量化效应与有限字长效应
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均值：me E[(e(n)] eP(e)de
2 方差： e Leabharlann Baidu E (e(n) me ) 2 (e me ) 2 P(e)de
ADC的量化噪声分析也可以分为截尾分布和舍入分布 两种情况。
P (e) T
1/ q
1/ q q/2
P (e) R
q
0
e
§8.2 二进制数的描述和量化影响
一．定点二进数表示法
（定点：x 1 ，或 1 x 1 ） 0 1 2 b （ b 1位码， i (0,1)）
原码: x (1) 补码: x 反码: x
0 b
i 2 i 1
i
例：设 b 3 ，x 0.75 ，则 [ x]原 (0.110) 2 ； x 0.75 ，则 [ x]原 (1.110) 2 。
比较可知级联灵敏度低 ：
z1 z1 , a1 1
z1 z1 , a2 2
二、系数量化效应统计分析 假设 b (1 z z b z B( z ) 数字
N N k
1
系统 为： 系 数 量 化：
H ( z)
1 ak z k
k 1
k 0 N
k
2 10 log10 e (dB)
2 2b 10 log 12
由此分析信噪比。 8 2 如，b 10 ， e 7.95 10 ， SNR 71dB 11 2 b 15 ， e 7.76 10 ， SNR 101dB 注意：最大的信噪比如上式计算。 若输入幅度为 1的正弦信号（信号功率为1/2）， 则： 1/ 2
0
q/2
e
（截尾分布）
（舍入分布）
1．截尾： me q / 2 （直流误差，一般不用该量化、转换 公式的原因） 2 e q 2 / 12（噪声功率）
2 q 2b e q 2 / 12 ， e2 ，噪声下降，性能提高。 物理意义：A/D字长 b 则
2．舍入：me 0
e f ( n ) e( n ) h ( n )
（输出噪声功率）
m f me h(n) me H (e j 0 )
m0
（输出噪声直流）
§8.4 数字系统系数量化字长效应
一、系数量化对数字系统的零、极点影响
一个数字系统，如数字滤波器，可以表示为：
H ( z)
bk z k 1 ak z k
z1 1, 1 z1 0, 2 z2 0, 1 z 2 1 2
2、直接型结构：
1 1 H ( z) 1 1 (1 z1 z )(1 z 2 z ) 1 ( z1 z 2 ) z 1 z1 z 2 z 2 系数方程：a1 ( z1 z 2 ),
0 0 时三种码子是一致的。
b 2 x 0 i 2 i i 1 b b 0 (1 2 ) i 2 i i 1
二、量化方式及误差
截尾：只取 b 位，截去 b 位后的真值位； 舍入：四舍五入，取最接近的 b 位。 1．定点制截尾误差位 b1 x i 2 i 设一个正数的真值为 b1 位表示，即
ˆ ak ak ak ˆ bk bk bk
下面以极点为例：系数量化引起的极点误差
N zi A( z ) / ak zi ak [ k 1 ak k 1 A( z ) / zi N
]ak
z zi k 1
N
zi N k
上面是单极点情况，多阶极点可类似推导。 l 1,l i 讨论： 极点彼此间间距越长，极点灵敏度越小； 极点彼此间间距越短（密集），极点灵敏度越高。 推论1：类似方法可以分析系数量化引起的零点误差。 推论2：并联型结构和级联型结构比直接型结构要好得多。 举例说明：设有系统（二阶数字滤波器）
SNR 10 log10 [
2 e
] 6.02b 1.76(dB)
二、量化噪声通过系统
ˆ x(n) x(n) h(n) H ( z)
e(n)
利用随机信号通过系统理论
2 e 2 j 2 f H (e ) d 2
ˆ y ( n) y ( n) e f ( n)
i 0 i 1 i 1 i 1 M N N N
从频率角度分析：
1) e(n) i x(n i) ai e(n i ) i y (n i)
( z) ( z)H ( z) 2) E ( z ) e(i ) z X (z) A( z ) i 0
理想A/D
x(n)
e(n)
x(n) x(n) e(n) ˆ
一．量化噪声的统计分析
假定：（1） e(n)平稳随机过程 （2） e(n) 与 x(n) 不相关 （3） e(n) 为白噪声（ e(n) 自身两两不相关） （4） e(n) 等概率分布 利用 e(n) 的概率分布，计算出 e(n) 的统计特性
即截尾误差范围为 q ET 0 (1)
同理可推出一个负数表示的截断误差范围是：
0 ET q (1.1)
2．定点制舍入误差
与上述类似可推出：
q / 2 ER q / 2
(2)
以上分析是基于原码表示的二进制数，在书上还给出了 补码和反码表示的截断误差范围和舍入误差范围分析。
(z
N
i
zl )
a k
1 H ( z) (1 z1 z 1 )(1 z 2 z 1 )
分析级联型结构与直接型结构极点对系数得灵敏度。
直接型结构
x(n) y (n) x(n)
级联型结构
y (n)
j Im[ z ]
z1 z 2 Re[z]
1 1
1、级联型结构：
1 z1 1 H ( z) , 系数方程： 1 1 (1 z1 z )(1 z 2 z ) 2 z 2
第八章：量化效应与 有限字长效应
本章主要内容： 数的表示 三种因有限字长引起的误差分析 数字系统有限字长效应 数字系统极限环概念
§8.1 引 言
数字系统中共有三种量化引起的误差： （1） A/D引入的信号量化 （2） 系数 ai , bi 表示及量化 （3） 数字运算的有限字长 通常形式是“有效位数”反映出来。例如十进 0.86 制两位小数乘法， 0.51 0.4386 ，若只 有二位有效小数位，则结果处理有“舍入”为 0.44或“截尾”为0.43。 同时分析三种因素是很复杂的，因此单独分析 三种因素的影响。
ˆ ˆ 2、此时等效： y(n) | y(n 1) | x(n) 极点为 +1 或 –1。
3、极限振荡环幅度与字长（b位）的关系：
ˆ ˆ Q[ay (n 1)] y (n 1) 2 ˆ ˆ | y ( n 1) | a y (n 1) 2 /2 ˆ (n 1) y 1 a
k 1 k 0 N
M
B( z ) A( z )
b0 (1 z j z 1 ) (1 zi z 1 )
i 1 j 1 N
M
零点为： z z j , 系数量化：
j 1,2,3,, M(除0零点）
极点为： z zi , i 1,2,3,, N(除0极点）
2 e 2 / 12 E 2 / 3 N 2 E 2 /(3 * 2 2 n )
us SNRe (dB) 4.77 6n 20 log E
例：A/D转换时信号最大值用二进制表示是1，则 e 表示量
2
化噪声功率比信号功率低多少（噪信比），用信噪比
SNR 1
2 e
用 T 表示截尾成 b 位，则 [ x]T
截尾误差为 ET [ x]T x
b i 2 i 1
i 1 i
当 i 全为1时，误差最大，为 ET (2 b 2 b1 )
ET 2b q 当 b1 时
b1 i i 2 i b 1
0
j
)
A( z )
(1 zi z 1 )
i 1
j 1 N
ˆ ak Q[ a ] ak k ˆ bk Q[bk ] bk k
定义： [ z ] k z k
k 0 N
N
定义： [ z ] k z k
k 0
ˆ 分析 e(n) y (n) y (n) M N M N 输出 ˆ ˆ ˆ [ bi x(n i ) ai y (n i )] [ bi x (n i ) ai y (n i )] 误差： i 0 i 1 i 0 i 1 i x(n i ) ai e(n i ) i y (n i ) i e(n i )
y (n)
0.75 0.375 0.25 0.125
ˆ y ( n)
计算结果见 书P293-表8-3
n
0.75 0.375 0.25 0.125
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
n
ˆ ˆ 讨论：1、当 Q[ay (n 1)] y (n 1) 时出现极限环 振荡。
ˆ H ( z)
y ( n ) e( n )
三、数字系统零输入极限环振荡
1、数字系统在数字运算时由于尾数处理产生非先行作 用，系统引入非先行环节，可能使零输入响应不衰 减到零，而形成振荡，即零输入极限环振荡。 2、举例说明：有数字系统（一阶IIR滤波器）
1 H ( z) , a 0.510 0.100 2 1 1 az ˆ ˆ y (n) ay(n 1) x(n), y (n) Q[ay (n 1)] x(n)
三、浮点数量化方式及误差（略）
§8.3 A/D变换的量化效应
ADC完成模拟信号的数字化，这同样存在量化效应。 A/D可用截尾或舍入方式转换，可将上述量化误差考虑 e(n 成为“量化噪声” ) 。
xa (t )
ˆ （二进制有限字长） xa(nT) x(n)（真值） x(n)
采样
A/D
xa (t )
偏导数为 ：
a2 z1 z 2
z1 z1 , a1 z1 z 2 z 2 z2 , a1 z 2 z1
z1 1 a2 z1 z 2 z 2 1 a2 z 2 z1
z 2 z 2 , a1 1 z 2 z 2 a2 2
i
N
N
N
i 0
i 1
i 1
ˆ ( z) Y ( z) E( z) H ( z) ( z) ( z)H ( z) X ( z) 3) Y A( z ) ˆ Y ( z) ( z) ( z)H ( z) ˆ 4) H ( z ) H ( z) X ( z) A( z ) ˆ 5) H E ( z ) H ( z ) H ( z ) H (z ) ( z) ( z)H ( z) y (n) x(n) A( z ) e(n) ˆ y ( n) H E (z )
用定点DSP实现浮点数运算
浮点数的表示方法
浮点数由尾数m、基数b和指数e三部分组成： 下图说明了IEEE标准里的浮点数表示方法。这个格式用
带符号的表示方法来表示尾数，指数含有127的偏移。在 一个32-bit表示的浮点数中，第一位是符号位，记为S。接 下来的8-bit表示指数，采用127的偏移格式 （实际是e127）。然后的23-bit表示尾数的绝对值，考虑到最高一位 是符号位，它也应归于尾数的范围，所以尾数一共有24bit。 1 8 23
2 方差： e Leabharlann Baidu E (e(n) me ) 2 (e me ) 2 P(e)de
ADC的量化噪声分析也可以分为截尾分布和舍入分布 两种情况。
P (e) T
1/ q
1/ q q/2
P (e) R
q
0
e
§8.2 二进制数的描述和量化影响
一．定点二进数表示法
（定点：x 1 ，或 1 x 1 ） 0 1 2 b （ b 1位码， i (0,1)）
原码: x (1) 补码: x 反码: x
0 b
i 2 i 1
i
例：设 b 3 ，x 0.75 ，则 [ x]原 (0.110) 2 ； x 0.75 ，则 [ x]原 (1.110) 2 。
比较可知级联灵敏度低 ：
z1 z1 , a1 1
z1 z1 , a2 2
二、系数量化效应统计分析 假设 b (1 z z b z B( z ) 数字
N N k
1
系统 为： 系 数 量 化：
H ( z)
1 ak z k
k 1
k 0 N
k
2 10 log10 e (dB)
2 2b 10 log 12
由此分析信噪比。 8 2 如，b 10 ， e 7.95 10 ， SNR 71dB 11 2 b 15 ， e 7.76 10 ， SNR 101dB 注意：最大的信噪比如上式计算。 若输入幅度为 1的正弦信号（信号功率为1/2）， 则： 1/ 2
0
q/2
e
（截尾分布）
（舍入分布）
1．截尾： me q / 2 （直流误差，一般不用该量化、转换 公式的原因） 2 e q 2 / 12（噪声功率）
2 q 2b e q 2 / 12 ， e2 ，噪声下降，性能提高。 物理意义：A/D字长 b 则
2．舍入：me 0
e f ( n ) e( n ) h ( n )
（输出噪声功率）
m f me h(n) me H (e j 0 )
m0
（输出噪声直流）
§8.4 数字系统系数量化字长效应
一、系数量化对数字系统的零、极点影响
一个数字系统，如数字滤波器，可以表示为：
H ( z)
bk z k 1 ak z k
z1 1, 1 z1 0, 2 z2 0, 1 z 2 1 2
2、直接型结构：
1 1 H ( z) 1 1 (1 z1 z )(1 z 2 z ) 1 ( z1 z 2 ) z 1 z1 z 2 z 2 系数方程：a1 ( z1 z 2 ),
0 0 时三种码子是一致的。
b 2 x 0 i 2 i i 1 b b 0 (1 2 ) i 2 i i 1
二、量化方式及误差
截尾：只取 b 位，截去 b 位后的真值位； 舍入：四舍五入，取最接近的 b 位。 1．定点制截尾误差位 b1 x i 2 i 设一个正数的真值为 b1 位表示，即
ˆ ak ak ak ˆ bk bk bk
下面以极点为例：系数量化引起的极点误差
N zi A( z ) / ak zi ak [ k 1 ak k 1 A( z ) / zi N
]ak
z zi k 1
N
zi N k
上面是单极点情况，多阶极点可类似推导。 l 1,l i 讨论： 极点彼此间间距越长，极点灵敏度越小； 极点彼此间间距越短（密集），极点灵敏度越高。 推论1：类似方法可以分析系数量化引起的零点误差。 推论2：并联型结构和级联型结构比直接型结构要好得多。 举例说明：设有系统（二阶数字滤波器）
SNR 10 log10 [
2 e
] 6.02b 1.76(dB)
二、量化噪声通过系统
ˆ x(n) x(n) h(n) H ( z)
e(n)
利用随机信号通过系统理论
2 e 2 j 2 f H (e ) d 2
ˆ y ( n) y ( n) e f ( n)
i 0 i 1 i 1 i 1 M N N N
从频率角度分析：
1) e(n) i x(n i) ai e(n i ) i y (n i)
( z) ( z)H ( z) 2) E ( z ) e(i ) z X (z) A( z ) i 0
理想A/D
x(n)
e(n)
x(n) x(n) e(n) ˆ
一．量化噪声的统计分析
假定：（1） e(n)平稳随机过程 （2） e(n) 与 x(n) 不相关 （3） e(n) 为白噪声（ e(n) 自身两两不相关） （4） e(n) 等概率分布 利用 e(n) 的概率分布，计算出 e(n) 的统计特性
即截尾误差范围为 q ET 0 (1)
同理可推出一个负数表示的截断误差范围是：
0 ET q (1.1)
2．定点制舍入误差
与上述类似可推出：
q / 2 ER q / 2
(2)
以上分析是基于原码表示的二进制数，在书上还给出了 补码和反码表示的截断误差范围和舍入误差范围分析。
(z
N
i
zl )
a k
1 H ( z) (1 z1 z 1 )(1 z 2 z 1 )
分析级联型结构与直接型结构极点对系数得灵敏度。
直接型结构
x(n) y (n) x(n)
级联型结构
y (n)
j Im[ z ]
z1 z 2 Re[z]
1 1
1、级联型结构：
1 z1 1 H ( z) , 系数方程： 1 1 (1 z1 z )(1 z 2 z ) 2 z 2
第八章：量化效应与 有限字长效应
本章主要内容： 数的表示 三种因有限字长引起的误差分析 数字系统有限字长效应 数字系统极限环概念
§8.1 引 言
数字系统中共有三种量化引起的误差： （1） A/D引入的信号量化 （2） 系数 ai , bi 表示及量化 （3） 数字运算的有限字长 通常形式是“有效位数”反映出来。例如十进 0.86 制两位小数乘法， 0.51 0.4386 ，若只 有二位有效小数位，则结果处理有“舍入”为 0.44或“截尾”为0.43。 同时分析三种因素是很复杂的，因此单独分析 三种因素的影响。
ˆ ˆ 2、此时等效： y(n) | y(n 1) | x(n) 极点为 +1 或 –1。
3、极限振荡环幅度与字长（b位）的关系：
ˆ ˆ Q[ay (n 1)] y (n 1) 2 ˆ ˆ | y ( n 1) | a y (n 1) 2 /2 ˆ (n 1) y 1 a
k 1 k 0 N
M
B( z ) A( z )
b0 (1 z j z 1 ) (1 zi z 1 )
i 1 j 1 N
M
零点为： z z j , 系数量化：
j 1,2,3,, M(除0零点）
极点为： z zi , i 1,2,3,, N(除0极点）
2 e 2 / 12 E 2 / 3 N 2 E 2 /(3 * 2 2 n )
us SNRe (dB) 4.77 6n 20 log E
例：A/D转换时信号最大值用二进制表示是1，则 e 表示量
2
化噪声功率比信号功率低多少（噪信比），用信噪比
SNR 1
2 e
用 T 表示截尾成 b 位，则 [ x]T
截尾误差为 ET [ x]T x
b i 2 i 1
i 1 i
当 i 全为1时，误差最大，为 ET (2 b 2 b1 )
ET 2b q 当 b1 时
b1 i i 2 i b 1
0
j
)
A( z )
(1 zi z 1 )
i 1
j 1 N
ˆ ak Q[ a ] ak k ˆ bk Q[bk ] bk k
定义： [ z ] k z k
k 0 N
N
定义： [ z ] k z k
k 0
ˆ 分析 e(n) y (n) y (n) M N M N 输出 ˆ ˆ ˆ [ bi x(n i ) ai y (n i )] [ bi x (n i ) ai y (n i )] 误差： i 0 i 1 i 0 i 1 i x(n i ) ai e(n i ) i y (n i ) i e(n i )
y (n)
0.75 0.375 0.25 0.125
ˆ y ( n)
计算结果见 书P293-表8-3
n
0.75 0.375 0.25 0.125
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
n
ˆ ˆ 讨论：1、当 Q[ay (n 1)] y (n 1) 时出现极限环 振荡。
ˆ H ( z)
y ( n ) e( n )
三、数字系统零输入极限环振荡
1、数字系统在数字运算时由于尾数处理产生非先行作 用，系统引入非先行环节，可能使零输入响应不衰 减到零，而形成振荡，即零输入极限环振荡。 2、举例说明：有数字系统（一阶IIR滤波器）
1 H ( z) , a 0.510 0.100 2 1 1 az ˆ ˆ y (n) ay(n 1) x(n), y (n) Q[ay (n 1)] x(n)
三、浮点数量化方式及误差（略）
§8.3 A/D变换的量化效应
ADC完成模拟信号的数字化，这同样存在量化效应。 A/D可用截尾或舍入方式转换，可将上述量化误差考虑 e(n 成为“量化噪声” ) 。
xa (t )
ˆ （二进制有限字长） xa(nT) x(n)（真值） x(n)
采样
A/D
xa (t )
偏导数为 ：
a2 z1 z 2
z1 z1 , a1 z1 z 2 z 2 z2 , a1 z 2 z1
z1 1 a2 z1 z 2 z 2 1 a2 z 2 z1
z 2 z 2 , a1 1 z 2 z 2 a2 2
i
N
N
N
i 0
i 1
i 1
ˆ ( z) Y ( z) E( z) H ( z) ( z) ( z)H ( z) X ( z) 3) Y A( z ) ˆ Y ( z) ( z) ( z)H ( z) ˆ 4) H ( z ) H ( z) X ( z) A( z ) ˆ 5) H E ( z ) H ( z ) H ( z ) H (z ) ( z) ( z)H ( z) y (n) x(n) A( z ) e(n) ˆ y ( n) H E (z )
用定点DSP实现浮点数运算
浮点数的表示方法
浮点数由尾数m、基数b和指数e三部分组成： 下图说明了IEEE标准里的浮点数表示方法。这个格式用
带符号的表示方法来表示尾数，指数含有127的偏移。在 一个32-bit表示的浮点数中，第一位是符号位，记为S。接 下来的8-bit表示指数，采用127的偏移格式 （实际是e127）。然后的23-bit表示尾数的绝对值，考虑到最高一位 是符号位，它也应归于尾数的范围，所以尾数一共有24bit。 1 8 23