线性代数总复习及典型例题

第二节 行列式的性质
性质1.1 行列式与它的转置行列式相等. 性质1.2 行列式的某一行（列）中所有元素的 公因子可以提到行列式符号的外面． 行列式的某一行（列）中的所有元素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式. 如果行列式中有一行(列)为零，那么行列 式为零。
性质1.3
对换行列式的两行（列）,行列式变号. 如果行列式有两行（列）完全相同，
二、矩阵的运算 1. 矩阵的基本运算：
加法 数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 方阵的幂 转置矩阵 对称及反对陈矩阵 方阵的行列式
2. 矩阵的运算规律：
加法： 1 交换律：A B B A;
2 结合律： A B C A B C .
4 若A可逆 , 则A 也可逆 , 且 A
T
T 1
A .
1 T
推广 A1 A2
Am 1 Am
1
1
1
AA
1 1 2 1
.
5 若A可逆 , 则有 A A .
4. 逆矩阵的计算方法
(⑴)利用定义（一般适用于证明题）
A 2 利用公式 A ; A
六、矩阵的秩
求矩阵秩的方法 (1)利用定义：寻找矩阵中非零子式的 最高阶数 (2)初等变换法：把矩阵用初等行变换 变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵 中非零行的行数就是矩阵的秩
对于n阶方阵A，如果A的秩等于n，则称A 为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵. 对于n阶方阵A，下列命题等价： (1) A为满秩矩阵； (2) R( A) n ; (3) A 0 ; (4) A为可逆矩阵.
(
R A m n )
第四章 向量组的线性 相关性
第二节
一、线性表示
向量组的线性相关性
, α s , 如果存在一组数 k sαs
设n维向量 β , α1 , α2 ,
k1 , k2 , , k s , 使得 β k1α1 k2α2
3. 方阵的行列式及其性质
由n阶方阵A的元素按原相对位置所构成 称为方阵A的行列式，记作 A 或 det A. 的行列式， 方阵的行列式满足下列规律： （设A、B为n阶方阵，为数） （ 1） （ 2）
AT A
A n A ;
（3） AB A B
三、逆矩阵 .列标 1. 基本概念
对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B 使得
AB BA E
则称B是A的逆矩阵，并称矩阵A是可逆矩阵或满秩 矩阵，或非奇异矩阵,记为 A1 . 说明 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.
1
1 注意 不能将 A 写成 . A
设有n阶方阵 A (aij )nn , 由行列式 A 中 各元素aij 的代数余子式Aij 构成如下n阶方阵
第三节 行列式按行(列)展开
引理 一个n阶行列式，如果第i 行所有元素除 那么这个行列式等于 a ij 与它的代 a ij 外都为零， 数余子式的乘积，即 D aij Aij . 行列式的某行(列)的所有元素与其对应 的代数余子式乘积之和等于该行列式的值。 行列 式某行(列)元素与另一行(列)对应元素的代数余子 式乘积之和等于零。
则此行列式为零. 性质1.4 如果行列式中有两行（列）对应成 比例，那么行列式为零．
性质1.5 如果行列式的某一行（列）的元素都是 两数之和，例如第i 行的元素都是两数之和
a11 D bi 1 ci 1 a n1 a 11 a 12 a12 bi 2 ci 2 an 2 a1n a 11 a1n bin cin ann a 12 ci2 an2 a1n c in a nn
1
若 AB E ( 或
BA E ) , 则B A1 .
3. 可逆矩阵的性质
1 若A可逆 , 则A 也可逆 , 且 A
1
1 1

A.
1
2 若A可逆 , 数 0, 则A可逆 , 且 A A1 .

1
3 若A, B为同阶可逆矩阵 , 则AB也可逆 , 且A B 1 B 1 A 1
线性代数总复习
第一章
行列式
第一节 n阶行列式的定义
二阶行列式的计算方法
a11 a 21 a12 a 22 a11a 22 a12 a 21 .
三阶行列式的计算方法——沙路法
a11 D a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32
12
n
2 n
1
( 1)
n ( n 1 ) 2
n
12
n
a11 D
L
a1 m M a mm * M *
a1 m M
M a m1 L * M * L a11 L
a m1 L
0 b11 L M bk 1 L
b11 L M
L
b1k M bkk
b1k M . bkk
M
a mm bk 1 L
1 11 0 1 0 1 22 0 0
0 0 1 nn
五、矩阵的初等变换与初等矩阵 .列标 1.初等变换与初等矩阵
矩阵的初等变换包括3种：对换变换、数乘变换 和倍加变换。这三种初等变换的过程都是可逆的， 设A是一个m n 非零矩阵，那么A一定 可以通过有限次初等行变换化为行阶梯形及行最 简形，再进行初等列变换化为如下标准形：
数乘：
1 结合律 : A A ; 2分配律 : A A A; A B A B .
乘法：
1 AB C A BC ; 2 AB AB AB
（其中 为数）;
A11 A12 A A 1n
A21 A22 A2 n
An1 An 2 Ann
称为矩阵A的伴随矩阵. 注意:伴随阵A* 与原矩阵A元素位置的对应关系.
2. 基本定理
设A为n阶方阵，A*为其伴随矩阵，则
AA A A A E .
1 A可逆 A 0 , 且 A A , A 其中 A 是A的伴随阵 .
则D等于下列两个行列式之和：
D bi 1 a n1 bi 2 an2 b in c i 1 a nn a n1
性质1.6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以 同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行 列式不变． (倍加运算) 计算行列式常用方法： (1)利用定义; (2)利用性质把行列式化为上三角形行列式， 从而算得行列式的值．
A1 k k 3. A O A2
k
A11 1 A2 1 A
o
o
. 1 At
O k At
特殊地，如果 是对角矩阵
k 0 0 11 0 0 11 k 0 0 22 0 0 22 k 则 k 0 0 0 nn nn 0 当且仅当 11 , 22 , nn 都不为零时， 是可逆矩阵，且
R1 R2 A ( R1 R2 Rs1 Rs AC1C 2
1 1 1 R2 R1 C t
Ct E C t ) 1
1 1 C2 C1
Rs )1 E (C1C 2
n阶方阵A可逆的充要条件是存在有限 个初等矩阵 P1 , P2 ,
, Pl , 使得 A P1 P2 Pl .
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a 23 a 32 a12 a 21a 33 a13 a 22 a 31 .
一些常用的行列式结果：
a11 a12 0 a22 0 0 a1n a2 n ann
a11a22 ann
1 2
当m = n 时，n元非齐次线性方程组 Ann x b 有惟一解的充分必要条件是系数矩阵A的行列式
A0
齐次线性方程组 Ax 0 一定有解： (1) R(A) = n (2) R(A) < n
Ax 0 只有零解
Ax 0 有非零解
并且通解中有n-r个自由未知量.
齐次线性方程组 Ax 0 的具体解法： (1)对系数矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵， 比较 R A与n之间的大小关系，从而判断方程组解 的情况：唯一解（零解），无穷解（非零解）。
第三章 线性方程组
其中 B A b
非齐次线性方程组 Ax b
(1) R A R B (2) R(A) = R(B ) R(A ) < n R(A ) = n
无解 有解:
Ax b有唯一解 ;
Ax = b 有无穷多解.
并且通解中有n-r个自由未知量.
非齐次线性方程组 Ax b 的具体解法： (1)对增广矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵， 比较 R A 、 R B 以及n之间的大小关系，从而判断 方程组解的情况：无解，唯一解，无穷解。 (2)在判断有解的情况下，继续对行阶梯形矩阵施 行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形 对应的线性方程组进行求解。如果方程组有无穷多 个解，需写出通解形式。
3 A B C AB AC , B C A BA CA;
方阵的幂运算： （ 1） （ 2）
Ak Al Ak l ( Ak )l Akl
k
注意： AB Ak Bk .
转置运算：
1 A
T T

A;
2 A B T AT BT ; 3 AT AT ; 4 AB T BT AT .
(2) 继续对行阶梯形矩阵施行初等行变换，将其化为 行最简形，并写出最简形对应的线性方程组进行求解。 如果方程组有无穷多个解，需写出通解形式。
当m = n 时， (1)齐次线性方程组(3.2)只有零解 A 0 ; (2)齐次线性方程组(3.2)有非零解 A 0 . 当m <n 时， 即方程个数小于未知量个数时， 齐次线性方程组(3.2)必有非零解.
Er O O O m n
其中r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.
注意：初等变换不改变矩阵的可逆性。 对于任何一个非零矩阵,都可以先进行初等行变换化 为行阶梯形及行最简形,再进行初等列变换化为标准形.
设A是一个mn 矩阵，对A 施行一次 初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶 初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在 A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.
由 m n 个数 aij i 1,2, 排成的m行n列的数表 a11 a12 a a22 21 A a m 1 am 2
a1n a2 n amn
百度文库
, m; j 1,2,
, n
称为m行n列矩阵,简称 m n 矩阵. 其中 m n 个数称为矩阵A的元素，数 aij 称为矩阵 A的第i 行第j 列的元素.
1
(3)待定系数法 (4) 初等变换法:步骤如下
(1) 构造矩阵 ( A E ); ( 2) 对( A E )施行初等行变换 , 将A化为 单位矩阵 E后, 右边 E对应部分即为 A 1
四、分块矩阵 分块对角矩阵的性质
A1 A2 设方阵 A O 2. 如果 Ai 0 i 1, 2, O 则 1. A A A At . 1 2 At , t , 则 A 0,即矩阵 A 可逆，且
行列式按行（列）展开法则是把高阶行 列式的计算化为低阶行列式计算的重要 工具.
D ,当 i j , a ki Akj k 1 0 ,当 i j;
n
D ,当 i j , aik A jk 0 ,当 i j; k 1
n
第二章
矩阵及其运算
一、矩阵的概念 1. 矩阵的基本概念