高考数学一轮复习 题库大全专题强化训练(五) 文
高考数学(文)一轮专题重组卷：第二部分 基础巩固练(五) Word版含解析
基础巩固练(五)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·大同一中二模)已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x2－x－2＜0}，则A∪B ＝()A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2}C．{x|－1＜x≤1} D．{x|x＞－1}答案 D解析由题意得，B＝{x|－1＜x＜2}，∴A∪B＝{x|x＞－1}．故选D.2．(2019·杭州二中一模)在复平面内，复数z＝－2＋ii3(i为虚数单位)对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 C解析复数z＝－2＋ii3＝－1－2i，则z在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限．故选C.3．(2019·绍兴一中三模)一个几何体的三视图如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，则这个几何体的体积为()A．32 B.643 C.323D．8答案 B解析 几何体的直观图如图所示，棱锥的顶点，在底面上的射影是底面一边的中点，易知这个几何体的体积为13×4×4×4＝643.故选B.4．(2019·长春市二模)设直线y ＝2x 的倾斜角为α，则cos2α的值为( ) A ．－55 B ．－255 C ．－35 D ．－45答案 C解析 由题意可知tan α＝2，则cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35，故选C.5．(2019·洛阳一高三模)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝xB ．y 2＝2xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x答案 B解析 因为抛物线y 2＝2px (p >0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，所以可得p 2＝12，得p ＝1，所以抛物线的标准方程为y 2＝2x .故选B.6．(2019·濮阳二模)如图所示，等边△ABC 的边长为2，AM ∥BC ，且AM ＝6.若N 为线段CM 的中点，则AN →·BM→＝( )A ．18B ．22C ．23D ．24 答案 C解析 如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 作垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1，3)．因为△ABC 为等边三角形，且AM ∥BC ，所以∠MAB ＝120°，所以M (－3,33)，因为N 是CM 的中点，所以N (－1,23)，所以AN →＝(－1，23)，BM →＝(－5,33)，所以AN →·BM→＝23.故选C. 7．(2019·全国卷Ⅲ) 执行如图所示的程序框图，如果输入的为0.01，则输出ε的值等于( )εA．2－124B．2－125C．2－126D．2－127答案 C解析ε＝0.01，x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝12，x<ε不成立；s＝1＋12，x＝14，x<ε不成立；s＝1＋12＋14，x＝18，x<ε不成立；s＝1＋12＋14＋18，x＝116，x<ε不成立；s＝1＋12＋14＋18＋116，x＝132，x<ε不成立；s＝1＋12＋14＋18＋116＋132，x＝164，x<ε不成立；s＝1＋12＋14＋18＋116＋132＋164，x＝1128，x<ε成立，此时输出s＝2－126.故选C.8．(2019·南充高中一模)已知函数f (x)＝m3x－1－52的图象关于(0,2)对称，则 f(x)>11的解集为()A．(－1,0) B．(－1,0)∪(0,1)C．(－1,0)∪(0，＋∞) D．(－1,0)∪(1，＋∞) 答案 A解析依题意，得f (－1)＋f (1)＝m13－1－52＋m3－1－52＝4，解得m＝－9.所以f(x)>11即－93x－1－52>11，解得－1<x<0.故选A.9．(2019·湖南师大附中三模)设函数f (x)的导函数为f′(x)，若f (x)为偶函数，且在(0,1)上存在极大值，则f′(x)的图象可能为()答案 C解析若f (x)为偶函数，则f′(x)为奇函数，故排除B，D.又f (x)在(0,1)上存在极大值，则f′(x)在(0,1)上应先大于0，再小于0，故选C.10．(2019·温州中学一模)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝4，O为底面ABCD两条对角线的交点，A1O与平面CDD1C1所成的角为30°，则该长方体的表面积为()A．1211＋16 B．811C．1211 D．122＋16答案 A解析因为平面CDD1C1∥平面ABB1A1，所以A1O与平面CDD1C1所成的角等于A1O与平面ABB1A1所成的角，均为30°.如图，过底面ABCD的对角线交点O作OE⊥AB交AB于点E，则OE＝12BC，又因为OE⊂平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，所以OE⊥平面ABB1A1.连接A1E，则∠OA1E＝30°.在Rt△A1EO中，OE＝2，∠OA1E＝30°，所以A1E＝2 3.在Rt△A1AE中，AE＝1，所以A1A＝11，故长方体的表面积为1211＋16.故选A.11．(2019·扬州中学二模)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f (x)＝1－2ln (－x)x，则曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为()A．3x＋y－4＝0 B．3x＋y＋4＝0C．3x－y－2＝0 D．3x－y－4＝0答案 A解析∵函数f (x)是定义在R上的奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，当x＜0时，f (x)＝1－2ln (－x)x，不妨设x＞0，则－x＜0，故f (x)＝－f (－x)＝－1－2ln x－x，∴当x＞0时，f (x)＝1－2ln xx，f′(x)＝－2x·x－(1－2ln x)x2＝2ln x－3x2，故f (1)＝1，f′(1)＝－3，故切线方程是y－1＝－3(x－1)，整理得3x＋y－4＝0，即曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为3x＋y－4＝0.故选A.12．(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为()A. 2B. 3 C．2 D. 5答案 A解析令双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)，则c＝a2＋b2.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c 2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，∴c a ＝2，即离心率e ＝ 2.故选A.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·烟台二中一模)部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案内随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是________．答案916解析 由图可知黑色部分由9个小三角形组成，该图案一共由16个小三角形组成，这些小三角形都是全等的，设“向该图案内随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件A ，由几何概型的概率计算公式可得P (A )＝9S 小三角形16S 小三角形＝916.14．(2019·贵州联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，3x ＋2y ≤7，4x －y ≤2，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．答案 4解析作出⎩⎨⎧x ≥0，3x ＋2y ≤7，4x －y ≤2表示的平面区域如图中阴影部分所示，由⎩⎨⎧3x ＋2y ＝7，4x －y ＝2解得A (1,2)， 当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，截距取得最大值，即z 取得最大．此时x ＝1，y ＝2，z ＝2x ＋y 有最大值2×1＋2＝4.15．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．答案 －4解析 ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1，令t ＝cos x ，则t ∈[－1,1]，∴f (x )＝－2t 2－3t ＋1.又函数f (x )图象的对称轴t ＝－34∈[－1,1]，且开口向下，∴当t ＝1时，f (x )有最小值－4.16．(2019·云南省曲靖市质量监测)已知f (x )＝1－|lg x |，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数为________．答案 3解析 根据题意，函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1， 令y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1＝0，解得f (x )＝1或12， 若f (x )＝1，即1－|lg x |＝1，即lg x ＝0，解得x ＝1，若f (x )＝12，即1－|lg x |＝12，即lg x ＝±12，解得x ＝10或1010， 则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1有3个零点．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·济南二模)如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E在线段AC上，且AE＝2EC，BE＝433.(1)求AC的长；(2)若∠ADC＝60°，AD＝3，求∠ACD的大小．解(1)设AC＝3z，在△ABE中，由余弦定理可得cos∠BEA＝163＋(2z)2－42×433×2z.在△CBE中，由余弦定理可得cos∠BEC＝163＋z2－92×433×z.由于∠BEA＋∠BEC＝180°，所以cos∠BEA＝－cos∠BEC.所以163＋(2z)2－42×433×2z＝－163＋z2－92×433×z.整理并解得z＝1(负值舍去)．所以AC＝3.(2)在△ADC中，由正弦定理可得ACsin∠ADC＝ADsin∠ACD，所以332＝3sin∠ACD，所以sin∠ACD＝12.因为AD＜AC，所以∠ACD＜60°，所以∠ACD＝30°.18．(本小题满分12分)(2019·株洲一模)经过多年的努力，炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为炎陵部分农民脱贫致富的好产品．为了更好地销售，现从某村的黄桃树上随机摘下了100个黄桃进行测重，其质量分布在区间[200,500]内(单位：克)，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：(1)按分层抽样的方法从质量落在[350,400)，[400,450)的黄桃中随机抽取5个，再从这5个黄桃中随机抽取2个，求这2个黄桃质量至少有一个不小于400克的概率；(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的黄桃树上大约还有100000个黄桃待出售，某电商提出两种收购方案：A．所有黄桃均以20元/千克收购；B．低于350克的黄桃以5元/个收购，高于或等于350克的以9元/个收购．请你通过计算为该村选择收益最好的方案．(参考数据：225×0.05＋275×0.16＋325×0.24＋375×0.3＋425×0.2＋475×0.05＝354.5)解(1)由题得，黄桃质量在[350,400)和[400,450)的比例为3∶2，∴应分别在质量为[350,400)和[400,450)的黄桃中各抽取3个和2个．记抽取质量在[350,400)的黄桃为A1，A2，A3，质量在[400,450)的黄桃为B1，B2，则从这5个黄桃中随机抽取2个的情况共有以下10种：A1A2，A1A3，A2A3，A1B1，A2B1，A3B1，A1B2，A2B2，A3B2，B1B2，其中质量至少有一个不小于400克的有7种情况，故所求概率为7 10.(2)方案B好，理由如下：由频率分布直方图可知，黄桃质量在[200,250)的频率为50×0.001＝0.05.同理，黄桃质量在[250,300)，[300,350)，[350,400)，[400,450)，[450,500]的频率依次为0.16,0.24,0.3,0.2,0.05.若按方案B收购：∵黄桃质量低于350克的个数为(0.05＋0.16＋0.24)×100000＝45000个，黄桃质量不低于350克的个数为55000个，∴收益为45000×5＋55000×9＝720000元．若按方案A收购：根据题意，各段黄桃个数依次为5000,16000,24000,30000,20000,5000，于是总收益为(225×5000＋275×16000＋325×24000＋375×30000＋425×20000＋475×5000)×20÷1000＝709000(元)．∴方案B的收益比方案A的收益高，应该选择方案B.19．(本小题满分12分)(2019·韶关一模)如图，在几何体ABCDEF中，DE＝2，DE∥BF，DE⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AB＝5，AC＝8.(1)求证：AC⊥EF；(2)求点B到平面ADE的距离．解(1)证明：∵DE⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，∴DE⊥AC.在菱形ABCD中，BD⊥AC，又∵DE∩BD＝D，∴AC⊥平面BDEF.又∵EF⊂平面BDEF，∴AC⊥EF.(2)设点B到平面ADE的距离为d，连接BE.在菱形ABCD中，设AC∩BD＝O.AC⊥BD，AB＝5，AC＝8.∴BD＝2OB＝2AB 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22 ＝252－⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝6. ∵DE ⊥底面ABCD ，∴V E －ABD ＝13S △ABD ×DE ＝13×12×BD ×AO ×DE ＝13×12×6×4×2＝8.∵DE ⊥底面ABCD ，AD ⊂底面ABCD ，∴DE ⊥AD .∴V B －ADE ＝13×S △ADE ×d ＝13×12×AD ×DE ×d ＝16×5×2d ＝53d .∵V E －ABD ＝V B －ADE ，即d ＝245.所以，点B 到平面ADE 的距离为245.20．(本小题满分12分)(2019·四川绵阳二诊)已知椭圆C ：x 28＋y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A ，B 两点．O 为坐标原点．(1)若直线l 过点F 1，且|AB |＝823，求k 的值；(2)若以AB 为直径的圆过原点O ，试探究点O 到直线AB 的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)由椭圆C ：x 28＋y 24＝1，得a 2＝8，b 2＝4，则c ＝a 2－b 2＝2.因为直线l 过点F 1(－2,0)，所以m ＝2k ，即直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x ＋2)，x 28＋y 24＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－8＝0.∴x 1＋x 2＝－8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－81＋2k 2. 由弦长公式|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝823，代入整理得1＋k 21＋2k 2＝23，解得k 2＝1.∴k ＝±1.(2)设直线l 方程y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 28＋y 24＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0.∴x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－82k 2＋1. 以AB 为直径的圆过原点O ，即OA →·OB→＝0. ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0. 将y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m 代入，整理得(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0.将x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－82k 2＋1代入， 整理得3m 2＝8k 2＋8.设点O 到直线AB 的距离为d ，于是d 2＝m 2k 2＋1＝83， 故点O 到直线AB 的距离是定值，该定值为d ＝263.21．(本小题满分12分)(2019·江西联考)已知函数f (x )＝3x －1x ＋b ln x .(1)当b ＝－4时，求函数f (x )的极小值；(2)若∃x ∈[1，e]，使得4x －1x －f (x )＜－1＋b x 成立，求b 的取值范围．解 (1)当b ＝－4时，f ′(x )＝－4x ＋1x 2＋3＝(3x －1)(x －1)x 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝1.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 所以f (x )在x ＝1处取得极小值为f (1)＝2.(2)由∃x ∈[1，e ]，使得4x －1x －f (x )＜－1＋b x ⇒4x －1x －f (x )＋1＋b x ＜0⇒4x －1x－3x ＋1x －b ln x ＋1＋b x ＜0，即x －b ln x ＋1＋b x ＜0.设h (x )＝x －b ln x ＋1＋b x ，则只需要函数h (x )＝x －b ln x ＋1＋b x 在[1，e ]上的最小值小于零．又h ′(x )＝1－b x －1＋b x 2＝x 2－bx －(1＋b )x 2＝(x ＋1)[x －(1＋b )]x 2， 令h ′(x )＝0，得x ＝－1(舍去)或x ＝1＋b .①当1＋b ≥e ，即b ≥e －1时，h (x )在[1，e ]上单调递减，故h (x )在[1，e ]上的最小值为h (e)，由h (e)＝e ＋1＋b e －b ＜0，可得b ＞e 2＋1e －1. 因为e 2＋1e －1＞e －1，所以b ＞e 2＋1e －1. ②当1＋b ≤1，即b ≤0时，h (x )在[1，e ]上单调递增，故h (x )在[1，e ]上的最小值为h (1)，由h (1)＝1＋1＋b ＜0，可得b ＜－2(满足b ≤0)．③当1＜1＋b ＜e ，即0＜b ＜e －1时，h (x )在(1,1＋b )上单调递减，在(1＋b ，e)上单调递增，故h (x )在[1，e ]上的最小值为h (1＋b )＝2＋b －b ln (1＋b )．因为0＜ln (1＋b )＜1，所以0＜b ln (1＋b )＜b ，所以2＋b －b ln (1＋b )＞2，即h (1＋b )＞2，不满足题意，舍去．综上可得，b ＜－2或b ＞e 2＋1e －1， 所以实数b 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞. (二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·宝鸡二模)点P 是曲线C 1：(x －2)2＋y 2＝4上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转90°得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线C 2.(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)射线θ＝π2(ρ＞0)与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，设定点M (2,0)，求△MAB 的面积．解 (1)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.设Q (ρ，θ)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，θ－π2，则有ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝4sin θ. 所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)把θ＝π2代入C 1得ρ1＝0，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 把θ＝π2代入C 2得ρ2＝4，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2. ∴△MAB 是直角三角形，直角边长为4,2，S △MAB ＝12×4×2＝4.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·宝鸡二模)设函数f (x )＝x 2－x －1.(1)解不等式：|f (x )|＜1；(2)若|x －a |＜1，求证：|f (x )－f (a )|＜2(|a |＋1)．解 (1)由|f (x )|＜1得－1＜f (x )＜1，即－1＜x 2－x －1＜1，所以原不等式的解集为(－1,0)∪(1,2)．(2)证明：因为|x －a |＜1，所以|f (x )－f (a )|＝|x 2－a 2＋a －x |＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a ||x ＋a －1|<|x ＋a －1|＝|(x －a )＋2a －1|≤|x －a |＋|2a |＋1＜|2a |＋2＝2(|a |＋1)．。
高考数学一轮复习 第五章 数列 5.5 数列综合练习(含解析)(1)(2021年最新整理)
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数列综合时间:50分钟总分:70分班级：姓名:一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．在等比数列{a n}中,各项都是正数，且a1，错误!a3，2a2成等差数列，则错误!＝（）A．1＋ 2 B．1－错误!C．3＋2错误!D．3－2错误!【答案】C【解析】设等比数列{a n｝的公比为q（q＞0),则由题意得a3＝a1＋2a2，所以a1q2＝a1＋2a1q，所以q2－2q－1＝0，解得q＝1±错误!.又q＞0，因此有q＝1＋错误!，故错误!＝错误!＝q2＝(1＋错误!）2＝3＋2错误!。
2．数列｛a n}是公差不为0的等差数列，且a1，a3,a7为等比数列｛b n}中连续的三项，则数列｛b n}的公比为（）A.错误!B．4C．2 D.错误!【答案】C【解析】设数列{a n｝的公差为d(d≠0），由a错误!＝a1a7得（a1＋2d)2＝a1（a1＋6d),解得a1＝2d，故数列｛b n｝的公比q＝错误!＝错误!＝错误!＝2。
3．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题,《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织,日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月(按30天计）,共织390尺布”,则每天比前一天多织布的尺数是（）A。
全国通用近年高考数学一轮复习规范答题强化练(五)高考大题——解析几何文(2021年整理)
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规范答题强化练（五）解析几何（45分钟48分）1。
(12分）如图,已知椭圆E：+=1(a>b〉0）的离心率为,A，B为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为2，P，Q为椭圆E上异于A,B的两点,且直线BQ的斜率等于直线AP斜率的2倍.（1）求证：直线BP与直线BQ的斜率乘积为定值.（2)求三角形APQ的面积的最大值。
【解析】（1）由题意知椭圆方程为+=1。
k AP·k BP=-,故k BP·k BQ=—1。
(4分）（2）当直线PQ的斜率存在时,设l PQ：y=kx+m，与x轴的交点为M,代入椭圆方程得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-4=0。
(6分)设P（x1，y1）,Q（x2，y2）,则x1+x2=，x1x2=,(7分）由k BP·k BQ=-1得·=0,则y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,得（k2+1)x1x2+（km—2）(x1+x2）+4+m2=0,4k2+8km+3m2=0，得m=-2k或m=-k。
y=kx-2k或y=kx-k,所以过定点M(2,0)或,点为右端点，舍去,（8分)S△APQ=S△APM+S△AQM=××===,（10分)令=t(0〈t<1），S△APQ=，7t+t2>0,S△APQ〈，当直线l PQ的斜率k不存在时，P（x1，y1）,Q（x1，-y1),k AP=k BQ，即=，解得x1=,y1=,S△APQ=××=,所以S△APQ的最大值为。
2020年(江苏)高考数学(理)大一轮复习检测：专题五 函数与方程
专题五函数与方程一、填空题考向一零点个数问题1.(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈[0,+∞),满足f(x+2)=f(x).若当x∈[0,2)时,f(x)=|x2-x-1|,则函数y=f(x)-1在[-2,4]上的零点个数为.2.(2017·全国卷Ⅲ改编)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则实数a=.3.(2018·南通模拟)已知定义在R上的函数f(x)=则方程f(x)+1=log6(|x|+1)的实数解的个数为.考向二根据零点情况确定参数范围问题4.(2017·扬州上学期期中)已知函数f(x)=-kx无零点,则实数k的取值范围是.5.(2018·南通模拟)若函数f(x)=在其定义域上恰有两个零点,则正实数a的值为.6.(2017·苏北四市一模)已知函数f(x)=若函数f(x)的图象与直线y=x有3个不同的公共点,则实数a的取值集合为.7.(2016·镇江期末)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=kx-k至少有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围为.8.(2018·南通模拟)已知函数f(x)=若函数y=f(f(x))-k有3个不同的零点,则实数k的取值范围是.9.(2017·浙江二模改编)已知函数f(x)=若函数y=f(f(x)-a)有6个零点,则实数a的取值范围是.考向三有关零点的综合问题10.(2018·启东中学月考)若方程2sin2x+sin x-m=0在[0,2π)上有且只有两解,则实数m的取值范围为.11.(2017·如皋一模)已知函数f(x)=(x-1)e x-ax2,若y=f(cos x)在x∈[0,π]上有且仅有两个不同的零点,则实数a的取值范围为.12.(2016·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知函数f(x)=x2+ax(a∈R),g(x)=(f'(x)为f(x)的导函数).若方程g(f(x))=0有四个不相等的实数根,则a的取值范围是.13.(2016·苏州期末)已知函数f(x)=|sin x|-kx(x≥0,k∈R)有且只有三个零点,若这三个零点中的最大值为x0,则=.14.(2017·江苏押题卷)对于实数a,b,定义运算“□”:a□b=设f(x)=(x-4)□,若关于x的方程|f(x)-m|=1(m∈R)恰有4个互不相等的实数根,则实数m的取值范围是.二、解答题15.(2016·苏州中学)已知函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件f(1-x)=f(1+x),且函数g(x)=f(x)-x只有一个零点.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求实数m,n(m<n),使得f(x)的定义域为[m,n]时,f(x)的取值范围是[3m,3n].16.(2016·北京卷改编)设函数f(x)=x3+ax2+bx+c.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围.17.(2018·启东中学月考改编)已知函数f(x)=a(2-x)e x,g(x)=(x-1)2.(1)若曲线y=g(x)的一条切线经过点M(0,-3),求这条切线的方程.(2)若关于x的方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数根x1,x2,求实数a的取值范围.18.(2018·苏州调研改编)已知函数f(x)=(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;(2)若方程f(-x)+f(x)=e x-3在区间(0,+∞)上有实数解,求实数a的取值范围.19.(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)已知函数f(x)=(x+k+1)·,g(x)=,其中k是实数.(1)若k=0,求不等式·f(x)≥·g(x)的解集;(2)若k≥0,求关于x的方程f(x)=x·g(x)的实数根的个数.20.(2017·海门中学第二学期调研)若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知函数f(x)=ax3+3x ln x-a(a∈R).(1)当a=0时,求f(x)的极值;(2)若f(x)在x∈上有且只有一个极值点,求实数a的取值范围.专题五函数与方程1. 7【解析】作出函数f(x)在[-2,4]上的图象如图所示,则函数y=f(x)-1在[-2,4]上的零点个数即为f(x)的图象与直线y=1在[-2,4]上的交点的个数.由图象知,交点个数为7,即函数y=f(x)-1在[-2,4]上有7个零点.(第1题)2.【解析】因为f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1),所以f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a[e2-x-1+e-(2-x)+1]=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+e x-1)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1),所以f(2-x)=f(x),即直线x=1为f(x)的图象的对称轴.由题意知f(x)有唯一零点,所以f(x)的零点只能为x=1,所以f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=.3. 7【解析】根据题意,作出函数y=f(x)+1与y=log6(|x|+1)的部分图象如图所示,由图象知,函数y=f(x)+1与y=log6(|x|+1)的图象有7个不同的交点,所以原方程有7个不同的解.(第3题)(第4题)4.[-2,0)【解析】因为函数f(x)=-kx无零点,所以y=与y=kx没有交点,在同一平面直角坐标系中画出函数y=与y=kx的图象如图所示,由图象可知k∈[-2,0).5.【解析】易知函数f(x)在(-∞,0]上有一个零点,所以由题意得方程ax-ln x=0在(0,+∞)上恰有一解,即a=在(0,+∞)上恰有一解.令g(x)=,由g'(x)==0得x=e,当x∈(0,e)时,g(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,g(x)单调递减,所以a=g(e)=.6.{-20,-16}【解析】直线y=x与正弦曲线y=sin x恰有一个公共点,即原点O.依题意,只要y=x 与y=f(x)(x≥1)的图象有两个不同的公共点.令g(x)=f(x)-x=x3-9x2+24x+a,由g'(x)=3x2-18x+24=0,得x=2或4,所以易知g(x)在区间[1,2]上单调递增,在区间[2,4]上单调递减,在区间[4,+∞)上单调递增,依题意,当g(2)=0时,a=-20,此时两个公共点是(2,0)和(5,0);当g(4)=0时,a=-16,此时两个公共点是(1,0)和(4,0).其余情况均不符合题意.所以实数a的取值集合是{-20,-16}.7.∪(1,+∞)【解析】作出函数f(x)和直线y=kx-k的图象如图所示,且直线y=kx-k过定点(1,0),当直线y=kx-k过点时,直线的斜率最小,即k=-.当直线y=kx-k与函数f(x)=x2-x(x>0)的图象相切时有且仅有一个交点,交点即为切点(1,0),k=y'=1,故函数f(x)与直线y=kx-k至少有两个不同的交点时,k的取值范围为∪(1,+∞),即关于x的方程f(x)=kx-k至少有两个不相等的实数根,则实数k 的取值范围为∪(1,+∞).(第7题)8.(1,2]【解析】由题设知f(f(x))=作出函数f(f(x))的图象可知,当1<k≤2时,函数y=f(f(x))-k 有3个不同的零点.9.[-4,-1]【解析】由题可知,函数f(x)的图象如图所示,令f(x)-a=t,若要使y=f(f(x)-a)有6个零点,则由f(t)=0,解得t=0,1,5,所以有f(x)=a或f(x)=a+1或f(x)=a+5(a<a+1<a+5).对于上述方程,要满足条件,则其零点个数的可能性为2,2,2或1,2,3或3,3,0三种可能.若零点个数分别为2,2,2,则有-5<a<a+1<a+5<0或-5<a<a+1<0,1≤a+5<4,解得-4≤a<-1;若零点个数分别为1,2,3,由图知,若a+5=4,则a=-1,所以a+1=0,满足条件,所以a=-1;若a<-5,-5<a+1<0,0≤a+5<1,无解;若零点个数分别为3,3,0,则有0≤a<a+1<1,a+5>4,无解.综上可知,满足条件的实数a的取值范围是[-4,-1].(第9题)10.(1,3)∪【解析】根据题意,令m=2t2+t=2-,t=sin x∈[-1,1],作出函数m=2-的图象如图所示.所以当m=-或m∈(1,3]时,直线y=m与曲线y=2t2+t只有一个交点.当m=3时,t=1,方程2sin2x+sin x-m=0只有一解,所以要使方程2sin2x+sin-m=0在[0,2π)上有且只有两解,实数m的取值范围(1,3)∪.(第10题)11.【解析】已知函数f(x)=(x-1)e x-ax2,可得f'(x)=x(e x-2a),令x(e x-2a)=0,可得x=0或e x=2a,当a≤0时,函数f'(x)只有一个零点,并且x=0是函数f(x)的一个极小值点,并且f(0)=-1<0.若y=f(cos x)在x∈[0,π]上有且仅有两个不同的零点,也就是y=f(x)在x∈[-1,1]上有且仅有两个不同的零点,所以即可得a≤-.当a>0时,函数f(x)的两个极值点为x=0,x=ln2a,如果ln2a<0,因为f(0)<0,可知不满足题意;如果ln2a>0,则即解得a≤-,与a>0矛盾.综上,a≤-.12.(-∞,0)∪(2,+∞)【解析】由题意知g(x)=①若a=0,则g(x)=方程g(t)=0只有唯一的根t=0,令f(x)=0,得x=0,此时不满足有四个根的条件;②若a<0,方程g(t)=0存在两个根t1=0和t2=-a.分别令f(x)=0和f(x)=-a,解得x1=0,x2=-a和x3=,x4=,且x1≠x2≠x3≠x4,满足题意;③若a>0,方程g(t)=0存在两个根t1=0和t2=-.对于方程f(x)=t1=0,可解得存在两个根x1=0和x2=-a.欲使g(f(x))=0有四个根,则需方程f(x)=-有两个根,所以Δ=a2-4×=a2-2a>0,解得a>2,且此时x3≠x4≠x1≠x2,满足题意.综上可知,a的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞).13.【解析】令f(x)=0,得|sin x|=kx.当x≥0时,如图,作出函数y1=|sin x|和y2=kx的图象.若函数f(x)有且只有三个零点,则当x∈(π,2π)时,y2=kx与y1=-sin x相切,且x0为切点的横坐标,即(-sin x)'=,所以tan x0=x0,所以===.(第13题)(第14题)14.(-1,1)∪(2,4)【解析】由题意得f(x)=(x-4)□=画出函数f(x)的大致图象如图所示.因为关于x的方程|f(x)-m|=1(m∈R),即f(x)=m±1(m∈R)恰有4个互不相等的实数根,所以两直线y=m±1(m∈R)与曲线y=f(x)共有4个不同的交点,则或或得2<m<4或-1<m<1.15.(1)因为二次函数f(x)=ax2+bx满足条件f(1-x)=f(1+x),所以函数f(x)的图象的对称轴方程是x=1,所以-=1,即b=-2a.因为函数g(x)=f(x)-x只有一个零点,即ax2-(2a+1)x=0有两个相等的实数根,所以Δ=(2a+1)2=0,即a=-,b=1,所以f(x)=-+x.(2)①当m<n<1时,f(x)在[m,n]上单调递增,f(m)=3m,f(n)=3n,所以m,n是-+x=3x的两根,解得m=-4,n=0.②当m≤1≤n时,3n=,解得n=,不符合题意.③当1<m<n时,f(x)在[m,n]上单调递减,所以f(m)=3n,f(n)=3m,即-m2+m=3n,-n2+n=3m,两式相减得-(m2-n2)+(m-n)=3(n-m).因为m≠n,所以-(m+n)+1=-3,所以m+n=8.将n=8-m代入-m2+m=3n,得-m2+m=3(8-m),此方程无解.所以m=-4,n=0时,f(x)的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n].16.(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f'(x)=3x2+2ax+b.因为f(0)=c,f'(0)=b,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=bx+c.(2)当a=b=4时,f(x)=x3+4x2+4x+c,所以f'(x)=3x2+8x+4.令f'(x)=0,得3x2+8x+4=0,解得x=-2或x=-.当x变化时,f(x)与所以当c>0且c-<0时,存在x1∈(-4,-2),x2∈,x3∈,使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0.由f(x)的单调性知,当且仅当c∈时,函数f(x)=x3+4x2+4x+c有三个不同零点.17.(1)方法一:设经过点M(0,-3)的切线与曲线y=g(x)相切于点Q(t,(t-1)2),由g(x)=(x-1)2得g'(x)=2(x-1),所以该切线方程为y-(t-1)2=2(t-1)(x-t).因为该切线经过M(0,-3),所以-3-(t-1)2=2(t-1)(-t),解得t=±2,所以切线方程为2x-y-3=0或6x+y+3=0.方法二:由题意得曲线y=g(x)的切线的斜率一定存在,设所求的切线方程为y=kx-3,由得x2-(2+k)x+4=0,因为切线与抛物线相切,所以Δ=(2+k)2-16=0,解得k=2或k=-6,所以所求的切线方程为2x-y-3=0或6x+y+3=0. (2)由f(x)=g(x)得g(x)-f(x)=0.设h(x)=g(x)-f(x)=a(x-2)e x+(x-1)2,则h'(x)=a(x-1)e x+2(x-1)=(x-1)(a e x+2),由题意得函数h(x)恰好有两个零点.①当a=0,则h(x)=(x-1)2,h(x)只有一个零点1.②当a>0时,由h'(x)<0得x<1,由h'(x)>0得x>1,即h(x)在(-∞,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,而h(1)=-a e<0,h(2)=1,所以h(x)在(1,+∞)上有唯一零点,且该零点在(1,2)上.取b<0,且b<ln,则h(b)>(b-2)+(b-1)2=b>0,所以h(x)在(-∞,1)上有唯一零点,且该零点在(b,1)上,所以a>0时,h(x)恰好有两个零点.③当a<0时,由h'(x)=0得x=1或x=ln,若a=-,h'(x)=-(x-1)(e x-e)≤0,所以h(x)在R上至多有一个零点,且在(1,+∞)上.若a<-,则ln<1,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,即h(x)在(1,+∞)上单调递减.又h(1)=-a e>0,所以h(x)在(1,+∞)上至多有一个零点.当x∈(-∞,1)时,h(x)在上单调递增,在上单调递减,又h=-2+=+1>0,所以h(x)在上无零点.若a>-,则ln>1,又当x≤1时,h(x)≥h(1)=-a e>0,所以h(x)在(-∞,1)上无零点.当x∈时,h'(x)>0;当x∈时,h'(x)<0.所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.又h=-2+=+1>0.所以h(x)在上无零点,在上至多有一个零点.综上,a的取值范围为(0,+∞).18.(1)当a=2时,f(x)=当x<0时,f(x)=-x3+x2,则f'(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),令f'(x)=0,解得x=0或x=(舍去),所以x<0时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减.当x≥0时,f(x)=e x-2x,f'(x)=e x-2,令f'(x)=0,解得x=ln2,当0<x<ln2时,f'(x)<0;当x>ln2时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增,且f(0)=1>0.综上,函数f(x)的减区间为(-∞,0)和(0,ln2),增区间为(ln2,+∞).(2)设x>0,则-x<0,所以f(-x)+f(x)=x3+x2+e x-ax,由题意知x3+x2+e x-ax=e x-3在(0,+∞)上有解,等价于a=x2+x+在(0,+∞)上有解.记g(x)=x2+x+(x>0),则g'(x)=2x+1-==.令g'(x)=0,因为x>0,所以2x2+3x+3>0,故解得x=1.当x∈(0,1)时,g'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,所以函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故函数g(x)在x=1处取得极小值也是最小值g(1)=5.要使方程a=g(x)在(0,+∞)上有解,当且仅当a≥g(x)min=g(1)=5.综上,满足题意的实数a的取值范围为[5,+∞).19.(1)当k=0时,f(x)=(x+1),g(x)=.由得x≥0.此时,原不等式为(x+1)x≥(x+3),即2x2+x-3≥0,解得x≤-或x≥1,所以原不等式的解集为[1,+∞).(2)由方程f(x)=x·g(x),得(x+k+1)=x.①由得x≥k,所以x≥0,x-k+1>0.方程①两边平方,整理得(2k-1)x2-(k2-1)x-k(k+1)2=0(x≥k).②当k=时,由②得x=,所以原方程有唯一解.当k≠时,由②得判别式Δ=(k+1)2(3k-1)2,(i)当k=时,Δ=0,方程②有两个相等的实数根x=>,所以原方程有唯一的解.(ii)当0≤k<且k≠时,方程②整理为[(2k-1)x+k(k+1)]·(x-k-1)=0,解得x1=,x2=k+1.由于Δ>0,所以x1≠x2,其中x2=k+1>k,x1-k=≥0,即x1≥k.故原方程有两个解.(iii)当k>时,由(ii)知x1-k=<0,即x1<k,故x1不是原方程的解.又x2=k+1>k,故原方程有唯一解.综上所述,当k≥或k=时,原方程有唯一解;当0≤k<且k≠时,原方程有两个解.注:(ii)中,另解:故方程②的两个实数根均大于k,所以原方程有两个解.20.(1)当a=0时,f(x)=3x ln x,所以f'(x)=3(ln x+1).令f'(x)=0,得x=,当x∈时,f'(x)<0;当x∈时,f'(x)>0,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.所以当x=时,f(x)有极小值f=-.(2)方法一:设g(x)=f'(x)=3(ax2+1+ln x),D=.由题意,g(x)在D上有且只有一个零点x0,且x0两侧g(x)异号.①当a≥0时,g(x)在D上单调递增,且g(x)>g≥0,所以g(x)在D上无零点.②当a<0时,在(0,+∞)上考察g(x).g'(x)=,令g'(x)=0,得x1=.所以g(x)在(0,x1)上单调递增,在(x1,+∞)上单调递减.(i)当g(e)·g<0,即(a e2+2)·<0,即-<a<0时,g(x)在D上有且只有一个零点x0,且在x0两侧异号.(ii)令g=0,得=0,不成立.(iii)令g(e)=0,得a=-,所以=∈D,g=g=3=3>0,又因为g=<0,所以g(x)在D上有且只有一个零点x0,且x0两侧g(x)异号.综上所述,实数a的取值范围是.方法二:令f'(x)=3(ax2+1+ln x)=0,得-a=.设h(x)=,由h'(x)=-,令h'(x)=0,得x0=∈,当x∈(x0,e)时,h'(x)<0,所以h(x)在(x0,e)上为减函数;当x∈时,h'(x)>0,所以h(x)在上为增函数,所以x0为h(x)的极大值点.又h=0,h(e)=,h(x0)=e,所以0<-a≤或-a=e,即-≤a<0或a=-e.当a=-e时,f'(x)=3.设m(x)=-e x2+1+ln x,则m'(x)=-e x+==,令m'(x)=0,得x=.当x∈时,m'(x)>0,所以m(x)在上为增函数;当x∈(,e)时,m'(x)<0,所以m(x)在(,e)上为减函数.所以m(x)≤m()=0,即f'(x)≤0在上恒成立,所以f(x)在上单调递减.所以当a=-e时,f(x)在上不存在极值点.所以实数a的取值范围是.。
高考数学第一轮复习押题专练(5)含答案
1.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响；2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．1．“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x 轴相交的三个点，作图时的一般步骤为： (1)定点：如下表所示.X－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx ＋φ0 π2π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y ＝A sin(ωx ＋φ)在R 上的图象． 2．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈上是减函数； ③f (x )的一个对称中心是(5π12，0)；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象．答案 ①③③：令x ＝5π12⇒f (x )＝3sinπ＝0，正确．④：应平移π12个单位长度，错误．【高考新课标1文数】若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（ ）（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)【答案】D【解析】函数2sin(2)6y x π=+的周期为π，将函数2sin(2)6y x π=+的图像向右平移14个周期即4π个单位，所得图像对应的函数为2sin[2())]2sin(2)463y x x πππ=-+=-，故选D.【高考四川文科】为了得到函数sin()3y x π=+的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点( )(A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度【答案】A【解析】由题意，为得到函数sin()3y x π=+，只需把函数sin y x =的图像上所有点向左移3π个单位，故选A. 【高考上海文科】设aR ，[0,2π]b .若对任意实数x 都有πsin(3)=sin()3xax b ，则满足条件的有序实数对(a ，b )的对数为（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【答案】B【高考新课标Ⅲ文数】函数sin 3y x x =的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到． 【答案】3π【解析】因为sin 32sin()3y x x x π==-，所以函数sin 3y x x =的的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移3π个单位长度得到． 【高考新课标1文数】已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)= .【高考山东，文4】要得到函数4y sin x =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（ ） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【解析】因为sin(4)sin 4()312y x x ππ=-=-，所以，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位，故选B.【高考湖北，文18】某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+π2π3π22πxπ3 5π6sin()A x ωϕ+55-．．．．．．．．．．． 析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求 ()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-.数据补全如下表：x ωϕ+π2 π3π2 2πxπ12π37π125π613π12sin()A x ωϕ+ 050 5- 0且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.1．(·天津卷) 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R.在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3C ．π D．2π【答案】C【解析】∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝12，∴ωx 1＋π6＝π6＋2k 1π(k 1∈Z)或 ωx 2＋π6＝5π6＋2k 2π(k 2∈Z)，则ω(x 2－x 1)＝2π3＋2(k 2－k 1)π.又∵相邻交点距离的最小值为π3，∴ω＝2，∴T ＝π. 2．(·安徽卷) 若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4 C.3π8 D.3π4 【答案】C3．(·重庆卷) 将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________． 【答案】22【解析】函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，得到y ＝sin(2ωx ＋φ)的图像，再向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin2ωx －π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －ωπ3＋φ的图像．由题意知sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －ωπ3＋φ＝sinx ，所以2ω＝1，－ωπ3＋φ＝2k π(k ∈Z)，又－π2≤φ≤π2，所以ω＝12，φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.4．(·北京卷) 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图像如图14所示．图14(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．5．(·福建卷) 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 【解析】方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋16．(·广东卷) 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( ) A ．l 1⊥l 4 B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定 【答案】D【解析】本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．7．(·湖北卷) 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈ 函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 【答案】1【解析】 f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1. 10．(·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④ D ．①③ 【答案】A11．(·山东卷) 函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 【答案】π 【解析】因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π . 12．(·陕西卷) 函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是( )A.π2 B ．π C．2π D．4π 【答案】B 【解析】T ＝2π2＝π.134．(·浙江卷) 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位【答案】A【解析】y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，故将函数y ＝2cos 3x 的图像向右平移π12个单位可以得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，故选A.14．(·四川卷) 为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度 【答案】A【解析】由函数y ＝sin x 的图像变换得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，应该将函数y ＝sin x 图像上所有的点向左平行移动1个单位长度，故选A. 15. (·四川卷) 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的部分图象可能是( )答案 D解析 ∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴当2x －π3＝0， 即x ＝π6时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x ＝π6时取得最大值的只有D.2．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π4答案 B3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( ) A ． B ． C ． D ． 答案 D解析 由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点(512π，2)，∴2sin(2×512π＋φ)＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴取k ＝0，则φ＝－π3，即得f (x )＝2sin(2x －π3)，其单调递增区间为，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D.4．已知曲线f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且曲线关于点(x 0,0)中心对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0等于( )A.π12 B.π6 C.π3 D.5π12答案 C5．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12 D.32答案 A6.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安．答案 －5解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．∵图象过点⎝⎛⎭⎪⎫1300，10，∴10sin(100π×1300＋φ)＝10，∴sin(π3＋φ)＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又∵0<φ<π2，∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6，当t ＝1100秒时，I ＝－5安． 7．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0且|φ|<π2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是单调递减函数，且函数从1减小到－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.答案328．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间上有两个不同的实数x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为________．答案π3或43π 解析 由图象可知y ＝m 和y ＝f (x )图象的两个交点关于直线x ＝π6或x ＝23π对称，∴x 1＋x 2＝π3或43π.9．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3×1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.依题意知2π2ω＝4×π4，ω>0，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.所以－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 10．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解得－32<k≤32或k＝－1，所以实数k的取值范围是(－32，32]∪{－1}．。
高考数学第一轮复习强化训练 5.5《数列的综合应用》新人教版必修5
【考纲要求】1．探索并掌握一些基本的数列求前n 项和的方法；2．能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题。
【基础知识】一、数列的应用主要是从实际生活中抽象出一个等差、等比的数列问题解答，如果不是等差等比数列的，要转化成等差等比数列的问题来解决。
二、方法总结1、求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围。
2、求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型。
3、单利问题：设本金为p ，期利率为r ，则n 期后本利和)1(nr p S n +=；复利问题：设本金为p ，期利率为r ，则n 期后本利和n n r p S )1(+=。
【例题精讲】例1 某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？（取665.575.1,786.133.1,629.105.1101010===）解析：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列， ①甲方案获利：63.423.013.1%)301(%)301(%)301(11092≈-=+++++++ （万元）， 银行贷款本息：29.16%)51(1010≈+（万元），故甲方案纯利：34.2629.1663.42=-（万元）， ②乙方案获利：5.02910110)5.091()5.021()5.01(1⨯⨯+⨯=⨯+++⨯++++ 50.32=（万元）；银行本息和：]%)51(%)51(%)51(1[05.192+++++++⨯ 21.1305.0105.105.110≈-⨯=（万元） 故乙方案纯利：29.1921.1350.32=-（万元）；综上可知，甲方案更好。
高考文科数学第一轮复习经典习题集(含答案)
高中数学〔文科〕高考一轮复习习题集〔含答案〕目录第一章集合 (1)第一节集合的含义、表示及基本关系 (1)第二节集合的基本运算 (3)第二章函数 (5)第一节对函数的进一步认识 (5)第二节函数的单调性 (9)第三节函数的性质 (13)第三章指数函数和对数函数 (16)第一节指数函数 (16)第二节对数函数 (20)第三节幂函数与二次函数的性质 (24)第四节函数的图象特征 (28)第四章函数的应用 (32)第五章三角函数 (33)第一节角的概念的推广及弧度制 (33)第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式 (39)第三节正弦函数与余弦函数的图象及性质 (42)第四节函数的图象 (45)sin() f x A x第六章三角恒等变换 (50)第一节同角三角函数的基本关系 (50)第二节两角和与差及二倍角的三角函数 (53)第七章解三角形 (56)第一节正弦定理与余弦定理 (56)第二节正弦定理、余弦定理的应用 (59)第八章数列 (60)第九章平面向量 (62)第十章算法 (65)第一节程序框图 (65)第二节程序语句 (69)第十一章概率 (73)第一节古典概型 (73)第二节概率的应用 (75)第三节几何概型 (79)第十二章导数 (83)第十三章不等式 (85)第十四章立体几何 (88)第一节简单几何体 (88)第二节空间图形的基本关系与公理 (92)第三节平行关系 (96)第四节垂直关系 (100)第五节简单几何体的面积与体积 (104)第十五章解析几何 (108)第一节直线的倾斜角、斜率与方程 (108)第二节点与直线、直线与直线的位置关系 (111)第三节圆的标准方程与一般方程 (114)第四节直线与圆、圆与圆的位置关系 (117)第五节空间直角坐标系 (121)第十六章圆锥曲线 (123)第一章 集合第一节 集合的含义、表示及基本关系A 组1．已知A ＝{1，2}，B ＝，则集合A 与B 的关系为________．|x x A 解析：由集合B ＝知，B ＝{1，2}．答案：A ＝B |x x A 2．若，则实数a 的取值范围是________．2,|a aR x x 解析：由题意知，有解，故．答案：2x a 0a 0a3．已知集合A ＝，集合B ＝，则集合A 与B 的关系是________．2|21,y y x x x R |28x x解析：y ＝x2－2x －1＝〔x －1〕2－2≥－2，∴A ＝{y|y≥－2}，∴BA ．答案：BA4．〔2009年高考广东卷改编〕已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1，0，1}和N ＝关系的韦恩〔Venn 〕图是________．解析：由N=，得N={-1，0}，则NM ．答案：②2|0x x x5．〔2010年苏、锡、常、镇四市调查〕已知集合A ＝，集合B ＝，若命题“x ∈A”是命题“x ∈B”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：命题“x ∈A”是命题“x ∈B” 的充分不必要条件，∴AB ，∴a<5．答案：a<56．〔原创题〕已知m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x|x ＝2a ，a ∈Z}，B ＝{x|x ＝2a ＋1，a ∈Z}，又C ＝{x|x ＝4a ＋1，a ∈Z}，判断m ＋n 属于哪一个集合？解：∵m ∈A ，∴设m ＝2a1，a1∈Z ，又∵n ∈B ，∴设n ＝2a2＋1，a2∈Z ，∴m ＋n ＝2〔a1＋a2〕＋1，而a1＋a2∈Z ，∴m ＋n ∈B ．B 组1．设a ，b 都是非零实数，y ＝＋＋可能取的值组成的集合是________．解析：分四种情况：〔1〕a>0且b>0；〔2〕a>0且b<0；〔3〕a<0且b>0；〔4〕a<0且b <0，讨论得y ＝3或y ＝－1．答案：{3，－1}2．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，m2}．若B ⊆A ，则实数m ＝________．解析：∵B ⊆A ，显然m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m －1，即〔m －1〕2＝0，∴m ＝1． 答案：13．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b|a ∈P ，b ∈Q}，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数是________个．解析：依次分别取a ＝0，2，5；b ＝1，2，6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P ＋Q ＝{1，2，6，3，4，8，7，11}．答案：84．已知集合M ＝{x|x2＝1}，集合N ＝{x|ax ＝1}，若NM ，那么a 的值是________．解析：M ＝{x|x ＝1或x ＝－1}，NM ，所以N ＝∅时，a ＝0；当a≠0时，x ＝＝1或－1，∴a ＝1或－1．答案：0，1，－15．满足{1}A ⊆{1，2，3}的集合A 的个数是________个．解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1，2}，{1，3}，{1，2，3}．答案：36．已知集合A ＝{x|x ＝a ＋，a ∈Z}，B ＝{x|x ＝－，b ∈Z}，C ＝{x|x ＝＋，c ∈Z}，则A 、B 、C 之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：AB＝C7．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，则“A⊆B”是“a>5”的________．解析：结合数轴若A⊆B⇔a≥4，故“A⊆B”是“a>5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．〔2010年江苏启东模拟〕设集合M＝{m|m＝2n，n∈N，且m<500}，则M中所有元素的和为________．解析：∵2n<500，∴n＝0，1，2，3，4，5，6，7，8．∴M中所有元素的和S＝1＋2＋22＋…＋28＝511．答案：5119．〔2009年高考北京卷〕设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A＝{x，xy，lg〔xy〕}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，试求x，y的值．解：由lg〔xy〕知，xy>0，故x≠0，xy≠0，于是由A＝B得lg〔xy〕＝0，xy＝1．∴A＝{x，1，0}，B＝{0，|x|，}．于是必有|x|＝1，＝x≠1，故x＝－1，从而y＝－1．11．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，〔1〕若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；〔2〕若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；〔3〕若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．解：由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，〔1〕∵B⊆A，∴①若B＝∅，则m＋1>2m－1，即m<2，此时满足B⊆A．②若B≠∅，则解得2≤m≤3．由①②得，m的取值范围是〔－∞，3]．〔2〕若A⊆B，则依题意应有解得故3≤m≤4，∴m的取值范围是[3，4]．〔3〕若A＝B，则必有解得m∈∅．，即不存在m值使得A＝B．12．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|x2－〔a＋1〕x＋a≤0}．〔1〕若A是B的真子集，求a的取值范围；〔2〕若B是A的子集，求a的取值范围；〔3〕若A＝B，求a的取值范围．解：由x2－3x＋2≤0，即〔x－1〕〔x－2〕≤0，得1≤x≤2，故A＝{x|1≤x≤2}，而集合B＝{x|〔x－1〕〔x－a〕≤0}，〔1〕若A是B的真子集，即AB，则此时B＝{x|1≤x ≤ a}，故a>2．〔2〕若B是A的子集，即B⊆A，由数轴可知1≤a≤2．〔3〕若A=B，则必有a=2第二节集合的基本运算A组1．〔2009年高考浙江卷改编〕设U＝R，A＝，B＝，则A∩∁UB＝____．解析：∁UB＝{x|x≤1}，∴A∩∁UB＝{x|0<x≤1}．答案：{x|0<x≤1}2．〔2009年高考全国卷Ⅰ改编〕设集合A＝{4，5，7，9}，B＝{3，4，7，8，9}，全集U ＝A∪B，则集合∁U〔A∩B〕中的元素共有________个．解析：A∩B＝{4，7，9}，A∪B＝{3，4，5，7，8，9}，∁U〔A∩B〕＝{3，5，8}．答案：3x x a a M3．已知集合M＝{0，1，2}，N＝，则集合M∩N＝________．|2,解析：由题意知，N＝{0，2，4}，故M∩N＝{0，2}．答案：{0，2}4．〔原创题〕设A，B是非空集合，定义AⓐB＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2 }，B＝{y|y≥0}，则AⓐB＝________．解析：A∪B＝[0，＋∞〕，A∩B＝[0，2]，所以AⓐB＝〔2，＋∞〕．答案：〔2，＋∞〕5．〔2009年高考湖南卷〕某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12〔人〕．答案：126．〔2010年浙江嘉兴质检〕已知集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．〔1〕当m＝－1时，求A∩B，A∪B；〔2〕若B⊆A，求m的取值范围．解：〔1〕当时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥－1}．〔2〕若B⊆A，则，即的取值范围为〔1，＋∞〕B组1．若集合M＝{x∈R|－3<x<1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，则M∩N＝________．解析：因为集合N＝{－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－1，0}．答案：{－1，0}2．已知全集U＝{－1，0，1，2}，集合A＝{－1，2}，B＝{0，2}，则〔∁UA〕∩B＝____ ____．解析：∁UA＝{0，1}，故〔∁UA〕∩B＝{0}．答案：{0}3．〔2010年济南市高三模拟〕若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩〔∁UN〕＝________．解析：根据已知得M∩〔∁UN〕＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：{ x|－2≤x<0}4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________．解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2，3，4}．答案：{2，3，4}5．〔2009年高考江西卷改编〕已知全集U＝A∪B中有m个元素，〔∁UA〕∪〔∁UB〕中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．解析：U＝A∪B中有m个元素，∵〔∁UA〕∪〔∁UB〕＝∁U〔A∩B〕中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：m－n6．〔2009年高考重庆卷〕设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n 是3的倍数}，则∁U〔A∪B〕＝________．解析：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5，7}，B＝{3，6}，∴A∪B＝{1，3，5，6，7}，得∁U〔A∪B〕＝{2，4，8}．答案：{2，4，8}7．定义A⊗B＝{z|z＝xy＋，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}，C＝{1}，则集合〔A⊗B〕⊗C的所有元素之和为________．解析：由题意可求〔A⊗B〕中所含的元素有0，4，5，则〔A⊗B〕⊗C中所含的元素有0，8，10，故所有元素之和为18．答案：188．若集合{〔x，y〕|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{〔x，y〕|y＝3x＋b}，则b＝________．解析：由⇒点〔0，2〕在y＝3x＋b上，∴b＝2．9．设全集I＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{2，|a＋1|}，∁IA＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M的所有子集是________．解析：∵A∪〔∁IA〕＝I，∴{2，3，a2＋2a－3}＝{2，5，|a＋1|}，∴|a＋1|＝3，且a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2，∴M＝{log22，log2|－4|}＝{1，2}．答案：∅，{1}，{2}，{1，2}10．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2〔a＋1〕x＋〔a2－5〕＝0}．〔1〕若A∩B＝{2}，求实数a的值；〔2〕若A∪B＝A，求实数a的取值范围．解：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1，2}．〔1〕∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3；当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的值为－1或－3．〔2〕对于集合B ，Δ＝4〔a ＋1〕2－4〔a2－5〕＝8〔a ＋3〕．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ， ①当Δ<0，即a<－3时，B ＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a>－3时，B ＝A ＝{1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a2－5⇒矛盾．综上，a 的取值范围是a ≤－3． 11．已知函数f 〔x 〕＝的定义域为集合A ，函数g 〔x 〕＝lg 〔－x2＋2x ＋m 〕的定义域为集合B ．〔1〕当m ＝3时，求A∩〔∁RB 〕；〔2〕若A∩B ＝{x|－1<x<4}，求实数m 的值．解：A ＝{x|－1<x≤5}．〔1〕当m ＝3时，B ＝{x|－1<x<3}，则∁RB ＝{x|x≤－1或x≥3}，∴A∩〔∁RB 〕＝{x|3≤x≤5}．〔2〕∵A ＝{x|－1<x≤5}，A∩B ＝{x|－1<x<4}，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x|－2<x<4}，符合题意．12．已知集合A ＝{x ∈R|ax2－3x ＋2＝0}．〔1〕若A ＝∅，求实数a 的取值范围；〔2〕若A 是单元素集，求a 的值及集合A ；〔3〕求集合M ＝{a ∈R|A≠∅}．解：〔1〕A 是空集，即方程ax2－3x ＋2＝0无解．若a ＝0，方程有一解x ＝，不合题意．若a≠0，要方程ax2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8a<0，则a>．综上可知，若A ＝∅，则a 的取值范围应为a>．〔2〕当a ＝0时，方程ax2－3x ＋2＝0只有一根x ＝，A ＝{}符合题意．当a≠0时，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝时，方程有两个相等的实数根x ＝，则A ＝{}．综上可知，当a ＝0时，A ＝{}；当a ＝时，A ＝{}．〔3〕当a ＝0时，A ＝{}≠∅．当a≠0时，要使方程有实数根，则Δ＝9－8a≥0，即a≤．综上可知，a 的取值范围是a≤，即M ＝{a ∈R|A≠∅}＝{a|a≤}第二章 函数第一节 对函数的进一步认识A 组1．〔2009年高考江西卷改编〕函数y ＝的定义域为________．解析：⇒x ∈[－4，0〕∪〔0，1] ．答案：[－4，0〕∪〔0，1]2．〔2010年绍兴第一次质检〕如图，函数f 〔x 〕的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为〔0，0〕，〔1，2〕，〔3，1〕，则f 〔〕的值等于________．解析：由图象知f 〔3〕＝1，f 〔〕＝f 〔1〕＝2．答案：23．〔2009年高考北京卷〕已知函数f 〔x 〕＝若f 〔x 〕＝2，则x ＝________．解析：依题意得x≤1时，3x ＝2，∴x ＝log32；当x>1时，－x ＝2，x ＝－2〔舍去〕．故x ＝log32．答案：log324．〔2010年黄冈市高三质检〕函数f ：{1，}→{1，}满足f[f 〔x 〕]>1的这样的函数个数有________个．解析：如图．答案：15．〔原创题〕由等式x3＋a1x2＋a2x ＋a3＝〔x ＋1〕3＋b1〔x ＋1〕2＋b2〔x ＋1〕＋b3定义一个映射f 〔a1，a2，a3〕＝〔b1，b2，b3〕，则f 〔2，1，－1〕＝________．解析：由题意知x3＋2x2＋x －1＝〔x ＋1〕3＋b1〔x ＋1〕2＋b2〔x ＋1〕＋b3， 令x ＝－1得：－1＝b3；再令x ＝0与x ＝1得，解得b1＝－1，b2＝0．答案：〔－1，0，－1〕6．已知函数f 〔x 〕＝〔1〕求f 〔1－〕，f{f[f 〔－2〕]}的值；〔2〕求f 〔3x －1〕；〔3〕若f 〔a 〕＝， 求a ．解：f 〔x 〕为分段函数，应分段求解．〔1〕∵1－＝1－〔＋1〕＝－<－1，∴f 〔－〕＝－2＋3，又∵f 〔－2〕＝－1，f[f 〔－2〕]＝f 〔－1〕＝2，∴f{f[f 〔－2〕]}＝1＋＝．〔2〕若3x －1>1，即x>，f 〔3x －1〕＝1＋＝；若－1≤3x －1≤1，即0≤x≤，f 〔3x －1〕＝〔3x －1〕2＋1＝9x2－6x ＋2；若3x －1<－1，即x<0，f 〔3x －1〕＝2〔3x －1〕＋3＝6x ＋1．∴f〔3x －1〕＝〔3〕∵f 〔a 〕＝，∴a>1或－1≤a≤1．当a>1时，有1＋＝，∴a ＝2；当－1≤a≤1时，a2＋1＝，∴a ＝±．∴a ＝2或±．B 组1．〔2010年广东江门质检〕函数y ＝＋lg 〔2x －1〕的定义域是________．解析：由3x －2>0，2x －1>0，得x>．答案：{x|x>}2．〔2010年山东枣庄模拟〕函数f 〔x 〕＝则f 〔f 〔f 〔〕＋5〕〕＝_．解析：∵－1≤≤2，∴f 〔〕＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f 〔2〕＝－3，∴f〔－3〕＝〔－2〕×〔－3〕＋1＝7．答案：73．定义在区间〔－1，1〕上的函数f 〔x 〕满足2f 〔x 〕－f 〔－x 〕＝lg 〔x ＋1〕，则f 〔x 〕的解析式为________．解析：∵对任意的x ∈〔－1，1〕，有－x ∈〔－1，1〕，由2f 〔x 〕－f 〔－x 〕＝lg 〔x ＋1〕，①由2f 〔－x 〕－f 〔x 〕＝lg 〔－x ＋1〕，②①×2＋②消去f 〔－x 〕，得3f 〔x 〕＝2lg 〔x ＋1〕＋lg 〔－x ＋1〕，∴f〔x 〕＝lg 〔x ＋1〕＋lg 〔1－x 〕，〔－1<x<1〕．答案：f 〔x 〕＝lg 〔x ＋1〕＋lg 〔1－x 〕，〔－1<x<1〕4．设函数y ＝f 〔x 〕满足f 〔x ＋1〕＝f 〔x 〕＋1，则函数y ＝f 〔x 〕与y ＝x 图象交点的个数可能是________个．解析：由f 〔x ＋1〕＝f 〔x 〕＋1可得f 〔1〕＝f 〔0〕＋1，f 〔2〕＝f 〔0〕＋2，f 〔3〕＝f 〔0〕＋3，…本题中如果f 〔0〕＝0，那么y ＝f 〔x 〕和y ＝x 有无数个交点；若f 〔0〕≠0，则y ＝f 〔x 〕和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数5．设函数f 〔x 〕＝，若f 〔－4〕＝f 〔0〕，f 〔－2〕＝－2，则f 〔x 〕的解析式为f 〔x 〕＝________，关于x 的方程f 〔x 〕＝x 的解的个数为________个．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c 4－2b ＋c ＝－2 ， ∴f〔x 〕＝．由数形结合得f 〔x 〕＝x 的解的个数有3个．答案： 36．设函数f 〔x 〕＝logax 〔a ＞0，a≠1〕，函数g 〔x 〕＝－x2＋bx ＋c ，若f 〔2＋〕－f 〔＋1〕＝，g 〔x 〕的图象过点A 〔4，－5〕及B 〔－2，－5〕，则a ＝__________，函数f[g 〔x 〕]的定义域为__________．答案：2 〔－1，3〕7．〔2009年高考天津卷改编〕设函数f 〔x 〕＝，则不等式f 〔x 〕>f 〔1〕的解集是________．解析：由已知，函数先增后减再增，当x≥0，f 〔x 〕>f 〔1〕＝3时，令f 〔x 〕＝3， 解得x ＝1，x ＝3．故f 〔x 〕>f 〔1〕的解集为0≤x<1或x>3．当x<0，x ＋6＝3时，x ＝－3，故f 〔x 〕>f 〔1〕＝3，解得－3<x<0或x>3．综上，f 〔x 〕>f 〔1〕的解集为{x|－3<x<1或x>3}．答案：{x|－3<x<1或x>3}8．〔2009年高考山东卷〕定义在R 上的函数f 〔x 〕满足f 〔x 〕＝则f 〔3〕的值为________．解析：∵f 〔3〕＝f 〔2〕－f 〔1〕，又f 〔2〕＝f 〔1〕－f 〔0〕，∴f 〔3〕＝－f 〔0〕，∵f 〔0〕＝log24＝2，∴f 〔3〕＝－2．答案：－29．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内〔即x≥20〕，y 与x 之间函数的函数关系是________．解析：设进水速度为a1升/分钟，出水速度为a2升/分钟，则由题意得，得，则y ＝35－3〔x －20〕，得y ＝－3x ＋95，又因为水放完为止，所以时间为x≤，又知x≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95〔20≤x≤〕．答案：y ＝－3x ＋95〔20≤x≤〕 10．函数．221316f x a x a x〔1〕若的定义域为R ，求实数的取值范围；〔2〕若的定义域为[－2，1]，求实数的值．解：〔1〕①若1－a2＝0，即a ＝±1，〔ⅰ〕若a ＝1时，f 〔x 〕＝，定义域为R ，符合题意；〔ⅱ〕当a ＝－1时，f 〔x 〕＝，定义域为[－1，＋∞〕，不合题意．②若1－a2≠0，则g 〔x 〕＝〔1－a2〕x2＋3〔1－a 〕x ＋6为二次函数．由题意知g 〔x 〕≥0对x ∈R 恒成立，∴∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<a<1，(a －1)(11a ＋5)≤0， ∴－≤a<1．由①②可得－≤a≤1．〔2〕由题意知，不等式〔1－a2〕x2＋3〔1－a 〕x ＋6≥0的解集为[－2，1]，显然1－a2≠0且－2，1是方程〔1－a2〕x2＋3〔1－a 〕x ＋6＝0的两个根． ∴∴∴a ＝2． 11．已知，并且当∈[－1，1]时，，求当时、的解析式．2f x f x x R x 21f x x 21,21x k k k Z f x解：由f 〔x ＋2〕＝f 〔x 〕，可推知f 〔x 〕是以2为周期的周期函数．当x ∈[2k －1，2k ＋1]时，2k －1≤x≤2k ＋1，－1≤x －2k≤1．∴f 〔x －2k 〕＝－〔x －2k 〕2＋1．又f 〔x 〕＝f 〔x －2〕＝f 〔x －4〕＝…＝f 〔x －2k 〕，∴f〔x 〕＝－〔x －2k 〕2＋1，x∈[2k－1，2k ＋1]，k∈Z．12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g 〔x 〕，其余工人加工完H 型装置所需时间为h 〔x 〕．〔单位：h ，时间可不为整数〕〔1〕写出g 〔x 〕，h 〔x 〕的解析式；〔2〕写出这216名工人完成总任务的时间f 〔x 〕的解析式；〔3〕应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？解：〔1〕g 〔x 〕＝〔0<x<216，x ∈N*〕，h 〔x 〕＝〔0<x<216，x ∈N*〕．〔2〕f 〔x 〕＝〔3〕分别为86、130或87、129．第二节 函数的单调性A 组1．〔2009年高考福建卷改编〕下列函数f 〔x 〕中，满足“对任意x1，x2∈〔0，＋∞〕，当时，都有”的是________．①f〔x 〕＝ ②f〔x 〕＝〔x －1〕2 ③f〔x 〕＝ex ④f〔x 〕＝ln 〔x ＋1〕解析：∵对任意的x1，x2∈〔0，＋∞〕，当x1<x2时，都有f 〔x1〕>f 〔x2〕，∴f 〔x 〕在〔0，＋∞〕上为减函数．答案：①2．函数f 〔x 〕〔x ∈R 〕的图象如右图所示，则函数g 〔x 〕＝f 〔logax 〕〔0<a<1〕的单调减区间是________．解析：∵0<a<1，y ＝logax 为减函数，∴logax ∈[0，]时，g 〔x 〕为减函数．由0≤logax≤≤x≤1．答案：[，1]〔或〔，1〕〕 3．函数的值域是________．4154yx x 解析：令x ＝4＋sin2α，α∈[0，]，y ＝sinα＋cosα＝2sin 〔α＋〕，∴1≤y≤2．答案：[1，2]4．已知函数f 〔x 〕＝|ex ＋|〔a ∈R 〕在区间[0，1]上单调递增，则实数a 的取值范围__．解析：当a<0，且ex ＋≥0时，只需满足e0＋≥0即可，则－1≤a<0；当a ＝0时，f 〔x 〕＝|e x|＝ex 符合题意；当a>0时，f 〔x 〕＝ex ＋，则满足f′〔x 〕＝ex －≥0在x ∈[0，1]上恒成立．只需满足a≤〔e2x 〕min 成立即可，故a≤1，综上－1≤a≤1．答案：－1≤a≤15．〔原创题〕如果对于函数f 〔x 〕定义域内任意的x ，都有f 〔x 〕≥M 〔M 为常数〕，称M 为f 〔x 〕的下界，下界M 中的最大值叫做f 〔x 〕的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．①f〔x 〕＝sinx ；②f〔x 〕＝lgx ；③f〔x 〕＝ex ；④f〔x 〕＝解析：∵sinx≥－1，∴f 〔x 〕＝sinx 的下确界为－1，即f 〔x 〕＝sinx 是有下确界的函数；∵f 〔x 〕＝lgx 的值域为〔－∞，＋∞〕，∴f 〔x 〕＝lgx 没有下确界；∴f 〔x 〕＝ex 的值域为〔0，＋∞〕，∴f 〔x 〕＝ex 的下确界为0，即f 〔x 〕＝ex 是有下确界的函数；∵f〔x 〕＝的下确界为－1．∴f〔x 〕＝是有下确界的函数．答案：①③④6．已知函数，．2f x x 1g x x〔1〕若存在x ∈R 使，求实数的取值范围；〔2〕设2，且在[0，1]上单调递增，求实数的取值范围．解：〔1〕x ∈R ，f 〔x 〕<b·g 〔x 〕x ∈R ，x2－bx ＋b<0Δ＝〔－b 〕2－4b>0b<0或b>4．〔2〕F 〔x 〕＝x2－mx ＋1－m2，Δ＝m2－4〔1－m2〕＝5m2－4，①当Δ≤0即－≤m≤时，则必需⎩⎨⎧m 2≤0－255≤m≤255－≤m≤0． ②当Δ>0即m<－或m>时，设方程F 〔x 〕＝0的根为x1，x2〔x1<x2〕，若≥1，则x1≤0． ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1F(0)＝1－m2≤0m≥2． 若≤0，则x2≤0，⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≤0F(0)＝1－m2≥0－1≤m<－．综上所述：－1≤m≤0或m≥2．B 组1．〔2010年山东东营模拟〕下列函数中，单调增区间是〔－∞，0]的是________．①y＝－ ②y＝－〔x －1〕 ③y＝x2－2 ④y＝－|x|解析：由函数y ＝－|x|的图象可知其增区间为〔－∞，0]．答案：④2．若函数f 〔x 〕＝log2〔x2－ax ＋3a 〕在区间[2，＋∞〕上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：令g 〔x 〕＝x2－ax ＋3a ，由题知g 〔x 〕在[2，＋∞〕上是增函数，且g 〔2〕>0． ∴∴－4<a≤4．答案：－4<a≤43．若函数f 〔x 〕＝x ＋〔a>0〕在〔，＋∞〕上是单调增函数，则实数a 的取值范围__．解析：∵f 〔x 〕＝x ＋〔a>0〕在〔，＋∞〕上为增函数，∴≤，0<a≤．答案：〔0，]4．〔2009年高考陕西卷改编〕定义在R 上的偶函数f 〔x 〕，对任意x1，x2∈[0，＋∞〕〔x1≠x2〕，有<0，则下列结论正确的是________．①f 〔3〕<f 〔－2〕<f 〔1〕 ②f 〔1〕<f 〔－2〕<f 〔3〕③f〔－2〕<f 〔1〕<f 〔3〕 ④f〔3〕<f 〔1〕<f 〔－2〕解析：由已知<0，得f 〔x 〕在x ∈[0，＋∞〕上单调递减，由偶函数性质得f 〔2〕＝f 〔－2〕，即f 〔3〕<f 〔－2〕<f 〔1〕．答案：①5．〔2010年陕西西安模拟〕已知函数f 〔x 〕＝满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，f 〔x 〕为减函数，所以解得0<a≤．6．〔2010年宁夏石嘴山模拟〕函数f 〔x 〕的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为〔1，2〕，点B 的坐标为〔3，0〕，定义函数g 〔x 〕＝f 〔x 〕·〔x －1〕，则函数g 〔x 〕的最大值为________．解析：g 〔x 〕＝当0≤x<1时，最大值为0；当1≤x≤3时，在x ＝2取得最大值1．答案：17．〔2010年安徽合肥模拟〕已知定义域在[－1，1]上的函数y ＝f 〔x 〕的值域为[－2，0]，则函数y ＝f 〔cos 〕的值域是________．解析：∵cos ∈[－1，1]，函数y ＝f 〔x 〕的值域为[－2，0]，∴y ＝f 〔cos 〕的值域为[－2，0]．答案：[－2，0]8．已知f 〔x 〕＝log3x ＋2，x ∈[1，9]，则函数y ＝[f 〔x 〕]2＋f 〔x2〕的最大值是________．解析：∵函数y ＝[f 〔x 〕]2＋f 〔x2〕的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x≤9，1≤x2≤9，∴x∈[1，3]，令log3x ＝t ，t∈[0，1]， ∴y＝〔t ＋2〕2＋2t ＋2＝〔t ＋3〕2－3，∴当t ＝1时，ymax ＝13．答案：139．若函数f 〔x 〕＝loga 〔2x2＋x 〕〔a>0，a≠1〕在区间〔0，〕内恒有f 〔x 〕>0，则f 〔x 〕的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2x2＋x ，当x ∈〔0，〕时，μ∈〔0，1〕，而此时f 〔x 〕>0恒成立，∴0<a <1．μ＝2〔x ＋〕2－，则减区间为〔－∞，－〕．而必然有2x2＋x>0，即x>0或x<－．∴f 〔x 〕的单调递增区间为〔－∞，－〕．答案：〔－∞，－〕10．试讨论函数y ＝2〔logx 〕2－2logx ＋1的单调性．解：易知函数的定义域为〔0，＋∞〕．如果令u ＝g 〔x 〕＝logx ，y ＝f 〔u 〕＝2u2－2u ＋1，那么原函数y ＝f[g 〔x 〕]是由g 〔x 〕与f 〔u 〕复合而成的复合函数，而u ＝logx 在x ∈〔0，＋∞〕内是减函数，y ＝2u2－2u ＋1＝2〔u －〕2＋在u ∈〔－∞，〕上是减函数，在u ∈〔，＋∞〕上是增函数．又u≤，即logx≤，得x≥；u>，得0<x<．由此，从下表讨论复合函数y ＝f[g故函数y ．11．〔2010年广西河池模拟〕已知定义在区间〔0，＋∞〕上的函数f 〔x 〕满足f 〔〕＝f 〔x 1〕－f 〔x2〕，且当x>1时，f 〔x 〕<0．〔1〕求f 〔1〕的值；〔2〕判断f 〔x 〕的单调性；〔3〕若f 〔3〕＝－1，解不等式f 〔|x |〕<－2．解：〔1〕令x1＝x2>0，代入得f 〔1〕＝f 〔x1〕－f 〔x1〕＝0，故f 〔1〕＝0．〔2〕任取x1，x2∈〔0，＋∞〕，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f 〔x 〕<0，所以f 〔〕<0，即f 〔x1〕－f 〔x2〕<0，因此f 〔x1〕<f 〔x2〕，所以函数f 〔x 〕在区间〔0，＋∞〕上是单调递减函数．〔3〕由f〔〕＝f〔x1〕－f〔x2〕得f〔〕＝f〔9〕－f〔3〕，而f〔3〕＝－1，所以f〔9〕＝－2．由于函数f〔x〕在区间〔0，＋∞〕上是单调递减函数，由f〔|x|〕<f〔9〕，得|x|>9，∴x>9或x<－9．因此不等式的解集为{x|x>9或x<－9}．12．已知：f〔x〕＝log3，x∈〔0，＋∞〕，是否存在实数a，b，使f〔x〕同时满足下列三个条件：〔1〕在〔0，1]上是减函数，〔2〕在[1，＋∞〕上是增函数，〔3〕f〔x〕的最小值是1．若存在，求出a、b；若不存在，说明理由．解：∵f〔x〕在〔0，1]上是减函数，[1，＋∞〕上是增函数，∴x＝1时，f〔x〕最小，log3＝1．即a＋b＝2．设0＜x1＜x2≤1，则f〔x1〕＞f〔x2〕．即＞恒成立．由此得＞0恒成立．又∵x1－x2＜0，x1x2＞0，∴x1x2－b＜0恒成立，∴b≥1．设1≤x3＜x4，则f〔x3〕＜f〔x4〕恒成立．∴＜0恒成立．∵x3－x4＜0，x3x4＞0，∴x3x4＞b恒成立．∴b≤1．由b≥1且b≤1可知b＝1，∴a ＝1．∴存在a、b，使f〔x〕同时满足三个条件．第三节函数的性质A组1．设偶函数f〔x〕＝loga|x－b|在〔－∞，0〕上单调递增，则f〔a＋1〕与f〔b＋2〕的大小关系为________．解析：由f〔x〕为偶函数，知b＝0，∴f〔x〕＝loga|x|，又f〔x〕在〔－∞，0〕上单调递增，所以0<a<1，1<a＋1<2，则f〔x〕在〔0，＋∞〕上单调递减，所以f〔a＋1〕>f〔b＋2〕．答案：f〔a＋1〕>f〔b＋2〕2．〔2010年广东三校模拟〕定义在R上的函数f〔x〕既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f〔1〕＋f〔4〕＋f〔7〕等于________．解析：f〔x〕为奇函数，且x∈R，所以f〔0〕＝0，由周期为2可知，f〔4〕＝0，f〔7〕＝f〔1〕，又由f〔x＋2〕＝f〔x〕，令x＝－1得f〔1〕＝f〔－1〕＝－f〔1〕⇒f〔1〕＝0，所以f〔1〕＋f〔4〕＋f〔7〕＝0．答案：03．〔2009年高考山东卷改编〕已知定义在R上的奇函数f〔x〕满足f〔x－4〕＝－f〔x〕，且在区间[0，2]上是增函数，则f〔－25〕、f〔11〕、f〔80〕的大小关系为________．解析：因为f〔x〕满足f〔x－4〕＝－f〔x〕，所以f〔x－8〕＝f〔x〕，所以函数是以8为周期的周期函数，则f〔－25〕＝f〔－1〕，f〔80〕＝f〔0〕，f〔11〕＝f〔3〕，又因为f〔x〕在R上是奇函数，f〔0〕＝0，得f〔80〕＝f〔0〕＝0，f〔－25〕＝f〔－1〕＝－f 〔1〕，而由f〔x－4〕＝－f〔x〕得f〔11〕＝f〔3〕＝－f〔－3〕＝－f〔1－4〕＝f〔1〕，又因为f〔x〕在区间[0，2]上是增函数，所以f〔1〕>f〔0〕＝0，所以－f〔1〕<0，即f〔－25〕<f〔80〕<f〔11〕．答案：f〔－25〕<f〔80〕<f〔11〕4．〔2009年高考辽宁卷改编〕已知偶函数f〔x〕在区间[0，＋∞〕上单调增加，则满足f〔2x－1〕<f〔〕的x取值范围是________．解析：由于f〔x〕是偶函数，故f〔x〕＝f〔|x|〕，由f〔|2x－1|〕<f〔〕，再根据f〔x 〕的单调性得|2x－1|<，解得<x<．答案：〔，〕5．〔原创题〕已知定义在R上的函数f〔x〕是偶函数，对x∈R，f〔2＋x〕＝f〔2－x〕，当f〔－3〕＝－2时，f〔2011〕的值为________．解析：因为定义在R上的函数f〔x〕是偶函数，所以f〔2＋x〕＝f〔2－x〕＝f〔x－2〕，故函数f〔x〕是以4为周期的函数，所以f〔2011〕＝f〔3＋502×4〕＝f〔3〕＝f〔－3〕＝－2．答案：－26．已知函数y＝f〔x〕是定义在R上的周期函数，周期T＝5，函数y＝f〔x〕〔－1≤x≤1〕是奇函数，又知y＝f〔x〕在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x＝2时函数取得最小值－5．〔1〕证明：f〔1〕＋f〔4〕＝0；〔2〕求y＝f〔x〕，x∈[1，4]的解析式；〔3〕求y＝f〔x〕在[4，9]上的解析式．解：〔1〕证明：∵f〔x〕是以5为周期的周期函数，∴f〔4〕＝f〔4－5〕＝f〔－1〕，又∵y＝f〔x〕〔－1≤x≤1〕是奇函数，∴f〔1〕＝－f〔－1〕＝－f〔4〕，∴f〔1〕＋f〔4〕＝0．〔2〕当x∈[1，4]时，由题意可设f〔x〕＝a〔x－2〕2－5〔a>0〕，由f〔1〕＋f〔4〕＝0，得a〔1－2〕2－5＋a〔4－2〕2－5＝0，∴a＝2，∴f〔x〕＝2〔x－2〕2－5〔1≤x≤4〕．〔3〕∵y＝f〔x〕〔－1≤x≤1〕是奇函数，∴f〔0〕＝0，又知y＝f〔x〕在[0，1]上是一次函数，∴可设f〔x〕＝kx〔0≤x≤1〕，而f〔1〕＝2〔1－2〕2－5＝－3，∴k＝－3，∴当0≤x≤1时，f〔x〕＝－3x，从而当－1≤x<0时，f〔x〕＝－f〔－x〕＝－3x，故－1≤x≤1时，f〔x〕＝－3x．∴当4≤x≤6时，有－1≤x－5≤1，∴f〔x〕＝f〔x－5〕＝－3〔x－5〕＝－3x＋15．当6<x≤9时，1<x－5≤4，∴f〔x〕＝f〔x－5〕＝2[〔x－5〕－2]2－5＝2〔x－7〕2－5．∴f〔x〕＝．B组1．〔2009年高考全国卷Ⅰ改编〕函数f〔x〕的定义域为R，若f〔x＋1〕与f〔x－1〕都是奇函数，则下列结论正确的是________．①f〔x〕是偶函数②f〔x〕是奇函数③f〔x〕＝f〔x＋2〕④f〔x＋3〕是奇函数解析：∵f〔x＋1〕与f〔x－1〕都是奇函数，∴f〔－x＋1〕＝－f〔x＋1〕，f〔－x－1〕＝－f〔x－1〕，∴函数f〔x〕关于点〔1，0〕，及点〔－1，0〕对称，函数f〔x〕是周期T＝2[1－〔－1〕]＝4的周期函数．∴f〔－x－1＋4〕＝－f〔x－1＋4〕，f〔－x＋3〕＝－f〔x＋3〕，即f〔x＋3〕是奇函数．答案：④2．已知定义在R上的函数f〔x〕满足f〔x〕＝－f〔x＋〕，且f〔－2〕＝f〔－1〕＝－1，f 〔0〕＝2，f〔1〕＋f〔2〕＋…＋f〔2009〕＋f〔2010〕＝________．解析：f〔x〕＝－f〔x＋〕⇒f〔x＋3〕＝f〔x〕，即周期为3，由f〔－2〕＝f〔－1〕＝－1，f〔0〕＝2，所以f〔1〕＝－1，f〔2〕＝－1，f〔3〕＝2，所以f〔1〕＋f〔2〕＋…＋f〔2009〕＋f〔2010〕＝f〔2008〕＋f〔2009〕＋f〔2010〕＝f〔1〕＋f〔2〕＋f〔3〕＝0．答案：03．〔2010年浙江台州模拟〕已知f〔x〕是定义在R上的奇函数，且f〔1〕＝1，若将f〔x〕的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f〔1〕＋f〔2〕＋f〔3〕＋…＋f 〔2010〕＝________．解析：f〔x〕是定义在R上的奇函数，所以f〔－x〕＝－f〔x〕，将f〔x〕的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f〔－2＋x〕＝－f〔x〕，即f〔x＋2〕＝－f〔x〕，所以周期为4，f〔1〕＝1，f〔2〕＝f〔0〕＝0，f〔3〕＝－f〔1〕＝－1，f〔4〕＝0，所以f〔1〕＋f〔2〕＋f〔3〕＋f〔4〕＝0，则f〔1〕＋f〔2〕＋f〔3〕＋…＋f〔20 10〕＝f〔4〕×502＋f〔2〕＝0．答案：04．〔2010年湖南郴州质检〕已知函数f〔x〕是R上的偶函数，且在〔0，＋∞〕上有f′〔x〕>0，若f〔－1〕＝0，那么关于x的不等式xf〔x〕<0的解集是________．解析：在〔0，＋∞〕上有f′〔x〕>0，则在〔0，＋∞〕上f〔x〕是增函数，在〔－∞，0〕上是减函数，又f〔x〕在R上是偶函数，且f〔－1〕＝0，∴f〔1〕＝0．从而可知x∈〔－∞，－1〕时，f〔x〕>0；x∈〔－1，0〕时，f〔x〕<0；x∈〔0，1〕时，f〔x〕<0；x∈〔1，＋∞〕时，f〔x〕>0．∴不等式的解集为〔－∞，－1〕∪〔0，1〕答案：〔－∞，－1〕∪〔0，1〕．5．〔2009年高考江西卷改编〕已知函数f〔x〕是〔－∞，＋∞〕上的偶函数，若对于x≥0，都有f〔x＋2〕＝f〔x〕，且当x∈[0，2〕时，f〔x〕＝log2〔x＋1〕，则f〔－2009〕＋f〔2010〕的值为________．解析：∵f〔x〕是偶函数，∴f〔－2009〕＝f〔2009〕．∵f〔x〕在x≥0时f〔x＋2〕＝f 〔x〕，∴f〔x〕周期为2．∴f〔－2009〕＋f〔2010〕＝f〔2009〕＋f〔2010〕＝f〔1〕＋f 〔0〕＝log22＋log21＝0＋1＝1．答案：16．〔2010年江苏苏州模拟〕已知函数f〔x〕是偶函数，并且对于定义域内任意的x，满足f 〔x＋2〕＝－，若当2<x<3时，f〔x〕＝x，则f〔2009．5〕＝________．解析：由f〔x＋2〕＝－，可得f〔x＋4〕＝f〔x〕，f〔2009．5〕＝f〔502×4＋1．5〕＝f〔1．5〕＝f〔－2．5〕∵f〔x〕是偶函数，∴f〔2009．5〕＝f〔2．5〕＝．答案：7．〔2010年安徽黄山质检〕定义在R上的函数f〔x〕在〔－∞，a]上是增函数，函数y＝f〔x＋a〕是偶函数，当x1<a，x2>a，且|x1－a|<|x2－a|时，则f〔2a－x1〕与f〔x2〕的大小关系为________．解析：∵y＝f〔x＋a〕为偶函数，∴y＝f〔x＋a〕的图象关于y轴对称，∴y＝f〔x〕的图象关于x＝a对称．又∵f〔x〕在〔－∞，a]上是增函数，∴f〔x〕在[a，＋∞〕上是减函数．当x1<a，x2>a，且|x1－a|<|x2－a|时，有a－x1<x2－a，即a<2a－x1<x2，∴f〔2a－x1〕>f〔x2〕．答案：f〔2a－x1〕>f〔x2〕8．已知函数f〔x〕为R上的奇函数，当x≥0时，f〔x〕＝x〔x＋1〕．若f〔a〕＝－2，则实数a＝________．解析：当x≥0时，f〔x〕＝x〔x＋1〕>0，由f〔x〕为奇函数知x<0时，f〔x〕<0，∴a< 0，f〔－a〕＝2，∴－a〔－a＋1〕＝2，∴a＝2〔舍〕或a＝－1．答案：－19．〔2009年高考山东卷〕已知定义在R上的奇函数f〔x〕满足f〔x－4〕＝－f〔x〕，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f〔x〕＝m〔m＞0〕在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．解析：因为定义在R上的奇函数，满足f〔x－4〕＝－f〔x〕，所以f〔4－x〕＝f〔x〕，因此，函数图象关于直线x＝2对称且f〔0〕＝0．由f〔x－4〕＝－f〔x〕知f〔x－8〕＝f 〔x〕，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f〔x〕在区间[0，2]上是增函数，所以f 〔x〕在区间[－2，0]上也是增函数，如图所示，那么方程f〔x〕＝m〔m＞0〕在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4．由对称性知x1＋x2＝－1 2，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8．答案：-810．已知f〔x〕是R上的奇函数，且当x∈〔－∞，0〕时，f〔x〕＝－xlg〔2－x〕，求f〔x 〕的解析式．解：∵f〔x〕是奇函数，可得f〔0〕＝－f〔0〕，∴f〔0〕＝0．当x>0时，－x<0，由已知f〔－x〕＝xlg〔2＋x〕，∴－f〔x〕＝xlg〔2＋x〕，即f〔x〕＝－xlg〔2＋x〕〔x>0〕．∴f〔x〕＝即f〔x〕＝－xlg〔2＋|x|〕〔x∈R〕．11．已知函数f〔x〕，当x，y∈R时，恒有f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕．〔1〕求证：f〔x〕是奇函数；〔2〕如果x∈R＋，f〔x〕<0，并且f〔1〕＝－，试求f〔x〕在区间[－2，6]上的最值．解：〔1〕证明：∴函数定义域为R，其定义域关于原点对称．∵f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕，令y＝－x，∴f〔0〕＝f〔x〕＋f〔－x〕．令x＝y＝0，∴f〔0〕＝f〔0〕＋f〔0〕，得f〔0〕＝0．∴f〔x〕＋f〔－x〕＝0，得f〔－x〕＝－f〔x〕，∴f〔x〕为奇函数．〔2〕法一：设x，y∈R＋，∵f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕，∴f〔x＋y〕－f〔x〕＝f 〔y〕．∵x∈R＋，f〔x〕<0，∴f〔x＋y〕－f〔x〕<0，∴f〔x＋y〕<f〔x〕．∵x＋y>x，∴f 〔x〕在〔0，＋∞〕上是减函数．又∵f〔x〕为奇函数，f〔0〕＝0，∴f〔x〕在〔－∞，＋∞〕上是减函数．∴f〔－2〕为最大值，f〔6〕为最小值．∵f〔1〕＝－，∴f〔－2〕＝－f〔2〕＝－2f〔1〕＝1，f〔6〕＝2f〔3〕＝2[f〔1〕＋f〔2〕]＝－3．∴所求f〔x〕在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3．法二：设x1<x2，且x1，x2∈R．则f〔x2－x1〕＝f[x2＋〔－x1〕]＝f〔x2〕＋f〔－x1〕＝f〔x2〕－f〔x1〕．∵x2－x1>0，∴f〔x2－x1〕<0．∴f〔x2〕－f〔x1〕<0．即f〔x〕在R上单调递减．∴f〔－2〕为最大值，f〔6〕为最小值．∵f〔1〕＝－，∴f〔－2〕＝－f〔2〕＝－2f〔1〕＝1，f〔6〕＝2f〔3〕＝2[f〔1〕＋f〔2〕]＝－3．∴所求f〔x〕在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3．12．已知函数f〔x〕的定义域为R，且满足f〔x＋2〕＝－f〔x〕．〔1〕求证：f〔x〕是周期函数；〔2〕若f〔x〕为奇函数，且当0≤x≤1时，f〔x〕＝x，求使f〔x〕＝－在[0，2010]上的所有x的个数．解：〔1〕证明：∵f〔x＋2〕＝－f〔x〕，∴f〔x＋4〕＝－f〔x＋2〕＝－[－f〔x〕]＝f〔x〕，∴f〔x〕是以4为周期的周期函数．〔2〕当0≤x≤1时，f〔x〕＝x，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f〔－x〕＝〔－x〕＝－x．∵f〔x〕是奇函数，∴f〔－x〕＝－f〔x〕，∴－f〔x〕＝－x，即f〔x〕＝x．故f〔x〕＝x〔－1≤x≤1〕又设1<x<3，则－1<x－2<1，∴f〔x－2〕＝〔x－2〕，又∵f〔x－2〕＝－f〔2－x〕＝－f[〔－x〕＋2]＝－[－f〔－x〕]＝－f〔x〕，∴－f〔x〕＝〔x－2〕，∴f〔x〕＝－〔x－2〕〔1<x<3〕．∴f〔x〕＝由f〔x〕＝－，解得x＝－1．∵f〔x〕是以4为周期的周期函数．故f〔x〕＝－的所有x ＝4n－1〔n∈Z〕．令0≤4n－1≤2010，则≤n≤502，又∵n∈Z，∴1≤n≤502〔n∈Z〕，∴在[0，2010]上共有502个x使f〔x〕＝－．第三章指数函数和对数函数第一节指数函数A组1．〔2010年黑龙江哈尔滨模拟〕若a>1，b<0，且ab＋a－b＝2，则ab－a－b的值等于_____ ___．解析：∵a>1，b<0，∴0<ab<1，a－b>1．又∵〔ab＋a－b〕2＝a2b＋a－2b＋2＝8，∴a2b＋a－2b＝6，∴〔ab－a－b〕2＝a2b＋a－2b－2＝4，∴ab－a－b＝－2．答案：－2 2．已知f〔x〕＝ax＋b的图象如图所示，则f〔3〕＝________．解析：由图象知f〔0〕＝1＋b＝－2，∴b＝－3．又f〔2〕＝a2－3＝0，∴a＝，则f〔3〕＝〔〕3－3＝3－3．答案：3－33．函数y＝〔〕2x－x2的值域是________．解析：∵2x－x2＝－〔x－1〕2＋1≤1，∴〔〕2x－x2≥．答案：[，＋∞〕4．〔2009年高考山东卷〕若函数f〔x〕＝ax－x－a〔a>0，且a≠1〕有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f〔x〕的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，0<a<1时两函数图象有惟一交点，故a>1．答案：〔1，+∞〕5．〔原创题〕若函数f〔x〕＝ax－1〔a>0，a≠1〕的定义域和值域都是[0，2]，则实数a等于________．解析：由题意知无解或⇒a＝．答案： 36．已知定义域为R的函数f〔x〕＝是奇函数．〔1〕求a，b的值；〔2〕若对任意的t∈R，不等式f〔t2－2t〕＋f〔2t2－k〕<0恒成立，求k的取值范围．解：〔1〕因为f〔x〕是R上的奇函数，所以f〔0〕＝0，即＝0，解得b＝1．从而有f〔x〕＝．又由f〔1〕＝－f〔－1〕知＝－，解得a＝2．〔2〕法一：由〔1〕知f〔x〕＝＝－＋，由上式易知f〔x〕在R上为减函数，又因f〔x〕是奇函数，从而不等式f〔t2－2t〕＋f〔2t2－k〕<0⇔f〔t2－2t〕<－f〔2t2－k〕＝f〔－2t2＋k〕．因f〔x〕是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k．即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－．法二：由〔1〕知f〔x〕＝，又由题设条件得＋<0即〔22t2－k＋1＋2〕〔－2t2－2t＋1〕＋〔2t2－2t＋1＋2〕〔－22t2－k＋1〕<0整理得23t2－2t－k>1，因底数2>1，故3t2－2t－k>0上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－．B组1．如果函数f〔x〕＝ax＋b－1〔a>0且a≠1〕的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．①0<a<1且b>0 ②0<a<1且0<b<1 ③a>1且b<0 ④a>1且b>0解析：当0<a<1时，把指数函数f〔x〕＝ax的图象向下平移，观察可知－1<b－1<0，即0<b<1．答案：②2．〔2010年保定模拟〕若f〔x〕＝－x2＋2ax与g〔x〕＝〔a＋1〕1－x在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是________．解析：f〔x〕＝－x2＋2ax＝－〔x－a〕2＋a2，所以f〔x〕在[a，＋∞〕上为减函数，又f〔x〕，g〔x〕都在[1，2]上为减函数，所以需⇒0<a≤1．答案：〔0，1]3．已知f〔x〕，g〔x〕都是定义在R上的函数，且满足以下条件①f〔x〕＝ax·g〔x〕〔a>0，a≠1〕；②g〔x〕≠0；若＋＝，则a等于________．解析：由f〔x〕＝ax·g〔x〕得＝ax，所以＋＝⇒a＋a－1＝，解得a＝2或．答案：2或4．〔2010年北京朝阳模拟〕已知函数f〔x〕＝ax〔a>0且a≠1〕，其反函数为f－1〔x〕．若f〔2〕＝9，则f－1〔〕＋f〔1〕的值是________．解析：因为f〔2〕＝a2＝9，且a>0，∴a＝3，则f〔x〕＝3x＝，∴x＝－1，故f－1〔〕＝－1．又f〔1〕＝3，所以f－1〔〕＋f〔1〕＝2．答案：25．〔2010年山东青岛质检〕已知f〔x〕＝〔〕x，若f〔x〕的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g〔x〕，则g〔x〕的表达式为________．解析：设y＝g〔x〕上任意一点P〔x，y〕，P〔x，y〕关于x＝1的对称点P′〔2－x，y 〕在f〔x〕＝〔〕x上，∴y＝〔〕2－x＝3x－2．答案：y＝3x－2〔x∈R〕6．〔2009年高考山东卷改编〕函数y＝的图象大致为________．解析：∵f〔－x〕＝＝－＝－f〔x〕，∴f〔x〕为奇函数，排除④．又∵y＝＝＝＝1＋在〔－∞，0〕、〔0，＋∞〕上都是减函数，排除②、③．答案：①7．〔2009年高考辽宁卷改编〕已知函数f〔x〕满足：当x≥4时，f〔x〕＝〔〕x；当x<4时，f〔x〕＝f〔x＋1〕，则f〔2＋log23〕＝________．解析：∵2<3<4＝22，∴1<log23<2．∴3<2＋log23<4，∴f〔2＋log23〕＝f〔3＋log23〕＝f〔log224〕＝〔〕log224＝2－log224＝2log2＝．答案：8．〔2009年高考湖南卷改编〕设函数y＝f〔x〕在〔－∞，＋∞〕内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK〔x〕＝取函数f〔x〕＝2－|x|，当K＝时，函数fK〔x〕的单调递增区间为________．解析：由f〔x〕＝2－|x|≤得x≥1或x≤－1，∴fK〔x〕＝则单调增区间为〔－∞，－1]．答案：〔－∞，－1]9．函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b＝g〔a〕的图象可以是________．解析：函数y＝2|x|的图象如图．当a＝－4时，0≤b≤4，当b＝4时，－4≤a≤0，答案：②10．〔2010年宁夏银川模拟〕已知函数f〔x〕＝a2x＋2ax－1〔a>0，且a≠1〕在区间[－1，1 ]上的最大值为14，求实数a的值．解：f〔x〕＝a2x＋2ax－1＝〔ax＋1〕2－2，∵x∈[－1，1]，〔1〕当0<a<1时，a≤ax≤，∴当ax＝时，f〔x〕取得最大值．∴〔＋1〕2－2＝14，∴＝3，∴a＝．〔2〕当a>1时，≤ax≤a，∴当ax＝a时，f〔x〕取得最大值．∴〔a＋1〕2－2＝14，∴a＝3．综上可知，实数a的值为或3．11．已知函数f〔x〕＝．〔1〕求证：f〔x〕的图象关于点M〔a，－1〕对称；〔2〕若f〔x〕≥－2x在x≥a上恒成立，求实数a的取值范围．解：〔1〕证明：设f〔x〕的图象C上任一点为P〔x，y〕，则y＝－，P〔x，y〕关于点M〔a，－1〕的对称点为P′〔2a－x，－2－y〕．∴－2－y＝－2＋＝＝＝，说明点P′〔2a－x，－2－y〕也在函数y＝的图象上，由点P的任意性知，f〔x〕的图象关于点M〔a，－1〕对称．〔2〕由f〔x〕≥－2x得≥－2x，则≤2x，化为2x－a·2x＋2x－2≥0，则有〔2x〕2＋2a·2x －2·2a≥0在x≥a上恒成立．令g〔t〕＝t2＋2a·t－2·2a，则有g〔t〕≥0在t≥2a上恒成立．∵g〔t〕的对称轴在t＝0的左侧，∴g〔t〕在t≥2a上为增函数．∴g〔2a〕≥0．∴〔2a〕2＋〔2a〕2－2·2a≥0，∴2a〔2a－1〕≥0，则a≥0．即实数a 的取值范围为a≥0．12．〔2008年高考江苏〕若f1〔x〕＝3|x－p1|，f2〔x〕＝2·3|x－p2|，x∈R，p1、p2为常数，且f〔x〕＝〔1〕求f〔x〕＝f1〔x〕对所有实数x成立的充要条件〔用p1、p2表示〕；〔2〕设a，b是两个实数，满足a<b，且p1、p2∈〔a，b〕．若f〔a〕＝f〔b〕，求证：函数f〔x〕在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为〔闭区间[m，n]的长度定义为n－m〕．解：〔1〕f〔x〕＝f1〔x〕恒成立⇔f1〔x〕≤f2〔x〕⇔3|x－p1|≤2·3|x－p2|⇔3|x－p1|－|x －p2|≤2⇔|x－p1|－|x－p2|≤log32．〔*〕若p1＝p2，则〔*〕⇔0≤log32，显然成立；若p1≠p2，记g〔x〕＝|x－p1|－|x－p2|，当p1>p2时，g〔x〕＝所以g〔x〕max＝p1－p2，故只需p1－p2≤log32．当p1<p2时，g〔x〕＝所以g〔x〕max＝p2－p1，故只需p2－p1≤log32．综上所述，f〔x〕＝f1〔x〕对所有实数x成立的充要条件是|p1－p2|≤log32．〔2〕证明：分两种情形讨论．①当|p1－p2|≤log32时，由〔1〕知f〔x〕＝f1〔x〕〔对所有实数x∈[a，b]〕，则由f〔a〕＝f〔b〕及a<p1<b易知p1＝．再由f1〔x〕＝的单调性可知，f〔x〕在区间[a，b]上的单调增区间的长度为b－＝．②当|p1－p2|>log32时，不妨设p1<p2，则p2－p1>log32．于是，当x≤p1时，有f1〔x〕＝3p1－x<3p2－x<f2〔x〕，从而f〔x〕＝f1〔x〕．当x≥p2时，f1〔x〕＝3x－p1＝3p2－p1·3x－p2>3log32·3x－p2＝f2〔x〕，从而f〔x〕＝f2〔x〕．当p1<x<p2时，f1〔x〕＝3x－p1及f2〔x〕＝2·3p2－x，由方程3x0－p1＝2·3p2－x0，解得f1〔x〕与f2〔x〕图象交点的横坐标为x0＝＋log32．①显然p1<x0＝p2－[〔p2－p1〕－log32]<p2，这表明x0在p1与p2之间．由①易知f〔x〕＝综上可知，在区间[a，b]上，f〔x〕＝故由函数f1〔x〕与f2〔x〕的单调性可知，f〔x〕在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为〔x0－p1〕＋〔b－p2〕，由于f〔a〕＝f〔b〕，即3p1－a＝2·3b－p2，得p1＋p2＝a＋b＋log32．②故由①②得〔x0－p1〕＋〔b－p2〕＝b－〔p1＋p2－log32〕＝．综合①、②可知，f〔x〕在区间[a，b]上单调增区间的长度之和为．第二节对数函数A组1．〔2009年高考广东卷改编〕若函数y＝f〔x〕是函数y＝ax〔a>0，且a≠1〕的反函数，其图象经过点〔，a〕，则f〔x〕＝________．解析：由题意f〔x〕＝logax，∴a＝logaa＝，∴f〔x〕＝logx．答案：logx2．〔2009年高考全国卷Ⅱ〕设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a、b、c的大小关系是____ ____．解析：a＝log3π>1，b＝log2＝log23∈〔，1〕，c＝log3＝log32∈〔0，〕，故有a>b>c ．答案：a>b>c3．若函数f〔x〕＝，则f〔log43〕＝________．解析：0<log43<1，∴f〔log43〕＝4log43＝3．答案：34．如图所示，若函数f〔x〕＝ax－1的图象经过点〔4，2〕，则函数g〔x〕＝loga的图象是________．解析：由已知将点〔4，2〕代入y＝ax－1，∴2＝a4－1，即a＝2>1．又是单调递减的，故g〔x〕递减且过〔0，0〕点，∴④正确．答案：④5．〔原创题〕已知函数f〔x〕＝alog2x＋blog3x＋2，且f〔〕＝4，则f〔2010〕的值为_．解析：设F〔x〕＝f〔x〕－2，即F〔x〕＝alog2x＋blog3x，则F〔〕＝alog2＋blog3＝－〔alog2x＋blog3x〕＝－F〔x〕，∴F〔2010〕＝－F〔〕＝－[f〔〕－2]＝－2，即f〔2010〕－2＝－2，故f〔2010〕＝0．答案：06．若f〔x〕＝x2－x＋b，且f〔log2a〕＝b，log2f〔a〕＝2〔a>0且a≠1〕．〔1〕求f〔log2x 〕的最小值及相应x的值；〔2〕若f〔log2x〕>f〔1〕且log2f〔x〕<f〔1〕，求x的取值范围．。
高三文科数学第一轮复习综合训练题
高三文科数学第一轮复习综合训练题（五）一、选择题1．集合P={x|x 2=1}，Q={x|mx=1}，若Q ⊆P ，则m 等于 （ ）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．0,1或-12．已知函数f （x ）=x-11定义域为M ，g （x ）=ln （1+x ）定义域N ，则M ∩N等于（ ）A ．{x|x>-1}B ．{x|x<1}C ．{x|-1<x<1}D ．φ 3．以下有关命题的说法错误的是（ ） A ．命题“若0232=+-x x 则x=1”的逆否命题为“若023,12≠+-≠x x x 则”B ．“1=x ”是“”0232=+-x x 的充分不必要条件C ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题1,:,01:22≥++∈∀⌝<++∈∃x xR x p x xR x p 均有则使得4．函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ）A ．（3，4）B ．（2，e ）C ．（1，2）D ．（0，1） 5．函数[)⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈=,1,log )1,(,32x x x y x 的值域为（ ）A ．（0，3）B ．[0，3]C ．(]3,∞-D ．[)+∞,06(|log=x y 的图像大致是( )D 7． 下列函数中，图像的一部分如右图所示的是 （ ）A ．sin()6y x π=+B ．sin(2)6y x π=- C ．cos(4)3y x π=-D ．cos(2)6y x π=-8．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（ ） A ．cos 2y x =B ．22cos y x =C ．)42sin(1π++=x yD ．22sin y x =9．已知函数23)(23+-+=x xaxx f 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(-∞，-3)B ． (-∞，-3)C ．(-3,0)D ．[-3,0]10． 已知函数f （221)1xxx x +=-则f （3）=（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11二、填空题： 13．若函数f （x ）=（x-1）（x-a ）为偶函数，则a=___________． 11．若=--∈=-)sin(),0,2(35)2cos(a a a πππ则且___________12．给出下列命题： ①存在实数α,使1cos sin =⋅αα；②存在实数α，使23cos sin =+αα；③函数)23sin(x y +=π是偶函数；④8π=x是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴方程；⑤若βα、是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >；其中正确命题的序号是_______________．三、解答题：13．设条件p ：2x 2-3x+1≤0，条件q ：x 2-（2a+1）x+a （a+1）≤0，若p ¬是q ¬的必要不充分条件，求实数a 的去值范围．14．已知函数f （x ）=ax 3+bx+c (a>0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导数f /(x)的 最小值为-12,求a,b,c 的值．15．已知函数.2321)3(,2)0(,cos sin cos2)(2+==+=πf f x x b x a x f 且（1）求a ，b 的值； （2）求)(x f 的最大值及取得最大值时x 的集合；（3）写出函数)(x f 在[0，π]上的单调递减区间．。
2023年高考数学一轮复习第五章平面向量与复数3平面向量的数量积练习含解析
平面向量的数量积考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理 1．向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角． 2．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积，记作a ·b .3．平面向量数量积的几何意义设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 与b 是方向相同的单位向量，AB →＝a ，CD →＝b ，过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1—→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1—→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．记为|a |cos θe . 4．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.几何表示 坐标表示数量积 a·b ＝|a ||b |cos θa·b ＝x 1x 2＋y 1y 2模|a |＝a ·a|a |＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 a∥b 的充要条件a ＝λb (λ∈R )x 1y 2－x 2y 1＝0|a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b |≤|a ||b | (当且仅当a ∥b 时等号成立)|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21x 22＋y 22常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (2)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a ，b .(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0；若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0. (2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b <0；若a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角或π. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( × )(2)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角．( × )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ ) (4)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) 教材改编题1．(多选)(2022·海南省临高二中模拟)设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是( ) A ．0·a ＝0B ．a ·b ＝b ·c ，则a ＝cC ．a ·b ＝0⇒a ⊥bD ．(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2答案 CD2．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 33．已知向量a ，b 满足3|a |＝2|b |＝6，且(a －2b )⊥(2a ＋b )，则a ，b 夹角的余弦值为________．9解析 设a ，b 的夹角为θ， 依题意，(a －2b )·(2a ＋b )＝0， 则2a 2－3a ·b －2b 2＝0，故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0， 则cos θ＝－59.题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2021·北京)a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)，则(a ＋b )·c ＝_________；a ·b ＝________. 答案 0 3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)， ∴a ＋b ＝(4,0)，∴(a ＋b )·c ＝4×0＋0×1＝0，a ·b ＝2×2＋1×(－1)＝3.(2)(2022·广州模拟)在平面四边形ABCD 中，已知AB →＝DC →，P 为CD 上一点，CP →＝3PD →，|AB →| ＝4，|AD →|＝3，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝23，则AP →·PB →＝________.答案 －2 解析 如图所示，∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∵CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝14AB →＋AD →，PB →＝AB →－AP →＝34AB →－AD →，又∵|AB →|＝4，|AD →|＝3，3则AB →·AD →＝4×3×23＝8，∴AP →·PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫34AB →－AD →＝12AB →·AD →－AD →2＋316AB →2＝12×8－9＋316×42＝－2. 教师备选1．(2019·全国Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →等于( ) A ．－3B ．－2C ．2D ．3 答案 C解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)， 所以|BC →|＝12＋t －32＝1，解得t ＝3， 所以BC →＝(1,0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.2．在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点．①若BD →＝xBA →＋yBC →，则x ＋y ＝________；②BD →·BM →＝________. 答案 341解析 ①∵M 是BC 的中点， ∴BM →＝12BC →，∵D 是AM 的中点，∴BD →＝12BA →＋12BM →＝12BA →＋14BC →，∴x ＝12，y ＝14，∴x ＋y ＝34.②∵△ABC 是边长为2的正三角形，M 是BC 的中点， ∴AM ⊥BC ，且BM ＝1，∴BD →·BM →＝|BD →||BM →|cos∠DBM ＝|BM →|2＝1.思维升华 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________. 答案 －92解析 由已知可得(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝9＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0， 因此a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－92.(2)(2020·北京)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________. 答案5 －1解析 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．∴点P 的坐标为(2,1)，点D 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(2,0)， ∴|PD →|＝5，PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)， ∴PB →·PD →＝－1.题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 向量的模例2 已知向量a ，b 满足|a |＝6，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |＝____________，|a －3b |＝________. 答案 219 6 3解析 因为|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝6×4×12＝12，(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝36＋24＋16＝76， (a －3b )2＝a 2－6a·b ＋9b 2＝36－72＋144 ＝108，所以|a ＋b |＝219，|a －3b |＝6 3. 命题点2 向量的夹角例3 (2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935C.1735D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. 命题点3 向量的垂直例4 (2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(3,4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________. 答案 35解析 方法一 a －λb ＝(1－3λ，3－4λ)， ∵(a －λb )⊥b ，∴(a －λb )·b ＝0， 即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0， ∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝35.方法二 由(a －λb )⊥b 可知，(a －λb )·b ＝0，即a ·b －λb 2＝0， 从而λ＝a ·b b 2＝1，3·3，432＋42＝1525＝35. 教师备选1．已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 B解析 设a 与b 的夹角为α， ∵(a －b )⊥b ， ∴(a －b )·b ＝0， ∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |， ∴cos α＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3.2．已知e 1，e 2是两个单位向量，且|e 1＋e 2|＝3，则|e 1－e 2|＝________. 答案 1解析 由|e 1＋e 2|＝3，两边平方， 得e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝3.又e 1，e 2是单位向量， 所以2e 1·e 2＝1，所以|e 1－e 2|2＝e 21－2e 1·e 2＋e 22＝1， 所以|e 1－e 2|＝1.思维升华 (1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解． (2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b|a ||b |，求解时应求出a ·b ，|a |，|b |的值或找出这三个量之间的关系；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |(其中a ≠0，b ≠0)．跟踪训练2 (1)已知单位向量a ，b 满足a ·b ＝0，若向量c ＝7a ＋2b ，则sin 〈a ，c 〉等于( ) A.73B.23C.79D.29答案 B解析 方法一 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，则c ＝(7，2)，∴cos〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝73，∴sin〈a ，c 〉＝23. 方法二 a ·c ＝a ·(7a ＋2b ) ＝7a 2＋2a ·b ＝7， |c |＝7a ＋2b2＝7a 2＋2b 2＋214a ·b ＝7＋2＝3，∴cos〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝71×3＝73，∴sin〈a ，c 〉＝23. (2)(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1,0)，则( ) A ．|OP 1—→|＝|OP 2—→| B ．|AP 1—→|＝|AP 2—→| C.OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→ D.OA →·OP 1—→＝OP 2—→·OP 3—→ 答案 AC解析 由题意可知，|OP 1—→|＝cos 2α＋sin 2α＝1， |OP 2—→|＝cos 2β＋－sin β2＝1，所以|OP 1—→|＝|OP 2—→|，故A 正确； 取α＝π4，则P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，取β＝5π4，则P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22， 则|AP 1—→|≠|AP 2—→|，故B 错误； 因为OA →·OP 3—→＝cos(α＋β)，OP 1—→·OP 2—→＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→，故C 正确； 因为OA →·OP 1—→＝cos α，OP 2—→·OP 3—→＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β) ＝cos(α＋2β)， 取α＝π4，β＝π4，则OA —→·OP 1—→＝22，OP 2—→·OP 3—→＝cos 3π4＝－22，所以OA →·OP 1—→≠OP 2—→·OP 3—→，故D 错误． 题型三 平面向量的实际应用例5 (多选)(2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示)．假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，且F 1与F 2的夹角为θ，则以下结论正确的是( )A ．|F 1|的最小值为12|G |B ．θ的范围为[0，π]C ．当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |D ．当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |答案 ACD解析 由题意知，F 1＋F 2＋G ＝0， 可得F 1＋F 2＝－G ，两边同时平方得 |G |2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos θ ＝2|F 1|2＋2|F 1|2cos θ， 所以|F 1|2＝|G |221＋cos θ.当θ＝0时，|F 1|min ＝12|G |；当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |；当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |，故A ，C ，D 正确；当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B 错误． 教师备选若平面上的三个力F 1，F 2，F 3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F 1|＝1 N ，|F 2|＝6＋22N ，F 1与F 2的夹角为45°，求：(1)F 3的大小；(2)F 3与F 1夹角的大小． 解 (1)∵三个力平衡， ∴F 1＋F 2＋F 3＝0，∴|F 3|＝|F 1＋F 2|＝|F 1|2＋2F 1·F 2＋|F 2|2＝12＋2×1×6＋22cos45°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222＝4＋23＝1＋ 3.(2)方法一 设F 3与F 1的夹角为θ， 则|F 2|＝|F 1|2＋|F 3|2＋2|F 1||F 3|cos θ， 即6＋22＝12＋1＋32＋2×1×1＋3cos θ，解得cos θ＝－32， ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝5π6.方法二 设F 3与F 1的夹角为θ， 由余弦定理得cos(π－θ)＝12＋1＋32－⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2222×1×1＋3＝32，∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6.思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3 (2022·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10km/h ，水流速度的大小为|ν2|＝6km/h.设ν1与ν2的夹角为120°，北岸的点A ′在码头A 的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应( )A ．在A ′东侧B ．在A ′西侧C ．恰好与A ′重合D ．无法确定答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得ν1＝(－5，53)，ν2＝(6,0)， 所以ν1＋ν2＝(1,53)，说明游船有x 轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A ′东侧．极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则有恒等式a ·b ＝14[]a ＋b2－a －b2.如图所示．(1)在平行四边形ABDC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，则a·b ＝14(|AD →|2－|BC →|2)．(2)在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，AM 为中线，则a·b ＝|AM →|2－14|BC →|2.例1 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案 －16解析 如图所示，由极化恒等式，易得AB →·AC →＝AM →2－MB →2＝32－52＝－16.例2 已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则PA →·PB →的最小值是________． 答案 1解析 如图所示，由极化恒等式易知，当OP 垂直于直线x －y ＋2＝0时，PA →·PB →有最小值，即PA →·PB →＝PO →2－OB →2＝(2)2－12＝1.例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A ．1B ．2C.2D.22答案 C解析 如图所示，设OA →⊥OB →，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，M 为AB 的中点，由极化恒等式有(a －c )·(b －c )＝CA →·CB →＝|CM →|2－|AB →|24＝0，∴|CM →|2＝|AB →|24＝12，可知MC →是有固定起点，固定模长的动向量．点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，且点O 也在此圆上， 所以|c |的最大值为圆的直径长，即为 2.课时精练1．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A ．a ＋2b B ．2a ＋b C ．a －2b D ．2a －b 答案 D解析 由题意得|a |＝|b |＝1， 设a ，b 的夹角为θ＝60°， 故a ·b ＝|a ||b |cos θ＝12.对A 项，(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2b 2＝12＋2＝52≠0； 对B 项，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2 ＝2×12＋1＝2≠0；对C 项，(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2 ＝12－2＝－32≠0； 对D 项，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2×12－1＝0.2．(2022·石家庄模拟)已知向量a ＝(2，－2)，b ＝(2,1)，b ∥c ，a ·c ＝4，则|c |等于( ) A ．2 5 B ．4 C ．5 2 D ．4 2答案 A解析 因为b ∥c ，所以c ＝λb ＝(2λ，λ)(λ∈R )， 又a ·c ＝4λ－2λ＝2λ＝4，所以λ＝2，c ＝(4,2)，|c |＝42＋22＝2 5.3．(2022·沈阳模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则a －b 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 D解析 |a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，等号左右同时平方，得|a ＋b |2＝|a －b |2＝4|a |2，即|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝4|a |2， 所以a ·b ＝0且|b |2＝3|a |2， 所以|a －b |＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝233|b |，所以cos 〈a －b ，b 〉＝a －b ·b|a －b ||b |＝－|b |2233|b |·|b |＝－32， 因为〈a －b ，b 〉∈[0，π]，所以〈a －b ，b 〉＝5π6.4．已知a ＝(－2,1)，b ＝(k ，－3)，c ＝(1,2)，若(a －2b )⊥c ，则与b 共线的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫255，－55或⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，55B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－55或⎝ ⎛⎭⎪⎫255，55C.⎝⎛⎭⎪⎫255，55 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，55答案 A解析 由题意得a －2b ＝(－2－2k ,7)， ∵(a －2b )⊥c ， ∴(a －2b )·c ＝0，即(－2－2k ,7)·(1,2)＝0，－2－2k ＋14＝0， 解得k ＝6， ∴b ＝(6，－3)， ∴e ＝±b62＋－32＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫255，－55.5．(多选)(2022·盐城模拟)下列关于向量a ，b ，c 的运算，一定成立的有( ) A ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c B ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ) C ．a ·b ≤|a |·|b | D ．|a －b |≤|a |＋|b | 答案 ACD解析 根据数量积的分配律可知A 正确；选项B 中，左边为c 的共线向量，右边为a 的共线向量，故B 不正确； 根据数量积的定义，可知a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉≤|a |·|b |，故C 正确；|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos〈a ，b 〉≤|a |2＋|b |2＋2|a ||b |＝(|a |＋|b |)2，故|a －b |≤|a |＋|b |，故D 正确．6．(多选)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(m －2，－n )，其中m ，n 均为正数，且(a －b )∥c ，则下列说法正确的是( ) A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b 上的投影向量为22b C ．2m ＋n ＝4 D ．mn 的最大值为2 答案 CD解析 对于A ，向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)， 则a·b ＝2－1＝1>0， 又a ，b 不共线，所以a ，b 的夹角为锐角，故A 错误； 对于B ，向量a 在b 上的投影向量为a·b |b |·b |b |＝12b ，B 错误；对于C ，a －b ＝(1,2)，若(a －b )∥c ，则－n ＝2(m －2)，变形可得2m ＋n ＝4，C 正确； 对于D ，由2m ＋n ＝4，且m ，n 均为正数，得mn ＝12(2m ·n )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋n 22＝2，当且仅当m ＝1，n ＝2时，等号成立，即mn 的最大值为2，D 正确．7．(2021·全国甲卷)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,0)，c ＝a ＋k b .若a ⊥c ，则k ＝________. 答案 －103解析 c ＝(3,1)＋(k ,0)＝(3＋k ,1)，a ·c ＝3(3＋k )＋1×1＝10＋3k ＝0，得k ＝－103.8．(2020·全国Ⅰ)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析 将|a ＋b |＝1两边平方，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝1. ∵a 2＝b 2＝1，∴1＋2a ·b ＋1＝1，即2a ·b ＝－1. ∴|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－－1＋1＝ 3.9．(2022·长沙模拟)在△ABC 中，BC 的中点为D ，设向量AB →＝a ，AC →＝b . (1)用a ，b 表示向量AD →；(2)若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，求AB →·AD →的值． 解 (1)AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ， 所以AD →＝12a ＋12b .(2)AB →·AD →＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b＝12a 2＋12a·b ＝12×32＋12×3×2×cos60°＝6， 所以AB →·AD →＝6.10．(2022·湛江模拟)已知向量m ＝(3sin x ，cos x －1)，n ＝(cos x ，cos x ＋1)，若f (x )＝m·n .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在Rt△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若∠A ＝90°，f (C )＝0，c ＝3，CD 为∠BCA 的角平分线，E 为CD 的中点，求BE 的长． 解 (1)f (x )＝m·n ＝3sin x ·cos x ＋cos 2x －1 ＝32sin2x ＋12cos2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－12.令2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)f (C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6－12＝0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12，又C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以C ＝π3.在△ACD 中，CD ＝233，在△BCE 中，BE ＝22＋⎝⎛⎭⎪⎫332－2×2×33×32＝213.11．(2022·黄冈质检)圆内接四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，BD 是圆的直径，则AC →·BD →等于( ) A ．12 B ．－12 C ．20 D ．－20答案 B解析 如图所示，由题知∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AD ＝2，CD ＝4，∴AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·BD → ＝AD →·BD →＋DC →·BD →＝|AD →||BD →|cos∠BDA －|DC →||BD →|cos∠BDC ＝|AD →|2－|DC →|2＝4－16＝－12.12．在△ABC 中，已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形 答案 A解析 AB→|AB →|，AC→|AC →|分别为与AB →，AC →方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量AB →|AB →|＋AC→|AC →|所在的直线为∠BAC 的平分线．因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0， 所以∠BAC 的平分线垂直于BC ， 所以AB ＝AC .又AB→|AB →|·AC→|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos∠BAC ＝12， 所以cos∠BAC ＝12，∠BAC ＝60°.所以△ABC 为等边三角形．13.(2022·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1，F 2，且F 1，F 2与水平夹角均为45°，|F 1|＝|F 2|＝102N ，则物体的重力大小为________N.答案 20解析 如图所示，∵|F 1|＝|F 2|＝102N ， ∴|F 1＋F 2|＝102×2＝20N ， ∴物体的重力大小为20N.14．(2021·天津)在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE ⊥AB 且交AB 于点E ，DF ∥AB 且交AC 于点F ，则|2BE →＋DF →|的值为________；(DE →＋DF →)·DA →的最小值为________． 答案 11120解析 设BE ＝x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， ∵△ABC 为边长为1的等边三角形，DE ⊥AB ， ∴∠BDE ＝30°，BD ＝2x ，DE ＝3x ，DC ＝1－2x ，∵DF ∥AB ，∴△DFC 为边长为1－2x 的等边三角形，DE ⊥DF ，∴(2BE →＋DF →)2＝4BE →2＋4BE →·DF →＋DF →2＝4x 2＋4x (1－2x )×cos0°＋(1－2x )2＝1， ∴|2BE →＋DF →|＝1，∵(DE →＋DF →)·DA →＝(DE →＋DF →)·(DE →＋EA →)＝DE →2＋DF →·EA →＝(3x )2＋(1－2x )×(1－x )＝5x 2－3x ＋1＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3102＋1120， ∴当x ＝310时，(DE →＋DF →)·DA →的最小值为1120.15．(多选)定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论，正确的是( ) A ．a ⊗b ＝b ⊗aB ．λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )C ．(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗cD ．若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1 答案 AD解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a ·b ＝b ·a ＝b ⊗a ，故A 正确；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故B 错误；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a ·c ＋b ·c ，显然|a ＋b －c |≠a ·c ＋b ·c ，故C 错误；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a ·e |<|a |·|e |<|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故D 正确．16．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝ (cos B ，cos A )，m ·n ＝sin2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c . 解 (1)m ·n ＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )，在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ,0<C <π， 所以sin(A ＋B )＝sin C ， 所以m·n ＝sin C ， 又m·n ＝sin2C ，所以sin2C ＝sin C ，cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，故C ＝π3. (2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列， 可得2sin C ＝sin A ＋sin B ， 由正弦定理得2c ＝a ＋b .21 因为CA →·(AB →－AC →)＝18， 所以CA →·CB →＝18，即ab cos C ＝18，ab ＝36. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36， 所以c ＝6.。
2020高考数学第一轮总复习 2-5(基础巩固强化+能力拓展提升+备选题库+优化指导,含解析)新人教版B版
【优化指导】2013年高考数学第一轮总复习 2-5（基础巩固强化+能力拓展提升+备选题库+优化指导，含解析）新人教版B 版1.(文)(2012·内蒙古包头模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 12 ，x >0，12x，x ≤0，则f [f (－4)]＝( )A ．－4B ．－14 C ．4 D ．6[答案] C[解析] f (－4)＝(12)－4＝16，f [f (－4)]＝f (16)＝1612＝4.(理)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ， －1≤x <0，4x ， 0≤x ≤1.则f (log 43)＝( )A.13B.43 C ．3 D ．4 [答案] C[解析] ∵0<log 43<1，∴f (log 43)＝4log 43＝3.2．(文)下列四个数中最大的是( ) A ．(ln2)2B ．ln(ln2)C ．ln 2D ．ln2 [答案] D[解析] 由0<ln2<1，得ln(ln2)<0，因此ln(ln2)是最小的一个；由于ln x 为增函数，因此ln 2<ln2；那么最大的只能是A 或D ；因为0<ln2<1，故(ln2)2<ln2.(理)(2011·重庆文，6)设a ＝log 13 12，b ＝log 13 23，c ＝log 334，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a[答案] B[解析] ∵a ＝log 13 12，b ＝log 13 23，log 13x 单调递减而12<23，∴a >b >0，又c <0.故c <b <a .3．(2012·豫南四校调研考试)设f (x )＝lg(21－x ＋a )是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数是( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数 [答案] D[解析] 由题意可知，f (0)＝0，即lg(2＋a )＝0，解得a ＝－1，故f (x )＝lg 1＋x1－x ，函数f (x )的定义域是(－1,1)，在此定义域内f (x )＝lg1＋x1－x＝lg(1＋x )－lg(1－x )，函数y 1＝lg(1＋x )是增函数，函数y 2＝lg(1－x )是减函数，故f (x )＝y 1－y 2是增函数．选D.4．(文)函数f (x )＝|log 12x |的图象是( )[答案] A[解析] f (x )＝|log 12x |＝|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x ≥1，－log 2x0<x <1.故选A.[点评] 可用筛选取求解，f (x )的定义域为{x |x >0}，排除B 、D ，f (x )≥0，排除C ，故选A.(理)(2012·河南豫东、豫北十所名校段测)函数y ＝ln|1x|与y ＝－x 2＋1在同一平面直角坐标系内的大致图象为( )[答案] C[解析] y ＝ln|1x |为偶函数，当x >0时，y ＝ln 1x＝－ln x 为减函数，故排除A 、B ；y ＝－x 2＋1≤0，其图象在x 轴下方，排除D ，故选C.5．(2012·广东深圳市一调)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 的零点个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] C[解析] 由题意得f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ln 2x ， x >1，－ln 2x ， x ＝1，－1－ln 2x ， 0<x <1，则令1－ln 2x ＝0⇒x ＝e 或x ＝1e(舍去)；令－ln 2x ＝0⇒x ＝1；当－1－ln 2x ＝0时，方程无解，所以f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 有两个零点，故选C. 6．已知函数f (x )＝(15)x－log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )A ．不小于0B ．恒为正数C ．恒为负数D ．不大于0[答案] B[解析] 若实数x 0是方程f (x )＝0的解，即x 0是函数y ＝(15)x和y ＝log 3x 的图象的交点的横坐标，因为0<x 1<x 0，画图易知(15)x 1>log 3x 1，所以f (x 1)恒为正数．7．(文)函数y ＝log 232－x2的定义域为________．[答案] {x |1≤x <2或－2<x ≤－1}[解析] 要使函数有意义，应满足log 23(2－x 2)≥0，∵y ＝log 23x 为减函数，∴0<2－x 2≤1，∴1≤x 2<2，∴1≤x <2或－2<x ≤－1. (理)函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x －1的定义域是________． [答案] (－∞，0)∪(1，＋∞) [解析] 要使f (x )有意义，应有1＋1x －1>0， ∴xx －1>0，∴x <0或x >1.8．方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是________． [答案] x ＝5[解析] 原方程化为log 3(x 2－10)＝log 3(3x )，由于log 3x 在(0，＋∞)上严格单增，则x 2－10＝3x ，解之得x 1＝5，x 2＝－2.∵要使log 3x 有意义，应有x >0，∴x ＝5.9．对任意实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .则函数f (x )＝log12(3x －2)*log 2x 的值域为________．[答案] (－∞，0][解析] 易知函数f (x )的定义域为(23，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y ＝log12(3x －2)和y ＝log 2x 的图象，由a *b 的定义可知，f (x )的图象为图中实线部分，∴由图象可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，23<x ≤1，log 123x －2，x >1.的值域为(－∞，0]．10．(文)已知函数f (x )＝log a (a x－1)(a >0且a ≠1)． (1)证明函数f (x )的图象在y 轴的一侧；(2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)(x 1<x 2)是f (x )图象上两点，证明直线AB 的斜率大于0. [证明] (1)由a x－1>0，得a x>1.当a >1时，解得x >0，此时f (x )的图象在y 轴右侧； 当0<a <1时，解得x <0，此时f (x )的图象在y 轴左侧． ∴对a >0且a ≠1的任意实数a ，f (x )的图象总在y 轴一侧． (2)①当a >1时，x >0，由0<x 1<x 2得，1<ax 1<ax 2， ∴0<ax 1－1<ax 2－1，即ax 2－1ax 1－1>1. ∴f (x 2)－f (x 1)＝log a (ax 2－1)－log a (ax 1－1) ＝log aax 2－1ax 1－1>0. 直线AB 的斜率k AB ＝f x 2－f x 1x 2－x 1>0.②当0<a <1时，由x 1<x 2<0得，ax 1>ax 2>1，f (x 2)－f (x 1)>0.同上可得k AB >0.(理)(2011·郑州模拟)已知函数f (x )＝lg(a x－b x)(a >1>b >0)． (1)求y ＝f (x )的定义域；(2)在函数y ＝f (x )的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴； (3)当a 、b 满足什么条件时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值． [解析] (1)由a x－b x>0得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x >1， ∵a >1>b >0，∴a b>1，∴x >0. ∴f (x )的定义域是(0，＋∞)． (2)任取x 1、x 2∈(0，＋∞)且x 1>x 2， ∵a >1>b >0，∴ax 1>ax 2>1，bx 1<bx 2<1 ∴ax 1－bx 1>ax 2－bx 2>0 ∴lg(ax 1－bx 1)>lg(ax 2－bx 2)故f (x 1)>f (x 2)∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．假设y ＝f (x )的图象上存在不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使过A 、B 两点的直线平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f (x )是增函数矛盾．故函数y ＝f (x )的图象上不存在不同两点，使过这两点的直线平行于x 轴．(3)∵f (x )是增函数，∴当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)． 这样只需f (1)≥0，即lg(a －b )≥0，∴a －b ≥1. 即当a ≥b ＋1时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值.能力拓展提升11.(文)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x >0，2x ＋1， x ≤0.的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] D[解析] f (x )＝2x ＋1(x ≤0)有一个零点x ＝－12，而f (x )＝ln x －x 2＋2x (x >0)的零点可以借助于y 1＝ln x (x >0)与y 2＝x 2－2x (x >0)的图象来确定，它们的图象有两个交点，选D.(理)定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2012x＋log 2012x ，则方程f (x )＝0的实根的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．5 [答案] C[解析] 当x >0时，f (x )＝0即2012x＝－log 2012x ，在同一坐标系下分别画出函数f 1(x )＝2012x，f 2(x )＝－log 2012x 的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f (x )＝0只有一个实根，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x <0时，方程f (x )＝0也有一个实根，又因为f (0)＝0，所以方程f (x )＝0的实根的个数为3.12．(文)(2011·荆州二检)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 [答案] C[解析] ∵函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过点(－2，－1)，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，于是1m ＋2n ＝(1m ＋2n )(2m ＋n )＝2＋2＋n m ＋4m n ≥8.等号在n ＝12，m ＝14时成立．(理)设正数x 、y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．(0,6]B ．[6，＋∞)C ．[1＋7，＋∞)D ．(0,1＋7][答案] B[解析] ∵log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )， ∴x ＋y ＋3＝xy . 由x 、y ∈R ＋知xy ≤(x ＋y2)2，∴x ＋y ＋3≤(x ＋y2)2.令x ＋y ＝A ，∴A ＋3≤A 24，∴A ≥6或A ≤－2(舍去)，故选B.13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)[答案] C[解析] 当a >0时，由f (a )>f (－a )得：log 2a >log 12a ，即log 2a >log 21a ，即a >1a，解得a >1；当a <0时，由f (a )>f (－a )得：log 12(－a )>log 2(－a )，即log 2(－1a)>log 2(－a )，即－1a>－a ，解得－1<a <0，故选C.14．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对∀x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝(12)x－1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________．[答案] (34，2)[解析] ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期为4，当x ∈[0,2]时，－x ∈[－2,0]，∴f (－x )＝2x －1，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，依据其周期性和对称性，画出f (x )在(－2,6]上的图象，当y ＝log a (x ＋2)的图象与f (x )在(－2,6]上的图象恰有3个交点时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 6＋2>3，log a 2＋2<3，∴34<a <2.15．已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围．(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)由题意，3－ax >0对一切x ∈[0,2]恒成立，∵a >0且a ≠1，∴g (x )＝3－ax 在[0,2]上是减函数，从而g (2)＝3－2a >0得a <32.∴a 的取值范围为(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)假设存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 由题设f (1)＝1，即log a (3－a )＝1，∴a ＝32，此时f (x )＝log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32x ，当x ＝2时，函数f (x )没有意义，故这样的实数a不存在．16．(文)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a >0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0.得－3<x <1，所以函数的定义域为{x |－3<x <1}．f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)，设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2， 所以t ≤4，又t >0，则0<t ≤4.当a >1时，y ≤log a 4，值域为{y |y ≤log a 4}， 当0<a <1时，y ≥log a 4，值域为{y |y ≥log a 4}． (2)由题意及(1)知：当0<a <1时，函数有最小值，所以log a 4＝－2，解得a ＝12.(理)已知函数f (x )＝log 122－axx －1(a 是常数且a <2)．(1)求f (x )的定义域；(2)若f (x )在区间(2,4)上是增函数，求a 的取值范围． [解析] (1)∵2－axx －1>0，∴(ax －2)(x －1)<0，①当a <0时，函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a ∪(1，＋∞)；②当a ＝0时，函数的定义域为(1，＋∞)；③当0<a <2时，函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫1，2a .(2)∵f (x )在(2,4)上是增函数，∴只要使2－axx －1在(2,4)上是减函数且恒为正即可．令g (x )＝2－axx －1，即当x ∈(2,4)时g ′(x )≤0恒成立且g (4)≥0. 解法一：g ′(x )＝－ax －1－2－ax x －12＝a －2x －12，∴当a －2<0，即a <2时，g ′(x )≤0.g (4)≥0，即1－2a ≥0，∴a ≤12，∴a ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.解法二：∵g (x )＝2－ax x －1＝－a ＋2－ax －1，∴要使g (x )＝－a ＋2－ax ＋1在(2,4)上是减函数，只需2－a >0，∴a <2，以下步骤同解法一．1．(2011·四川文，4)函数y ＝(12)x＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )[答案] A [解析]解法一：作y ＝(12)x 的图象，然后向上平移1个单位，得y ＝(12)x＋1的图象，再把图象关于y ＝x 对称即可．解法二：令x ＝0得y ＝2，∴对称图象过点(2,0)，排除C 、D ；又令x ＝－1得y ＝3，∴对称图象过点(3，－1)，排除B ，故选A.2．设函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若x i >0(i ＝1,2，…，2015)，f (x 1·x 2·x 3·…·x 2015)＝50，则f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22015)的值等于( )A ．2500B ．50C ．100D ．log a 50 [答案] C[分析] 根据对数的运算性质，log a (MN )＝log a M ＋log a N ，log a M 2＝2log a M (M >0，N >0)求解．[解析] 由f (x 1·x 2·x 3·…·x 2015)＝50得，log a x 1＋log a x 2＋…＋log a x 2015＝50而f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22015)＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22015＝2(log a x 1＋log a x 2＋…log a x 2015)＝2×50＝100，故选C.3．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ， x >0，gx ， x <0.是偶函数，f (x )＝log a x 对应的图象如右图所示，则g (x )＝( )A ．2xB ．log 12(－x )C ．log 2(－x )D ．－log 2(－x )[答案] C[解析] ∵f (x )＝log a x 的图象过点(2,1)，∴log a 2＝1，∴a ＝2，即f (x )＝log 2x ，设h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ， x >0，g x ， x <0.当x <0时，－x >0，∴h (－x )＝f (－x )＝log 2(－x )，又h (x )为偶函数，∴h (－x )＝h (x )，∴当x <0时，h (x )＝log 2(－x )，即g (x )＝log 2(－x )．4．(2012·湖南文，7)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b ； ②a c <b c；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③[答案] D[解析] 本题考查不等式性质，比较大小． c a －c b ＝c b －a ab ，∵a >b >1，c <0，∴c b －a ab >0，c a >c b，①正确；a >b >1，a c <b c ，②正确；∵a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log b (b －c )>log a (b －c )，③正确．[点评] 比较大小的方法有作差法、单调性法等．5．函数f (x )＝ln 1－x 1＋x的图象只可能是( )[答案] A[解析] 本题用排除法，注意到本题中f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，从而排除B 、C 选项．又由u (x )＝－1＋21＋x 在定义域{x |－1<x <1}内是减函数，而g (x )＝ln x 在定义域(0，＋∞)内是增函数，从而f (x )＝ln 1－x 1＋x ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋21＋x 在定义域{x |－1<x <1}内是减函数．故选A.6．已知函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上恒有|f (x )|>1，则( )A ．0<a <12或1<a <2 B ．0<a <12或a >2 C.12<a <1或1<a <2 D.12<a <1或a >2 [答案] C[解析] ①若a >1，则f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上是增函数，且当x ≥2时，f (x )>0. 由|f (x )|>1得f (x )>1，即log a x >1.∵当x ∈[2，＋∞)时，log a x >1恒成立，∴log a 2>1，∴log a 2>log a a ，∴1<a <2.②若0<a <1，则f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上是减函数．同理可得12<a <1. [点评] 用数形结合法解更简便些．。
2025届高考数学一轮复习人教A版多选题专题练：第五章 三角函数(含解析)
6
63
6 3 23
2
不符合条件.
当 7 时， f (x) sin(7 x π ) ，当 x [π, 2π] 时， 7 x π [3π , 8π ] ， f (x) [1,1] ，
6
63
6 3 23
不符合条件.
综上，当 1 时， f (x) sin(x π ) ，符合条件，故 B 错误;
6
2
（纵坐标不变），得到函数 g x 的图象，则下列关于函数 g x 的说法中正确的是( )
A.在
π 6
,
5π 12
上单调递增
B.当
x
π 2
,
π
时，函数
g
x
的值域是
2,1
C.其图象关于直线 x 5π 对称 6
D.直线 y 2 3x 1为曲线 y g x 的切线
10．已知函数
f
x
sin
y
sin
2x
π 4
的图象的是(
)
A.先将 y cos x 的图象上各点的横坐标缩小为原来的 1 ,再向右平移 3π 个单位长度
2
8
B.先将 y sin x 的图象上各点的横坐标缩小为原来的 1 ,再向右平移 π 个单位长度
2
8
C.先将 y sin x 的图象向右平移 π 个单位长度,再将各点的横坐标缩小为原来的 1
与单位圆
O
交于点
P
2 10
,
y
,则(
)
A. sin 7 2 10
B. tan 5
C. cos 2 24 25
D.
sin
2
π 4
17 2 50
1．答案：AD
2020版新高考数学一轮(鲁京津琼)精练：阶段强化练(五) (含解析)
阶段强化练(五)一、选择题1．(2019·淄博期中)下列说法正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a >b >0，则a ＋1b >b ＋1aD ．若a ，b ∈R ，则a ＋b2≥ab答案 C解析 对于A ，a ＝8，b ＝2，c ＝7，d ＝－1，此时a －c ＝1，b －d ＝3，显然不成立； 对于B ，当c ＜0时，a ＜b ，显然不成立； 对于C ，∵a ＞b ＞0，∴a ＋1b －b －1a ＝(a －b )＋a －b ab＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab ＞0，∴a ＋1b ＞b ＋1a ，显然成立； 对于D ，当a ＝b ＝－1时，显然不成立， 故选C.2．(2019·内蒙古包头四中期中)不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <13，则a ＋b 等于( )A ．14B ．－14C ．－10D ．10 答案 B解析 由题意可得，不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <13，所以方程ax 2＋bx ＋2＝0的解为－12或13，所以－b a ＝－16，2a ＝－16.所以a ＝－12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－14. 故选B.3．已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24 答案 B解析 由3a ＋1b ≥ma ＋3b ，得m ≤(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝9b a ＋ab ＋6. 又9b a ＋ab＋6≥29＋6＝12 ⎝⎛⎭⎫当且仅当9b a ＝a b ，即a ＝3b 时等号成立，∴m ≤12，∴m 的最大值为12. 4．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2}答案 A解析 ∵x 2＋x ＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0， ∴x ≠－2.∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．5．(2019·重庆朝阳中学期中)关于x 的不等式x 2－(m ＋1)x ＋(m ＋1)≥0对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．[－3，1]B ．[－3，3]C ．[－1，1]D ．[－1，3] 答案 D解析 ∵关于x 的不等式x 2－(m ＋1)x ＋(m ＋1)≥0对一切x ∈R 恒成立， ∴Δ＝(m ＋1)2－4(m ＋1)＝(m ＋1)(m －3)≤0， 解得－1≤m ≤3，∴实数m 的取值范围为[－1，3]．故选D.6．(2019·湖北重点高中联考)设a >0，b >0，若a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值是( )A ．4B ．8C ．2 D.14答案 A解析 由题意1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时取等号．故选A.7．(2019·新疆昌吉教育共同体月考)在1和17之间插入n －2个数，使这n 个数成等差数列，若这n －2个数中第一个为a ，第n －2个为b ，当1a ＋25b 取最小值时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 D解析 由已知得a ＋b ＝18，则1a ＋25b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋25b ×a ＋b 18＝118⎝⎛⎭⎫1＋25＋b a ＋25a b ≥118(26＋10)＝2，所以当且仅当b ＝5a 时取等号，此时a ＝3，b ＝15，可得n ＝9.故选D. 8．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a >15C ．a <15D ．a ≤15答案 A解析 因为对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对任意x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋3x ＋1max ，而对任意x ∈(0，＋∞)， x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x ＋3＝15， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，∴a ≥15.9．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2 答案 A解析 圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程为 x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0，1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5. 因为b ，c >0， 所以4c b ＋b c≥24c b ·bc＝4. 当且仅当4c b ＝bc 时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1， 即当b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9.10．若不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－35，1 解析 ①当a 2－1＝0时，a ＝1或a ＝－1.若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立，满足题意． 若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0， 即x <12，不合题意，舍去．②当a 2－1≠0，即a ≠±1时， 原不等式的解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝[－(a －1)]2＋4(a 2－1)<0，解得－35<a <1. 综上，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－35，1. 11．(2019·湖南五市十校联考)已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当abc 取得最大值时，3a ＋1b －12c 的最大值为( )A ．3 B.94 C ．1 D ．0答案 C解析 由正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，得a 2c －2ab c ＋9b 2c ＝1≥4ab c， 当且仅当a 2c ＝9b 2c ，即a ＝3b 时，ab c 取最大值14，又因为a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，所以此时c ＝12b 2，所以3a ＋1b －12c ＝1b ⎝⎛⎭⎫2－1b ， 最大值为1.12．(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)已知直线x ＝t 分别与函数f (x )＝log 2(x ＋1)和g (x )＝2log 2(x ＋2)的图象交于P ，Q 两点，则P ，Q 两点间的最小距离为( ) A ．4 B ．1 C. 2 D ．2 答案 D解析 根据题意得，P ，Q 两点间的距离即两点的纵坐标差值的绝对值， |PQ |＝2log 2(t ＋2)－log 2(t ＋1)＝log 2(t ＋2)2t ＋1，设t ＋1＝u ，t ＝u －1>－1，即u >0， 原式＝log 2(u ＋1)2u ＝log 2⎝⎛⎭⎫u ＋1u ＋2， 根据基本不等式得到u ＋1u ＋2≥4，故log 2⎝⎛⎭⎫u ＋1u ＋2≥2. 当且仅当u ＝1，t ＝0时取得最值．故选D. 二、填空题13．若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两个正实根，则m 的取值范围是________． 答案 (0，1]解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，x 1＋x 2＝3－m ＞0，x 1x 2＝m ＞0，解得0<m ≤1.14．(2019·凉山诊断)函数y ＝2x 2＋1x (x >0)的值域是____________．答案 [22，＋∞)解析 依题意知y ＝2x ＋1x ≥22x ·1x＝22， 当且仅当2x ＝1x ，x ＝22时等号成立，故函数的值域为[22，＋∞)．15．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围为__________． 答案 (－∞，0]解析 因为不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1，2]上恒成立， 所以4x －2x ＋1≥a 在[1，2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1. 因为1≤x ≤2，所以2≤2x ≤4.由二次函数的性质可知，当2x ＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0，所以实数a 的取值范围为(－∞，0]．16．(2019·成都诊断)已知直线l ：y ＝kx 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相交于A ，B 两点，点M (0，b )，且MA ⊥MB ，若b ∈⎝⎛⎭⎫1，32，则实数k 的取值范围是________． 答案 (1，6－23)∪(6＋23，＋∞)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，消去y 得(k 2＋1)x 2－(2k ＋2)x ＋1＝0，① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝2(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝11＋k 2， ∵MA ⊥MB ，∴MA →·MB →＝0， (x 1，y 1－b )·(x 2，y 2－b )＝0， 即x 1·x 2＋(y 1－b )(y 2－b )＝0， ∵y 1＝kx 1，y 2＝kx 2，∴(1＋k 2)x 1·x 2－kb (x 1＋x 2)＋b 2＝0，∴(1＋k 2)·11＋k 2－kb ·2(1＋k )1＋k2＋b 2＝0， 即2k (1＋k )1＋k 2＝2＋2k －21＋k 2＝b 2＋1b ＝b ＋1b ，∵b ∈⎝⎛⎭⎫1，32， 设f (b )＝b ＋1b ，在区间⎝⎛⎭⎫1，32上单调递增， 求得f (b )∈⎝⎛⎭⎫2，136，可得2k －2k 2＋1∈⎝⎛⎭⎫0，16， 解得1＜k ＜6－23或k ＞6＋23.∴k 的取值范围为(1，6－23)∪(6＋23，＋∞)． 三、解答题17．(2019·浏阳六校联考)已知定义域为R 的单调函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x3－2x .(1)求f (x )的解析式；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围． 解 (1)当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝－x3－2－x ，又函数f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝x3＋2－x .又f (0)＝0.综上所述，f (x )＝⎩⎨⎧x3－2x ，x >0，0，x ＝0，x3＋2－x，x <0.(2)∵f (x )为R 上的单调函数，且f (－1)＝53>f (0)＝0，∴函数f (x )在R 上单调递减． ∵f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0， ∴f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )， ∵函数f (x )是奇函数，∴f (t 2－2t )<f (k －2t 2)． 又f (x )在R 上单调递减，∴t 2－2t >k －2t 2对任意t ∈R 恒成立， ∴3t 2－2t －k >0对任意t ∈R 恒成立， ∴Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.∴实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－13. 18．(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)首届中国国际进口博览会于2018年11月5日至10日在上海的国家会展中心举办．国家展、企业展、经贸论坛、高新产品汇集…首届进博会高点纷呈．一个更加开放和自信的中国，正用实际行动为世界构筑共同发展平台，展现推动全球贸易与合作的中国方案．某跨国公司带来了高端智能家居产品参展，供购商洽谈采购，并决定大量投放中国市场．已知该产品年固定研发成本30万美元，每生产一台需另投入90美元．设该公司一年内生产该产品x 万台且全部售完，每万台的销售收入为G (x )万美元，G (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧240－3x ，0<x ≤20，80＋3 000x ＋1－6 000x (x ＋1)，x >20. (1)写出年利润S (万美元)关于年产量x (万台)的函数解析式；(利润＝销售收入－成本) (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润． 解 (1)当0<x ≤20时，S ＝xG (x )－(90x ＋30) ＝－3x 2＋150x －30；当x >20时，S ＝xG (x )－(90x ＋30) ＝－10x ＋3 000(x －2)x ＋1－30.函数解析式为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＋150x －30，0<x ≤20，－10x ＋3 000(x －2)x ＋1－30，x >20.(2)当0<x ≤20时，因为S ＝－3(x －25)2＋1 845， S 在(0，20]上单调递增，所以当x ＝20时，S max ＝S (20)＝1 770.当x >20时，S ＝－10x ＋3 000(x －2)x ＋1－30＝－10x －9 000x ＋1＋2 970＝－10(x ＋1)－9 000x ＋1＋2 980≤－29 000x ＋1·10(x ＋1)＋2 980＝2 380. 当且仅当9 000x ＋1＝10(x ＋1)，即x ＝29时等号成立．因为2 380>1 770，所以当x ＝29时，S 的最大值为2 380万美元．答 当年产量为29万台时，该公司在该产品中获得的利润最大，最大利润为2 380万美元．。
2020版高考数学一轮复习加练半小时阶段滚动检测(五)文
阶段滚动检测（五）一、填空题1.设全集U ＝R ，集合M ＝{x |0<x ≤1}，N ＝{x |x ≤0}，则M ∩(∁U N )＝________.2.已知函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[－2,2]时，f (x )单调递减，且函数f (x ＋2)为偶函数.则下列结论正确的是________.(填序号) ①f (π)<f (3)<f (2)； ②f (π)<f (2)<f (3)； ③f (2)<f (3)<f (π)； ④f (2)<f (π)<f (3).3.(2019·连云港期中)已知函数f (x )＝－xa ＋x x是奇函数，则f (x )<0的解集为________.4.在等差数列{a n }中，a 7＝8，前7项和S 7＝42，则其公差d ＝________.5.(2018·宿迁模拟)若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与直线y ＝m 的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，则实数ω的值为________.6.已知单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b －a 的夹角为________.7.(2018·苏州市第五中学考试)设正三棱锥A －BCD 的底面边长和侧棱长均为4，点E ，F ，G ，H 分别为棱AB ，BC ，CD ，BD 的中点，则三棱锥E －FGH 的体积为________.8.设l ，m ，n 为直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中真命题的个数为________.①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β； ②若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β； ③若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β； ④若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α.9.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值是________.10.设f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)－f (x )＝0，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，又g (x )＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，若方程f (x )＝g (x )恰有两解，则k 的取值范围是________.11.(2018·苏锡常镇调研)已知a >0，b >0，且2a ＋3b＝ab ，则ab 的最小值是________.12.(2018·南通考试)在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝8，∠B ＝45°，D 为△ABC 所在平面内一点且满足(AB →·AD →)·(AC →·AD →)＝4，则AD 长度的最小值为________.13.已知点M (3,2)，F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 在该抛物线上移动，当△PMF 周长取最小值时，点P 的坐标为________.14.如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，给出下列命题：①－2是函数y ＝f (x )的极值点； ②1是函数y ＝f (x )的极小值点；③y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零；④y＝f(x)在区间(－∞，－2)上单调递减.则正确命题的序号是________.二、解答题15.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知cos2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的值；(2)若a＝2，求b＋c的取值范围.16.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝AC＝AA1＝3a，BC＝2a，D是BC的中点，E为AB的中点，F是C1C上一点，且CF＝2a.(1)求证：C1E∥平面ADF；(2)试在BB1上找一点G，使得CG⊥平面ADF.17.数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足：a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋…＋b n3n ＋1，求数列{b n }的通项公式； (3)令c n ＝a n b n4，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和T n .18.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S n ＝3n ＋1＋a (n ∈N *).(1)求a 的值及数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(1－an )log 3(a 2n ·a n ＋1)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .19.已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0).(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求实数a 的取值范围.20.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，椭圆的右焦点为(1,0)，离心率为e ＝12，直线l ：y ＝kx＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且k OA ·k OB ＝－34.(1)求椭圆的方程及△AOB 的面积；(2)在椭圆上是否存在一点P ，使四边形OAPB 为平行四边形？若存在，求出OP 的取值范围，若不存在，请说明理由.答案精析1.{x|0<x≤1}解析∵∁U N＝{x|x>0}，∴M∩(∁U N)＝{x|0<x≤1}∩{x|x>0}＝{x|0<x≤1}.2.③解析因为函数f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又当x∈[－2,2]时，f(x)单调递减，所以当x∈[2,6]时，f(x)单调递增，f(2)＝f(4－2)，因为2<4－2<3<π，所以f(2)<f(3)<f(π).3.{x|x>1或－1<x<0}解析由于函数f(x)为奇函数，故f(－x)＝＋x a－x－x＝－－x a＋xx，解得a＝1.故f(x)＝－x＋xx，令－x＋xx<0，解得x>1或－1<x<0.4.2 3解析∵a 7＝8，S7＝a1＋a72＝42，∴a 1＝4，∴d ＝23.5.4解析 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与直线y ＝m 的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，故得到函数的周期为π2，故得到2πω＝π2⇒ω＝4.6.3π4解析 因为|a ＋b |＝|a －b |，所以a ⊥b ，cos 〈a ，b －a 〉＝ab －a |a ||b －a |＝－a 22＝－22，因此〈a ，b －a 〉＝3π4.7.223解析 因为正三棱锥A －BCD 的底面边长和侧棱长均为4， 所以正三棱锥A －BCD 的体积为212×43， 又三棱锥E －FGH 的底面积为正三棱锥A －BCD 底面积的四分之一，三棱锥E －FGH 的高为正三棱锥A －BCD 的高的二分之一，因此三棱锥E －FGH 的体积为12×14×212×43＝223.8.3解析 ①②④正确；对于③，若α⊥β，l ∥α，则l ∥β或l ⊂β或l 与β相交，故③错误. 9.1解析 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，直线z ＝x ＋y 过点C (0,1)时，z ＝x ＋y 取最大值为1.10.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，43，411，－45解析 ∵f (x ＋2)－f (x )＝0，∴f (x )是周期为2的函数，根据题意画出函数的图象，过点A 时斜率为43，相切时斜率为1，过点B 时斜率为411，过点C 时斜率为－45.11.2 6解析 因为2a ＋3b＝ab ≥22a ·3b，∴ab ≥26，当且仅当2b ＝3a 时取等号. 因此ab 的最小值是2 6. 12. 2解析 以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知，B (－1，－1)，C (7，－1)，设D (x ，y )，所以AB →＝(－1，－1)， AC →＝(7，－1)，AD →＝(x ，y )，所以(AB →·AD →)·(AC →·AD →) ＝(－x －y )(7x －y )＝4， 即(x ＋y )(y －7x )＝4，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝m ，y －7x ＝n ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18m －n ，y ＝18m ＋n ，所以mn ＝4， 所以AD ＝x 2＋y 2＝18m －n2＋m ＋n2＝1850m2＋2n2＋12mn＝2825m2＋n2＋24≥2810mn＋24＝2，当且仅当5m＝n＝±25时，AD取得最小值 2.13.(2,2)解析要求△PMF周长的最小值，只需求MP＋PF的最小值，设点P在准线上的射影为D，则根据拋物线的定义可知PF＝PD，∴要求PM＋PF的最小值，即求PM＋PD的最小值，当D，P，M三点共线时PM＋PD值最小，∵M(3,2)，∴P点的纵坐标y＝2，此时由y2＝2x，得x＝2，即P(2,2).14.①③④解析①由导数图象可知，当x<－2时，f′(x)<0，函数单调递减，当x>－2时，f′(x)>0，函数单调递增，∴－2是函数y＝f(x)的极小值点，∴①正确.②当x>－2时，f′(x)>0，函数单调递增，∴1不是函数y＝f(x)的极小值点，∴②错误.③当x>－2时，f′(x)>0，函数单调递增，∴y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零，∴③正确.④当x<－2时，f′(x)<0，函数单调递减，∴y＝f(x)在区间(－∞，－2)上单调递减，∴④正确.故正确命题的序号是①③④.二、解答题15.解(1)由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0， 解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍)，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝a 2，a ＝2，A ＝π3，∴b 2＋c 2－bc ＝4，即(b ＋c )2－3bc ＝4， ∵bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22，∴(b ＋c )2＝4＋3bc ≤4＋34(b ＋c )2，∴(b ＋c )2≤16，即b ＋c ≤4， 又∵b ＋c >2，∴2<b ＋c ≤4. 16.(1)证明 ∵E 为AB 的中点， 连结CE 交AD 于O ，连结FO ， 则CO CE ＝CF CC 1＝23，∴FO ∥EC 1，∵FO ⊂平面AFD ，C 1E ⊄平面AFD ， ∴C 1E ∥平面AFD .(2)解 在平面C 1CBB 1内，过点C 作CG ⊥DF ，交BB 1于点G ， 在Rt△FCD 和Rt△CBG 中，FC ＝CB ，∠CFD ＝∠BCG ， ∴Rt△FCD ≌Rt△CBG ，而AD ⊥BC ，CC 1⊥AD 且CC 1∩BC ＝C ，CC 1，BC ⊂平面C 1CBB 1， ∴AD ⊥平面C 1CBB 1，∵CG ⊂平面C 1CBB 1，∴AD ⊥CG .∵CG ⊥DF ，AD ∩FD ＝D ，AD ，DF ⊂平面ADF ， ∴CG ⊥平面ADF ，此时BG ＝CD ＝a . 17.解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，a 1＝2也满足该式， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *).(2)a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1(n ≥1)，①a n ＋1＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n 3n ＋1＋b n ＋13n ＋1＋1，② ②－①得b n ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2，b n ＋1＝2(3n ＋1＋1)，而b 1＝8，故b n ＝2(3n ＋1)(n ∈N *).(3)∵c n ＝a n b n 4＝n (3n ＋1)＝n ·3n＋n ， ∴T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n )＋(1＋2＋…＋n )， 令H n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n ，③则3H n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ×3n ＋1，④ ③－④得，－2H n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ×3n ＋1 ＝－3n 1－3－n ×3n ＋1，H n ＝n －n ＋1＋34，∴数列{c n }的前n 项和T n ＝n －n ＋1＋34＋n n ＋2. 18.解 (1)因为6S n ＝3n ＋1＋a (n ∈N *)，所以当n ＝1时，6S 1＝6a 1＝9＋a ，当n ≥2时，6a n ＝6(S n －S n －1)＝2×3n ，即a n ＝3n －1， 因为{a n }是等比数列，所以a 1＝1，则9＋a ＝6，得a ＝－3，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1 (n ∈N *).(2)由(1)得b n ＝(1－an )log 3(a 2n ·a n ＋1)＝(3n －2)(3n ＋1)，所以T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝11×4＋14×7＋…＋1n －n ＋＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋14－17＋…＋13n －2－13n ＋1 ＝n 3n ＋1(n ∈N *). 19.解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x－ax －2， 由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x－ax －2<0有解， 即a >1x 2－2x有解. 设G (x )＝1x 2－2x， 所以只要a >G (x )min 即可.而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1， 所以G (x )min ＝G (1)＝－1.所以a >－1.所以实数a 的取值范围是(－1，＋∞).(2)由h (x )在[1,4]上单调递减，得当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立， 即a ≥1x 2－2x恒成立. 所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1， 因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716， 所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞. 20.解 (1)由已知c ＝1，c a ＝12， ∴a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，A ，B 不在坐标轴上，则A ，B 的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，化简得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2， 由Δ>0得4k 2－m 2＋3>0， y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 24m 2－123＋4k 2＋km ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km3＋4k 2＋m 2 ＝3m 2－12k 23＋4k 2. ∵k OA ·k OB ＝－34，∴y 1y 2x 1x 2＝－34， 即y 1y 2＝－34x 1x 2， ∴3m 2－12k 23＋4k 2＝－3m 2＋93＋4k 2， 即2m 2－4k 2＝3，∵AB ＝＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝＋k 2k 2－m 2＋＋4k 22＝＋k 2＋4k 22·3＋4k 22 ＝＋k 23＋4k 2. 点O 到直线y ＝kx ＋m 的距离d ＝|m |1＋k 2， ∴S △AOB ＝12d ·AB ＝12|m |1＋k 2＋k 23＋4k 2 ＝12m 21＋k 2·＋k 23＋4k 2＝123＋4k 22·243＋4k 2＝ 3. (2)若存在平行四边形OAPB 使P 在椭圆上，则OP →＝OA →＋OB →，设P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2， y 0＝y 1＋y 2＝6m3＋4k2， ∵P 在椭圆上，∴x 204＋y 203＝1， 从而化简得16k 2m 2＋4k 22＋12m 2＋4k 22＝1， 化简得4m 2＝3＋4k 2，①由k OA ·k OB ＝－34，知2m 2－4k 2＝3.② 联立方程①②知m ＝0，故不存在P 在椭圆上的平行四边形.。
高考数学第一轮总复习4-5(基础巩固强化+能力拓展提升+备选题库+优化指导,含解析)新人教版B版
1.( 文)(2011 ·陕西宝鸡质检) 设α、β均为锐角，且cos( α＋β) ＝ sin( α－β) ，则tan α的值为 ()A． 2 B. 3C． 13 D.3[答案] C[分析]由已知得 cos αcos β－ sin αsin β＝ sin αcos β－ cos αsin β，所以cos α(cos β＋ sin β) ＝ sin α(cos β＋sin β) ，由于β为锐角，所以sin β＋ cos β≠0，所以 sin α＝ cos α，即 tan α＝ 1，应选 C.( 理)(2012 ·东北三省四市联考) 若点P(cos α， sin α) 在直线y＝－2 x 上，则sin2α＋2cos2 α＝ ()1474A．－5B．－5C．－ 2 D. 5[答案]C[分析]∵点 P在直线 y＝－2x 上，∴sinα＝－2cosα，∴sin2 α＋ 2cos2 α＝ 2sin αcos α＋ 2(2cos 2α－ 1)＝－ 4cos2α＋ 4cos2α－ 2＝－ 2.π1θ2．设2 <θ<π，且 |cos θ| ＝5，那么 sin2的值为()1010A.B．－551515C．－5D.5[答案]Dπ1[分析]∵2 <θ<π，∴ cos θ<0，∴ cos θ＝－5.πθ πθ>0，∵<< ，∴ sin2422又 cos θ＝ 1－ 2sin 2θ，∴ sin2θ1－cos θ3 2 2＝2＝5，θ15∴sin 2＝5 .3．在△ABC中，A、B、C成等差数列，则A C ACtan 2＋ tan2＋3tan 2·tan 2的值是 ()A．±3 3B．－ 3C. 3D.3[答案]C∵ A、 B、 C成等差数列，π2π又 A ＋B ＋ C ＝π，∴ B ＝ 3 ， A ＋C ＝ 3 ，ACAC ∴ tan 2＋ tan 2＋ 3tan 2·tan 2A C1－ tanACA C＝ tan ＋2 ·ta n＋ 3tan 2tan 2222＝ 3，应选 C.2C4．在△ ABC 中，若 sin A sin B ＝ cos 2，则△ ABC 是 ()A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角的三角形[答案]B2C[ 分析 ]∵ sin A sin B ＝ cos 2，1 1 ∴ [cos( A － B ) －cos( A ＋ B )] ＝ (1 ＋ cos C ) ，22∴ cos( A － B ) －cos( π－ C ) ＝ 1＋ cos C ，∴ cos( A － B ) ＝ 1，∵－π<A － B <π，∴ A － B ＝ 0，∴△ ABC 为等腰三角形．5．若 cos(x ＋ )cos( x － ) ＝ 1，则 cos 2 － sin 2 等于( )y y 3x y1122 A ．－3 B. 3C ．－3D.3[答案] B[分析 ]∵ cos( x ＋ y )cos( x － y ) ＝ (cos x cos y － sin x sin y ) ·(cos x cos y ＋ sin x sin y ) ＝cos 2x cos 2y － sin 2x sin 2y ＝ cos 2x (1 － sin 2y ) － (1 － cos 2x ) ·sin 2y ＝ cos 2x － cos 2x sin 2y － sin 2y＋cos 2x sin 2y ＝cos 2x － sin 2y ，∴选 B.πβ3 α16．(2011 ·石家 庄模拟 ) 若 α、β ∈ (0 ， 2 ) ， cos( α－ 2 ) ＝ 2 ，sin(2 － β) ＝－ 2，则 cos( α＋ β) 的值等于 ()3 B ．－ 1 1 3A ．－C.D.2222[答案]Bπ[ 分析 ]由α、β∈ (0，2)得，βππαππα－2∈(－4，2)，2－β∈(－2，4)．β3又 cos( α－2 ) ＝2， sin( 2－β) ＝－2，α1βπαπ∴α－2＝±6，2－β＝－6，ππ∵α，β∈(0，) ，∴α＝β＝，231∴cos( α＋β ) ＝－2.7．已知 sin α＝3， cos β＝3，此中α、β∈ (0 ，π) ，则α＋β＝ ________. 552[答案]π2π33[分析]∵α ，β∈(0，2)，sinα＝5，cosβ＝5，44∴cosα＝5， sin β＝5，4 3 34∴cos( α＋β ) ＝ cos αcos β－ sin αsin β＝5×5－5×5＝ 0，π∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝2.π4π8．设α为锐角，若 cos( α＋6 ) ＝5，则 sin(2α＋12)的值为________．172[答案]50[ 分析 ]此题考察三角函数倍角公式及两角差的正弦公式等知识，考察学生运算能力，πππ 2π∵0<α< 2，∴6 <α＋6 < 3，π4又 cos( α＋6 ) ＝5，∴ sin( α＋π) ＝1－ cos2α＋π＝3，665πππ∴sin2( α＋6 ) ＝ 2sin( α＋6 )cos( α＋6 )3 4 24＝2××＝，5525cos2( α ＋π6 ) ＝ 2cos 2( α＋π6 ) － 1＝ 2×( )2－1＝ 7，5254∴ sin(2π) ＝ sin[2(π πα＋ α＋ ) －]12 64ππ π π ＝ sin2( α＋ 6 )cos4 － cos2( α＋ 6 )sin 424 2 72 172＝ ×－×＝.25225 2 50[评论] 已知三角函数值求值问题， 解题策略是用已知条件中的角表示未知角，即用角的变换转变，而后用倍角公式或两角和与差公式求值．9．(2011 ·海南五校联考 ) 设函数 f ( x ) ＝ sin x ＋ cos x ， f ′(x ) 是 f ( x ) 的导数，若 f ( x )sin 2x －sin2 x＝2f ′(x ) ，则cos 2x＝________.[答案]5－9[分析] ∵ f ( x ) ＝ sin x ＋cos x ，∴ f ′(x ) ＝ cos x － sin x ，由 f ( x ) ＝ 2f ′(x ) 得 sin x ＋ cos x ＝ 2(cos x － sin x ) ，∴ tan x ＝ 1，3sin 2x －sin2 xsin 2x － 2sin x cos x∴cos 2x＝cos 2x＝ tan 2x －2tan x ＝( 1) 2－2× 1＝－ 5.33910． ( 文)(2012 ·乌鲁木齐地域二诊 ) 已知函数 f ( x ) ＝sin x (1 ＋sin x ) ＋ cos 2x .(1) 求 f ( x ) 的最小正周期；π 2π(2) 求 f ( x ) 在 [ － 6 ， 3 ] 上的最大值和最小值．[ 分析 ] (1) f ( x ) ＝ sin x ＋ sin 2x ＋ cos 2x ＝ sin x ＋ 1，∴ f ( x ) 的最小正周期为 2π.πππ 2ππ 2π(2) f ( x ) 在 [ － 6 ，2]上为增函数，在 [ 2，3 ] 上为减函数，又 f ( － 6 )< f ( 3 ) ，πππ 1∴ x ＝－ 6 时， f ( x ) 有最小值 f ( － 6 ) ＝ sin( － 6 ) ＋1＝2 ；x ＝ π时， f ( x ) 有最大值 f ( π ) ＝ sin π＋ 1＝ 2.2 2 2π( 理)(2011 ·天津理，15) 已知函数 f ( x)＝tan(2 x＋4)，(1)求 f ( x)的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，π)，若f(α)＝2cos2α，求α 的大小．42π ππ kπ[分析](1) 由 2x＋4≠2＋ kπ，k∈Z，得 x≠8＋2，k∈Z，所以 f ( x)的定义域为πkπx∈R x≠＋， k∈Z .82f ( x)的最小正周期为π2.(2) 由f α＝ 2cos2α得，2sinπα＋πα＋tanα，42α－ sin2α) ，4＝2cos2π＝ 2(coscosα＋4sin α＋ cos α整理得cosα－sinα＝ 2(cos α＋ sin α)(cosα－sinα)．π由于α∈0，4，所以 sin α＋ cos α≠0.211所以 (cos α－ sin α) ＝2，即 sin2 α＝2.由α∈0，π2α∈0，π4，得 2 .ππ所以 2α＝6，即α＝12.能力拓展提高22C11.(2012 ·北京海淀期中练习) 已知对于x的方程x－x cos A·cos B＋ 2sin2＝ 0 的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC必定是()A．直角三角形 B ．等边三角形C．等腰三角形 D ．钝角三角形[答案]C[分析]12C 由题意得， cos A cos B＝·2sin2?2cos A·cos B＝1－ cos C·＝＋＋2? 2cos A cos B 1cos( A B)A B A B A B? cos A · cos B ＋sin A · sin B ＝ 1? cos( A － B ) ＝ 1? A －B ＝ 0? A ＝B ，所以△ ABC 必定是等腰三角形，应选 C.π 1π2sin 2α＋ sin2 α12．(2011 ·浙江杭州质检 ) 已知 tan( α＋ 4 ) ＝ 2，且－ 2<α<0，则π 等cosα － 4于()2 53 5A ．－ 5B ．－ 103 1025C ．－ 10 D. 5 [答案]Atan α ＋ 11 1[ 分析 ] 由已知得 1－ tan α＝ 2，解得 tan α ＝－ 3，sin α122π即 cos α＝－ 3， cos α ＝－ 3sin α，代入 sin α＋cos α＝ 1中，联合－2 <α<0，可得10 sin α＝－ 10 ，2sin 2α ＋ sin2 α 22sin α sin α＋cos α＝ 2 2sin α所以 π＝ sin α＋ cos αcosα－ 4102 5＝ 2 2×(－ 10 ) ＝－ 5 ，应选 A.13． (201 2·河北保定模拟 ) 设 α 为△ ABC 的内角，且3 α 的值为tan α＝－ ，则 sin24________．[答案]24－253[分析]∵ tan α＝－ 4，2sin αcos α∴ sin2 α＝ sin 2α＋ cos 2α2×32tan α － 424＝tan 2α＋1＝3 2＝－ 25.－4＋ 114.( 文 ) 如图， AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆上， CD ⊥ AB 于点 D ，且 AD ＝ 3DB ，设∠ COD2θ＝θ ，则 tan2 ＝ ________.[答案]13[ 分析 ]设 OC ＝ r ，∵ AD ＝ 3DB ，且 AD ＋ DB ＝2r ，3r r3CD3，∴ AD ＝ ，∴ OD ＝ ，∴ CD ＝r ，∴ tan θ＝＝222ODθ2tan 2θ3∵ tan θ ＝2θ ，∴ tan2 ＝3 (负值舍去 )，1－ tan 22θ 1∴ tan 2＝3.3tan12 °－ 3( 理 ) 4cos 2 12°－ 2 sin12 ° ＝ ________.[答案]－ 4 3[分析]3tan12 °－ 33 sin12 °－ 3cos12°4cos 212°－ 2sin12 °＝2cos24°sin12 °cos12°2 3sin12°－ 60°＝－ 4 3.＝12sin48 °1 315．( 文 ) 已知 A 、B 、C 是三角形ABC 的三个内角， 向量 m ＝ ( － 2， 2 ) ，n ＝ (cos A ，sin A ) ，1且 m · n ＝ 2.(1) 求角 A ；(2) 若 sin2 B ＋ 3co s2B ＝－ 1，求 tan C .1313π1[ 分析 ](1) m ·n ＝ ( － 2， 2 ) ·(cos A ， sin A ) ＝－ 2cos A ＋ 2 sin A ＝ sin( A － 6 ) ＝ 2，ππ 5π又在△ ABC 中，－ 6 <A － 6 < 6 ，∴ A － ππ ，∴ A ＝ π6 ＝ 6 3 .(2) ∵ sin2 B ＋ 3cos2B ＝－ 1，∴ 2sin B cos B ＋ 3(cos 2B － si n 2B ) ＝－ (sin 2B ＋ cos 2B ) ，∴ sin 2B －sin B cos B － 2cos 2B ＝ 0，∵ cos B ≠0，∴方程两边同除以 cos 2B 得 tan 2B －tan B － 2＝ 0. ∴ tan B ＝－ 1 或 tan B ＝ 2，1°若 tan ＝－ 1，则 ＝3π，这时＋ ＝ 3π ＋ π >π，这与 ＋ <π 矛盾．BB4A B 4 3A B2°若 tan ＝ 2，这时 tan ＝－ tan(＋ )B CA Btan A ＋ tan B3＋ 2 8＋ 53＝－1－ tan A ·tan B＝－1－2 3 ＝11.(理)已知a ＝ (cos x ＋ sin ， sin x ) ， ＝ (cosx －sinx, 2cos x ) ，设 f ( x ) ＝ · .xba b(1) 求函数 f ( x ) 的最小正周期；π(2) 当 x ∈ 0， 2 时，求函数f ( x ) 的最大值及最小值．[ 分析 ](1) f ( x ) ＝ a · b ＝(cos x ＋ sin x ) ·(cos x － sin x ) ＋ sin x ·2cos x＝ cos 2x －sin 2x ＋ 2sin x cos x＝ cos2x ＋ sin2 x ＝2222 cos2 x ＋ 2 sin2 xπ ＝ 2sin 2x ＋ 4 .∴ f ( x ) 的最小正周期 T ＝π.(2) ∵0≤ x ≤ π，∴ π ≤2 ＋π≤ 5π ，2 444π π ππ 5π π∴当 2x ＋ 4 ＝ 2 ，即 x ＝ 8 时， f ( x ) 有最大值 2；当 2x ＋ 4 ＝ 4 ，即 x ＝ 2 时， f ( x )有最小值－ 1.π216． ( 文 ) 设函数 f ( x ) ＝ cos 2x ＋＋ sin x .(1) 求函数 f ( x ) 的最大值和最小正周期；(2) 设、 、C 为△ 的三个内角，若1( C1，且 C 为锐角，求 sin A cos ＝ ，) ＝－ 4A B ABCB 3 f 2的值．[分析]π＋ sin 2x ＝ cos2 x cos π － sin2 x sin π＋ 1－ cos2 x ＝ 1 － (1) f ( x ) ＝ cos 2x ＋3 3 3 2 232 sin2 x ，1＋ 3所以函数 f ( x ) 的最大值为 2 ，最小正周期为 π.(2)f C 1 31＝3()＝－sin＝－ ，所以 sin2，222C4 Cπ由于 C 为锐角，所以 C ＝3，在△中， cos ＝ 1，所以 sin ＝22，ABCB 3B3所以 sin ＝ sin(＋ ) ＝sincos ＋ cos sinCABC BCB 2 211 32 2＋ 3＝ 3 ×2＋3×2＝6.π( 理)(2012 ·湖南文， 18) 已知函数 f ( x ) ＝ A sin( ωx ＋ φ)( x ∈ R ，ω>0,0< φ< 2 ) 的部分图象如下图．(1) 求函数 f ( x ) 的分析式；ππ(2) 求函数 g ( x ) ＝ f ( x － 12) － f ( x ＋12) 的单一递加区间．[分析](1) 由题设图象知，周期＝ 2(11π－5π) ＝π，所以ω＝ 2π ＝ 2.T1212T由于点 (5π， 0) 在函数图象上，12所以 A sin(25π5π× 12 ＋ φ) ＝0，即 sin( 6 ＋ φ ) ＝ 0.π 5π 5π 4π 又由于 0<φ < 2 ，所以6 < 6 ＋ φ<3 .5ππ进而6＋φ＝π，即φ＝ 6.π又点 (0,1) 在函数图象上，所以A sin6＝1，得A＝2.故函数 f ( x)的分析式为 f ( x)＝2sin(2x＋π) ．6ππππ(2) g( x) ＝ 2sin[2( x－12) ＋6 ] － 2sin[2(x＋12)＋6]π＝2sin2 x－ 2sin(2 x＋3 )13＝2sin2 x－ 2( 2sin2 x＋2 cos2 x)＝ sin2 x－3cos2 x＝ 2sin(2 x－π ) ．3ππππ5π由 2kπ－2≤2x－3≤2kπ＋2，得kπ－12≤x≤kπ＋12，k∈ Z.π5π所以函数 g( x)的单一递加区间是[ kπ－12，kπ＋12 ] ，k∈ Z.[ 评论 ]此题考察了正弦型函数分析式求法，周期、单一区间求法、两角和与差的正弦公式等基础知识．由图象求分析式的一般步骤是：确立周期求ω代入特别点求φ代入特别点――→――→求 A―→确立分析式．联合φ的范围π1．(2012 ·湖南理，6) 函数f ( x) ＝ sin x－ cos( x＋6 ) 的值域为 ()A．[ －2,2] B．[－3，3]C． [ －1,1] D33．[－，]22[答案]B[分析]由题意知， f ( x)＝sin x－cos x cosπ＋sin x sinπ＝ 3sin x－3c os x＝ 3(366222 1πsin x－2cos x) ＝3sin( x－6 ) ，∴f ( x) ∈ [ －3， 3]．2．(2012 ·纲领全国文 ) 若函数 f ( x ) ＝ sin x ＋φ ( φ ∈[0,2 π]) 是偶函数， 则 φ＝ ()3 π 2π 3π 5π A.2 B.3 C. 2 D.3[答案]C＋ φφπ[分析]此题考察了三角函数奇偶性，引诱公式．由y ＝ sin3 是偶函数知 3＝ 2＋k π，即φ ＝ 3π＋3 π，23π又∵ φ∈[0,2 π ] ，∴ φ＝ 2 合适．此题也可用偶函数定义求解．α3．已知 tan 2 ＝ 3，则 cos α＝ ()4 4 4 3 A.5 B ．－5 C. 15 D ．－5 [答案]B2α2α [分析]α－ sin2α＝ cos 2 － sin2cos α＝ cos222α2α2cos2 ＋ sin21－ tan 2α2 1－94＝2α ＝ 1＋9＝－ 5，应选 B.1＋ tan 24．(2012 ·河北保定模拟 ) 设函数f ( x ) ＝ sin(＋ ) ＋ cos(＋)(>0，|πω φ|< )ωx φωx φ2的最小正周期为 π，且 f ( －x ) ＝ f ( x ) ，则 ()πA ． f ( x ) 在 (0 ， 2 ) 上单一递加πB ． f ( x ) 在 (0 ， 2 ) 上单一递减π 3πC ． f ( x ) 在 ( 4 ， 4 ) 上单一递减π ， 3πD ． f ( x ) 在 ( ) 上单一递加4 4 [答案] B[分析]∵ ( ) ＝ sin(＋ ) ＋ cos(＋ ) ＝ 2sin(＋＋π ) 的最小正周期f xωx φωx φωx φ42ππ为 π，∴ ω ＝π，∴ ω ＝ 2，∴ f ( x ) ＝ sin(2 x ＋ φ＋ 4 ) ，∵ f ( － x ) ＝ f ( x ) ，∴ f ( x ) 为偶函11数，πππ又∵ | φ |< 2，∴φ＝4，∴f ( x) ＝ sin(2 x＋2 ) ＝ cos2 x，应选 B.5．已知函数 f ( x)＝2cos2x＋sin2x－4cos x.π(1)求 f (3)的值；(2)求 f ( x)的最大值和最小值．π2π2ππ39 [分析](1) f ( 3 ) ＝ 2cos3＋ sin3－ 4cos 3＝－ 1＋4－ 2＝－4.(2) f ( x) ＝ 2(2cos 2x－ 1) ＋(1－ cos 2x) － 4cos x＝3cos2x－ 4cos x－1＝ 3(cos x－2) 2－7，x∈R 3 32由于 cos x∈[ － 1,1] ，所以当cos x＝－ 1 时，f ( x) 取最大值6；当 cos x＝3时，f ( x) 取7最小值－3.12。
高三数学一轮复习练习题全套5—8(含答案)
姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作业编号 005 1. 命题“x ∀∈R ，20x ≥”的否定是 .2. 若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为(1, m )，则实数m = .3. 已知()*3211n a n n =∈-N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使0n S >的n 的最小值是 . 4. 某商品的单价为5000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件时，每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1000元. 某单位购买x 件(*,15x x ∈≤N )，设最低的购买费用是()f x 元，则()f x 的解析式是 .5. 如图，A 、B 是单位圆O 上的动点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，设COA α∠=． (1)当点A 的坐标为()34,55时，求sin α的值；(2)若π02α≤≤，且当点A 、B 在圆上沿逆时针方向移动时，总有π3AOB ∠=，试求BC 的取值范围．6. 设实数x , y 同时满足条件：224936x y -=，且0xy <. (1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)判断函数()y f x =的奇偶性，并证明.姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作业编号 0061. 已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为(10,0)F ,两条渐近线的方程为43y x =±,则该双曲线的标准方程为 . 2. 函数sin3y x π=在区间[]0,t 上恰好取得2个最大值，则实数t 的取值范围是 .3. 已知命题21:"[1,2],ln 0"2p x x x a ∀∈--≥与命题2:",2860"q x R x ax a ∃∈+--=都是真命题,则实数a 的取值范围是 .4. 过定点P （1,2）的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422a b +的最小值为 . 5. 已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知圆22:1O x y +=,直线:1l mx ny +=.试证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时,直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.6. 已知直角梯形ABCD 中, //AB CD,,1,2,1AB BC AB BC CD ⊥===+过A 作AE CD ⊥,垂足为E ,G 、F 分别为AD 、CE 的中点,现将ADE ∆沿AE 折叠,使得DE EC ⊥. （1）求证：BC CDE ⊥面； （2）求证：//FG BCD 面； （3）在线段AE 上找一点R ,使得面BDR ⊥面DCB ,并说明理由.姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作业编号 0071. 下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是_____________(不作过高要ABCDEGF ·· A BCDEGF求)．主视图左视图俯视图2.已知函数f(x)的定义域为),2[+∞-，部分对应值如右表：()f x '为()f x 的导函数，函数()y f x '=的图象如图所示，若两正数a ，b 满足f (2a +b )<1，则33++a b 的取值范围是________________．3.若向量,满足2||,1||==，且与的夹角为3π，则||+=________________． 4. 已知53)4cos(,430=+<<παπα，则=αtan ． 5. 已知向量R x x x x x x ∈-=-=),cos 32sin ,(cos ),sin ,(cos ，令x f ⋅=)(， (1)求函数()f x 的单调递增区间； (2)当[0,]4x π∈时，求函数()f x 的值域．6. 在几何体ABCDE 中，∠BAC=2π，DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ，F 是BC 的中点，AB=AC=BE=2，CD=1（1）求证：DC∥平面ABE ； （2）求证：AF⊥平面BCDE ；（3）求证：平面AFD⊥平面AFE ．姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作业编号 0081. 已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M ,若5M ∉,则实数a 的取值ABCDEF范围是 。
高考数学一轮复习强化训练题汇总5(含解析)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！阶段复习检测(五) 不等式、推理与证明[对应学生用书P309](时间：70分钟满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·河南洛阳模拟)某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误C[∵大前提：“鹅吃白菜”本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但小前提不是大前提下的特殊情况，即鹅与人不能类比．∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误．]2．(2019·山东济南模拟)用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( ) A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数B[“至少有一个”的否定为“都不是”．]3．下列命题中，正确的是( )A．若a>b，c>d，则ac>bdB．若ac>bc，则a>bC．若ac2<bc2，则a<bD．若a>b，c>d，则a－c>b－dC [取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，∴B 错误；∵a c2<b c2，∴c ≠0，又c 2>0，∴a <b ，C 正确；取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误．]4．观察下式：1＋3＝22 1＋3＋5＝32 1＋3＋5＋7＝42 1＋3＋5＋7＋9＝52…据此你可归纳猜想出一般结论为( ) A ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N *) B ．1＋3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n 2(n ∈N *) C ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝(n ＋1)2(n ∈N *) D ．1＋3＋5＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)2(n ∈N *)D [观察可见第n 行左边有n ＋1个奇数，右边是(n ＋1)2.]5．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为r ，四面体S ABC 的体积为V ，则r ＝( )A ．VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C ．3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C [设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和. 则四面体的体积为V 四面体S ABC ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，∴r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.]6．(2019·山西晋中模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4则z ＝y －2x ＋3的最小值为( )A ．－2B ．－23C ．－125D ．2－47C[由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4作出可行域如图，z ＝y －2x ＋3的几何意义为可行域内的动点与定点P (－3,2)连线的斜率．设过P 的圆的切线的斜率为k ，则切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0.由|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝0或k ＝－125.∴z ＝y －2x ＋3的最小值为－125.]7．(2019·安徽安庆联考)设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝2,2a ＋b ＝8，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．log 23B [∵a x ＝b y ＝2，∴x ＝log a 2，y ＝log b 2，∴1x ＋1y ＝1log a 2＋1log b 2＝log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )．又a >1，b >1，∴8＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤8，当且仅当2a ＝b ，即a ＝2，b＝4时取等号，∴1x ＋1y＝log 2(ab )≤log 28＝3.故⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y max ＝3.]8．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天． 甲说：我在1日和3日都有值班； 乙说：我在8日和9日都有值班； 丙说：我们三人各自值班的日期之和相等． 据此可判断丙必定值班的日期是( ) A ．2日和5日 B ．5日和6日 C ．6日和11日D ．2日和11日C [这12天的日期之和S 12＝122(1＋12)＝78，甲、乙、丙各自的日期之和是26.对于甲，剩余2天日期之和22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日有值班；对于乙，剩余2天日期之和是9，可能是2日，7日，也可能是4日，5日，因此丙必定值班的日期是6日和11日．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)9．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y ≤x，z ＝x ＋ay (a ＞1)的最大值为3，则实数a ＝__________.2 [画出满足条件的平面区域，如图示：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2y ＝x ，解得A (1,1)，∵a ＞1，∴－1＜－1a ＜0，∴z ＝x ＋ay 看化为：y ＝－1a x ＋za，结合图象直线过A (1,1)时，z 最大，z 的最大值是z＝a ＋1＝3，解得a ＝2.]10．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是__________.丁 [若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名．若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确．]11．甲、乙两企业根据赛事组委会要求为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件；制作一等奖、二等奖所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异．甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费如表所示，则组委会定做该工艺品的费用总和最低为__________元.一等奖奖品二等奖奖品甲 500 400 乙8006004 900 [，则乙生产一等奖奖品3－x ，二等奖奖品为6－y ，则满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤43－x ≥06－y ≥0x ，y ≥0，设费用为z ，则z ＝500x ＋400y ＋800(3－x )＋600(6－y )＝－300x －200y ＋6 000，作出不等式组对应的平面区域如图：平移z ＝－300x －200y ＋6 000，由图象知当直线经过点A 时，直线截距最大，此时z最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ＋y ＝4，解得A (3,1)，组委会定做该工艺品的费用总和最低为z ＝－300×3－200＋6 000＝4 900，故生产一等奖奖品3个，二等奖奖品1个，其余都由乙生产，所用费用最低．]12．(2019·四川广元诊断)在条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0y ≥0下，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为40，则5a ＋1b的最小值是__________.94[由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0y ≥0，作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6＝0x －y ＋2＝0，解得A (8,10)，由z ＝ax ＋by ，得y ＝－a b x ＋z b ，由图可知，当直线y ＝－ab x ＋zb 过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为8a ＋10b ＝40，即a 5＋b4＝1.∴5a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5＋b 4＝54＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5b 4a ＋a 5b ≥54＋25b 4a ·a 5b ＝54＋2×12＝94. 当且仅当5b 4a ＝a5b时上式等号成立．]三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)13．(10分)已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b .若不等式f (x )>0的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解 由f (x )>0，得－3x 2＋a (6－a )x ＋b >0， 即3x 2－a (6－a )x －b <0. 因为它的解集为(－1,3)，所以－1与3是方程3x 2－a (6－a )x －b ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a 6－a3，－1×3＝－b3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3－3，b ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3＋3，b ＝9.14．(10分)已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a ＋b |≤2.证明 a ⊥b ⇔a ·b ＝0， 要证|a |＋|b ||a ＋b |≤2.只需证|a |＋|b |≤2|a ＋b |，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)， 只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2，只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0，即(|a |－|b |)2≥0， 上式显然成立，故原不等式得证． 15．(10分)若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． 解 (1)因为a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab ，所以ab ＝1a ＋1b ≥21ab，所以ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．因为a 3＋b 3≥2ab 3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)可知，2a ＋3b ≥22a ·3b ＝26ab ≥43>6，故不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6成立．16．(10分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a是f (x )＝0的一个根；(2)试比较1a与c 的大小；(3)证明：－2<b <－1.(1)证明 ∵f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2， ∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a，∴x 2＝1a (1a≠c )，∴1a是f (x )＝0的一个根．(2)解 假设1a <c ，又1a>0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾，∴1a ≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a>c .(3)证明 由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0，∴b ＝－1－ac .又a >0，c >0，∴b <－1.二次函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a＝x 1＋x 22<x 2＋x 22＝x 2＝1a，即－b 2a <1a.又a >0，∴b >－2，∴－2<b <－1.。
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专项强化训练(五) 圆锥曲线的综合问题1.已知直线l:y=x+1,圆O:x2+y2=32,直线l被圆截得的弦长与椭圆C:2222x ya b+=1(a>b>0)的短轴长相等,椭圆的离心率e=2.(1)求椭圆C的方程.(2)过点1M(0,)3-的直线l0交椭圆于A,B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得无论l0如何转动,以AB为直径的圆恒过定点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.【解题提示】(1)利用弦长公式及离心率公式求出a,b的值,从而求得椭圆C的方程.(2)先根据直线l0的斜率不存在及斜率为0的情况确定T的坐标,然后再证明以AB为直径的圆恒过定点T 即可.【解析】(1)由题意知,圆O的半径r=,圆O(0,0)到直线y=x+1的距离2=,则直线l被圆截得的弦长为2=,依题意2=2b,b=1.又椭圆的离心率c b1 e,,aa a a======得所以椭圆C的方程为2x2+y2=1.(2)假设存在定点T(x0,y0),设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≤x2).当直线l0的斜率不存在时,易知A(0,1),B(0,-1), 则圆的方程为x2+y2=1.当直线l0的斜率为0时,直线l0的方程为y=-1 3,代入椭圆方程可得4141 A(,),B(,), 3333---即圆的方程为22116 x(y).39 ++=易知T(0,1).下面证明,当直线l0的斜率存在且不为0时,T(0,1)也符合.设直线l0的方程为y=kx-13,联立22x y 1,21y kx ,3⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 消去y 得(2k2+1)x2-416kx 39-=0. 则()()1212224k 16x x ,x x 312k 912k -+==++.此时,=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),即当直线l0的斜率存在且不为0时,以AB 为直径的圆恒过点T(0,1).综上所述,存在定点T,其坐标为(0,1).【加固训练】已知椭圆C:2222x y a b +=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,A 为上顶点,△AF1F2为正三角形,以AF2为直径的圆与直线相切. (1)求椭圆C 的标准方程.(2)过点F2作斜率为k 的直线l 与椭圆交于M,N 两点,在x 轴上是否存在点P(m,0),使得=+时四边形PMQN 为菱形,且点Q 在椭圆C 上?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由已知△AF1F2为正三角形,c 1sin30,a 2c,b a 2=︒===得即由A(0,b),F2(c,0),得AF2的中点c b B(,)22,点B 到直线y=的距离为解得a2=4,b2=3,所以椭圆C 的标准方程为22x y 43+=1. (2)由(1)可知F2(1,0),设直线l 的方程为y=k(x-1).联立方程,得()22y k x 1,x y 1,43⎧=-⎪⎨+=⎪⎩整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=228k 34k +, 则y1+y2=k(x1+x2-2)=26k34k -+,又=(x1-m,y1),=(x2-m,y2), 所以=+=(x1+x2-2m,y1+y2)得5k4+16k2+12=0,因为5k4+16k2+12>0恒成立,故满足条件的点P(m,0)不存在.2.过x轴上动点A(a,0)引抛物线y=x2+1的两条切线AP,AQ.切线斜率分别为k1和k2,切点分别为P,Q.(1)求证:k1·k2为定值,并且直线PQ过定点.(2)记S为面积,当最小时,求·的值.【解析】(1)方法一:设过A点的直线为:y=k(x-a),与抛物线联立得()2y k x a,y x1,⎧=-⎪⎨=+⎪⎩得x2-kx+ka+1=0,Δ=k2-4ak-4=0,所以k1+k2=4a,k1·k2=-4为定值.抛物线方程y=x2+1,求导得y′=2x,设切点P,Q的坐标分别为(xP,yP),(xQ,yQ), k1=2xP,k2=2xQ,所以xP+xQ=2a,xP·xQ=-1.直线PQ的方程:y-yP=P QP Qy yx x--(x-xP),由yP=+1,yQ=+1,得到y=(xP+xQ)x-xPxQ+1,整理可得y=2xa+2,所以直线PQ过定点(0,2).方法二:设切点P,Q的坐标分别为(xP,yP),(xQ,yQ),求导得y′=2x, 所以lAP:y=2xP(x-a),(xP,yP)在直线上,即yP=2xP(xP-a),由P(xP,yP)在抛物线方程上得yP=+1,整理可得yP=2xPa+2,同理yQ=2xQa+2,所以lQP:y=2xa+2,所以直线PQ过定点(0,2).联立PQ的直线方程lQP:y=2xa+2和抛物线方程y=x2+1,可得:x2-2xa-1=0.所以xPxQ=-1,xP+xQ=2a,所以k1·k2=2xP×2xQ=-4为定值.(2)设A到PQ的距离为d.当且仅当,即a=±.因为·=(xP-a,yP)·(xQ-a,yQ)=xPxQ-a(xP+xQ)+a2+yPyQ,yPyQ=(2xPa+2)(2xQa+2)=4a2xPxQ+4+4a(xP+xQ)=4a2+4,所以·=3a2+3=92.3.(2015·郑州模拟)已知两点A(-2,0)和B(2,0),直线AM,BM 相交于点M,且这两条直线的斜率之积为-. (1)求点M 的轨迹方程.(2)记点M 的轨迹为曲线C,曲线C 上在第一象限的点P 的横坐标为1,直线PE,PF 与圆(x-1)2+y2=r2（0<r<）相切于点E,F,又PE,PF 与曲线C 的另一交点分别为Q,R.求△OQR 的面积的最大值(其中点O 为坐标原点). 【解析】(1)设点M(x,y), 因为kAMkBM=-,所以·=-, 整理得点M 所在的曲线的方程为+=1(x ≠±2).(2)由题意可得点P （1,）, 因为圆(x-1)2+y2=r2的圆心为(1,0),所以直线PE 与直线PF 的斜率互为相反数.设直线PE 的方程为y=k(x-1)+,与椭圆方程联立消去y,得:(4k2+3)x2+(12k-8k2)x+(4k2-12k-3)=0, 由于x=1是方程的一个解, 所以方程的另一解为xQ=,同理xR=.故直线RQ 的斜率为kRQ==把直线RQ 的方程y=x+b 代入椭圆方程,消去y 整理得x2+bx+b2-3=0,原点O 到直线RQ 的距离为d=,所以S △ORQ=··=≤·=.即△OQR 的面积的最大值为.4.(2015·西安模拟)已知椭圆C: 2222x y ab =1(a>b>0)经过点,离心率为. (1)求椭圆C 的方程.(2)直线y=k(x-1)(k ≠0)与椭圆C 交于A,B 两点,点M 是椭圆C 的右顶点,直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点P,Q,试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.【解析】(1)由题意得22c a 2131,a 4b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得a=2,b=1.所以椭圆C 的方程是2x 4+y2=1.(2)以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点,由()22y k x 1,x y 14⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有221212228k 4k 4x x ,x x .14k 14k -+==++又因为点M 是椭圆C 的右顶点,所以点M(2,0),由题意可知直线AM 的方程为y=11y x 2-(x-2),故点112y P(0,)x 2--.直线BM 的方程为y=22y x 2-(x-2),故点Q222y (0,).x 2--若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点N(x0,0),则等价于·=0恒成立,又因为(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4y1y2=k(x1-1)·k(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]即x轴上的定点为或故以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点(5.(2014·平顶山模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,过其右焦点F2作与x轴垂直的直线l与该椭圆交于A,B两点,与抛物线y2=4x交于C,D两点,且=.(1)求椭圆E的方程.(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆E相交于G,H两点,设P为椭圆E上一点,且满足+=(t≠0,O为坐标原点),当|-|<时,求实数t的取值范围.【解析】(1)因为直线l过右焦点F2且与x轴垂直,所以|AB|=,|CD|=4.又椭圆E的离心率为,且=,故椭圆E的方程为:+=1.(2)由题意知直线GH的斜率不为零.设直线GH的方程为:x=my+2.联立+=1与x=my+2,消去x得:(m2+2)y2+4my-28=0.设P(x,y),G(x1,y1),H(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-,x1+x2=m(y1+y2)+4=.因为+=,所以P(,-).因为P点在椭圆上,所以将P点坐标代入椭圆方程得t2=.因为|-|<,所以|GH|2=(1+m2)(y1-y2)2=(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]14m4+11m2-25<0,所以0≤m2<1,所以t2=∈(,],所以t ∈[-,-)∪(,],所以实数t 的取值范围为[-,-)∪(,].6.(2015·昆明模拟)已知F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P 是椭圆E 上的点,以F1P 为直径的圆经过F2,1PF ·2PF =a2.直线l 经过F1,与椭圆E 交于A,B 两点,F2与A,B 两点构成△ABF2.(1)求椭圆E 的离心率. (2)设△F1PF2的周长为2+,求△ABF2的面积S 的最大值.【解析】(1)因为F1,F2分别是椭圆E 的左、右焦点,P 是椭圆E 上的点,以F1P 为直径的圆经过F2,所以PF2⊥x 轴.所以|PF2|=.又1PF ·2PF =a2,所以|PF2|2=a2,即=a,所以a2=4b2,即a2=4(a2-c2),化简得3a2=4c2,所以=,所以椭圆E 的离心率等于.(2)因为△F1PF2的周长为2+,所以2a+2c=2+.所以b2=,所以椭圆E 的方程为x2+4y2=1.当直线l 的斜率不存在时,△ABF2的面积S=××2c=.当直线l 的斜率存在时,设为k,由F2与A,B 两点构成△ABF2得到k ≠0.由已知得直线l 的方程为y=k(x+),即2kx-2y+k=0, 所以F2(,0)到直线l 的距离d=.得(1+4k2)x2+4k2x+3k2-1=0,所以|AB|=· =.当且仅当k2=时等号成立.又>,所以△ABF2的面积S 的最大值等于.【加固训练】如图,已知椭圆C:2222x y a b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其上顶点为A.已知△F1AF2是边长为2的正三角形.(1)求椭圆C 的方程.(2)过点Q(-4,0)任作一动直线l 交椭圆C 于M,N 两点,记=λ·.若在线段MN 上取一点R,使得=-λ·,当直线l 运动时,点R 在某一定直线上运动,求出该定直线的方程.【解析】(1)因为△F1AF2是边长为2的正三角形,所以所以,椭圆C 的方程为22x y 43+=1.(2)由题意知,直线MN 的斜率必存在,设其方程为y=k(x+4).并设M(x1,y1),N(x2,y2), 由()22x y 1,43y k x 4⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 得(3+4k2)x2+32k2x+64k2-12=0,()22212122232k 64k 1214414k 0,x x ,x x .34k 34k --∆=->+==++则由=λ·得-4-x1=λ(x2+4),故λ=12x 4x 4+-+.设点R 的坐标为(x0,y0),则由=-λ·得x0-x1=-λ(x2-x0),112122012x4x xx x x 4x x 411x 4++-λ+==+-λ++解得故点R 在定直线x=-1上.。