，问这个数最小是多少？考点：整除性质．专题：整除性问题．分析：先把33333分解质因数：33333=3×11111，能被33333整除，那么所有的1加起来能被3整除，所以可能有6，9，12，15个1；但是33333是5位数，很明显6个、9个、12个都不能整除，位数不合适，只能是15个．也就是111111*********÷33333=3333366667；由此解答即可．解答：解：能被33333整除，那么所有的1加起来能被3整除，所以可能有6，9，12，15个1；但是33333是5位数，很明显6个、9个、12个都不能整除，位数不合适，只能是15个，即这个数最小是111111*********；答：这个数最小是111111*********．点评：明确能被3和11111整除的数的特征，是解答此题的关键．12．某六位数能被17和19整除，求．考点：整除性质；位值原则．题：分析： 根据六位数2322能被17和19整除，得出这个六位数能被17×19=323整除，再假设出这个六位数最大值与最小值，进而得出它们商的取值范围，进而得出符合要求的答案．解答： 解：因为六位数2322能被17和19整除，所以这个六位数能被17×19=323整除，这个数最小为230022，故230022÷323=712..46，这个数最大为239922，故239922÷323=742…256，因为23□□22能被323整除，商一定为3位数，且个位数一定为4，符合要求的只有714，724，734．故试一下323×714=230622，323×724=233852，323×734=237082， 只有323×714=230622符合要求，故原数为：230622；答：06．点评： 此题主要考查了数的整除性，根据已知得出23□□22除以323商的取值范围以及个位数的特点是解题关键．13．五位数能被36整除，求这样的五位数．考点：整除性质；位值原则．题：分析： 36=4×9，能被36整除，就要能同时被4和9整除，能被4整除的数：后两位能被4整除；能被9整除的数：各位数字的和能被9整除；由此可知：y 可能是2或6，如果2，则28+9+2能被9整除，6；如果6，则28+9+6能被9整除，2；由此即可求出这个五位数．解答： 解：36=4×9，能被36整除，就要能同时被4和9整除， 能被4整除的数：后两位能被4整除；能被9整除的数：各位数字的和能被9整除；由此可知：y 可能是2或6，如果2，则28+9+2能被9整除，6；如果6，则28+9+6能被9整除，2；所以这个五位数是26892或22896．答：这个五位数是26892或22896．点评：明确能被4和9整除的数的特征，是解答此题的关键．14．是105的倍数，求． 考点：数的整除特征．专整除性问题．题：分析：首先105=3×5×7，能被3整除则2+7能被3整除，能被5整除，则末尾是0或5，进一步验证是否能被7整除得出答案即可．解答：解：因为105=3×5×7，则2+7能被3整除，能被5整除，则末尾是0或5，当0时，2+70能被3整除，则0，3，6，9；当5时，2+75能被3整除，则1，4，7；则能被7整除的只有200760．所以6，0．点评：此题考查被一个数整除的数的特征，掌握被3、5、7整除数的特征是解决问题的关键．15．给你一个六位数：（1）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被9整除；（2）根据（1）的结果说明该六位数一定不能被72整除；（3）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被24整除；（4）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被55整除；（5）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被91整除．考点：整除性质；位值原则．专题：整除性问题．分析：（1）由已知要求需（8+7+3+2）能被9整除，即2能被9整除，且0≤x，y＜10，由此列举即可；（2）验证（1）中的11组结果，容易得到没有结果符合条件；（3）欲使该6位数被24整除，则首先必须是偶数，且2能被3整除，即要求2能被6整除，这样的组合只可能如下（0，6）（1，4）（2，2）（3，0）（2，8）（3，6）（4，4）（5，2）（6，0）（5，8）（6，6）（7，4）（8，2）（9，0）（8，8）（9，6），又要求该六位数能被8整除，即要求3被8整除，这样可以得到（2，8），（3，6），（4，4），（5，2）（6，0）几个组合；（4）为使能整除55，首先y只可能是0或者5，其次偶数位减奇数位整除11．因此即2x﹣y﹣2能被11整除，这样组合仅有（9，5）一组；（5）为使能整除91，则要求87x﹣3能被91整除，则8751，31027，即要求51=1027，由此得出（x，y）=（2，6）．解答：解：（1）由已知要求需（8+7+3+2）能被9整除，即2能被9整除，且0≤x，y＜10，因此（x，y）只能是如下组合（0，9）、（1，7）、（2，5）、（3，3）、（4，1）、（5，8）、（6，6）、（7，4）、（8，2）、（9，9）；（2）验证（1）中的11组结果，容易得到没有结果符合条件；（3）欲使该6位数被24整除，则首先必须是偶数，且2能被3整除，即要求2能被6整除，这样的组合只可能如下（0，6）（1，4）（2，2）（3，0）（2，8）（3，6）（4，4）（5，2）（6，0）（5，8）（6，6）（7，4）（8，2）（9，0）（8，8）（9，6），又要求该六位数能被8整除，即要求3被8整除，这样可以得到只有（2，8），（3，6），（4，4），（5，2）（6，0）；（4）为使能整除55，首先y只可能是0或者5，其次偶数位减奇数位整除11．因此即2x﹣y﹣2能被11整除，这样组合仅有（9，5）一组；（5）为使能整除91，则要求87x﹣3能被91整除，则8751，31027，即要求51=1027，由此得出（x，y）=（2，6）．点评：此题考查了整除的性质，明确能被9整除及能被11整除的特征，是解答此题的关键．。
六年下册奥数试题-数的整除特征(二)全国通用(含答案)
第2讲数的整除特征（二）知识网络上一章我们已经学习了被2、3、5、8、9、25、125等整除的数的特征和一些整除的基本性质，但作为奥林匹克竞赛仅仅掌握以上知识还不够，这一讲继续学习有关数的整除知识。
（1）能被7、11和13整除的数的特征：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三以前的数字所表示的差（一定要大数减小数）能被7、11或13整除，那么这个数就能被7、11或13整除。
（2）能被11整除的数的特征还有：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
重点·难点同学们在牢记上面整除的数的特征的同时，重点应弄清楚能被7、11、13整除的数为什么有上面的特征。
学法指导上面数的整除特征可以结合例子理解。
例如：443716，判断它能否被7、11、13整除的方法是：716－443=273。
因为273能被7整除，所以443716能被7整除；因为273不能被11整除，所以443716不能被11整除；因为273能被13整除，所以443716能被13整除。
记忆要理论联系实际。
经典例题[例1]用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？思路剖析能被11整除的数的特征是这个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除。
一个数要能被11除余8，那么这样的数加上3后，就能被11整除了，于是得到被11除余8的数的特征是：将偶位数字相加得到一个和数，再将奇位数字相加再加上3，得到另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数就是被11除余8的数。
解答要把1、9、8、8排成被11除余8的四位数，可以把这四个数字分成两组，每组两个数字，其中一组作为千位和十位数，它们的和记作p，另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作q，且p和q的差能被11整除，满足要求的分组只可能是p=1+8=9，q=（9+8）+3=20，q－p=20－9=11，所以1988是被11除余8的四位数。
六年级奥数 数的整除
预备年级数学竞赛专题训练 数的整除一、整除的性质1、如果n m c a b a ,,,为整数，那么)(nc mb a ±；2、如果,|,|c b b a 那么c a |；3、如果bc a |，且a,b 互质，那么c a |；4、如果,|,|b c b a 且a,c 互质，那么b ac |；5、n 个连续整数的乘积，一定能被n ⨯⨯⨯⨯ 321整除；6、能被2（或5）整除的数的特征：个位数字能被2（或5）整除；7、能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除；8、能被8（125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除；9、能被3（或9）整除的数的特征：各位数字之和能被3（或9）整除； 10、能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除； 11、能被7、13整除的数的特征：奇位千进位数段之和与偶位千进位数段之和的差能被7、13整除；例如：判别34425391能否被7、13整除，先从后往前分节，得34，425，391，奇位千进位数段之和为34+391=425，偶位千进位数段之和为425，两者之差425-425=0，因为0被7、13整除，所以34425391能被7、13整除。
二、练习1、一个五位数983ab 能被11和9整除，这个五位数是______________。
2、除以8和9都余1的所有三位数之和为_______________。
3、用一个两位数去除2003，余数为8，这样的两位数有__________个，其中最大的两位数为_________。
4、若1059、1417、2312分别被自然数x 除时，所得的余数都是y,则y x -的值为______________。
5、求在1000以内，同时被2、4、6、8整除的正整数的个数。
6、一个六位数b a 1233被88整除，则_____________,==b a 。
7、被11与13同时整除的最大的四位数是______________；8、当______________,==y x 时，四位数xy 72同时被2、3、4、5、6、9。
小学奥数 整除问题
小学数学整除问题一、相关概念对于整数a和不为零的整数b，如果a除以b的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，b能整除a。
a就是b的倍数，b是a 的约数。
0是任何自然数的倍数，1是任何整数的约数二、一些数的整除特征①被2整除的特征：数的个位上是0、2、4、6、8（即是偶数）②被3、9整除的特征：数的各数位上的数字和是3或9的倍数③被5整除的特征：数的个位上是0、5④被4、25整除的特征：数的末两位是4或25的倍数⑤被8、125整除的特征：数的末三位是8或125的倍数⑥被11整除的特征：数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和，两者的差是11的倍数⑦被7、11、13整除的特征：数的末三位与末三位以前的数字所组成的数，两者的差是7、11、13的倍数⑧一个整数既能被2整除又能被3整除，那这个数就能被6整除一个整数既能被2整除又能被5整除，那这个数就能被10整除一个整数既能被3整除又能被5整除，那这个数就能被15整除三、整除的应用(一)简单应用题型例1．期末考试六年级某班数学平均分是90分，总分是□95□，这个班有多少名学生？解析：总分=平均分×人数，即□95□是90的倍数，而90=2×5×9，□95□也应为2、5、9的倍数，根据相关数的整除特征，□95□的个位数一定是0，而□+9+5+0的和也一定是9的倍数，所以千位上的□一定是4，总分一定是4950，学生人数=4950÷90=55（人）例2．一位马虎的采购员买了36套桌椅，，洗衣服时将购货发票洗烂了，只能依稀看到：36套桌椅，单价：□3.□□元，总价：1□24.5□元。
你能帮忙算出单价和总价吗？解析：先不考虑小数点.总价=单价×数量，即1□245□应是36的倍数，而36=4×9，1□245□也应为4、9的倍数，根据相关数的整除特征，5□应为4的倍数,即个位上的□只能是2或6,同时,1+□+2+4+5+□应是9的倍数.如果个位上取2,那么百位上的□应是4,1424.52÷36=39.57,与题不符所以个位上只能取6,那么百位上的□应是0或9,如果是0,1024.56÷36=28.46,与题不符.所以总价应为1924.56元,单价=1924.56÷36=53.46元例3.水果店运来苹果和桔子共六筐,分别重15,16,18,19,20,31千克,两天已卖出其中五筐.卖出的五筐中苹果是桔子重量的2倍.剩下一筐是哪筐?解析:因为五筐中苹果是桔子重量的2倍,说明这五筐的总重量应是3的倍数.六筐的总重量是15+16+18+19+20+31=119千克,119÷3=39…2,由于其中5筐总重量是3的倍数,除以3没有余数,也就是说剩下的那筐重量除以3后,余数是2.在六筐中,20除以3的余数是2,所以,剩下那筐重20千克.例4.希望小学有11个兴趣小组,各小组人数如下表:一天下午,学校同时举办写作、数学两个讲座，已知有10个小组去听讲座，其中叫写作讲座的人数是听数学讲座人数的6倍，还剩下一个小组在讨论问题，这一组是哪个小组？解析：由“其中叫写作讲座的人数是听数学讲座人数的6倍”可知：听讲座的人数一定是7的倍数，除以7肯定没有余数，而总人数除以7必得一余数，再看表中哪组人数除以7得到的余数，与上面那个余数相同，该组就是去参加讨论的那组例5．小兵和小亮两人做一种轮流报数的游戏。
六年级下册奥数试题数的整除特征(一)全国通用(含答案)
第1讲数的整除特征（一）知识网络数的整除性质主要有：（1）若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
（4）若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。
（5）若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。
（6）若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（7）个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。
（8）个位上是0或者5的数都能被5整除。
（9）若一个整数各位数字之和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（10）若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（11）若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（12）若一个整数各位数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除。
重点·难点数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。
要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。
学法指导能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别看这个数的末一位、末两位、末三位。
我们可以综合推广成一条：末n位数能被（或）整除的数，本身必能被（或）整除；反过来，末n位数不能被（或）整除的数，本身必不能被（或）整除。
例如，判断253200、371601能否被16整除，因为，所以只要看各数的末四位数能否被16整除。
学习这一讲知识要学会举一反三。
经典例题[例1]在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数尽可能小。
思路剖析这个六位数分别被3、4、5整除，故它应满足如下三个条件：（1）各位数字和是3的奇数；（2）末两位数组成的两位数是4的倍数；（3）末位数为0或5。
六年级奥数(数的整除)
整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a.此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数.1.整除的性质性质1如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（这里设a>b）.例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）.性质2如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。
例如：3丨6，6丨24，那么3丨24.性质3如果a能同时被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍数整除.例如：6丨36，9丨36，6和9的最小公倍数是18，18丨36.如果两个整数的最大公约数是1，那么它们称为互质的.例如：7与50是互质的，18与91是互质的.性质4整数a，能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a能被b×c整除.例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72能被3与4的乘积12整除.性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2.性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互质，它们的最小公倍数是b×c.事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路：要使a被b×c整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除.能被2，3，4，5，8，9，11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题.2.数的整除特征（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除.（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除.（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除.例1：四位数7a4b能被18整除，要是这个四位数尽可能的小，a和b是什么数字？解：18=2×9，并且2与9互质，根据前面的性质4，可以分别考虑被2和9整除.要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.再考虑被9整除，四个数字的和就要被9整除，已有7+4=11.如果b=0，只有a=7，此数是7740；如果b=2，只有a=5，此数是7542；如果b＝4，只有a＝3，此数是7344；如果b＝6，只有a＝1，此数是7146；如果b＝8，只有a＝8，此数是7848.因此其中最小数是7146.根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例1就是一个典型.例2一本老账本上记着：72只桶，共□67.9□元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上.解：把□67.9□写成整数679，它应被72整除.72＝9×8，9与8又互质.按照前面的性质4，只要分别考虑679被8和被9整除.从被8整除的特征，79要被8整除，因此b＝2.从6792能被9整除，按照被9整除特征，各位数字之和+24能被9整除，因此a＝3.这笔帐是367.92元.例3在1，2，3，4，5，6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小.解：如果选数字5，组成数的最后一位数字就必须是5，这样就不能被偶数2，4，6整除，也就是不能选2，4，6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5，而选其他五个数字1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16，为了能整除3和6，所用的数字之和要能被3整除，只能再添上一个2，16+2＝18能被3整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是122364.例4四位数7□4□能被55整除，求出所有这样的四位数.解：55＝5×11，5与11互质，可以分别考虑被5与11整除.要被5整除，个位数只能是0或5.再考虑被11整除.（7+4）-（百位数字+0）要能被11整除，百位数字只能是0，所得四位数是7040.（7+4）-（百位数字+5）要能被11整除，百位数字只能是6（零能被所有不等于零的整数整除），所得四位数是7645.满足条件的四位数只有两个：7040，7645.例5一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中，最大的是哪一个？解：为了使这个数最大，先让前五位是98765，设这个七位数是98765ab，要使它被11整除，要满足（9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14+a）能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a与b只能是0，1，2，3，4中的两个数，只有b＝4，a＝0，满足条件的最大七位数是9876504.思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？（答：1023495）例6某个七位数1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？解一：从整除特征考虑.这个七位数的最后一位数字显然是0.另外，只要再分别考虑它能被9，8，7整除.1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位与百位的数字和是5或14，要被8整除，最后三位组成的三位数要能被8整除，因此只可能是下面三个数：1993500，1993320，1993680，其中只有199320能被7整除，因此所求的三位数是320.一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2，5，7，101，….一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4，12，99，501，….1不是质数，也不是合数.也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有3个约数的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本身.质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数，例如，15，33，….例9○×（□+△）=209.在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立.解：209可以写成两个质数的乘积，即209＝11×19.不论○中填11或19，□+△一定是奇数，那么□与△是一个奇数一个偶数，偶质数只有2，不妨假定△内填2.当○填19，□要填9，9不是质数，因此○填11，而□填17.这个算式是11×（17＋2）＝209，11×（2＋17）＝209.解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲述的主要内容.一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2，3，7，都是42的质因数，6，14也是42的因数，但不是质因数.任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如360＝2×2×2×3×3×5.还可以写成360＝23×32×5.这里23表示3个2相乘，32表示2个3相乘.在23中，3称为2的指数，读作2的3次方，在32中，2称为3的指数，读作3的2次方.例10有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？解：我们先把5040分解质因数5040＝24×32×5×7.再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：24×32×5×7＝7×8×9×10.所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数（包括1和它本身）.为寻求一般方法，先看一个简单的例子.我们知道24的约数有8个：1，2，3，4，6，8，12，24.对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是很麻烦的事.因为24＝23×3，所以24的约数是23的约数（1，2，22，23）与3的约数（1，3）之间的两两乘积.1×1，1×3，2×1，2×3，22×1，22×3，23×1，23×3.这里有4×2＝8个，即（3＋1）×（1＋1）个，即对于24＝23×3中的23，有（3＋1）种选择：1，2，22，23，对于3有（1＋1）种选择.因此共有（3＋1）×（1＋1）种选择.这个方法，可以运用到一般情形，例如，144＝24×32.因此144的约数个数是（4＋1）×（2+1）＝15（个）.例11在100至150之间，找出约数个数是8的所有整数.解：有8＝7＋1；8＝（3＋1）×（1＋1）两种情况.（1）27＝128，符合要求，37＞150，所以不再有其他7次方的数符合要求.（2）23＝8，8×13＝104，8×17＝136，符合要求.33＝27；只有27×5＝135符合要求.53＝135，它乘以任何质数都大于150，因此共有4个数合要求：128，104，135，136.利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解，例如720＝24×32×5，168＝23×3×7.那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，上面两个整数都含有质因数2，较低指数次方是23，类似地都含有3，因此720与168的最大公约数是23×3＝24.在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意72 0中有5，而168中无5，可以认为较高指数次方是51=5.720与168的最小公倍数是例12两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数是多少？解：180＝22×32×5，30＝2×3×5.对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从22与2就知道，一数中含22，另一数中含2；从32与3就知道，一数中含32，另一数中含3，从一数是90＝2×32×5.就知道另一数是22×3×5＝60.还有一种解法：另一数一定是最大公约数30的整数倍，也就是在下面这些数中去找30，60，90，120，….这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是180，最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是.逐一去检验，有时会较费力.例13有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？解：把420分解质因数为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是420了），相同质因数（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母.分子从小到大排列是1，3，4，5，7，12，15，20.分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是两个整数，如果它们的最大公约数是1.就称这两个数是互质的.例13实质上是把420分解成两个互质的整数.利用质因数分解，把一个整数分解成若干个整数的乘积，是非常基本又是很有用的方法，再举三个例题.例14将8个数6，24，45，65，77，78，105，110分成两组，每组4个数，并且每组4个数的乘积相等，请写出一种分组.解：要想每组4个数的乘积相等，就要让每组的质因数一样，并且相同质因数的个数也一样才行.把8个数分解质因数.6＝2×3，24＝23×3，45＝32×5，65＝5×13，77＝7×11，78＝2×3×13，105＝3×5×7，110＝2×5×11.先放指数最高的质因数，把24放在第一组，为了使第二组里也有三个2的因子，必须把6，78，110放在第二组中，为了平衡质因数11和13，必须把77和65放在第一组中.看质因数7，105应放在第二组中，45放在第一组中，得到第一组：24，65，77，45.第二组：6，78，110，105.在讲述下一例题之前，先介绍一个数学名词--完全平方数.一个整数，可以分解成相同的两个整数的乘积，就称为完全平方数.例如：4＝2×2，9＝3×3，144＝12×12，625＝25×25.4，9，144，625都是完全平方数.一个完全平方数写出质因数分解后，每一个质因数的次数，一定是偶数.例如：144＝32×42，100＝22×52，…例15甲数有9个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数最小公倍数是2800，那么甲数和乙数分别是多少？解：一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数才会是奇数.因此，甲数是一个完全平方数.2800＝24×52×7.在它含有的约数中是完全平方数，只有1，22，24，52，22×52，24×52.在这6个数中只有22×52＝100，它的约数是（2＋1）×（2+1）＝9（个）.2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是100＝22×52，因此乙数至少要含有24和7，而24×7＝112恰好有（4+1）×（1＋1）＝10（个）约数，从而乙数就是112.综合起来，甲数是100，乙数是112.例16小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买都不能把35元恰好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？解：35＝5×7.红、蓝的单价不能是5元或7元（否则能把35元恰好用完），也不能是17-5＝12（元）和17-7＝10（元），否则另一种笔1支是5元或7元.记住：对笔价来说，已排除了5，7，10，12这四个数.笔价不能是35-17=18（元）的约数.如果笔价是18的约数，就能把18元恰好都买成笔，再把17元买两种笔各一支，这样就把35元恰好用完了.因此笔价不能是18的约数：1，2，3，6，9.当然也不能是17-1＝16，17-2＝15，17-3＝14，17-6＝11，17-9＝8.现在笔价又排除了：1，2，3，6，8，9，11，14，15，16.综合两次排除，只有4与13未被排除，而4＋13＝17，就知道红笔每支13元，蓝笔每支4元.三、余数在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如95÷3，48÷5.不能整除就产生了余数.通常的表示是：65÷3＝21……2，38÷5＝7……3.上面两个算式中2和3就是余数，写成文字是被除数÷除数=商……余数.上面两个算式可以写成65＝3×21＋2，38＝5×7＋3.也就是被除数=除数×商+余数.通常把这一算式称为带余除式，它使我们容易从“余数”出发去考虑问题，这正是某些整数问题所需要的.特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，这一事实，解题时常作为依据.例175397被一个质数除，所得余数是15.求这个质数.解：这个质数能整除5397-15＝5382，而5382＝2×31997×13×23.因为除数要比余数15大，除数又是质数，所以它只能是23.当被除数较大时，求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍，从而得到余数.例18求645763除以7的余数.解：可以先去掉7的倍数630000余15763，再去掉14000还余下1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最后得出余数是6.这个过程可简单地记成645763→15763→1763→363→13→6.如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成：645763→15000→1000→6.带余除法可以得出下面很有用的结论：如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除.例19有一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？解：由上面的结论，所求整数应能整除967，1000，2001的两两之差，即1000-967＝33＝3×11，2001-1000＝1001＝7×11×13，2001-967＝1034＝2×11×47.这个整数是这三个差的公约数11.请注意，我们不必求出三个差，只要求出其中两个就够了.因为另一个差总可以由这两个差得到.例如，求出差1000-967与2001-1000，那么差2001-967＝（2001-1000）＋（1000-967）＝1001＋33＝1034.从带余除式，还可以得出下面结论：甲、乙两数，如果被同一除数来除，得到两个余数，那么甲、乙两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数.例如，57被13除余5，152被13除余9，那么57+152=209被13除，余数是5＋9＝14被1 3除的余数1.例20有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数的和，问这串数中，第1998个数被3除的余数是多少？解：我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被3除的余数有什么规律，但这样做太麻烦.根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把前两个数被3除所得的余数相加，然后除以3，就得到这个数被3除的余数，这样就很容易算出前十个数被3除的余数，列表如下：从表中可以看出，第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数相同.因此这一串数被3除的余数，每八个循环一次，因为1998＝8×249＋6，所以，第1998个数被3除的余数，应与第六个数被3除的余数一样，也就是2.一些有规律的数，常常会循环地出现.我们的计算方法，就是循环制.计算钟点是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.这十二个数构成一个循环.按照七天一轮计算天数是日，一，二，三，四，五，六.这也是一个循环，相当于一些连续自然数被7除的余数0，1，2，3，4，5，6的循环.用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季，说明人们很早就发现循环现象.用数来反映循环现象也是很自然的事.循环现象，我们还称作具有“周期性”，12个数的循环，就说周期是12，7个数的循环，就说周期是7.例20中余数的周期是8.研究数的循环，发现周期性和确定周期，是很有趣的事.下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子.在讲述例题之前，再讲一个从带余除式得出的结论：甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数.那么甲、乙两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积，被这个除数除所得的余数.例如，37被11除余4，27被11除余5，37×27＝999被11除的余数是4×5＝20被11除后的余数9.1997＝7×285＋2，就知道1997×1997被7除的余数是2×2＝4.例21191997被7除余几？解：从上面的结论知道，191997被7除的余数与21997被7除的余数相同.我们只要考虑一些2的连乘，被7除的余数.先写出一列数2，2×2＝4，2×2×2 ＝8，2×2×2×2＝16，….然后逐个用7去除，列一张表，看看有什么规律.列表如下：事实上，只要用前一个数被7除的余数，乘以2，再被7除，就可以得到后一个数被7除的余数.（为什么？请想一想.）从表中可以看出，第四个数与第一个数的余数相同，都是2.根据上面对余数的计算，就知道，第五个数与第二个数余数相同，……因此，余数是每隔3个数循环一轮.循环的周期是3.1997＝3×665 ＋2.就知道21997被7除的余数，与21997被7除的余数相同，这个余数是4.再看一个稍复杂的例子.例2270个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，55，….问：最右边一个数（第70个数）被6除余几？解：首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的3倍减去再前一个数：3＝1×3-0，8=3×3-1，21=8×3-3，55=21×3-8，……不过，真的要一个一个地算下去，然后逐个被6去除，那就太麻烦了.能否从前面的余数，算出后面的余数呢？能！同算出这一行数的办法一样（为什么？），从第三个数起，余数的计算办法如下：将前一个数的余数乘3，减去再前一个数的余数，然后被6除，所得余数即是.用这个办法，可以逐个算出余数，列表如下：注意，在算第八个数的余数时，要出现0×3-1这在小学数学范围不允许，因为我们求被6除的余数，所以我们可以0×3加6再来减1.从表中可以看出，第十三、第十四个数的余数，与第一、第二个数的余数对应相同，就知道余数的循环周期是12.70 ＝12×5+10.因此，第七十个数被6除的余数，与第十个数的余数相同，也就是4.在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的.目前许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题，但是它的一般解法决不是小学生能弄明白的.这里，我们通过两个例题，对较小的数，介绍一种通俗解法.例23有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23….它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，….除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，….它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9，….一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.上面解法中，我们逐个列出被3除余2的整数，又逐个列出被4除余1的整数，然后逐个考虑被12除的余数，找出两者共同的余数，就是被12除的余数.这样的列举的办法，在考虑的数不大时，是很有用的，也是同学们最容易接受的.如果我们把例23的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5＋12×整数，整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.例24一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.解：先列出除以3余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，…，再列出除以5余3的数：3，8，13，18，23，28，….这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8＋15×整数，列出这一串数是8，23，38，…，再列出除以7余2的数2，9，16，23，30，…，就得出符合题目条件的最小数是23.事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.最后再看一个例子.例25在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数.解：先找出两个连续自然数，第一个能被3整除，第二个能被5整除（又是被3除余1）.例如，找出9和10，下一个连续的自然数是11.3和5的最小公倍数是15，考虑11加15的整数倍，使加得的数能被7整除.11＋15×3＝5 6能被7整除，那么54，55，56这三个连续自然数，依次分别能被3，5，7整除.为了满足“在100至200之间”将54，55，56分别加上3，5，7的最小公倍数105.所求三数是159，160，161.注意，本题实际上是：求一个数（100～200之间），它被3整除，被5除余4，被7除余5.请考虑，本题解法与例24解法有哪些相同之处？。
六年级奥数(数地整除)
整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a.此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数.1.整除的性质性质1如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（这里设a>b）.例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）.性质2如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。
例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24.性质3如果a能同时被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍数整除.例如：6丨36，9丨36，6和9的最小公倍数是18，18丨36.如果两个整数的最大公约数是1，那么它们称为互质的.例如：7与50是互质的，18与91是互质的.性质4整数a，能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a能被b×c整除.例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72能被3与4的乘积12整除.性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2.性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互质，它们的最小公倍数是b×c.事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路：要使a被b×c整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除.能被2，3，4，5，8，9，11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题.2.数的整除特征（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除.（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除.（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除.例1：四位数7a4b能被18整除，要是这个四位数尽可能的小，a和b是什么数字？解：18=2×9，并且2与9互质，根据前面的性质4，可以分别考虑被2和9整除.要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.再考虑被9整除，四个数字的和就要被9整除，已有7+4=11.如果 b=0，只有 a=7，此数是 7740；如果b=2，只有a=5，此数是7542；如果b＝4，只有a＝3，此数是 7344；如果 b＝6，只有 a＝1，此数是 7146；如果b＝8，只有a＝8，此数是7848.因此其中最小数是7146.根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例1就是一个典型.例2一本老账本上记着：72只桶，共□67.9□元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上.解：把□67.9□写成整数679，它应被72整除.72＝9×8，9与8又互质.按照前面的性质4，只要分别考虑679被8和被9整除.从被8整除的特征，79要被8整除，因此b＝2.从6792能被9整除，按照被9整除特征，各位数字之和+24能被9整除，因此a＝3.这笔帐是367.92元.例3在1，2，3，4，5，6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小.解：如果选数字5，组成数的最后一位数字就必须是5，这样就不能被偶数2，4，6整除，也就是不能选2，4，6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5，而选其他五个数字1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16，为了能整除3和6，所用的数字之和要能被3整除，只能再添上一个2，16+2＝18能被3整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是122364.例4四位数7□4□能被55整除，求出所有这样的四位数.解：55＝5×11，5与11互质，可以分别考虑被5与11整除.要被5整除，个位数只能是0或5.再考虑被11整除.（7+4）-（百位数字+0）要能被11整除，百位数字只能是0，所得四位数是7040.（7+4）-（百位数字+5）要能被11整除，百位数字只能是6（零能被所有不等于零的整数整除），所得四位数是7645.满足条件的四位数只有两个：7040，7645.例5一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中，最大的是哪一个？解：为了使这个数最大，先让前五位是98765，设这个七位数是98765ab，要使它被11整除，要满足（9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14+a）能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a与b只能是0，1，2，3，4中的两个数，只有b＝4，a＝0，满足条件的最大七位数是9876504.思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？（答：1023495）例6某个七位数1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？解一：从整除特征考虑.这个七位数的最后一位数字显然是0.另外，只要再分别考虑它能被9，8，7整除.1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位与百位的数字和是5或14，要被8整除，最后三位组成的三位数要能被8整除，因此只可能是下面三个数：1993500，1993320，1993680，其中只有199320能被7整除，因此所求的三位数是320.一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2，5，7，101，….一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4，12，99，501，….1不是质数，也不是合数.也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有3个约数的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本身.质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数，例如，15，33，….例9○×（□+△）=209.在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立.解：209可以写成两个质数的乘积，即209＝11×19.不论○中填11或19，□+△一定是奇数，那么□与△是一个奇数一个偶数，偶质数只有2，不妨假定△内填2.当○填19，□要填9，9不是质数，因此○填11，而□填17.这个算式是 11×（17＋2）＝209，11×（2＋17）＝ 209.解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲述的主要内容.一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2，3，7，都是42的质因数，6，14也是42的因数，但不是质因数.任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如360＝2×2×2×3×3×5.还可以写成360＝23×32×5.这里23表示3个2相乘，32表示2个3相乘.在23中，3称为2的指数，读作2的3次方，在32中，2称为3的指数，读作3的2次方.例10有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？解：我们先把5040分解质因数5040＝24×32×5×7.再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：24×32×5×7＝7×8×9×10.所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数（包括1和它本身）.为寻求一般方法，先看一个简单的例子.我们知道24的约数有8个：1，2，3，4，6，8，12，24.对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是很麻烦的事.因为24＝23×3，所以24的约数是23的约数（1，2，22，23）与3的约数（1，3）之间的两两乘积.1×1，1×3，2×1，2×3，22×1，22×3，23×1，23×3.这里有4×2＝8个，即（3＋1）×（1＋1）个，即对于24＝23×3中的23，有（3＋1）种选择：1，2，22，23，对于3有（1＋1）种选择.因此共有（3＋1）×（1＋1）种选择.这个方法，可以运用到一般情形，例如，144＝24×32.因此144的约数个数是（4＋1）×（2+1）＝15（个）.例11在100至150之间，找出约数个数是8的所有整数.解：有8＝7＋1； 8＝（3＋1）×（1＋1）两种情况.（1）27＝128，符合要求，37＞150，所以不再有其他7次方的数符合要求.（2）23＝8，8×13＝104， 8×17＝136，符合要求.33＝27；只有27×5＝135符合要求.53＝135，它乘以任何质数都大于150，因此共有4个数合要求：128，104，135，136.利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解，例如720＝24×32×5，168＝23×3×7.那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，上面两个整数都含有质因数2，较低指数次方是23，类似地都含有3，因此720与168的最大公约数是23×3＝ 24.在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意720中有5，而168中无5，可以认为较高指数次方是51=5.720与168的最小公倍数是24×32×5×7＝5040.例12两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数是多少？解：180＝22×32×5，30＝2×3×5.对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从22与2就知道，一数中含22，另一数中含2；从32与3就知道，一数中含32，另一数中含3，从一数是90＝2×32×5.就知道另一数是22×3×5＝60.还有一种解法：另一数一定是最大公约数30的整数倍，也就是在下面这些数中去找30， 60， 90， 120，….这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是180，最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是.逐一去检验，有时会较费力.例13有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？解：把420分解质因数420＝2×2×3×5×7.为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是420了），相同质因数（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母.分子从小到大排列是1，3，4，5，7，12，15，20.分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是两个整数，如果它们的最大公约数是1.就称这两个数是互质的.例13实质上是把420分解成两个互质的整数.利用质因数分解，把一个整数分解成若干个整数的乘积，是非常基本又是很有用的方法，再举三个例题.例14将8个数6，24，45，65，77，78，105，110分成两组，每组4个数，并且每组4个数的乘积相等，请写出一种分组.解：要想每组4个数的乘积相等，就要让每组的质因数一样，并且相同质因数的个数也一样才行.把8个数分解质因数.6＝2×3， 24＝23×3，45＝32×5， 65＝5×13，77＝7×11， 78＝2×3×13，105＝3×5×7， 110＝2×5×11.先放指数最高的质因数，把24放在第一组，为了使第二组里也有三个2的因子，必须把6，78，110放在第二组中，为了平衡质因数11和13，必须把77和65放在第一组中.看质因数7，1 05应放在第二组中，45放在第一组中，得到第一组：24，65，77，45.第二组：6，78，110，105.在讲述下一例题之前，先介绍一个数学名词--完全平方数.一个整数，可以分解成相同的两个整数的乘积，就称为完全平方数.例如：4＝2×2， 9＝3×3， 144＝12×12， 625＝25×25.4，9，144，625都是完全平方数.一个完全平方数写出质因数分解后，每一个质因数的次数，一定是偶数.例如：144＝32×42， 100＝22×52，…例15甲数有9个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数最小公倍数是2800，那么甲数和乙数分别是多少？解：一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数才会是奇数.因此，甲数是一个完全平方数.2800＝24×52×7.在它含有的约数中是完全平方数，只有1，22，24，52，22×52，24×52.在这6个数中只有22×52＝100，它的约数是（2＋1）×（2+1）＝9（个）.2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是100＝22×52，因此乙数至少要含有24和7，而24×7＝112恰好有（4+1）×（1＋1）＝10（个）约数，从而乙数就是112.综合起来，甲数是100，乙数是112.例16小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买都不能把35元恰好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？解：35＝5×7.红、蓝的单价不能是5元或7元（否则能把35元恰好用完），也不能是17-5＝12（元）和17-7＝10（元），否则另一种笔1支是5元或7元.记住：对笔价来说，已排除了5，7，10，12这四个数.笔价不能是35-17=18（元）的约数.如果笔价是18的约数，就能把18元恰好都买成笔，再把17元买两种笔各一支，这样就把35元恰好用完了.因此笔价不能是18的约数：1，2，3，6，9.当然也不能是17-1＝16，17-2＝15，17-3＝14，17-6＝11， 17-9＝8.现在笔价又排除了：1，2，3，6，8，9，11，14，15，16.综合两次排除，只有4与13未被排除，而4＋13＝17，就知道红笔每支 13元，蓝笔每支4元.三、余数在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如 95÷3， 48÷5.不能整除就产生了余数.通常的表示是：65÷3＝21…… 2， 38÷5＝7…… 3.上面两个算式中2和3就是余数，写成文字是被除数÷除数=商……余数.上面两个算式可以写成65＝3×21＋2， 38＝5×7＋3.也就是被除数=除数×商+余数.通常把这一算式称为带余除式，它使我们容易从“余数”出发去考虑问题，这正是某些整数问题所需要的.特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，这一事实，解题时常作为依据.例175397被一个质数除，所得余数是15.求这个质数.解：这个质数能整除5397-15＝5382，而 5382＝2×31997×13×23.因为除数要比余数15大，除数又是质数，所以它只能是23.当被除数较大时，求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍，从而得到余数.例18求645763除以7的余数.解：可以先去掉7的倍数630000余15763，再去掉14000还余下 1763，再去掉1400余下3 63，再去掉350余13，最后得出余数是6.这个过程可简单地记成645763→15763→1763→363→13→6.如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成：645763→15000→1000→6.带余除法可以得出下面很有用的结论：如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除.例19有一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？解：由上面的结论，所求整数应能整除 967，1000，2001的两两之差，即1000-967＝33＝3×11，2001-1000＝1001＝7×11×13，2001-967＝1034＝2×11×47.这个整数是这三个差的公约数11.请注意，我们不必求出三个差，只要求出其中两个就够了.因为另一个差总可以由这两个差得到.例如，求出差1000-967与2001-1000，那么差2001-967＝（2001-1000）＋（1000-967）＝1001＋33＝1034.从带余除式，还可以得出下面结论：甲、乙两数，如果被同一除数来除，得到两个余数，那么甲、乙两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数.例如，57被13除余5，152被13除余9，那么57+152=209被13除，余数是5＋9＝14被13除的余数1.例20有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数的和，问这串数中，第1998个数被3除的余数是多少？解：我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被3除的余数有什么规律，但这样做太麻烦.根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把前两个数被3除所得的余数相加，然后除以3，就得到这个数被3除的余数，这样就很容易算出前十个数被3除的余数，列表如下：从表中可以看出，第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数相同.因此这一串数被3除的余数，每八个循环一次，因为1998＝ 8×249＋ 6，所以，第1998个数被3除的余数，应与第六个数被3除的余数一样，也就是2.一些有规律的数，常常会循环地出现.我们的计算方法，就是循环制.计算钟点是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.这十二个数构成一个循环.按照七天一轮计算天数是日，一，二，三，四，五，六.这也是一个循环，相当于一些连续自然数被7除的余数0， 1， 2， 3， 4， 5， 6的循环.用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季，说明人们很早就发现循环现象.用数来反映循环现象也是很自然的事.循环现象，我们还称作具有“周期性”，12个数的循环，就说周期是12，7个数的循环，就说周期是7.例20中余数的周期是8.研究数的循环，发现周期性和确定周期，是很有趣的事.下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子.在讲述例题之前，再讲一个从带余除式得出的结论：甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数.那么甲、乙两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积，被这个除数除所得的余数.例如，37被11除余4，27被11除余5，37×27＝999被 11除的余数是 4×5＝20被 11除后的余数 9.1997＝7×285＋2，就知道1997×1997被7除的余数是2×2＝4.例 21 191997被7除余几？解：从上面的结论知道，191997被7除的余数与21997被7除的余数相同.我们只要考虑一些2的连乘，被7除的余数.先写出一列数2，2×2＝4，2×2×2 ＝8，2×2×2×2＝16，….然后逐个用7去除，列一张表，看看有什么规律.列表如下：事实上，只要用前一个数被7除的余数，乘以2，再被7除，就可以得到后一个数被7除的余数.（为什么？请想一想.）从表中可以看出，第四个数与第一个数的余数相同，都是2.根据上面对余数的计算，就知道，第五个数与第二个数余数相同，……因此，余数是每隔3个数循环一轮.循环的周期是3.1997＝ 3× 665 ＋ 2.就知道21997被7除的余数，与21997被 7除的余数相同，这个余数是4.再看一个稍复杂的例子.例2270个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，55，….问：最右边一个数（第70个数）被6除余几？解：首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的3倍减去再前一个数：3＝1×3-0，8=3×3-1，21=8×3-3，55=21×3-8，……不过，真的要一个一个地算下去，然后逐个被6去除，那就太麻烦了.能否从前面的余数，算出后面的余数呢？能！同算出这一行数的办法一样（为什么？），从第三个数起，余数的计算办法如下：将前一个数的余数乘3，减去再前一个数的余数，然后被6除，所得余数即是.用这个办法，可以逐个算出余数，列表如下：注意，在算第八个数的余数时，要出现0×3-1这在小学数学范围不允许，因为我们求被6除的余数，所以我们可以 0×3加6再来减 1.从表中可以看出，第十三、第十四个数的余数，与第一、第二个数的余数对应相同，就知道余数的循环周期是12.70 ＝12×5+10.因此，第七十个数被6除的余数，与第十个数的余数相同，也就是4.在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的.目前许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题，但是它的一般解法决不是小学生能弄明白的.这里，我们通过两个例题，对较小的数，介绍一种通俗解法.例23有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23….它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，….除以4余1的数有：1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….它们除以12的余数是：1， 5， 9， 1， 5， 9，….一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.上面解法中，我们逐个列出被3除余2的整数，又逐个列出被4除余1的整数，然后逐个考虑被12除的余数，找出两者共同的余数，就是被12除的余数.这样的列举的办法，在考虑的数不大时，是很有用的，也是同学们最容易接受的.如果我们把例23的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5＋ 12×整数，整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.例24一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.解：先列出除以3余2的数：2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…，再列出除以5余3的数：3， 8， 13， 18， 23， 28，….这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8＋15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，2， 9， 16， 23， 30，…，就得出符合题目条件的最小数是23.事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.最后再看一个例子.例25在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数.解：先找出两个连续自然数，第一个能被3整除，第二个能被5整除（又是被3除余1）.例如，找出9和10，下一个连续的自然数是11.3和5的最小公倍数是15，考虑11加15的整数倍，使加得的数能被7整除.11＋15×3＝56能被7整除，那么54，55，56这三个连续自然数，依次分别能被3，5，7整除.为了满足“在100至200之间”将54，55，56分别加上3，5，7的最小公倍数105.所求三数是159， 160， 161.注意，本题实际上是：求一个数（100～200之间），它被3整除，被5除余4，被7除余5.请考虑，本题解法与例24解法有哪些相同之处？。
六年级奥数的整除问题及答案
六年级奥数的整除问题及答案
六年级奥数的整除问题及答案
整除问题：（高等难度）
一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。
整除问题答案：
这是一道古算题.它早在《孙子算经》中记有："今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？"
关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌："三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知."意思是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数乘以21，用除以7的'余数乘以15，再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于105，那么就减去105，直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下：方法1：2×70+3×21+2×15=233
233-105×2=23
符合条件的最小自然数是23。
小学六年级奥数 整除综合之整除判别方法
【例6】(★★★★)
在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数， 共有多少个。
【例7】 (★★★)
如果(a＋2b)是7的倍数，求证：(3a－b)也是7的倍数。 (a、b都是 自然数)。
一、本讲重点知识回顾 1．末尾系：2,5；4,25；8,125
2. 和系：3,9；99
3. 差系：7,11,13
11倍数
若：11 d c b a 则 11 abcd
5．拆分系 12=3×4 ，72＝8×9，1001＝7×11×13…… 注：要拆分成互质的数
三位一段求数段差：7、11、13
6．试除法
abcdefg 1000000a 1000bcd efg
999999a 1001bcd efg bcd a
9倍数
若：9 a b c 则 9 abc
两位一段求数段和：99
abcde 10000a 100bc de 9999a99bc de bc a
99倍数
若：99 de bc a 则：99 abcde
4．差系 一位一段求数段差：11
abcd 1000a 100b 10c d 1001a99b 11c d c b a
整除综合之整除判别方法
1．整除的意义 整数a除以整数b(b≠0)，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除。 2．末尾系 能否被2或5整除是看末一位； 能否被4或25整除是看末两位； 能否被8或125整除是看末三位。
3．和系 一位一段求数码和：3和9 abc 100a 10b c 99a9b a b c
若 ：1 0 0 1 efg b cd a 则 ：1 0 0 1 a b cd efg 1
六年级奥数数地整除
实用文档，0b，商是整数且余数为整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数的一个因数a此时，b是a，记作b丨a.我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除. 的倍数是b，（约数）a 整除的性质 1.. ）整除（这里设a>ba+b，a-b也都能被m性质1如果a和b都能被m整除，那么. ）丨（18-1218+12），3丨18，3丨12，那么3丨（例如：3 c整除。
c能被整除，那么a 能被2如果a能被b整除，b性质24.3丨6丨24，那么例如： 3丨6， a也一定m、n整除，那么性质3如果a能同时被.n的最小公倍数整除能被m和36. 18丨的最小公倍数是18，丨36，6和9丨例如：636，9. ，那么它们称为互质的如果两个整数的最大公约数是1.是互质的18与91 例如：7与50是互质的，. 整除×cc与互质，那么a能被b性质4整数a，能分别被b和c整除，如果b72 互质，与43和4整除，由3 例如：72能分别被.整除的乘积12能被3与4488整除，但不能被乘积.72分别能被6和性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的2. 8的最大公约数是不互质，6与与整除，这就是因为68 互b与c因为性质4可以说是性质3的特殊情形.，我们常常运用如下解题思路：c.事实上，根据性质4 质，它们的最小公倍数是b×. c整除整除与被ba被整除，如果a被b×cb与c互质，就可以分别考虑，a 要使整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征11，9，，，3，4，58能被 2. 来判断许多数的整除问题数的整除特征 2.2整除的数的特征：（ 1）能被. 整除如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被 2 5整除的数的特征：）能被（2.整除，那么它必能被或如果一个整数的个位数字是 055实用文档）整除的数的特征：（或93 （）能被3. ）整除（或93（或9）整除，那么它必能被3 如果一个整数的各位数字之和能被）整除的数的特征：（或25 （4）能被4. ）整除（或25（或25）整除，那么它必能被44 如果一个整数的末两位数能被）整除的数的特征：（或125（5）能被8. ）整除（或125（或125）整除，那么它必能被8 如果一个整数的末三位数能被8 11整除的数的特征：（6）能被那么它11整除，如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被.11整除必能被：例1 b是什么数字？18整除，要是这个四位数尽可能的小，a和四位数7a4b 能被. 9整除，可以分别考虑被2和9，并且2与9互质，根据前面的性质4解：18=2×8. ，，，46整除，b只能是0，2 要被27+4=11. 整除，已有9整除，四个数字的和就要被9 再考虑被； a=7，此数是 7740 如果 b=0，只有；a=5，此数是7542 如果b=2，只有；，此数是73444，只有a＝3 如果b＝；，此数是 7146，只有 a＝1如果 b＝67848. 8，此数是8，只有a＝＝如果b7146.因此其中最小数是. 1就是一个典型根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例□元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这只桶，共□67.92一本老账本上记着：72例.笔账补上，4.按照前面的性质88，9与又互质.72把□解：67.9□写成整数679，它应被72整除＝9×96792能被b＝2.从整除的特征，9整除.从被879要被8整除，因此被只要分别考虑6798和被3. ＝9整除，因此a能被整除，按照被9整除特征，各位数字之和+24.元这笔帐是367.92六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可6，45，，在例31，23，.，使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小以重复出现）整除，64255解：如果选数字，组成数的最后一位数字就必须是，这样就不能被偶数，，实用文档，1，而选其他五个数字，6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5也就是不能选2，4整除，只能再添上36，所用的数字之和要能被16，为了能整除3和2，3，4，6.1+2+3+4+6＝ .整除组成的数是整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4一个2，16+2＝18能被3122364.. 55整除，求出所有这样的四位数7□4□能被例4四位数. 11整除11互质，可以分别考虑被5与＝5×11，5与解：555. 0或要被5整除，个位数只能是.11整除再考虑被7040. 0，所得四位数是）要能被11整除，百位数字只能是（7+4）-（百位数字+0（零能被所有不等于零的整6）要能被11整除，百位数字只能是（7+4）-（百位数字+57645.，所得四位数是数整除）7645.，满足条件的四位数只有两个：7040最大的是哪一这样的数中，并且它能被11整除，例5一个七位数的各位数字互不相同，个？11，要使它被，设这个七位数是98765ab 解：为了使这个数最大，先让前五位是98765 ）（14+a（21+b）-（整除，要满足（9+7+5+b）-8+6+a）=中的两个，4，2，3整除，但是a与b 只能是0，1整除，也就是能被117+b-a要能被119876504. 0，满足条件的最大七位数是，a ＝数，只有b＝4思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？）（答：1023495都整除，那么它的最后三个数98，，6，7，2例6某个七位数1993□□□能被，3，4，5字组成的三位数是多少？.解一：从整除特征考虑0. 这个七位数的最后一位数字显然是.整除8，，7 另外，只要再分别考虑它能被9整除，最后三位组，要被8整除，十位与百位的数字和是5或14，要被＋＋ 19＋93＝229 整除，因此只可能是下面三个数：成的三位数要能被8 1993680，， 19935001993320，320.整除，因此所求的三位数是能被其中只有 1993207实用文档.…101，5，7，，一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2不是质.1501，…12，99，一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4，个约数的整3恰好只有两个约数的整数是质数，至少有数，也不是合数.也可以换一种说法，.1只有一个约数，也就是它本身数是合数，，但是奇数不一定是质数，例如，15质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数..33， (209)+△）例9○×（□. 在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立209可以写成两个质数的乘积，即解：19.11× 209＝，偶质数只有2+△一定是奇数，那么□与△是一个奇数一个偶数，不论○中填11或19，□17. ，而□填不是质数，因此○填，911不妨假定△内填2.当○填19，□要填9 ，2）＝209 这个算式是 11×（17＋209.）＝2＋17 11×（把一个整数分解成若干个整数的乘.的首要一步是把209分解成两个质数的乘积解例9这也是这一节所讲述的主要是解决整数问题的一种常用方法，积，特别是一些质数的乘积，.内容的427，都是一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2，3，.的因数，但不是质因数也是42质因数，6，14 例如如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，任何一个合数，5.3×2×3× 360＝2×2×5.3×＝2×还可以写成360233次方，在的33称为2的指数，读作22表示3个2相乘，32个3相乘.在中，2 这里表示2233.2次方3称为的指数，读作3的中，2，岁，而他们的年龄的乘积是5040 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1例10那么，他们的年龄各是多少？分解质因数解：我们先把5040 7.5××＝23×5040 24再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：10.×××＝××3× 25778924实用文档.岁9岁和10 所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、为寻求一般方.（包括1和它本身）利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数. 法，先看一个简单的例子对于较大的数，如果一个一个地24.，12，4，6，82 我们知道24的约数有8个：1，，3，.去找它的约数，将是很麻烦的事）之间的31，，2）与3的约数（，3，所以24的约数是2的约数（12，2 因为24＝2×3323.两两乘积3.×，2，2×13，2×1，2×3× 1×1，1×3，2×1，23322）＋1中的2，有（3＋1）个，即对于24＝2×3（这里有4×2＝8个，即 3＋1）×（133. 1）种选择）×（1＋1）种选择.因此共有（3＋1，对于种选择：1，2，2，23有（1＋32这个方法，可以运用到一般情形，例如，.×3144＝2 24. （个）2+1）＝15144的约数个数是（4＋1）×（因此. 的所有整数150之间，找出约数个数是811在100至例. ）两种情况＋13＋1）×（18解：有＝7＋1； 8＝（，符合要求，＝128（1）2 7. 7次方的数符合要求＞ 3150，所以不再有其他78，2）2＝（3.136，符合要求×17＝8×13＝104， 8；3＝27 3.符合要求5＝135 只有27×136. 135，，个数合要求：128，104，它乘以任何质数都大于 5＝135150，因此共有43先把它们各自进行利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.质因数分解，例如7.××3＝3×5，1682× 720＝2324上面两个整数都含有质因那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，的最大公约数是720与168，类似地都含有2数，较低指数次方是23，因此3 24.＝× 23372请注意在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数 .实用文档 168的最小公倍数是，可以认为较高指数次方是5=5.720与0中有5，而168中无515040. 7＝×5× 2×324另一个数是90，30，已知其中一个数是12两个数的最小公倍数是180，最大公约数是例多少？，3×5解：180＝2×225.×2×3 30＝而最大公约数是在两数中取最小公倍数是在两数中取次数较高的，对同一质因数来说，，33就知道，一数中含，另一数中含2；从3与次数较低的，从2与2就知道，一数中含22222，从一数是另一数中含35.××3 90＝2 2就知道另一数是60.5＝2×3×2还有一种解法：30的整数倍，也就是在下面这些数中去找另一数一定是最大公约数.，…，， 90 120 30， 60现在碰巧第二30.180，最大公约数是否是这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是.逐一去检验，有时会较费力就是.60个数如果把所有这样的分数从420. 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是例13小到大排列，那么第三个分数是多少？ 420分解质因数解：把7.×5×3×420 ＝2×2，相同质了）分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是420 为了保证分子、分子从小到.），要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母因数（上面分解中的2 大排列是20.15，，，4，57，12，， 13 分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是实用文档. 就称这两个数是互质的两个整数，如果它们的最大公约数是1..分解成两个互质的整数实质上是把420 例13是非常基本又是很有用的方法，把一个整数分解成若干个整数的乘积，利用质因数分解，.再举三个例题个个数，并且每组4，110分成两组，每组47845，65，77，，105例 14将8个数6，24，.数的乘积相等，请写出一种分组个数的乘积相等，就要让每组的质因数一样，并且相同质因数的个数也要想每组4解：. 8个数分解质因数一样才行.把 3，＝2× 24 6＝2×3，3 13，＝5×45＝3×5， 65 2，3×13 78×11，＝2× 77＝711.×2×55×7， 110＝ 105＝3×，6的因子，必须把为了使第二组里也有三个先放指数最高的质因数，把24放在第一组，21，看质因数777和65放在第一组中.78，110放在第二组中，为了平衡质因数11和13，必须把放在第一组中，得到应放在第二组中，450545. 77，，第一组：2465，105.110，6，78，第二组：. --完全平方数在讲述下一例题之前，先介绍一个数学名词.一个整数，可以分解成相同的两个整数的乘积，就称为完全平方数都是完全平625144，×25.4，9，＝，3×3 144＝12×12， 62525＝×例如： 4＝22， 9. 方数. 一个完全平方数写出质因数分解后，每一个质因数的次数，一定是偶数，…×＝25×例如：144＝34， 100 2222，那么甲数和乙280010个约数，甲、乙两数最小公倍数是15 例甲数有9个约数，乙数有数分别是多少？.所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对解：一个整数被它的约数除后，.它的约数的个数才会是奇数只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，.因此，甲数是一个完全平方数7.××2800＝25 24在它含有的约数中是完全平方数，只有实用文档.52×，5，2×5 1，2，2，2222442.（个））＝92＋1）×（2+1 在这6个数中只有2×5＝100，它的约数是（22，因此乙数至少要含52× 2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是100＝22112. （个）约数，从而乙数就是）＝10）×（1＋17，而2×7＝112恰好有（4+1有2和44112.100，乙数是综合起来，甲数是.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵支共用了17元.例16小明买红蓝两种笔各1元恰，可是他无论怎么买都不能把35小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种）好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？17-元恰好用完），也不能是7元（否则能把35＝355×7.红、蓝的单价不能是5元或解：. 7元支是5元或17-7＝10（元），否则另一种笔1（元）和5＝12.这四个数10，125 记住：对笔价来说，已排除了，7，元恰好都买成笔，18如果笔价是18的约数，就能把笔价不能是35-17=18（元）的约数.，3，2，.因此笔价不能是18的约数：1再把17元买两种笔各一支，这样就把35元恰好用完了9.，6现在笔价又排除8. 17-9＝17-6＝11，，16，17-2＝1517-3＝14，当然也不能是 17-1＝了：16.15，11，14，3，6，8，9， 1，2，元，蓝笔每支17，就知道红笔每支 13＝13未被排除，而4＋134 综合两次排除，只有与.元4 三、余数在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例通常的表示是：不能整除就产生了余数.3， 48÷5.÷如 95 3.7…… 38÷5＝21 65÷3＝…… 2，就是余数，写成文字是3上面两个算式中2和.商……余数被除数÷除数=上面两个算式可以写成3.＋5×7＝＋＝ 653×212， 38 也就是.除数×商=+余数被除数出发去考虑问题，这正是某些它使我们容易从“余数”通常把这一算式称为带余除式，实用文档.整数问题所需要的. 特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，这一事实，解题时常作为依据. 15.求这个质数175397被一个质数除，所得余数是例解：这个质数能整除5382， 5397-15＝3＝2×而 538223.×13×199723.大，除数又是质数，所以它只能是因为除数要比余数15从而得求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍，当被除数较大时，.到余数.的余数645763除以7例18求3余下，再去掉140015763，再去掉14000还余下 1763解：可以先去掉7的倍数630000余这个过程可简单地记成，最后得出余数是6.，再去掉350余13636.13→1763→363→645763 →15763→如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成：6.1000→→15000→ 645763 带余除法可以得出下面很有用的结论：. 如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除那么这个整数是多少？，2001得到相同的余数，1的整数，它除967，1000例19有一个大于的两两之差，即，2001解：由上面的结论，所求整数应能整除 967，100011，＝＝333× 1000-967 ，13×11×2001-1000 ＝1001＝747. ××11＝ 2001-967＝1034211.这个整数是这三个差的公约数因为另一个差总可以由这两请注意，我们不必求出三个差，只要求出其中两个就够了..个差得到，与2001-10001000-967 例如，求出差那么差））＋（＝（ 2001-9672001-10001000-967实用文档33 1001＋＝1034.＝从带余除式，还可以得出下面结论：乙两数之和被这个除数除，得到两个余数，那么甲、甲、乙两数，如果被同一除数来除，.它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数除13＝14被13除，余数是5＋9除余13除余5，152被139，那么57+152=209被被例如，571.的余数，从第三个数起，每个数恰40，第二个数是例20有一串数排成一行，其中第一个数是15除的余数是多少？个数被3好是前面两个数的和，问这串数中，第1998除的余数有什么规律，3我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被解：根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把前两个数.但这样做太麻烦除的余数，这样就很容易算出前十个，就得到这个数被33被3除所得的余数相加，然后除以 3除的余数，列表如下：数被.3除的余数相同从表中可以看出，第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数，每八个循环一次，因为因此这一串数被 6，×249＋ 1998＝ 82. 除的余数一样，也就是3除的余数，应与第六个数被3 所以，第1998个数被计算钟点是.我们的计算方法，就是循环制. 一些有规律的数，常常会循环地出现12.11，9，10，74，5，6，，8，31 ，2，，. 这十二个数构成一个循环按照七天一轮计算天数是.日，一，二，三，四，五，六除的余数这也是一个循环，相当于一些连续自然数被76，，， 4 5，， 0 1， 2 3.用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季，说明人们很早就发现循环现象的循环..用数来反映循环现象也是很自然的事个数的循环，71212循环现象，我们还称作具有“周期性”，个数的循环，就说周期是，实用文档. 发现周期性和确定周期，是很有趣的事20中余数的周期是8.研究数的循环，7.就说周期是例在讲述例题之前，再讲一个从带余除式下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子. 得出的结论：那么甲、乙两数的积被这个除数除，它的甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数..余数就是两个余数的积，被这个除数除所得的余数除后被 115＝20＝999被 11除的余数是 4×2737被11除余4，被11除余5，37×27 例如， 9.的余数4. ＝2×21997×1997被7除的余数是2 1997＝7×285＋，就知道除余几？ 19被7例211997我们只要考虑一.7除的余数相同219被7除的余数与被解：从上面的结论知道，19971997. 除的余数的连乘，被7些2 先写出一列数8，＝×2×2 2，2×2＝4，2.16，…2×2＝ 2×2× .列表如下：然后逐个用7去除，列一张表，看看有什么规律除的77除，就可以得到后一个数被2 事实上，只要用前一个数被7除的余数，乘以，再被）.（为什么？请想一想.余数就根据上面对余数的计算，都是2.第四个数与第一个数的余数相同，从表中可以看出，循环的周期是.3个数循环一轮知道，第五个数与第二个数余数相同，……因此，余数是每隔3.2.665 ＋1997 ＝ 3×4.除的余数相同，这个余数是被 7 2 就知道2被7除的余数，与19971997.再看一个稍复杂的例子每个数的三倍都恰好等于它两边两个数个数排成一行，70除了两头的两个数以外，例22 .这一行最左边的几个数是这样的：的和.55，…，3，821，，， 01 除余几？个数）被问：最右边一个数（第 706实用文档倍减去再前一个3 解：首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的数：，×3-0 3＝1 ，×3-1 8=3 ，×3-3 21=8 ，×3-8 55=21 ……能否从前面的余数，那就太麻烦了.真的要一个一个地算下去，然后逐个被6去除，不过，，从第三个数起，余数的算出后面的余数呢？能！同算出这一行数的办法一样（为什么？）计算办法如下：. 6除，所得余数即是将前一个数的余数乘3，减去再前一个数的余数，然后被用这个办法，可以逐个算出余数，列表如下：因为我们求被这在小学数学范围不允许，0×3-1 注意，在算第八个数的余数时，要出现 1. 再来减3加66除的余数，所以我们可以 0×从表中可以看出，第十三、第十四个数的余数，与第一、第二个数的余数对应相同，就12.知道余数的循环周期是5+10.×＝12 704. 6除的余数，与第十个数的余数相同，也就是因此，第七十个数被在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：.，求这个数余2，除以2，除以5余37一个数除以 3余它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余这样的问题，也有人称为“韩信点兵” .目，这是由中国人首先提出的.式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”.但是它的一般解法决不是小学生能弄明白的前许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题，. 这里，我们通过两个例题，对较小的数，介绍一种通俗解法余几？，问这个数除以余，除以余有一个数，除以例 23324112实用文档的数有：余2 解：除以3.…， 23， 17， 20， 2 5， 8， 11，14的余数是：它们除以12.11，…5，8，2，5，8，11，， 2 1的数有：除以4余.29，… 21， 25，， 9， 13， 17， 1， 5 12的余数是：它们除以.9，…， 5，1， 5， 9， 112是共同的，因此这个数除以5的余数是唯一的.上面两行余数中，只有一个数除以125.的余数是然后逐个考的整数，4除余1我们逐个列出被3除余2的整数，又逐个列出被上面解法中，这样的列举的办法，在考虑的.除的余数，找出两者共同的余数，就是被12除的余数虑被12.数不大时，是很有用的，也是同学们最容易接受的很明显，满足条.12除的余数，而是求这个数的问题改变一下，不求被如果我们把例23 件的数是很多的，它是×整数，＋ 12 5的最43与5后，注意到12是整数可以取 0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出”余1余2，除以4小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先”一个条件.两个条件合并成“除以12余5. .然后再与第三个条件合并，就可找到答案把两个条件合并成一个. ，求符合条件的最小数7余22余，除以5余3，除以例24一个数除以3 的数：3余2 解：先列出除以 26，…， 20，23， 17 5，， 8， 11， 14，， 2 3的数：再列出除以5余.，…， 28，， 13 18， 23， 3 8 15.两个条件合并成一个就是8.3与5的最小公倍数是这两列数中，首先出现的公共数是×整数，＋158列出这一串数是，…，，， 8 23 38实用文档的数7余2 再列出除以，…，， 30 9， 16， 23 2，23.就得出符合题目条件的最小数是23. 除余事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105.最后再看一个例子整整除，中间的能被5至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3例25在100. 7整除，写出这样的三个连续自然数除，最大的能被.1）整除（又是被3除余解：先找出两个连续自然数，第一个能被3整除，第二个能被511.，下一个连续的自然数是和例如，找出91056＝×37的整数倍，使加得的数能被整除.11＋155 3和的最小公倍数是15，考虑11加15.7整除3，5，56能被7整除，那么54，55，这三个连续自然数，依次分别能被所求三105.7的最小公倍数5，56分别加上3，，54100 为了满足“在至200之间”将，55 数是 161.160， 159，5.除余，被5除余47整除，被，它被200100 注意，本题实际上是：求一个数（～之间）3 24解法有哪些相同之处？请考虑，本题解法与例。
小学奥数数的整除数论知识讲解及习题
小学奥数数的整除数论知识讲解及习题1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”;因为符号“∵”，所以的符号“∴”;二、整除判断方法：1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：1. 如果a、b能被c整除，那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。
2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
例题：在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除?解：如果56□2能被9整除，那么5+6+□+2=13+□应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除; 如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除;如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。
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数的整除一、六年级奥数整除问题当两个整数a和b（b≠0），a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除或b整除a，也把a叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作b a.二、常见数字的整除判定方法1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；5.如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9的倍数，那么这个数能被9整除；6.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。
7.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
8.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
9.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
10.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。
如果和太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
11.若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
12.若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除.13.若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）三、整除性质性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；四、其他重要结论1、能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别在这个数的未一位、未两位、未三位上。
我们可以概括成一个性质：未n位数能被2n(或5n)整除的数，本身必能被2n(或5n)整除；反过来，末n位数不能被2n(或5n)整除的数，本身必不能被2n(或5n)整除。
例如，判断19973216、91688169能否能被16整除，只需考虑未四位数能否被16（因为16=42）整除便可，这样便可以举一反三，运用自如。
2、利用连续整数之积的性质：任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之积，因此一定可被2整除；任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。
这个性质可以推广到任意个整数连续之积。
3、一个奇位数，原序数与反序数的差一定是99的倍数，一个偶位数，原序数与反序数的差一定是9的倍数。
4、 100113117=⨯⨯；abcabc abc =⨯1001，abcabc 这样的数一定能被7、11、13整除。
5、 9992737;111337;117913;1337481;719133;71391=⨯=⨯=⨯⨯=⨯=⨯=等等。
数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。
要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。
【例 1】 975935972⨯⨯⨯□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？【例 2】 把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？201202203300⨯⨯⨯⨯的结果除以10，所得到的商再除以10……重复这样的操作，在第____次除以10时，首次出现余数.【例 3】11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？用1～9这九个数字组成三个三位数(每个数字都要用)，每个数都是4的倍数。
这三个三位数中最小的一个最大是。
【例 4】在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数.请随便填出一种，并检查自己填的是否正确。
口口被3除余l，被9除余4，这个数最小是。
一个六位数2727【例 5】 连续写出从1开始的自然数，写到2008时停止，得到一个多位数：1234567891011 (20072008)，请说明：这个多位数除以3，得到的余数是几？为什么？1234567891011121314…20082009除以9，商的个位数字是_________ 。
【例 6】 1至9这9个数字，按图所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(例如，在1和7之间剪开，得到两个数是193426857和758624391)．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少? 987654321207，2007，20007，等首位是2，个位是7，中间数字全部是0的数字中，能被27整除而不被81整除的最小数是 。
三、7、11、13系列【例 7】 一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?88888ab ab ab ab ab 是77的倍数，则ab 最大为_________?【例 8】 三位数的百位、十位和个位的数字分别是5，a 和b ，将它连续重复写2008次成为：20095555ab ab ab ab 个.如果此数能被91整除，那么这个三位数5ab 是多少？称一个两头（首位与末尾）都是1的数为“两头蛇数”。
一个四位数的“两头蛇数”去掉两头，得到一个两位数，它恰好是这个“两头蛇数”的约数。
这个“两头蛇数”是 。
（写出所有可能）【例 9】学生问数学老师的年龄老师说：“由三个相同数字组成的三位数除以这三个数字的和，所得结果就是我的年龄。
”老师今年岁。
能被37整除，试说明：六位数abcdef也能被37整除．已知两个三位数abc与def的和abc def【例 10】一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.再将新的4位数的千位数字移到右端构成一个更新的四位数，已知最新的4位数与最原先的4位数的和是以下5个数的一个：①9865；②9867；③9462；④9696；⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?一个六位数各个数字都不相同，且这个数字能被17整除，则这个数最小是________？【例 11】在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少?将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是多少？【例 12】 若4232++=b c d ，试问abcd 能否被8整除?请说明理由．证明abcde 能被6整除，那么2()+++-a b c d e 也能被6整除．【例 13】 甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为1031．如果甲数的数字和为10，乙数的数字和为8，那么甲乙两数之和是_________．有5个不同的正整数，它们中任意两数的乘积都是12的倍数，那么这5个数之和的最小值是________．【例 14】某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…，12．他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？用数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9拼成一个十位数。
要求前1位数能被2整除，前2位数能被3整除，……，前9位数能被10整除．已知最高位数为8．这个十位数是【例 15】在六位数ABCDEF中，不同的字母表示不同的数字，且满足A，AB，ABC，ABCD，ABCDE，ABCDEF依次能被2，3，5，7，11，13整除．则ABCDEF的最小值是；已知当ABCDEF取得最大值时0F=，那么ABCDEF的最大值是________．C=，6有一个九位数abcdefghi的各位数字都不相同且全都不为0，并且二位数ab可被2整除，三位数abc 可被3整除，四位数abcd可被4整除，……依此类推，九位数abcdefghi可被9整除．请问这个九位数abcdefghi是多少？【例 16】N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除．N的最大值是．a，b，c，d各代表一个不同的非零数字，如果abcd是13的倍数，bcda是11的倍数，cdab 是9的倍数，dabc是7的倍数，那么abcd是。