(激波)

[解] 考虑等价的静止正激波 问题 V1 722.4 m / s a1 kRT1 343.9 m / s Ma1 2.10 根据激波前后气流参数 关系，得到 Ma2 0.56128, p2 p1 4.9783, t 2 t1 1.7704,V1 V2 2.8119 p2 5.045 105 N / m 2 , T2 521.3 K , V2 256.9 m / s 相对于静止的观察者，有 V2 R V1 V2 465.6 m / s a2 kRT2 457.7 m / s Ma2 R 1.017
p2 2k k 1 2 Ma1 p1 k 1 k 1 压强比
2 密度比 1
k 1 2 Ma1 k 1 2 2 Ma1 k 1
19
温度比
声速比 马赫数比
T2 2kMa12 (k 1) 2 (k 1) Ma12 [ ][ ] 2 T1 k 1 (k 1) Ma1
a2 2kMa 12 ( k 1) 2 ( k 1) Ma 12 0.5 {[ ][ ]} 2 a1 k 1 ( k 1) Ma 1
Ma 2 Ma1
Ma1 2 (k 1) / 2 2 kMa1 (k 1) / 2
20
例 一正激波以722.4m/s的速度在静止的空气中传播，空气 压力是大气压，温度294.4K。计算激波后相对于静止观察者 的马赫数、压力、温度和速度

Ma>1
β
δ
30
斜激波

用角标1和2分别表示波前和波后，n和t分别表示 速度与激波面垂直和平行的分量
31
气流通过斜激波时的基本方程
连续方程 1V1n 1V2n
切向动量方程 1量方程 p1 1V1n p2 2V2n
2
2
V1 V2 能量方程 h1 h2 常数 2 2 2 2 V1n V2 n h1 h2 常数 2 2
11

1.
分析
由上式可见，随着激波强度的增大（p2/p1 ,2/ 1 ，激波 的传播速度也增大。若激波强度很弱，即p2/p1 1,2/ 1 1 ，此时激波已成为微弱压缩波，则上式可写成：
Vs
p2 p1 2 1
dp a d
若无限强的压缩波：
Vs
p 2 , 2
V2 1 p1T2 V1 2 p2T1
k 1 2 Ma1 1 p2 Ma1 2 p1 Ma2 1 k 1 Ma 2 2 2
1 2
由动量方程及a 2 kp / 可得 p2 1 kMa p1 1 kMa
2 1 2 2
k k 1 ln m 1 k 1 k 1
m 1
k
k 1 2k m 1 k 1
1 ( k 1)

2k ( Ma1 1) 3 k 1 3
2
24
熵增
气体相对于正激波的速度在上游是超声速 的，在下游是亚音速的
气体动力学基础
激
波
激波的基本概念
• 激波是一种强扰动波，以超声速传播
• 经过激波时，气流的压力、温度和密度升高，速 度下降 • 上述变化以突跃形式发生 • 激波发生在爆炸、超声速气流流过障碍物时
2
激波的基本概念
• 通常用纹影仪或阴影仪观察激波
3
激波结构
•虽然在宏观上是间断，但局部速度梯度（还有温度 梯度）越大，粘性耗散作用就越大，直到出现粘性 耗散与惯性力平衡为止 •出现平衡时波形内部高梯度区所对应的厚度为几个 分子平均自由程的量级 •在地面激波厚度为1/10个微米的量级。激波内部有 真实气体效应
4
激波的分类
正激波 斜激波 脱体激波

V1
V2
正激波
5
激波的形成过程
直圆管在活塞右侧是无
限延伸的，开始时管道 中充满静止气体，活塞 向右突然作加速运动， 在一段时间内速度逐步 加大到V，然后以等速 运动
6
激波的形成过程
活塞表面靠近的气体依
次引起微弱的扰动，这 些扰动波一个个向右传 播。当活塞不断向右加 速时，一道接一道的扰 动波向右传播，而且后 续波的波速总是大于现 行波的波速，所以后面 的波一定能追上前面的 波
2 ( k 1 p2 ( k 1 p1 ) ) 1 ( k 1 p1 ( k 1 p2 ) )
T2 p2 (k 1 p1 (k 1 p2 ) ) (k 1 p (k 1 p T1 p1 ) 2 ) 1
26
100
h1
v v h2 h0 2 2
2 1
2 2
34
朗金－雨贡纽关系式
对于理想气体，状态方 程是 p RT 及 h c pT
因此，能量方程变为 V1n V2 n T1 T2 2c p 2c p
2 2
35
朗金－雨贡纽关系式
p2 ( k 1 2 ( k 1 1 ) ) p1 ( k 1 1 ( k 1 2 ) )
普朗特关系式
由动量方程得到
2 2 p2 p1 a2 a1 V1 V2 2V2 1V1 kV2 kV 1 理想气体能量方程
V1 a1 V2 a2 1 k 1 2 acr 关系式 2 k 1 2 k 1 2 k 1
2 2 2
普朗特（Prandtl） 2
k 1 2 Ma11 Ma1 2 2 1 kMa1 求解得到 Ma2＝Ma1
2 1
12
k 1 2 Ma2 1 Ma2 2 2 1 kMa2
12
2 Ma ＋ 2 k 1 Ma2 ＝ 2k 2 Ma1 1 k 1
正激波前、后参数的关系式
1 p2 V2 1 ( 1)V1 2 kMa1 p1 速度比
解出a1 和a2 代入上式得到
2
2
或
V1V2 acr
2
12 1
22
(k 1 Ma 2 ) 2 (k 1 Ma 2 2 )
Ma2
2
(k 1 Ma 2 ) 2 2kMa1 (k 1 )
2 1
p2 p1 2k 2 ( Ma1 1 ) p1 k 1
A( p1 p2 ) m[(Vs V ) Vs ]
式中A为管道截面积，m为通过激波的气体流量
A( p1 p2 ) A1Vs [(Vs V ) Vs ]
VsV

m A1Vs
p2 p1
应用连续方程:
1
（a）
A1Vs A 2 [(Vs V )]
动量方程 p1 A1 p2 A2 mV2 mV1 即 p1 p2 V 2V2 常数
2 1 1 2
14
激波的基本控制方程
V V2 能量方程 h1 h2 常数 2 2 焓定义 h u p
2 1 2
状态方程 u u ( p, )
lim
p1 p2 p1 1 1 1 2 1
2.
因此激波波速应在a～∞之间 Vs恒大于V（管内）
12
正激波前后的参数关系
气体在绝热的管内流动产生正激波。激波上游（波后）
和下游（波前）的参数分别以下脚标“1”、“2”表示。设 激波等速移动，并将坐标系固连在激波上，这样无论激波 运动与否，均可将激波视为静止的。通常把这种激波叫做 定常运动的正激波或驻址正激波。若激波面的面积为A （垂直纸面），并设正激波前后的气流参数分别为
32
2
2
对上述方程分析我们可以知道，气流 通过斜激波时，只有法向速度分量减 小，而切向速度不变。 气流向波面折转 气流通过斜激波时，法向总焓的值没 有变化。
因此，可以将斜激波视为以法向分速 度为波前速度的正激波。
33
◆
正激波和斜激波基本方程的对照表
正激波 速度下脚标 总焓 连续方程 动量方程 能量方程
* k 1 p2 2 * k 1 (k 1) Ma 2 p1 1
2k k 1 2 k 1 Ma1 k 1
k
1 ( k 1)
熵增
P* s s2 s1 ln 1* P R R 2 1 ( k 1) (k 1) Ma 2 k k 1 2k 2 1 ln ( Ma1 1) 1 2 (k 1) Ma1 2 k 1
80
p2/p1
60
40
20
0
1
2
3
4
5
6
r 2/ r 1
27
激 波 前 后 参 数 关 系
基本方程 运算关系式 普朗特关系式 朗金－雨贡纽关系式
28
斜激波

当超音速气流流过图中所示的尖劈时将产生斜激波
Ma>1
β
δ
29
斜激波
气流的速度改变 流动的方向发生 变化，沿尖劈表 面流动 β称为激波角
2 ( k 1 p2 ( k 1 p1 ) ) 1 ( k 1 p1 ( k 1 p2 ) )
T2 p2 (k 1 p1 (k 1 p2 ) ) (k 1 p (k 1 p T1 p1 ) 2 ) 1

不包含激波角，和坐标系无关，适用于任何一 道激波
7
激波的形成过程
无数个小扰动弱波叠加
在一起形成一个垂直面 的压缩波，这就是正激 波
8
激波的传播速度

Vs为激波向右的传播速度，激波后气体的运动速度 则为活塞向右移动的速度V

当把坐标系建立在激波面上时，激波前的气体以速 度V1＝Vs向左流向激波，经过激波后气体速度为V2 ＝Vs－V
9

应用动量方程:
一定压强比对应一定密度比和温度比
36

普朗特关系式
由动量方程得到 V1n V2 n p2 p1 2V2 n 1V1n
理想气体能量方程
h h ( p, )
15
理想气体中的正激波
对于理想气体，状态方程是 p RT 及 h c pT
因此，能量方程变为 V V2 T1 T2 T * 常数 2c p 2c p
16
2 1
2
k 1 2 1 Ma1 * T2 T2 T 2 * k 1 2 T1 T1 T 1 Ma2 2 由连续方程和理想气体状态方程
p1 , 1 , T1 ,V1
p2 , 2 , T2 ,V2
则可以根据以下四个方程连续性方程、动量方程、能量方 程和状态方程来建立正激波前后各参数之间的关系式。
13
激波的基本控制方程
连续方程 m 1V1 A1 2V2 A2 常数 m 或 G 1V1 2V2 常数 A
总压的减小与激波的强度有关，激波越强， 总压降低越多 对于弱正激波，气体的熵增是可以忽略的， 即可以假定为等熵过程
25
Rankine-Hugoniot 关系式
由压力比和密度比关系中消去马赫数
p2 ( k 1 2 ( k 1 1 ) ) p1 ( k 1 1 ( k 1 2 ) )
，
斜激波 1n,2n
v h h0 t 2
0 2
1，2
h0
p1v1 p2 v2
2 p 2 p1 1v12 2 v2
p1n v1n p 2 n v2 n
2 p2 p1 1v12n 2v2n
2 v12n v2 n h2 h0 h1 2 2
2 1 V Vs 2
（b）

联立（a）和（b）得正激波的传播速度 ：
p2 p1 2 2 1 1 p2 1 p1
Vs
活塞的运动速度 V
1 1 1 2
p1
p2 p1 2 1
1
2
p1 p2 1 11 1 p1 2