吉林大学硕士究生入学考试数学分析高等代数试题

吉林大学2006年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷一、（共30分）判断题1、若函数()f x 在(),a b 上Riemann 可积，则()2f x ⎡⎤⎣⎦在(),a b 也Riemann 可积； 2、若级数1nn a∞=∑收敛，则级数1nn a∞=∑也收敛；3、任何单调数列必有极限；4、数列(){}1n-的上、下极限都存在；5、区间(),a b 上的连续函数必能达到最小值；6、sin x 在整个实轴上是一致连续的；7、若函数(),f x y 沿着任何过原点的直线连续，则(),f x y 在()0,0连续； 8、若函数()f x 在点0x 取极小值，则()00f x '=；9、若()00f x '=，()00f x ''<，则()f x 在点0x 取极大值； 10、向量场()222222,,x y y z z x ---是无源场。

二、（共20分）填空题1、设()()sin u x y x y z =+++，则grad ()u =；2、设(),,F x y y z z x →=+++，则div ()F →=； 3、设(),,F x yz y zx z xy →=---,则rot ()F →=；4、设s 表示单位球面2221x y z ++=，则第一型曲面积分()2sx ds =⎰⎰；5、数列()2211n n n ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭的下极限为()；三、（共20分）计算下列极限1、1200611lim nn n k k →∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑；2、01limx x→；3、111lim 200620071n n n n n →∞⎛⎫+++⎪++++⎝⎭；4、120lim 1nn x dx x x →∞++⎰。

四、（共20分）判断下列级数的敛散性1、1200620072005nn nn ∞=-∑； 2、1n n u ∞=∑，其中()2120,,1,2,1n n nu n u n u n ->≤=+五、（10分）设函数()f x 在[]0,1两次连续可微，满足()()010f f ==且()10f x dx =⎰。

证明：存在()0,1ξ∈使得()0f ξ''=。

六、（10分）计算第二型曲线积分2222343434C x ydx dy x y x y -++⎰其中C 为单位圆周221x y +=，方向为顺时针方向。

七、（10分）证明，对任意0x >，都有3sin 6x x x >-八、（10分）设,,,a b αβ均为常数，且对任意x 都有()sin x x ax b αβ+=+证明：0a b αβ====九、（10分）证明，不存在[)0,∞上的正的可微函数()f x ，满足()0f x '≤十、（10分）试构造区间[]0,1上的函数序列(){}n f x ，具有如下性质： （1）对每个n ，()n f x 是[]0,1上的正的连续函数；（2）对每个固定的[]0,1x ∈，()lim 0n n f x →∞=；（3）()1limnn f x dx →∞=+∞⎰高等代数与空间解析几何卷一、（共32分）填空1、平面上的四个点()(),1,2,3,4i i x y i =在同一个圆上的充要条件为_____。

（要求用含有,i i x y 的等式表示）；2、设方阵A 只与自己相似，则A 必为_____；3、设111222333a b c A a b c a b c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为可逆矩阵，则直线121212x y z a a b b c c ==---与直线232323x y za ab bc c ==---的位置关系为_____。

（要求填写相交、平行、重合、异面四者之一）；4、设()1234,,,A αααα=为四阶正方矩阵，其中1234,,,αααα均为四维列向量；1242βααα=+-，1233ααα=-，且234,,ααα线性无关。

求线性方程组AX β=的通解_____；二、（16分）求二次曲面22224246120x y z xz x y z --+--+-=的主方向； 三、（17分）设V 为n 维欧式空间，12,,,n u u u 与12,,,n v v v 为V 中向量，12,,,n u u u 线性无关，且对任意的(),,1,2,,i j i j n =均有i j i j u u v v =。

证明，必有V 上的正交变换σ，使得()()1,2,,i i u v i n σ==四、（17分）设V 为数域Ω上的n 维向量空间，,στ均为V 上的线性变换，且满足0στστ++=。

证明：σττσ=五、（17分）设A 为实对称矩阵，证明，必有实对称矩阵B ，使得A B +为正定矩阵。

六、（17分）设V 为数域Ω上的2n 维向量空间，σ为V 上的线性变换，且()Ker V σσ=。

证明，存在V 的一个适当基底及Jordan 形矩阵A ，使得σ在该基底下恰好对应矩阵A 。

七、（17分）设V 为实数域上的全体n 阶方阵在通常的运算下所构成的向量空间，σ为V 上的线性变换，且对任意的A ，()T A A σ=。

1、求σ的特征值；2、对于每一个特征值，求其特征子空间；3、证明V 恰为σ的所有特征子空间的直接和。

八、（17分）设()ijn nA a ⨯=为n 阶实方阵，若对任意的()1,2,,i i n =均有1,nii ij i j ia a =≠>∑，则称A 为对角占优矩阵。

证明，对角占优矩阵必为可逆矩阵。

吉林大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷一、（共30分）判断题1、Riemann 函数在任何有限区间上都是Riemann 可积的；2、若无穷积分()0f x dx ∞⎰收敛，则无穷积分()0f x dx ∞⎰也收敛；3、任何单调递增且有下界的数列必有极限；4、有界数列的上、下极限都存在；5、连续函数一定是有界函数； 67、若函数(),f x y 在()0,0处的两个偏导数，则(),f x y 在()0,0连续； 8、1sinx在()0,1内有无穷多个极大极小值点； 9、若()00f x '=，则()f x 在点0x 必取极大值或极小值； 10、向量场()222222,,y z z x x y ---是无源场。

二、（共20分）填空题1、设()222arctan u x y z=++，则grad ()u =；2、设()sin ,cos ,F x y x y z →=++，则div ()F →=；3、设()222,,F x yz y zx z xy →=---,则rot ()F →=；4、设s 表示单位球面2221x y z ++=，则第一型曲面积分()()3sx y z ds ++=⎰⎰；5、数列()11nn n +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的上、下极限的和为()；三、（共20分）计算下列极限1、222222lim 12n nn n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭；六、（10分）计算第二型曲面积分222222222222x y zdydz dzdx dxdy x y z x y z x y z ∑++++++++⎰ 其中∑为球面2221x y z ++=的内侧。

吉林大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷一、 二、3、211y xdx e dy ⎰⎰4、()22234L xy x y ds +-⎰，L 为椭圆22143x y +=，周长为a 。

三、1、设()f x 于(),-∞+∞上二次连续、可微，存在不低于整数x 的常数0r >，使得()f x r '≥。

记((0),)f η∈+∞，证明：存在,ξ使()f ξη=2、()f x 和()g x 皆为区间[],a b 上的连续函数，(,)K x y 在[,][,]a b a b ⨯上二次连续，1()(,)()()bn n af x K x y f y dyg x λ-=+⎰，其中λ为常数。

证明（1）、sup(,)1baK x y dy λ<⎰时，()n f x 于(,)a b 一致收敛。

（2）、()f x 满足()(,)()baf x K x y dyg x λ-=⎰3、()f x 在(),-∞+∞上具有连续的一阶导数。

0()(0)(0)()()xx f f t f x t dt ϕϕ''=+-⎰求证：0()()()xx f t f x t dt ϕ=-⎰4、11,0(),1,2,...10,1n nx x nf x n x n⎧-≤≤⎪⎪==⎨⎪≤≤⎪⎩ 证明：()n f x 在(0,1)上不一致收敛，且11lim()lim ()n n oo n n f x dx f x dx →∞→∞=⎰⎰5、()f x 在(),-∞+∞上具有连续的一阶导数，又0()()()xx f t f x t dt ϕ=-⎰，证明：()()(0)()()xx f x f f t f x t dt ϕ''=+-⎰高等代数与空间解析几何卷一、1、求点(1,1,0)P 到平面1x y z ++=的距离。

2、求曲面2224x y yz ++=在点(1,1,1)P 处的切平面。

3、写出内积、外积和混合积的定义。

4、设1122()222n n n n n f x x x x x a ----=+++++为在有理数域上大于1的多项式，给出a 的两个非零值，使得相应的两个多项式分别可约，不可约。

5、在复数域上，当g 取何值时，多项式3()3f x x x g =++有重因式。

6、011101110A =，求正交矩阵P 及对角矩阵D ，使得T P AP D = 7、8、V 是实数域上三元列向量空间，2021011a A a =，为n 阶正定矩阵。

定义T uv u Av =，,u v V ∀∈，则当a 满足什么条件时，V 为欧式空间。

9、当,a b 为何值时，5个平面230,04k k k k a x y z b k +++=≤≤经过一条直线。

10、 求V 上的线性变换,στ，使**1,1σττσ=≠二、1、 设(),()f x g x 为有理数域上的两个非零多项式，且有无穷多个整数n ，使得()()f ng n 都是整数，证明：()()f xg x 是整数多项式。

2、 P 在曲线2221ax by cz ++=的充要条件是22221a b c dαβγ=++，其中d 是向量OP 的长度，,,αβγ是向量OP 的方向余弦。

3、 V 是数域Ω上的向量空间，σ是V 上的线性变换，记：*a σ=，a ∈Ω当且仅当V 是σ的特征子空间。

4、 假设A 是正定矩阵，证明：存在唯一的正定矩阵B ，使得2A B =。