椭圆的简单性质

椭圆的简单性质（一）

【学习目标】

1.熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）；

2.掌握标准方程中的a,b,c,e的几何意义，a,b,c,e之间的相互关系. 【学习重点】

利用椭圆的标准方程和图形来研究椭圆的几何性质

【学习难点】

椭圆的集合性质的实际应用，关键是注意数形结合，方程的思想及等价转化思想.

【课前预习案】

【复习巩固】

【课堂探究案】

1.椭圆的对称性

在

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>之中，

把换成，方程不变，说明：椭圆关于轴对称

把换成，方程不变，说明：椭圆关于轴对称

把换成、换成，方程不变，说明：椭圆关于点对称

故：坐标轴是椭圆的，原点是椭圆的，

2.椭圆的范围

由22221(0)x y a b a b +=>>，知：22

2211x y a b

≤≤和，即：x a y b ≤≤和 说明：椭圆上所有的点都位于直线,x a y b =±=±所围成的矩形之中。 3.椭圆的顶点

在22

221(0)x y a b a b

+=>>之中， 令0,x y ==得 ，说明椭圆与y 轴的交点 令0,y ==得x ，说明椭圆与x 轴的交点 称为椭圆的顶点，四个顶点分别为： 。

说明：这四个特殊点，可以确定椭圆的具体位置。

,a b 分别叫做椭圆的 和 。它们反映了参数,a b 的几何意义。

4.椭圆的离心率

我们规定： 叫做椭圆的离心率，用e 表示，即

(0,1)c

e a

=∈。 显然01e <<，越接近1，椭圆就越 ，越接近0，椭圆就越 。

当b c 0a ==时，，这时两个焦点重合，图形变为 ，它的方程为 。

讨论：,a c 的大小如何反映着椭圆的扁圆程度？ 小组合作完成下列表格：

探究二：求椭圆400251622=+y x 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并画出它的简图．

探究三：求适合下列条件的椭圆的标准方程. ⑴长轴在x 轴上，长轴长为12，离心率为3

2； ⑵经过点（-6,0）和（0，8）.

方法总结：数形结合思想的应用 1.离心率为

2

3

,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是( ) A.1422=+y x B.1422

=+y x 或14

22

=+y x

C.142

2

=+y x D.14

22

=+y x 或11642

2=+y x

2.下列关于椭圆22

1169

x y +

=的说法正确的有（ ）

①椭圆的长轴长为8，短轴长为6，焦距为②椭圆的离心率为e =

③该椭圆比22

1167

x y +

=更接近圆. ( ) A 、①② B 、①③ C 、①②③ D 、②③

3.求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、并用描点法画出它的图形．

(1)25x 2+4y 2-100=0； (2)x 2 +4y 2-1=0； （3）16x 2+25y 2=400 4.若椭圆的长轴长不大于短轴长的２倍，求椭圆的离心率.

5.若椭圆

13622=+m y x 的焦点在x 轴上，离心率e =3

2，求m. 6.椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离之比为1:4，短轴长为8，求椭圆的标准方程.