平面解析几何知识点汇总

1．直线的倾斜角与斜率：
（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着
交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.
倾斜角)180,0[︒∈α,︒=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211
21
2=≠--=
k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.
2．直线方程的五种形式：
（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．
注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：
1
21
121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠).
注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；
② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示
任意直线． （4）截距式：
1=+b
y
a x （
b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）
． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示
过原点的直线．
（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．
一般式化为斜截式：B C x B A y --
=，即，直线的斜率：B
A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．
已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的
倒数)或0y =．
已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．
（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条
直线一般不重合．
3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．⇔直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．⇔直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．⇔直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直：
（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+
① 212121,//b b k k l l ≠=⇔； ② 12121l l k k ⊥⇔=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有
① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=⇔且．② 0212121=+⇔⊥B B A A l l ．
5．平面两点距离公式：
(111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：
A B x x AB -=．
线段21P P 的中点是),(00y x M ，则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=+=22
21
0210y y y x x x ．
6．点到直线的距离公式：
点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：2
2
00B
A C
By Ax d +++=．
7．两平行直线间的距离：
两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：距离：2
2
21B
A C C d +-=．
8．直线系方程：
（1）平行直线系方程：
① 直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．． ② 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=． ③ 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为：
00()()0A x x B y y -+-=．
（2）垂直直线系方程：
① 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=． ② 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为：
00()()0B x x A y y ---=．
（3）定点直线系方程：
① 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k
是待定的系数．
② 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待
定的系数．
（4）共点直线系方程：经过两直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：交
点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ (除
2l )，其中λ是待定的系数．
9．曲线1:(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的交点坐标⇔方程组{
(,)0(,)0
f x y
g x y ==的解．
10．圆的方程：
（1）圆的标准方程：2
2
2
)()(r b y a x =-+-（0>r ）．
（2）圆的一般方程：)04(02
2
2
2
>-+=++++F E D F Ey Dx y x ． （3）圆的直径式方程：
若),(),(2211y x B y x A ，，以线段AB 为直径的圆的方程是：
0))(())((2121=--+--y y y y x x x x ．
注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是)2,2(E D --，F E D r 42
1
22-+=．
（2）一般方程的特点：
① 2x 和2
y 的系数相同且不为零；② 没有xy 项； ③ 042
2
>-+F E D （3）二元二次方程02
2
=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的等价条件是：
① 0≠=C A ； ② 0=B ； ③ 042
2
>-+AF E D ．
11．圆的弦长的求法：
（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，
则：“半弦长2+弦心距2=半径2
”——222)2(r d l =+；
（2）代数法：设l 的斜率为k ，l 与圆交点分别为),(),(2211y x B y x A ，，则
||1
1||1||22B A B A y y k
x x k AB -+
=-+= （其中|||,|2121y y x x --的求法是将直线和圆的方程联立消去y 或x ，利用韦达定理求解）
12．点与圆的位置关系：点),(00y x P 与圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种
①P 在在圆外22020)()(r b y a x r d >-+-⇔>⇔． ②P 在在圆22020)()(r b y a x r d <-+-⇔<⇔．
③P 在在圆上22020)()(r b y a x r d =-+-⇔=⇔． 【P 到圆心距离
d =
13．直线与圆的位置关系：
直线0=++C By Ax 与圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种(2
2
B
A C Bb Aa d +++=
):
圆心到直线距离为d ，由直线和圆联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为∆．
0<∆⇔⇔>相离r d ；0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d ．
14．两圆位置关系:设两圆圆心分别为21,O O ，半径分别为21,r r ，d O O =21
条公切线外离421⇔⇔+>r r d ； 无公切线内含⇔⇔-<21r r d ； 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ；条公切线内切121⇔⇔-=r r d ；
条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ．
15．圆系方程：)04(02
2
2
2
>-+=++++F E D F Ey Dx y x （1）过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程：
1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直
线AB 的方程．
（2）过直线0=++C By Ax l ：与圆C :02
2
=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程：
0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ,λ是待定的系数．
（3）过圆1C :01112
2
=++++F y E x D y x 与圆2C :02222
2
=++++F y E x D y x 的交
点的圆系方程：0)(2222
2
1112
2
=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ,λ是待定的系数．特别地，当1λ=-时，
2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=就是
121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆
交点的直线． 16．圆的切线方程：
（1）过圆2
22r y x =+上的点),(00y x P 的切线方程为:200r y y x x =+．
（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上的点),(00y x P 的切线方程为:200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ．
（3）过圆2
2
0x y Dx Ey F ++++=上的点),(00y x P 的切线方程为:
0000()()
022D x x E y y x x y y F ++++
++=． (4) 若P(0x ,0y )是圆222
x y r +=外一点,由P(0x ,0y )向圆引两条切线, 切点分别为A,B
则直线AB 的方程为2
00xx yy r +=
(5) 若P(0x ,0y )是圆222
()()x a y b r -+-=外一点, 由P(0x ,0y )向圆引两条切线, 切
点分别为A,B 则直线AB 的方程为2
00()()()()x a x a y b y b r --+--=
（6）当点),(00y x P 在圆外时，可设切方程为)(00x x k y y -=-，利用圆心到直线距离等于半径，
即r d =，求出k ；或利用0=∆，求出k ．若求得k 只有一值，则还有一条斜率不存在的直线0x x =．
17．把两圆01112
2
=++++F y E x D y x 与02222
2
=++++F y E x D y x 方程相减
即得相交弦所在直线方程:0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． 18．空间两点间的距离公式:
若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB =19、简单线性规划（确定可行域，求最优解，建立数学模型）
⑴、目标函数：要求在一定条件下求极大值或极小值问题的函数。

用关于变量是一次不
等式（等式）表示的条件较线性约束条件。

⑵、线性规划：求线性目标函数在线性的约束条件下的最值问题 二、轨迹问题
(一)求轨迹的步骤
1、建模：设点建立适当的坐标系，设曲线上任一点p （x ，y ）
2、立式：写出适条件的p 点的集合
3、代换：用坐标表示集合列出方程式f （x ，y ）=0
4、化简：化成简单形式，并找出限制条件
5、证明：以方程的解为坐标的点在曲线上 （二）求轨迹的方法
1、直接法：求谁设谁，按五步去直接求出轨迹
2、定义法：利用已知或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义
3、转移代入法：适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题
4、交轨法：适用于求两条动直线交点的轨迹问题。

用一个变量分别表示两条动直线，然后联立，消去变量即可。

5、参数法：用一个变量分别表示所求轨迹上任一点的横坐标和纵坐标，联立消参。

6、同一法：利用两种思维分别求出同一条直线，再参考参数法，找到轨迹方程。

三、椭圆
椭圆：平面到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间距离）的点的集合
1、定义：12122(2)PF PF a a F F +=> 第二定义：
(01)PF c
e e d a
==<< 2、标准方程：22221(0)x y a b a b +=>> 或 22
221(0)y x a b a b
+=>>；
3、参数方程cos sin x a y b θ
θ
=⎧⎨
=⎩ （θ为参数）θ几何意义：离心角
4、几何性质：（只给出焦点在x 轴上的的椭圆的几何性质） ①、顶点(,0),(0,)a b ±± ②、焦点(,0)c ± ③、离心率(01)c
e e a
=
<< ④准线：2
a x c
=±（课改后对准线不再要求，但题目中偶尔给出）
5、焦点三角形面积：12
2tan
2
PF F S
b θ
=⋅（设12F PF θ∠=）
6、椭圆面积：S a b π=⋅⋅椭（了解即可）
7、直线与椭圆位置关系：相离（0∆<）；相交（0∆>）；相切（0∆=） 判定方法：直线方程与椭圆方程联立，利用判别式判断根的个数 8、椭圆切线的求法
1）切点（00x y ）已知时，22221(0)x y a b a b +=>> 切线00221x x y y
a b +=
22221(0)y x a b a b +=>> 切线00221y y x x
a b +=
2）切线斜率k 已知时， 22
221(0)x y a b a b
+=>> 切线y kx =
22
221(0)y x a b a b
+=>> 切线y kx =9、焦半径：椭圆上点到焦点的距离
22
221(0)x y a b a b +=>> 0r a ex =±（左加右减）
22
221(0)y a a b a b
+=>> 0r a ey =±（下加上减）
四、双曲线
1、定义：122PF PF a -=± 第二定义：
(1)PF c
e e d a
==> 2、标准方程：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>（焦点在x 轴）
22
2
21(0,0)y x a b a b
-=>>（焦点在y 轴） 参数方程：sec tan x a y b θ
θ
=⋅⎧⎨
=⋅⎩ （θ为参数） 用法：可设曲线上任一点P (sec ,tan )a b θθ
3、几何性质 ① 顶点(,0)a ±
② 焦点(,0)c ± 2
2
2
c a b =+ ③ 离心率c
e a
=
1e > ④ 准线2
a x c
±
⑤ 渐近线 22221(0,0)x y a b a b -=>> b
y x a
=±或22220x y a b -=
22221(0,0)y x a b a b -=>> b
y x a
=±或22220y x a b -= 4、特殊双曲线
①、等轴双曲线22
221x y a a
-= e =渐近线y x =±
②、双曲线22221x y a b -=的共轭双曲线22
221x y a b
-=-
性质1：双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线
性质2：双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上 5、直线与双曲线的位置关系 ① 相离（0∆<）；② 相切（0∆=）； ③ 相交（0∆>） 判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起 0∆=时可以是相交也可以是相切 6、焦半径公式
22
221(0,0)x y a b a b
-=>> 点P 在右支上 0r ex a =±（左加右减） 点P 在左支上 0()r ex a =-±（左加右减）
22
22
1(0,0)y x a b a b -=>> 点P 在上支上 0r ey a =±（下加上减） 点P 在上支上 0()r ey a =-±（下加上减） 7、双曲线切线的求法
① 切点P 00(,)x y 已知 22221(0,0)x y a b a b -=>> 切线00221x x y y
a b -=
22221(0,0)y x a b a b -=>> 切线00221y y x x
a b -=
② 切线斜率K 已知 22221x y a b -= ()b y kx k a =>
22221y x a b -= ()b y kx k a
=<
8、焦点三角形面积：12
2cot
2
PF F S
b θ
=⋅（θ为12F PF ∠）
（重要）弦长公式：y kx b =+与曲线交与两点A 、B 则
22d AB x x y y ==-=-。