边界层基本理论.

u , y x
则（6-4）式可写成
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第六章 边界层基本理论
2 2 2 u e u e 3 ue 3 2 t x y ty y xy x y y 0 , 0 x y 2 u e ( x, t ), 0 y , 2 y y
2）要求每一方程对变换群来说，形式不变，故有
2 3 1 2 2 3 3 2 3 2 4
解得
3 1 2 4 1 2 2
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第六章 边界层基本理论 3）消去变换参数，得绝对变换量 记： * y y , 2 1 x x f ( ) 1 1
u x 3 x 1 y 2 A ( ) ( ) ( ) x y ux
将变换群代入方程（6-7）得
u x u y A 3 1 A 4 2 0 x y 2 2 u x 2 u x due 2 3 1 u x 3 4 2 5 2 1 ux A uy A ue A 3 A x y dx y 2
第六章 边界层基本理论
y * x f * ( ) x
（6-3）
式中: ue ——势流区中的速度。 这样，方程组(6-2)即可简化为:
u x u y 0 x y u x u x ue 2u x ue u x t u x x u y y t ue x y 2
（6-4）
2 2 2 2 3 3 3 1 2 2 A ( ) A 3 2 y 3 y x y x y x 0, 0, 0 y 0, y y , 3 2 4u A A e y
（6-16）
1）引入线性变换群
x A1 x,
1
y A2 y ,
1
A ,
5
ue A4 ue
u x 3 x 1 y 2 A ( ) ( ) ( ) x y ux
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1
第六章 边界层基本理论 将变换群代入方程和边界条件得
（6-6）
上式为流函数形式的边界层方程。（6-4）和（6-6） 式对于曲壁面或轴对称二维边界层问题，方程仍然 适用。
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第六章 边界层基本理论
6．2．2 边界层方程的相似性解
对于不可压缩平面定常流动边界层，某些条件下， 可以求出相似性解。 6．2．2．1 以速度为变量的相似性解 定常流时，边界层方程为
~ L 1 1 Re L
(2)惯性力和粘性力同量级。
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第六章 边界层基本理论 简化后得到的普朗特边界层运动微分方程:
u y u x 0 x y u 2 u u ux p 1 x u x u x （6-2） x x y y 2 x y t p 0 y p 0 ，可得到边界层的一个重要性质: 由方程组中 y
（6-7）
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第六章 边界层基本理论
ux 在一般情况下，u f ( x, y) e
，如果在某种特殊情况
ux ux f ( ) 的某一特定函数，则 f ( ) 下，有 ue ue
就称之为相似性解。其中：η ——相似变量。
问题： Ι）什么情况下具有相似性解？ П）如何寻找相似变量η ，并将边界层方程转化为 常微分方程进行求解？
x x ue ue g ( ) x 1 2 x 1 2
（6-17）
4) 若有相似性解，要使边界条件与x 无关，则有
u Cons tant 1 2 x
使必有 m 1 2 ,
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1 从而， 2
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，故
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求相似性解的一般方法是采用群论方法。
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第六章 边界层基本理论 1）引入线性变换群
x A1 x, y A2 y ,
1 1
ux A3 ux ,
1
u y A4 u y ,
ue A5 ue （6-8）
A ——变换参数，α1 ～α5 ——常数
（6-9）
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第六章 边界层基本理论 2）要求每一方程对变换群来说，形式不变，故有
3 1 4 2 2 3 1 3 4 2 2 5 1 3 2 2
解得
5 3 4 2 2 1 2 3
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第六章 边界层基本理论 根据相似性解的条件有：
u e ( x) Cons tant 1 2 x 若记：1 2 m ，则应满足
（6-10）
ue Cx m
（6-11）式即为具有相似性解的条件。此时
1 2 u x f ( ) x u x g ( ) y
(b) （c）
uy x


uy x

g ( )
4) 若有相似性解，条件是：函数( f, g )，边界条件均 与x 无关，只与η 有关。
边界条件：
y 0 0, u x 0, u y 0 f g 0 u e ( x) y , u x u e ( x) f ( ) 12 x
第六章 边界层基本理论
本章主要内容：
1. 边界层的基本概念。 2. 边界层微分方程。
3. 边界层方程的相似性解 。
4. 温度边界层 。
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第六章 边界层基本理论
6.1 边界层的概念
普朗特(Prandtl)在l904年于西德举行的第三届国际 数学家学会上首次提出了边界层的概念。 1908年，他的学生布拉休斯(Blusius)成功地用边界 层方程求解了平板纵向绕流问题，得到了计算摩擦阻 力的公式。 （1）边界层的定义 靠近壁面附近受到粘 性影响的一个薄层称 为边界层(或附面层)， 如图6-1所示。
u x u y 0 x y 2 u u ux u x u x u e u y y x x e x y 2 u u 0 y 0, x y y , u u ( x) x e
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第六章 边界层基本理论 （3）边界层的两个重要假设 1) 边界层内的流动区域，必须考虑粘性影响，粘性力 与惯性力有同阶大小，并且是有旋流动。 2) 边界层以外的外部流动区域，粘性影响可以忽略， 可视作理想流体，且是有势流动。 ——边界层假设的基本出发点 （4）边界层厚度 沿固体边界法线方向从ux = 0 (y=0)至ux=0.99U的垂直距 离（厚度）。 x x （6-1） U Re x
沿边界层外法线方向压强不变，等于边界层外边界上
p dp 的压强，即p=p(x)。所以 x dx
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第六章 边界层基本理论 在边界层外边界上，由势流的伯努利方程:
1 2 ue C 2 ue 1 p ue ue t x x p
（6-13）
5）变换方程，将上面各量代入原方程得
1 m mf f ' g ' 0 2 m f 2 1 m ff ' gf ' m C2 f " 2
（6-14）
（6-14）式即成为常微分方程，定常流时，通过量纲 分析可得到无量纲相似变量η 为
求解普朗特边界层方程的边界条件为: y=δ处，ux=ue，在壁面上y=0处，ux=uy=0。
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第六章 边界层基本理论 由式中第二个方程得到：
2u x due 1 dp 1 u dx e dx y 2 y0
（6-5）
此条件在分析边界层分离现象时很有用，也是求 解有压力梯度边界层解析的一个重要条件。如果势流 速度ue的分布已知，根据上述方程组和边界条件就可 以求解恒定二维边界层流动。 若引入流函数ψ ，
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第六章 边界层基本理论
6．2 速度边界层
6．2．1 边界层微分方程式 不可压缩流体二维流动，采用数量级比较的方法 或者无量纲化的方法可将N―S方程简化，得到边界 层的运动微分方程式(或叫普朗特边界层方程式)。 简化条件： （1）根据边界层y向厚度δ与x轴和速度ux相比很小， 是个微量，即
u , y x
则（6-7）式可写成
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第六章 边界层基本理论
2 y xy y 0, y , u e 2 3 ue 2 x y x y 3 x 0, 0, 0 x y ue u y
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第六章 边界层基本理论 （2）边界层的性质 1）雷诺数↑↑时，惯性力〉〉粘性力，但在边界上的 流体质点必然粘附在固体边界上，流速为零，称为 无滑动条件。 2）在流动区流速较大，因此在靠近壁面附近的一个 薄层内，存在很大的速度梯度，即使粘性很小的流 体，其粘性力也很大，粘性的影响不能忽略;而在这 一薄层之处的主流区，速度梯度较小，即使粘性很 大的流体，其粘滞力也很小，粘性力的影响可以忽 略。
1 1
3）消去变换参数，得绝对变换量
x 1 y 2 y x ( ) ( ) ( ) x y y x 2 y y 1 x x
2 3
记
（a）
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第六章 边界层基本理论 同样对ux ，uy 也可得到类似变换
ux ux 12 f ( ) 1 2 x x
（6-11）
（6-12）
对f, g 有
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第六章 边界层基本理论
( ) d d ( ) dx d x 1 d( ) ( ) d d ( ) y dy d d x 2 ( ) 1 d2( ) 2 2 2 y x d
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第六章 边界层基本理论
2
y
t
（6-15）
当求出f、g 后，可由（6-12）式求出边界层内的速度分布
6．2．2．2 沿平板的定常流——Blusius 相似性解
沿平板的定常流，无压强梯度，来流速度为 u ，
以流函数ψ 为变量， 引入流函数ψ ，